精品解析：辽宁省铁岭市调兵山市第二高级中学2024-2025学年高三上学期期末数学试题

调兵山市第二高级中学2024～2025学年上学期期末考试 数学 考试时间：120分钟 命题人：高三数学组 一、选择题（本大题8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据根式的性质化简，即可根据并集的定义求解. 【详解】， 又，则， 故选：D． 2. 已知复数z满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的除法运算求解即可. 【详解】因为，所以. 故选：B. 3. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由特称命题的否定是全称命题判断. 【详解】由特称命题的否定是全称命题可得，“”的否定为“”. 故选：B 4. 若向量都是单位向量，且，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】作，根据菱形性质可得. 【详解】设，因为， 则，解得， 因为，所以， 所以四边形是的菱形， 所以与的夹角即. 故选：A. 5. 学校为了解新课程标准提升阅读要求对学生阅读兴趣的影响情况，随机抽取了100名学生进行调查.根据调查结果绘制学生周末阅读时间的频率分布直方图如图所示： 将阅读时间不低于30分钟的观众称为“阅读霸”，则下列命题正确的是 A. 抽样表明，该校有一半学生为阅读霸 B. 该校只有50名学生不喜欢阅读 C. 该校只有50名学生喜欢阅读 D. 抽样表明，该校有50名学生为阅读霸 【答案】A 【解析】 【分析】根据频率分布直方图得到各个时间段的人数，进而得到结果. 【详解】根据频率分布直方图可列下表： 阅读时间（分） 抽样人数（名） 10 18 22 25 20 5 抽样100名学生中有50名为阅读霸，占一半，据此可判断该校有一半学生为阅读霸. 故选A. 【点睛】这个题目考查了频率分布直方图的实际应用，以及样本体现整体的特征的应用，属于基础题. 6. 已知抛物线的焦点为F，过F作斜率为2的直线l与抛物线交于A，B两点，若弦的中点到抛物线准线的距离为3，则抛物线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设出直线，并与抛物线联立，得到，再根据抛物线的定义建立等式即可求解. 【详解】因为直线l的方程为，即， 由消去y，得， 设，则， 又因为弦的中点到抛物线的准线的距离为3，所以， 而，所以， 故，解得，所以抛物线的方程为 故选：B. 7. 若函数，在上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据分段函数的单调性，每段递增且保证分界点处满足递增函数的要求即可得解. 【详解】当时，单调递增且值域为， 而在上单调递增， 则在上单调递增，且， 当时，在上单调递增，满足题设； 当时，在上单调递增，此时只需，即； 综上，. 故选：A 8. 如图，在正方体中，为的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设正方体的棱长为，以为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解线面角的正弦值即可. 【详解】 设正方体的棱长为，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， ，，，， 所以，，， 设平面的法向量为， 则，所以，令，所以， 设直线与平面所成角为， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 故选：. 二、多项选择题（每个小题至少有2个正确的答案，如果试题有2个正确答案，则部分答对得3分，全对得6分，如果试题有3个正确答案，选择1个选项且正确得2分，选择2个选项且正确得4分，3个都正确得6分，选有错误选项的不得分．） 9. 已知函数，若将函数的图象向右平移个单位长度后，所得图象关于轴对称，则下列结论中正确的是 A. B. 是图象的一个对称中心 C. D. 是图象的一条对称轴 【答案】ABD 【解析】 【分析】 根据题意，先得到向右平移的解析式为，再得到，可得，可得的解析式，根据正弦函数的性质可知A,B,D正确. 【详解】由题意，向右平移， 得 的图象关于轴对称，所以， ，又 即 则是图象的一个对称中心，是图象的一条对称轴 而，则C错，A,B,D正确 故选：ABD 【点睛】本题考查利用三角函数平移变换求参数，考查正弦函数的性质，属于基础题. 10. 设点，的坐标分别为，动点满足：，则下列说法正确的有（ ） A. 点的轨迹方程为 B. C. 存在4个点，使得的面积为 D. 【答案】AD 【解析】 【分析】应用椭圆定义判断A，B，D，应用面积公式判断个数判断C. 【详解】对于A，由得，， 所以点的轨迹为以为焦点的椭圆，且，即， 则，故点的轨迹方程为，A正确. 对于B，D，将的坐标代入椭圆方程左边得，所以点在椭圆内部， 如图所示，所以，当且仅当点运动到点处时，等号成立，故B错误； ， 因为，所以， 当且仅当点运动到点处时，等号成立，故D正确. 对于C，，其中为点到直线的距离，若，则， 由于当点为椭圆的右顶点时，取得最大值3，故满足条件的点只有一个，C错误. 故选：AD. 11. 函数满足，则正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据给定条件，构造函数，利用导数探讨单调，再比较大小即得. 【详解】依题意，令函数，求导得，函数在R上递减， 对于A，，，则，A正确； 对于B，，，则，B错误； 对于C，，，则，C正确； 对于D，，，则，D错误. 故选：AC 三、填空题（本大题3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知都是锐角，，，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据求解即可. 【详解】因为，所以，，， 所以 . 故答案为： 13. 已知数列是公差为2的等差数列，且，则数列的前项和取得最小值时，的值为__________. 【答案】或5 【解析】 【分析】利用等差数列的通项公式依次求得与，从而分析得中的项的正负情况，从而得解. 【详解】由题意得，，则， 所以当时，，当，当时，， 因此当或5时，取最小值. 故答案为：或5. 14. 如图是一个的九宫格，小方格内的坐标表示向量，现不改变这些向量坐标，重新调整位置，使得每行、每列各三个向量的和为零向量，则不同的填法种数为_____________． 【答案】72 【解析】 【分析】要使得每行、每列各三个向量的和为零向量，根据对称性，确定所在的行和列只能排， 再按分步乘法计数原理进行求解即可. 【详解】 1 2 3 4 5 6 7 8 9 首先对的九宫格每个位置标注数字， 第一步先排，一共9个位置，因此有种排法， 根据对称性知，所在的行和列只能排， 不妨设在1位置， 第二步排2位置，则从选一个，因此有种排法， 则3位置的数也定下来了， 第三步排4位置，则从剩余的两个中挑一个，因此有种排法， 接着排7位置，7位置是中剩余的最后一个， 相当于所在的行和列都定下来了， 则使得每行、每列各三个向量的和为零向量，其他四个位置的向量排法是唯一的， 因此按分步乘法计数原理知，（种） 因此共有72种排法， 故答案为：72. 四、解答题，本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，角,,所对的边分别是，，，已知 . （1）求的值； （2）若，，，为垂足，求的长. 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理化边为角，再根据两角和正弦公式化简得结果，（2）先根据余弦定理求，再利用三角形面积公式求AD. 【详解】（1）因为， 所以 因为，所以,即. 因为，所以，所以. 则. （2）因为，所以,. 在中，由余弦定理可得 ，即. 由，得. 所以. 【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理以及三角形面积公式，考查基本分析求解能力，属中档题. 16. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论函数的单调性. 【答案】（1） （2） 若时，在上单调递增， 若时，在上单调递增，在上单调递减. 【解析】 【分析】（1）求出导数，利用导数的几何意义求出切线的斜率，由条件可得，写出切线方程. （2）由题意，求出其导数得，分类讨论在的函数值的符号，得出单调性. 【小问1详解】 当时，，所以， 则， 所以曲线在点处的切线方程为 【小问2详解】 ， 则 当时，，则在上单调递增. 当时，由得出 ，则在上单调递增； 由 得出，所以在上单调递减； 综上所述：若时，在上单调递增， 若时，在上单调递增，在上单调递减. 17. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，，为线段的动点. （1）若直线平面，求证：为的中点； （2）若平面与平面夹角的余弦值为，求的值. 【答案】（1） 连接交于点，再连接， 由直线平面，平面，平面平面， ， 又为的中点，为的中点； （2） 【解析】 【分析】（1）由线面平行的性质得出，再由中位线定理得出为的中点； （2）以点A为坐标原点，建立如下图所示的空间直角坐标系，利用向量法结合平面与平面夹角的余弦值得出的值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以点A为坐标原点，建立如下图所示的空间直角坐标系， 设，则， 设，， ， 设平面的法向量为， 则，即， 取，则. 设平面的法向量，则，即， 可得平面的法向量， 设平面与平面夹角为， ，整理得， . 18. 王老师每天早上7：00准时从家里出发去学校，他每天只会从地铁与汽车这两种交通工具之间选择一个乘坐.王老师多年积累的数据表明，他到达学校的时间在两种交通工具下的概率分布如下表所示： 到校时间 7：30之前 7：30-7：35 7：35-7：40 7：40-7：45 7：45-7：50 7：50之后 乘地铁 0.1 0.15 0.35 0.2 0.15 0.05 乘汽车 0.25 0.3 0.2 0.1 0.1 0.05 （例如：表格中0.35的含义是如果王老师当天乘地铁去学校，则他到校时间在7：35-7：40的概率为0.35.） （1）某天早上王老师通过抛一枚质地均匀的硬币决定乘坐地铁还是乘坐汽车去学校，若正面向上则坐地铁，反面向上则坐汽车.求他当天7：40-7：45到校的概率； （2）已知今天（第一天）王老师选择乘坐地铁去学校，从第二天开始，若前一天到校时间早于7：40，则当天他会乘坐地铁去学校，否则当天他将乘坐汽车去学校.且若他连续10天乘坐地铁，则不论他前一天到校的时间是否早于7：40，第11天他都将坐汽车到校.记他从今天起（包括今天）到第一次乘坐汽车去学校前坐地铁的次数为，求； （3）已知今天（第一天）王老师选择乘坐地铁去学校.从第二天开始，若他前一天坐地铁去学校且到校时间早于7：40，则当天他会乘坐地铁去学校；若他前一天坐地铁去学校且到校时间晚于7：40，则当天他会乘坐汽车去学校；若他前一天乘坐汽车去学校，则不论他前一天到校的时间是否早于7：40，当天他都会乘坐地铁去学校.记为王老师第天坐地铁去学校的概率，求的通项公式. 【答案】（1）0.15 （2） （3） 【解析】 【分析】(1)由全概率公式求解即可； (2) 可取1，2，3，…，9，10，由题：对于，；，即可求出数学期望； (3) 由题意：，，由递推关系求出数列的通项. 【小问1详解】 记事件“硬币正面向上”，事件“7：40-7：45到校” 则由题有，，， 故. 【小问2详解】 可取1，2，3，…，9，10， 由题：对于，；， 故， ， 以上两式相减得：， 故. 所以. 【小问3详解】 由题意：，，则， 这说明为以为首项，为公比的等比数列. 故，所以. 19. 已知椭圆的短轴长为2，点在椭圆上. （1）求椭圆的标准方程； （2）设点在椭圆上（点不在坐标轴上），证明：直线与椭圆相切； （3）设点在直线上（点在椭圆外），过点作椭圆的两条切线，切点分别为为坐标原点，若和的面积之和为1，求直线的方程. 【答案】（1）； （2） 因为点在椭圆上，所以，即， 联立消去整理得， 即，即，显然方程有唯一解， 所以直线与椭圆相切. （3）或. 【解析】 【分析】（1）根据已知建立关于的方程组求解即可； （2）联立直线方程和椭圆方程消去，结合点在椭圆上，代入化简即可得证； （3）设，利用（2）中结论表示出两切线方程，结合切线过点可得直线方程，利用点到直线的距离公式和弦长公式表示出面积，结合已知求出，然后可得直线方程. 【小问1详解】 由题知，，解得， 所以椭圆的标准方程. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设， 将代入，解得， 因为点在椭圆外，所以或，所以， 由（2）可得，切线的方程分别为， 因为点在切线上，所以， 所以点在直线，即直线的方程为， 联立得，， 则， 所以 记点到直线的距离分别为， 则， 因为和的面积之和为1， 所以， 解得，所以的方程为或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 调兵山市第二高级中学2024～2025学年上学期期末考试 数学 考试时间：120分钟 命题人：高三数学组 一、选择题（本大题8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数z满足，则（ ） A. B. C. D. 3. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 4. 若向量都是单位向量，且，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 5. 学校为了解新课程标准提升阅读要求对学生阅读兴趣的影响情况，随机抽取了100名学生进行调查.根据调查结果绘制学生周末阅读时间的频率分布直方图如图所示： 将阅读时间不低于30分钟的观众称为“阅读霸”，则下列命题正确的是 A. 抽样表明，该校有一半学生为阅读霸 B. 该校只有50名学生不喜欢阅读 C. 该校只有50名学生喜欢阅读 D. 抽样表明，该校有50名学生为阅读霸 6. 已知抛物线的焦点为F，过F作斜率为2的直线l与抛物线交于A，B两点，若弦的中点到抛物线准线的距离为3，则抛物线的方程为（ ） A. B. C. D. 7. 若函数，在上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在正方体中，为的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（每个小题至少有2个正确的答案，如果试题有2个正确答案，则部分答对得3分，全对得6分，如果试题有3个正确答案，选择1个选项且正确得2分，选择2个选项且正确得4分，3个都正确得6分，选有错误选项的不得分．） 9. 已知函数，若将函数的图象向右平移个单位长度后，所得图象关于轴对称，则下列结论中正确的是 A. B. 是图象的一个对称中心 C. D. 是图象的一条对称轴 10. 设点，的坐标分别为，动点满足：，则下列说法正确的有（ ） A. 点的轨迹方程为 B. C. 存在4个点，使得的面积为 D. 11. 函数满足，则正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题（本大题3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知都是锐角，，，则___________． 13. 已知数列是公差为2的等差数列，且，则数列的前项和取得最小值时，的值为__________. 14. 如图是一个的九宫格，小方格内的坐标表示向量，现不改变这些向量坐标，重新调整位置，使得每行、每列各三个向量的和为零向量，则不同的填法种数为_____________． 四、解答题，本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，角,,所对的边分别是，，，已知 . （1）求的值； （2）若，，，为垂足，求的长. 16. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论函数的单调性. 17. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，，为线段的动点. （1）若直线平面，求证：为的中点； （2）若平面与平面夹角的余弦值为，求的值. 18. 王老师每天早上7：00准时从家里出发去学校，他每天只会从地铁与汽车这两种交通工具之间选择一个乘坐.王老师多年积累的数据表明，他到达学校的时间在两种交通工具下的概率分布如下表所示： 到校时间 7：30之前 7：30-7：35 7：35-7：40 7：40-7：45 7：45-7：50 7：50之后 乘地铁 0.1 0.15 0.35 0.2 0.15 0.05 乘汽车 0.25 0.3 0.2 0.1 0.1 0.05 （例如：表格中0.35的含义是如果王老师当天乘地铁去学校，则他到校时间在7：35-7：40的概率为0.35.） （1）某天早上王老师通过抛一枚质地均匀的硬币决定乘坐地铁还是乘坐汽车去学校，若正面向上则坐地铁，反面向上则坐汽车.求他当天7：40-7：45到校的概率； （2）已知今天（第一天）王老师选择乘坐地铁去学校，从第二天开始，若前一天到校时间早于7：40，则当天他会乘坐地铁去学校，否则当天他将乘坐汽车去学校.且若他连续10天乘坐地铁，则不论他前一天到校的时间是否早于7：40，第11天他都将坐汽车到校.记他从今天起（包括今天）到第一次乘坐汽车去学校前坐地铁的次数为，求； （3）已知今天（第一天）王老师选择乘坐地铁去学校.从第二天开始，若他前一天坐地铁去学校且到校时间早于7：40，则当天他会乘坐地铁去学校；若他前一天坐地铁去学校且到校时间晚于7：40，则当天他会乘坐汽车去学校；若他前一天乘坐汽车去学校，则不论他前一天到校的时间是否早于7：40，当天他都会乘坐地铁去学校.记为王老师第天坐地铁去学校的概率，求的通项公式. 19. 已知椭圆的短轴长为2，点在椭圆上. （1）求椭圆的标准方程； （2）设点在椭圆上（点不在坐标轴上），证明：直线与椭圆相切； （3）设点在直线上（点在椭圆外），过点作椭圆的两条切线，切点分别为为坐标原点，若和的面积之和为1，求直线的方程. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $