精品解析：浙江省杭州第四中学2024-2025学年高二下学期数学强化练习1（开学考试）

2024学年第二学期高二数学强化练习（开学练习） 一、单选题（4*6=24） 1. 已知等差数列的前项和为，若，，则（ ） A. 4 B. 2 C. 0 D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用条件求得和的值，即可计算. 【详解】设等差数列的公差为． ∵，∴，即． 又∵，∴，，∴． 故选：A． 2. 若函数在处的导数等于，则的值为（ ） A. 0 B. C. a D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用导数的定义直接计算可求解. 【详解】. 故选：D. 3. 已知平面，其中点，，则下列各点中不在平面内的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合各个选项分别求出，计算的值是否为即可. 【详解】选项A：设，则，， 所以点在平面内，A不符合题意； 选项B：设，则，， 所以点在平面内，B不符合题意； 选项C：设，则，， 所以点不在平面内，C符合题意； 选项A：设，则，， 所以点在平面内，D不符合题意； 故选：C 4. 已知双曲线的右焦点为，为坐标原点，过点的直线与双曲线的两条渐近线分别交于、两点，点为线段的中点，且，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】方法一：分析可得，将直线和直线的方程建立，求出点的坐标，再由，可得出、的等量关系，由此可求得该双曲线的离心率的值； 方法二：推导出，结合对称性可求出的值，求出的值，由此可得出该双曲线的离心率的值. 【详解】方法一：因为，且为线段的中点，所以，，则， 不妨设点在第一象限，则直线的斜率为， 所以，直线的方程为， 联立，解得，即点， 所以，， 化简可得，即，双曲线的离心率． 方法二：因为为中点，，则，所以， 又直线与直线分别为双曲线的两条渐近线， 得，所以，， 所以，故． 故选：C． 5. 已知数据，…，（，）的平均数、中位数、方差均为4，则这组数据的极差为（ ） A 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】依题意根据平均数、方差均为4构造方程组，再由解方程可得，即可求出这组数据的极差. 【详解】根据题意，不妨设，且，可得， 由平均数为4，得，即； 由方差为4，得，即； 联立，由可解得； 根据极差定义可得这组数据的极差为. 故选：D 6. 已知圆锥的底面与圆台的上底面重合，圆锥的顶点在圆台的下底面上，且圆锥与圆台的母线长相等，设圆台与圆锥的侧面积之比为，体积之比为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由圆锥、圆台的侧面积、体积公式计算可得． 【详解】设圆台的上、下底面半径分别为，圆锥和圆台的母线长均为，高为， 如图，由题意可知，所以， ，则. 故选：C. 二、多选题（6*2=12） 7. 如图是函数的导函数的图象，则以下说法正确的为（　　） A. 是函数的极值点 B. 函数在处取最小值 C. 函数在处切线的斜率小于零 D. 函数在区间上单调递增 【答案】AD 【解析】 【分析】根据导函数图像判断函数的单调性，再根据选项逐一判断即可． 【详解】对于A，由导函数的图象可知：当时，，时，， 且仅当时，， 故函数在上函数单调递减；在函数单调递增， 所以是函数的极小值点，所以A正确； 对于B，两侧函数的单调性不变，则在处不是函数的最小值，所以B不正确； 对于C，由图像可知，所以函数在处的切线的斜率大于零，所以C不正确； 对于D，由图象可得，当时，，当且仅当时等号成立， 所以函数在上单调递增，所以D正确， 故选：AD． 8. 下列说法命题正确的是（ ） A. 在空间直角坐标系中，已知点，，，则三点共线 B. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则 C. 已知，，则在上的投影向量为 D. 已知三棱锥，点为平面上的一点，且，则 【答案】CD 【解析】 【分析】根据空间向量共线的充要条件计算可判定A，利用空间向量研究线面关系可判定B，根据数量积的几何意义计算投影向量可判定C，利用四点共面的推论可判定D. 【详解】对于A，易知，显然，所以不共线，即A错误； 对于B，由题意可知，所以不垂直，即B错误； 对于C，在上的投影向量为，即C正确； 对于D，由于四点共面，则，所以，即D正确. 故选：CD 三、填空题（6*3=18） 9. 已知数列满足，若对于任意都有，则实数a的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】利用数列单调性，分、讨论可得答案. 【详解】对任意的，都有， 数列单调递减，可知. 当时，若，单调递减， 而时，单调递减， 只需，解得，； 当时，若，单调递增，应舍去. 综上所述，实数a的取值范围是. 故答案为：. 10. 若曲线在处的切线同时与圆相切，则______． 【答案】1或 【解析】 【分析】先利用导数的几何意义求出在处的切线方程，再利用与圆相切可求得的值. 【详解】由，得，，则， 所以曲线在处的切线方程为， 依题意，直线与圆相切， 则圆心到直线的距离为，解得或， 故答案为：1或 11. 已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，过点的直线与抛物线交于，两点，若，则________． 【答案】8 【解析】 【分析】先设出直线的方程，联立抛物线方程，得到两根之和，两根之积，表达出，，再由正弦定理得到，得到，代入两根之和，两根之积，列出方程，求出，进而求出，. 【详解】由题意得，，当直线的斜率为0时，与抛物线只有1个交点，不合要求， 故设直线的方程为，不妨设， 联立，可得，易得， 设，则， 则， 则， ， 由正弦定理得，， 因为，， 所以，，即， 又由焦半径公式可知， 则，即， 即，解得， 则，解得， 故， 当时，同理可得到. 故答案为：8 【点睛】方法点睛：解三角形中，当条件中有角平分线时，可利用正弦定理得到角平分线的性质，将角的关系转化为边的比例关系，再进行求解. 四、解答题 12. 抛掷一红一绿两颗质地均匀的六面体骰子，若用x表示红色骰子正面朝上的点数，用y表示绿色骰子正面朝上的点数，用表示一次试验的结果，设“两个点数之和等于8”，“至少有一颗骰子的点数为5”，“红色骰子上的点数大于4”． （1）判断事件A，B否相互独立； （2）分别求事件和C的概率． 【答案】（1）不相互独立 （2）；. 【解析】 【分析】（1）求出事件A，B，的基本事件以及个数，利用古典概型的公式计算出，再由独立事件的定义判断即可； （2）由得出，求出事件C的基本事件以及个数，利用古典概型的公式计算概率即可. 【小问1详解】 解：由题可知，事件“”，事件“至少有一颗骰子的点数为5”， 则事件的所有情况为：，共5种情况， 所以， 事件的所有情况为：， 共11种情况，所以， 事件的所有情况为：，所以， ，所以与不相互独立. 【小问2详解】 ， 事件“”，事件的所有情况为： ，共12种情况， 所以. 13. 已知等比数列的前项和为，且． （1）求； （2）若，求数列前项和． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）利用等比数列的通项公式和前项和公式求解； （2）由（1）求得数列的通项，再综合运用分组求和与错位相减法求得前项和. 【小问1详解】 设等比数列的公比为， 由题意，得，解得， ∴或 【小问2详解】 ∵，由（1）知，，， 令 ① 则 ② 得 即 所以. 14. 已知函数，其中，为自然对数底数. （1）求的单调区间； （2）设且，请判断与的大小，并证明. 【答案】（1）单调递减区间为和；单调递增区间为 （2），证明见解析 【解析】 【分析】（1）求出导函数，利用导数法求得的单调区间即可． （2）构造函数，利用多次求导的方法判断出的单调区间，从而判断出两者的大小关系． 【小问1详解】 的定义域为，，， 令得，令得且， 即区间和上，单调递减， 在区间上，单调递增， 所以的增区间为，减区间为，． 【小问2详解】 ，证明如下： 令，则定义域为，， 令，则， 则当时，；当时，； 所以在上单调递减，在上单调递增，所以， 则，所以在，上单调递增， 因为且，所以或， 所以恒成立，即，所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024学年第二学期高二数学强化练习（开学练习） 一、单选题（4*6=24） 1. 已知等差数列的前项和为，若，，则（ ） A. 4 B. 2 C. 0 D. 2. 若函数在处的导数等于，则的值为（ ） A 0 B. C. a D. 3. 已知平面，其中点，，则下列各点中不在平面内的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知双曲线的右焦点为，为坐标原点，过点的直线与双曲线的两条渐近线分别交于、两点，点为线段的中点，且，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 5. 已知数据，…，（，）的平均数、中位数、方差均为4，则这组数据的极差为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 6. 已知圆锥的底面与圆台的上底面重合，圆锥的顶点在圆台的下底面上，且圆锥与圆台的母线长相等，设圆台与圆锥的侧面积之比为，体积之比为，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题（6*2=12） 7. 如图是函数的导函数的图象，则以下说法正确的为（　　） A. 是函数的极值点 B. 函数在处取最小值 C. 函数在处切线的斜率小于零 D. 函数区间上单调递增 8. 下列说法命题正确的是（ ） A. 在空间直角坐标系中，已知点，，，则三点共线 B. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则 C. 已知，，则在上的投影向量为 D. 已知三棱锥，点为平面上的一点，且，则 三、填空题（6*3=18） 9. 已知数列满足，若对于任意都有，则实数a的取值范围是______. 10. 若曲线在处的切线同时与圆相切，则______． 11. 已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，过点的直线与抛物线交于，两点，若，则________． 四、解答题 12. 抛掷一红一绿两颗质地均匀六面体骰子，若用x表示红色骰子正面朝上的点数，用y表示绿色骰子正面朝上的点数，用表示一次试验的结果，设“两个点数之和等于8”，“至少有一颗骰子的点数为5”，“红色骰子上的点数大于4”． （1）判断事件A，B是否相互独立； （2）分别求事件和C的概率． 13. 已知等比数列的前项和为，且． （1）求； （2）若，求数列的前项和． 14. 已知函数，其中，为自然对数底数. （1）求单调区间； （2）设且，请判断与的大小，并证明. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$