精品解析：河北省承德市兴隆县2024-2025学年八年级上学期期末质量监测数学试题

2024-2025学年第一学期期末质量监测八年级数学试卷 卷Ⅰ（选择题共36分） 一、选择题（本大题共12个小题，6每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年的历史．以下是在棋谱中截取的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，数轴上点P表示下列四个无理数中的一个，这个无理数是（ ） A. B. C. D. π 3. 下列各式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，点P在线段外，且．求证：点在线段的垂直平分线上．在证明该结论时，三位同学辅助线的作法如下：（ ） 甲：作平分线交于点C． 乙：过点P作，垂足为C． 丙：过点P作于点C，且． 其中，正确的是（ ） A. 甲和乙 B. 甲和丙 C. 乙和丙 D. 全对 5. 由四舍五入得到近似数，精确到了（ ） A. 十位 B. 百位 C. 十分位 D. 百分位 6. 对于命题“如果，那么．”能够说明它是假命题的反例是（　　） A. B. C. D. 7. 若，则下列分式化简正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在数轴上表示1、的点分别为A、B，点B关于点A的对称点为C，则C点所表示的是（　　） A. B. C. D. 9. 满足下列条件时，不是直角三角形的是（ ） A. B. C. ，， D. ， 10. 某学校篮球社团要购买一定数量的篮球，现有甲、乙两个商店销售某品牌篮球（篮球标价相同），国庆期间同时搞品牌促销活动，甲商店：购买篮球消费满元，送两个篮球；乙商店：篮球单价打七折．如果到甲商店购买，正好能用元经费买够数量；如果到乙商店购买，不仅能买购数量，还能剩元，两位同学分别就两种方案给出了两个方程：①，②．其中表示的意义是（ ） A. 均为篮球的数量 B. 均为篮球的单价 C. 方程①中的表示篮球的数量，方程②中的表示篮球的单价 D. 方程①中的表示篮球的单价，方程②中的表示篮球的数量 11. 在和中，，已知，则的度数是（ ） A. 30° B. C. 或 D. 30°或 12. 如图，已知钝角三角形，按以下步骤尺规作图，并保留作图痕迹． 步骤：以为圆心，为半径画弧①； 步骤：以为圆心，为半径画弧②，交弧①于点； 步骤：连结，交的延长线于点． 下列叙述正确的是（ ） A. 平分 B. C. D. 卷Ⅱ（非选择题，共84分） 二、填空题（共4个小题，每空3分共12分．） 13. 若二次根式有意义，则x取值范围是_______． 14. 若分式的值是零，则的值为______． 15. 已知：，则_________． 16. 如图，在第1个中，，；在边上任取一点D，延长到，使，得到第2个；在边上任取一点E，延长到，使，得到第3个，…按此做法继续下去，则第n个三角形中以为顶点的内角度数是________． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算和解方程： （1）； （2）． 18. 化简计算： （1） （2） 19. 如图，约定：上方相邻两个代数式之和等于两个代数式下方箭头共同指向的代数式 （1）求代数式M； （2）当时，求代数式N的值． 20. 如图，，为中点，过点作直线分别交射线、于点、（分别不与点、重合），设． （1）求证：； （2）当为直角三角形时，求的度数． 21. 如图，已知点、、在同一直线上，，，甲、乙两人同时从地出发，同向而行，分别前往地和地，甲、乙速度比是，结果甲比乙提前到达目的地． （1）设甲的速度为，完成下表： 路程 速度 时间 甲 乙 __________ （2）求甲、乙的速度． 22. 阅读材料：在探究角的平分线的性质时，老师提出了这样的问题，在的平分线上找一点P，在角的两边、上各找一点E和F，使得．于是小明就过点P向角的两边作了垂线段和，如图1，并证明了；小亮想，你作出的图形太特殊了，其实不用作垂线也能找到这样的线段． 问题： （1）小明的做法得到的角的平分线的性质定理是：___________； （2）你能顺着小亮的思路在图中找到一组线段吗，在图2中画出图形，简述你的作法，并简述的理由． 23. 【综合与实践】 建筑工地上工人师傅经常需画直角或判定一个角是否是直角，现仅有一根绳子，请帮助工人师傅完成此项工作．数学活动课上，小歌、小智两名同学经过讨论，在绳子上打13个等距的绳结，做成如图①所示的“工具绳”．他们利用此“工具绳”分别设计了以下方案： 小歌的方案：如图②，将“工具绳”拉直放置在地面上，并将绳结点C、D固定，拉直、分别绕绳结点C、D旋转，使绳结点A、B在点E处重合，画出，则． 小智的方案：如图③，将“工具绳”拉直放置在地面上，并将中点O固定，拉直绕点O旋转一定的角度（小于）到的位置，画出，则． 问题解决： （1）填空：在小歌的方案中，依据的一个数学定理是 ； （2）根据小智的方案，证明：； （3）工地上有一扇如图④所示的窗户，利用“工具绳”设计一个与小歌、小智不一样的方案，检验窗户横档与竖档是否垂直．画出简图，并说明理由． 24. 如图1和图2，在中，，，，点P从点A出发沿折线匀速移动，速度为1单位/秒，运动到C时停止，点Q在边上随P移动，且始终保持．（设点P的运动时间为t秒） （1）如图1，点在上时，_________，_________；（用含t的代数式表示） （2）如图2，点在边上，时，_________，_________； （3）如图2，点在边上，若，求证：； （4）当时，若为等腰三角形，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年第一学期期末质量监测八年级数学试卷 卷Ⅰ（选择题共36分） 一、选择题（本大题共12个小题，6每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年的历史．以下是在棋谱中截取的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，根据定义逐项判断即可得到答案，正确掌握相关概念是解题关键． 【详解】解：A、该图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、该图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、该图形是中心对称图形，故此选项符合题意； D、该图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意． 故选：C． 2. 如图，数轴上的点P表示下列四个无理数中的一个，这个无理数是（ ） A B. C. D. π 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了实数与数轴，无理数的估算，正确确定点P对应的数的大小是解答本题的关键． 先根据数轴确定点P对应的数的大小，再结合选项进行判断即可． 【详解】解：由数轴可得，点P对应的数在1与2之间， A、，故本选项不符合题意； B、，故此选项符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，故本选项不符合题意； 故选：B 3. 下列各式中，正确是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平方根的定义和性质，立方根的定义，逐一进行计算，判断即可． 【详解】解：A、，选项正确，符合题意； B、，选项错误，不符合题意； C、，选项错误，不符合题意； D、，选项错误，不符合题意； 故选A． 【点睛】本题考查开方运算，平方根的性质．熟练掌握相关知识点，是解题的关键． 4. 如图，点P在线段外，且．求证：点在线段的垂直平分线上．在证明该结论时，三位同学辅助线的作法如下：（ ） 甲：作的平分线交于点C． 乙：过点P作，垂足为C． 丙：过点P作于点C，且． 其中，正确的是（ ） A. 甲和乙 B. 甲和丙 C. 乙和丙 D. 全对 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，线段垂直平分线的判定，利用判断三角形全等的方法判断即可得出结论． 【详解】甲：作的平分线交于点． 利用判断出， ，， 点在线段垂直平分线上，符合题意； 乙：过点作，垂足为． 过线段外一点作已知线段的垂线，不能保证也平分此条线段，不符合题意； 丙：过点作于点，且． 利用判断出， ，， 点在线段的垂直平分线上，符合题意； 故选：A． 5. 由四舍五入得到的近似数，精确到了（ ） A. 十位 B. 百位 C. 十分位 D. 百分位 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查近似数的精确数位问题．根据题意看最后一位是什么位即可． 【详解】解：∵由四舍五入得到的近似数， ∴保留小数点后位，即精确到百分位， 故选：D． 6. 对于命题“如果，那么．”能够说明它是假命题的反例是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查命题，解题的关键是掌握举反例说明假命题的方法．满足条件，但不能得出结论的即为说明命题是假命题的反例．当时，满足条件，但不能得出的结论，即可判断答案． 【详解】解：当时，满足条件，但不能得出的结论， 故能说明命题“如果，那么”是假命题的反例是． 故选：A． 7. 若，则下列分式化简正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据a≠b，可以判断各个选项中的式子是否正确，从而可以解答本题． 【详解】∵a≠b， ∴，选项A错误； ，选项B错误； ，选项C错误； ，选项D正确； 故选：D． 【点睛】本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是明确分式混合运算的计算方法． 8. 如图，在数轴上表示1、的点分别为A、B，点B关于点A的对称点为C，则C点所表示的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了实数与数轴．根据题意可得，设B点关于点A的对称点为点C为x，可得，即可求解． 【详解】解：∵数轴上表示1，的对应点分别为A、B， ∴， 设B点关于点A的对称点为点C为x， 则有， 解可得， 故点C所对应的数为． 故选：A． 9. 满足下列条件时，不是直角三角形的是（ ） A. B. C. ，， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查直角三角形的判定，三角形内角和定理，勾股定理逆定理．掌握有一个角为直角的三角形为直角三角形和勾股定理逆定理判断直角三角形是解题关键．通过三角形内角和定理可判断A和D；通过勾股定理逆定理可判断B和C． 【详解】解：A．∵， ∴可设，则，． ∵， ∴， 解得：， ∴，，，故此三角形不是直角三角形，符合题意； B．∵， ∴可设，则，． ∵， ∴， ∴此时是直角三角形，不符合题意； C．∵，，，， ∴， ∴此时是直角三角形，不符合题意； D．∵，， ∴， ∴此时是直角三角形，不符合题意． 故选A． 10. 某学校篮球社团要购买一定数量的篮球，现有甲、乙两个商店销售某品牌篮球（篮球标价相同），国庆期间同时搞品牌促销活动，甲商店：购买篮球消费满元，送两个篮球；乙商店：篮球单价打七折．如果到甲商店购买，正好能用元经费买够数量；如果到乙商店购买，不仅能买购数量，还能剩元，两位同学分别就两种方案给出了两个方程：①，②．其中表示的意义是（ ） A. 均为篮球的数量 B. 均为篮球的单价 C. 方程①中的表示篮球的数量，方程②中的表示篮球的单价 D. 方程①中的表示篮球的单价，方程②中的表示篮球的数量 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了根据实际问题列分式方程．根据所列方程，结合“单价总价数量”，进行分析即可求解． 【详解】解：∵甲商店购买篮球消费满元，送两个篮球，在甲商店购买，正好能用元经费买够数量， 乙商店有促销活动，篮球单价打七折，在乙商店购买，不仅能买够数量，还能剩元， ∴在甲商店购买需花费元，在甲商店购买篮球的数量比需要的数量少个， 在乙商店购买需花费元，篮球的单价是原价的七折， 若方程①中的表示篮球的数量， 则表示在乙商店购买篮球的单价，表示在甲商店购买篮球的单价， 根据乙商店篮球的单价是原价的七折，即可列出方程； 方程②中的表示篮球的单价， 则表示在甲商店购买篮球的数量，表示在乙商店购买篮球的数量， 根据篮球的数量是固定的，即可列出方程． 故选：C． 11. 在和中，，已知，则的度数是（ ） A. 30° B. C. 或 D. 30°或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等边对等角，分两种情况，画出图形，进行讨论求解即可． 【详解】在和中， 当时 ， 当时， 利用等腰三角形的性质求得 ． 故选：C． 12. 如图，已知钝角三角形，按以下步骤尺规作图，并保留作图痕迹． 步骤：以为圆心，为半径画弧①； 步骤：以为圆心，为半径画弧②，交弧①于点； 步骤：连结，交的延长线于点． 下列叙述正确的是（ ） A. 平分 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质与判定，掌握全等三角形的性质以及判定定理；连接，先证明，再根据等腰三角形三线合一的性质即可得出 【详解】解：连接， 由题意得， ∴是等腰三角形 在和中 ∴， ∴ ∴是的角平分线， 又∵ ∴ 故选：D． 卷Ⅱ（非选择题，共84分） 二、填空题（共4个小题，每空3分共12分．） 13. 若二次根式有意义，则x的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式，得到答案． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故答案为：． 14. 若分式的值是零，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查分式的值为零的条件：分子为且分母不为、含绝对值的方程，熟练掌握分式的值为及有意义的条件是解题关键．根据分式的值为及有意义的条件判断即可． 【详解】解：由题得且， 解得：， 故答案为：． 15. 已知：，则_________． 【答案】6 【解析】 【分析】根据二次根式的运算法则即可求解． 【详解】∵ ∴a=3,b=2 ∴6 故答案为：6． 【点睛】此题主要考查二次根式的运算，解题的关键是熟知其运算法则． 16. 如图，在第1个中，，；在边上任取一点D，延长到，使，得到第2个；在边上任取一点E，延长到，使，得到第3个，…按此做法继续下去，则第n个三角形中以为顶点的内角度数是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题是规律探究题，涉及等腰三角形的性质和三角形外角的性质，解题的关键是得出角的变化规律，先根据等腰三角形的性质求出的度数，再根据三角形外交的性质和等腰三角形的性质分别求出的度数，然后分析上面计算出的角度，找出规律即可得出第n个三角形中以为顶点的底角度数． 【详解】解：在中，， ， ，是的外角， ， 同理可得：，，， 第n个三角形中以为顶点的底角度数是， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算和解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）3 （2）或 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，利用平方根的定义解方程． （1）先根据平方差公式和二次根式的性质化简，再算加减即可； （2）利用平方根的意义求解即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：， 开方得，， 即或， 解得或． 18. 化简计算： （1） （2） 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）括号内通分，并把除法转化为乘法，然后约分化简即可； （2）先通分，再根据同分母分式的运算法则计算即可． 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解：原式 ． 19. 如图，约定：上方相邻两个代数式之和等于两个代数式下方箭头共同指向的代数式 （1）求代数式M； （2）当时，求代数式N的值． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】本题考查分式的混合运算，掌握运算法则是解题的关键． （1）利用异分母分式的减法进行运算解题即可； （2）利用异分母分式加法进行解题即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ， 当时，原式． 20. 如图，，为中点，过点作直线分别交射线、于点、（分别不与点、重合），设． （1）求证：； （2）当为直角三角形时，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2）的度数或 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质与判定，直角三角形的两个锐互余； （1）直接根据证明，根据全等三角形的性质，即可得证； （2）根据题意，分，，根据直角三角形的两个锐互余，即可求解． 【小问1详解】 解： 为的中点， ， 在和中， ， ； 【小问2详解】 ①若，则； ②若，则； 的度数或． 21. 如图，已知点、、在同一直线上，，，甲、乙两人同时从地出发，同向而行，分别前往地和地，甲、乙的速度比是，结果甲比乙提前到达目的地． （1）设甲的速度为，完成下表： 路程 速度 时间 甲 乙 __________ （2）求甲、乙的速度． 【答案】（1） （2）甲的速度为，乙的速度为，见解析 【解析】 【分析】本题考查由实际问题抽象出分式方程， （1）根据题意列出代数式，填表，即可求解‘ （2）根据等量关系为：乙走10千米用的时间−甲走6千米用的时间＝20分钟，列出分式方程，解方程，即可求解． 【小问1详解】 解：设甲的速度为，则乙的速度为 ． ∴乙需要时间为， 填表如下， 路程 速度 时间 甲 乙 【小问2详解】解：根据题意，得． 解得： 经检验，是原方程的解， ∴甲的速度为，则乙的速度为 答：甲的速度为，乙的速度为． 22. 阅读材料：在探究角的平分线的性质时，老师提出了这样的问题，在的平分线上找一点P，在角的两边、上各找一点E和F，使得．于是小明就过点P向角的两边作了垂线段和，如图1，并证明了；小亮想，你作出的图形太特殊了，其实不用作垂线也能找到这样的线段． 问题： （1）小明的做法得到的角的平分线的性质定理是：___________； （2）你能顺着小亮的思路在图中找到一组线段吗，在图2中画出图形，简述你的作法，并简述的理由． 【答案】（1）角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质． （1）根据证明即可求解； （2）以点O为圆心，以任意长为半径画弧，交与点E，交与点F，连接，则，根据证明即可． 【小问1详解】 解：∵平分， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴小明的做法得到的角的平分线的性质定理是：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等． 故答案为：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等； 【小问2详解】 解：如图，以点O为圆心，以任意长为半径画弧，交与点E，交与点F，连接，则，理由： ∵平分， ∴． ∵，， ∴， ∴． 23. 【综合与实践】 建筑工地上工人师傅经常需画直角或判定一个角是否是直角，现仅有一根绳子，请帮助工人师傅完成此项工作．数学活动课上，小歌、小智两名同学经过讨论，在绳子上打13个等距的绳结，做成如图①所示的“工具绳”．他们利用此“工具绳”分别设计了以下方案： 小歌的方案：如图②，将“工具绳”拉直放置在地面上，并将绳结点C、D固定，拉直、分别绕绳结点C、D旋转，使绳结点A、B在点E处重合，画出，则． 小智的方案：如图③，将“工具绳”拉直放置在地面上，并将中点O固定，拉直绕点O旋转一定的角度（小于）到的位置，画出，则． 问题解决： （1）填空：在小歌的方案中，依据的一个数学定理是 ； （2）根据小智的方案，证明：； （3）工地上有一扇如图④所示的窗户，利用“工具绳”设计一个与小歌、小智不一样的方案，检验窗户横档与竖档是否垂直．画出简图，并说明理由． 【答案】（1）勾股定理的逆定理 （2）见解析 （3）见解析，理由：到一条线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． 【解析】 【分析】本题主要考查直角三角形的判定，三角形内角和定理以及垂直平分线的性质等知识． （1）由可判断是直角三角形，且，由此可知得出依据的一个数学定理是勾股定理的逆定理； （2）由操作得出和为等腰三角形，得到，再由三角形内角和定理可得出，得，从而可得出； （3）利用“工具绳”画出的垂直平分线即可． 【小问1详解】 ∵， ∴是直角三角形，且， 依据的一个数学定理是：勾股定理的逆定理， 故答案为：勾股定理的逆定理； 【小问2详解】 ∵为的中点， ∴， 由旋转得， ∴, ∴和为等腰三角形， ∴， 又， ∴ ∴ ∴； 【小问3详解】 如图， 将工具绳置于处， 1.先以P点为圆心，为半径画一个圆 ， 2.再以Q点为圆心，为半径画一个圆 ， 3.两圆会有两个交点，用直尺连接， 4.观察连线与是否重合 理由：到一条线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． 24. 如图1和图2，在中，，，，点P从点A出发沿折线匀速移动，速度为1单位/秒，运动到C时停止，点Q在边上随P移动，且始终保持．（设点P的运动时间为t秒） （1）如图1，点在上时，_________，_________；（用含t的代数式表示） （2）如图2，点在边上，时，_________，_________； （3）如图2，点在边上，若，求证：； （4）当时，若为等腰三角形，直接写出的长． 【答案】（1）， （2）， （3）见解析 （4）3或 【解析】 【分析】（1）先证明是等腰直角三角形，即有，即可求解； （2）利用三角形外角的性质定理可得，进而根据三角形内角和定理即可求解； （3）当时，点在上运动，当为等腰三角形时，分为三种情况：①当时；②当时；③当时，结合等腰三角形的性质即可作答． 【小问1详解】 解：∵在中，，， ∴ ∵ ∴是等腰直角三角形， ∴， ， 故答案为：，． 【小问2详解】 ∵在中，，， ∴， ∵，， ∴， ∴ ∴， 故答案为：，． 【小问3详解】 证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴ 又∵， ∴； 【小问4详解】 解：依题意，当时，点在上运动， ①当时，， 则是等腰直角三角形，则 ∵ ∴ ∴， 则是等腰直角三角形， 又 ∴； ②当时，如图所示， ∴ ∴ ∴ ∴， ∴， ∴； ③当时，则， ∴, 又∵ ∴ 则点、与点重合，不能构成三角形， 故此情形不存在； 综上所述，的长为3或． 【点睛】本题考查了列代数式，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，三角形外角的定义与性质，全等三角形的判定；熟练掌握以上知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$