精品解析：黑龙江省绥化市望奎县2024-2025学年九年级（五四制）上学期期末数学试卷

2024—2025学年度第一学期期末测试 初四数学试题 一、选择题（每小题3分，共36分） 1. 下列四个图中，中心对称图形有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．根据中心对称图形的概念和各图特点即可解答． 【详解】解：根据中心对称图形的概念，只有图形4是中心对称图形， 故选：A． 2. 将抛物线所在的坐标系向下平移个单位长度，再向左平移个单位长度，抛物线在新坐标系中的解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】坐标系向下平移个单位、向左平移个单位，等价于抛物线相对新坐标系向上平移个单位、向右平移个单位，再结合抛物线平移“左加右减，上加下减”的规律，求出新坐标系下抛物线的解析式． 【详解】解：原抛物线保持不动，坐标系发生平移： 坐标系向左平移个单位，相当于抛物线相对于新坐标系向右平移个单位， 坐标系向下平移个单位，相当于抛物线相对于新坐标系向上平移个单位， 向右平移个单位：把解析式中的替换为， 向上平移个单位：解析式整体加， 原抛物线为，代入平移规律： 验证：原抛物线的顶点为， 坐标系左移、下移后，顶点相对新坐标系右移、上移，新顶点坐标为， 新解析式，顶点为和推导结果一致． 3. 下列事件属于不可能事件的是（ ） A. 守株待兔 B. 水中捞月 C. 打草惊蛇 D. 水到渠成 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念，根据“必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件”，进行逐项判断即可． 【详解】解：A、守株待兔，是随机事件，故不符合题意； B．水中捞月，是不可能事件，故符合题意； C．打草惊蛇，是必然事件，故不符合题意； D．水到渠成，是必然事件，故不符合题意； 故选：B． 4. 若关于x的方程的一个根是，则另一个根是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，代入求值，解题的关键是掌握如果一元二次方程的两根为，，则+． 由题意得，，而，即可求解． 【详解】解：由题意得，，而， ∴， 故选：C． 5. 已知正多边形的中心角是30度，则这个正多边形的边数是（ ） A. 12 B. 10 C. 8 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是正多边形和圆的有关知识，掌握正多边形的中心角的计算公式是解题的关键．根据正多边形的中心角的计算公式计算即可，中心角等于（n为边数）． 【详解】解：由题意得，这个正多边形的边数是， 故选：A． 6. 用配方法解一元二次方程，配方正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的配方法，先移项，再在方程的左右同时加上一次项系数一半的平方，然后化为平方式，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 则， 故选：D． 7. 二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，判断出系数的符号，再利用数形结合的思想解答．根据二次函数的图象可以得到a、b的正负情况，从而可以得到一次函数的图象，本题得以解决． 【详解】解：由二次函数的图象可得，，， ∴∴一次函数的图象经过第二、三、四象限， 故选：C． 8. 如图所示，某宾馆大厅要铺圆环形的地毯，工人师傅只测量了与小圆相切的大圆的弦的长，就计算出了圆环的面积．若测量得的长为8米，则圆环的面积为（ ）平方米 A. B. C. 64 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧．也考查了切线的性质定理以及勾股定理． 过O作于C，连，根据垂径定理得到，再根据切线的性质得到为小圆的切线，于是有圆环的面积，即可圆环的面积． 【详解】过O作于C，连，如图， ∴，而， ∴， ∵与小圆相切， ∴为小圆的半径， ∴圆环的面积 （平方米）． 故选B． 9. 如图，在正方形ABCD中，△ABE经旋转，可与△CBF重合，AE的延长线交FC于点M，以下结论正确的是（　　） A. BE=CE B. FM=MC C. AM⊥FC D. BF⊥CF 【答案】C 【解析】 【详解】∵△ABE经旋转，可与△CBF重合，∴∠BAE=∠BCF，∠ABE=∠CBF. ∴∠BCF+∠BFC=90°.∴∠BFC+∠BAE=90°.∴∠FMA=90°.∴AM⊥FC. 故选C. 10. 某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，每盆植3株时，平均每株盈利4元．若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元，要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株？设每盆多植x株，则可以列出的方程是（　　） A. （3+x）（4﹣0.5x）＝15 B. （x+3）（4+0.5x）＝15 C. （x+4）（3﹣0.5x）＝15 D. （x+1）（4﹣0.5x）＝15 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知假设每盆花苗增加x株，则每盆花苗有(x+3)株，得出平均单株盈利为(4-0.5x)元，由题意得(x+3)(4-0.5x)=15即可． 【详解】解：设每盆应该多植x株，由题意得 (x+3)(4-0.5x)=15， 故选：A． 【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，根据每盆花苗株数×平均单株盈利=总盈利得出方程是解题关键． 11. 如图，是的直径，，点B、C在上，，的延长线交于点E．且．下列说法中错误的是（ ） A. B. 的长为 C. 平分 D. C为的中点 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，弧长的计算，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，掌握相关性质及公式是解题的关键． A、根据圆内接四边形的外角等于其内对角可得，根据等边对等角得出，等量代换即可得到； B、根据圆内接四边形的外角等于其内对角可得，根据等边对等角以及三角形内角和定理求出，再根据弧长公式计算得出劣弧的长； C、由，而，得出不平分． D、根据圆周角定理得出，即，根据等角对等边得出，根据等腰三角形三线合一的性质得出，再根据圆周角定理得到点为的中点； 【详解】解：A、四边形是的内接四边形， ， ， ， ，故A正确，不符合题意； B、四边形是的内接四边形， ， 而， ， 是的直径， ， ， ， 劣弧的长，故B正确，不符合题意； C、是的直径，， ， ， 由B选项知：， ， 不平分，故C错误，符合题意． D、是的直径， ，即， 由A选项证明知道， ， ， 点为的中点，故D正确，不符合题意； 故选： C． 12. 如图，在矩形中，，点M，N同时从点A出发，点M以每秒2个单位长度的速度沿A→B→C→D的方向运动，点N以每秒1个单位长度的速度沿A→D→C的方向运动，当M、N两点相遇时，它们同时停止运动．设M，N两点运动的时间为t秒，的面积为S（平方单位），则的面积S与运动时间t之间的函数图象大致是（ ） A. B. C. D. E. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的几何动点，一次函数，函数图象，正确掌握相关性质内容是解题的关键．读懂题意，则进行分类讨论，即当时，当时，当时，点M在线段上，分别根据面积公式列式化简，得，即可作答． 【详解】解：∵在矩形中，，且点M，N同时从点A出发，点M以每秒2个单位长度的速度沿A→B→C→D的方向运动，点N以每秒1个单位长度的速度沿A→D→C的方向运动， ∴（秒），（秒）， ∴当时，点M在线段上，点N在线段上， ∴， 此时它是开口向上的二次函数， 如图，当时，点M在线段上，点N在线段上， ∴ ． ∴；， 此时它是开口向下的二次函数， 依题意，（秒）， ∴点P、Q从出发到相遇所用的时间是4秒， ∴当时，点M在线段上，点N在线段上， ∴， ∴， 此时随着的增大而减小的一次函数， 综上，． 故选：D． 二、填空题（每小题3分，共30分） 13. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标，根据“两点关于原点对称，则两点的横、纵坐标都是互为相反数”解答． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是． 故答案为：． 14. 二次函数的顶点坐标是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据的顶点坐标进行作答即可． 【详解】解：依题意，抛物线的顶点坐标是， 故答案为：． 15. 把标号为1，2，2，2，3，3的六个同样的小球放入一个不透明的袋子中，随机摸取一个小球，摸出的小球标号为3的概率是_______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了概率公式，关键是掌握概率的计算方法．利用随机事件A的概率等于事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数进行计算即可． 【详解】解：由题意得，摸出的小球标号为3的概率是， 故答案为：． 16. 如图，切于A、B两点，，切于点E，交于点C、D，则的周长是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了切线长定理，解决本题的关键是掌握切线的性质． 根据切线长定理可得，，，据此即可作答． 【详解】解：∵、切于点A、B，切于点E， ∴，，， ∴的周长． 故答案为：． 17. 若关于x的二次函数的图象与x轴的交点坐标是和．当函数时，x的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根据抛物线与坐标轴的交点确定不等式的解集，掌握二次函数的性质是解题的关键．根据抛物线开口向下，图象与轴的两个交点的横坐标分别为和5，即可求解． 【详解】解：由题意得二次函数的图象与x轴的交点横坐标是和5， ∴当函数时，x的取值范围是， 故答案为：． 18. 设，是方程的两个实数根，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解和根与系数的关系，先根据一元二次方程的解得到，利用根与系数关系得到，则，再利用整体代入的方法计算即可．熟练掌握一元二次方程的解及根与系数的关系是解题的关键． 【详解】∵，是方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴ 故答案为：． 19. 如图，⊙O中，点C为弦的中点，连接，，点D是圆上异于点A、B的一个动点，则的度数是_______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查圆周角定理，等腰三角形的性质，添加辅助线，构造等腰三角形是解题的关键． 连接，可得，分两种情况讨论，结合圆周角定理即可求解． 【详解】解：连接， ∵，点C为弦的中点 ∴， ∴， 当点在优弧上时， ， 当点在劣弧上时， 故答案为：或． 20. 圆锥的母线长为，高为，则该圆锥侧面展开图的圆心角为_____． 【答案】##288度 【解析】 【分析】本题考查了圆锥侧面展开图圆心角的计算，先根据题意求出圆锥底面圆的半径，根据圆锥侧面展开图扇形的弧长等于底面圆的周长，列出方程即可求解，掌握圆锥侧面展开图扇形的弧长等于底面圆的周长是解题的关键． 【详解】解：由题意得，圆锥底面圆的半径， ∴， 解得， ∴该圆锥侧面展开图的圆心角为， 故答案为：． 21. 如图，点D是等边三角形的边上的中点，，动点M满足．连接，线段长的最大值是_______． 【答案】 【解析】 【分析】先连接，取的中点为，连接，根据斜边上的中线等于斜边的一半，得，运用勾股定理得，同理得，即，当三点共线时，则有最大值，且为，即可作答． 【详解】解：连接，取的中点为，连接，如图所示： ∵是等边三角形， ∴， ∵为的中点， ∴，， ∴， ∵动点M满足， ∴， ∵为的中点， ∴， 即， 当三点共线时，则有最大值，且为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形三边关系，斜边上的中线等于斜边的一半，等边三角形的性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 22. 如图，在平面直角坐标系中，有一个等腰直角三角形．．直角边在x轴上，且．将绕原点O顺时针旋转得到等腰直角三角形，且，再将，绕原点O顺时针旋转得到等腰直角三角形，且依此规律，得到等腰直角三角形，则点的坐标为_______ 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了点的坐标变化规律，得出点坐标变化规律是解题关键．根据题意得出点坐标变化规律，进而得出点的坐标位置，进而得出答案． 【详解】：是等腰直角三角形， 将绕原点顺时针旋转得到等腰直角三角形，且， 再将绕原点顺时针旋转得到等腰三角形，且， 依此规律， ∴每4次循环一周， ， ， ∴点与同在一个象限内， ∵， ∴点 故答案为（） 三、解答题（共54分） 23. 解方程： （1） （2） 【答案】（1）无解 （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程． （1）运用公式法进行解方程，即可作答． （2）运用因式分解法进行解方程，即可作答． 【小问1详解】 解：， ∴， ∴此方程无解； 【小问2详解】 解：∵， ∴ ∴ ∴或， ∴． 24. 如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点均在格点上． （1）画出关于x轴对称的，并写出点的坐标； （2）画出绕点O顺时针旋转后得到的，并直接写出旋转过程中扫过的面积．坐标为 ， ． 【答案】（1） 如图，即为所求， 点的坐标为 （2）如下图： ，， 【解析】 【分析】本题考查旋转变换、轴对称、扇形的面积等问题，根据图象确定三角形扫过的图形是解题关键． （1）根据轴对称要求画出图象，即可得点的坐标； （2）根据轴对称要求画出图象，即可得点的坐标，连结恰好经过，则旋转过程中扫过的面积． 【小问1详解】 点的坐标为； 【小问2详解】 解：旋转后与重合，与重合，连结，恰好分别经过点、点， 则点的坐标为，，， ∴． 25. 已知是关于x的一元二次方程的两个实数根． （1）求m的取值范围． （2）当时，求m的值． 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是熟练运用判别式判断根的情况和利用韦达定理建立等式． （1）根据一元二次方程根的判别式与根的关系，令判别式大于等于0，从而求出m的取值范围． （2）根据一元二次方程根与系数的关系，求解m的值，最后根据（1）中的取值范围确定m的值． 【小问1详解】 由题意可得：． 解得：； 【小问2详解】 由根与系数的关系可得：，则， 即， 解得：． 又因为由（1）知， 所以舍去， 故． 26. 小颖为学校联欢会设计了一个“配紫色”游戏：有两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成如图所示的几个相等的扇形．游戏者同时转动两个转盘，如果一个转盘转出了红色，另一转盘转出了蓝色，那么他就赢了，因为红色和蓝色在一起配成了紫色 （1）利用树状图或列表的方法表示游戏者所有可能出现的结果； （2）游戏者获胜的概率是多少． 【答案】（1） 列表如下： 蓝 红 红 蓝 （蓝，蓝） （蓝，红） （蓝，红） 红 （红，蓝） （红，红） （红，红） （2） 【解析】 【分析】本题考查用列表法或树状图法求概率，解题的关键是不重不漏地列出所有可能的结果，再根据概率公式计算。 （1）通过列表或画树状图的方法找出所有可能出现的结果， （2）找出游戏者获胜的情况数，即可求出所求的概率 【小问1详解】 略 【小问2详解】 所有等可能的情况有6种，游戏者获胜的有3种情况， 则P（获胜）=． 27. 中，的角平分线交于点O，以O为圆心，为半径作． （1）求证：直线是的切线； （2）若，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1） 证明：过O作于D，如图所示， ， 平分 ， 为的半径， 为的半径， ∴是的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）过O作于D，由角平分线的性质得，再由为的半径，则为的半径，即可得出结论； （2）利用进行求解，通过解直角三角形求出的边长，再求出，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴， 平分 ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵，， ∴ ∵， ∴ 【点睛】本题考查了圆的切线的判定，解直角三角形，角平分线的性质定理，角直角三角形的性质等知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 28. 如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点为直线上方抛物线上的动点，连接，直线与抛物线的对称轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）求直线的解析式； （3）求的面积最大值． 【答案】（1）抛物线的解析式为 （2） （3）的面积最大值为 【解析】 【分析】（1）把点，代入抛物线，利用待定系数法即可求解； （2）根据抛物线的解析式，令，可求出抛物线与轴的交点，根据待定系数法即可求解； （3）如图所示，过点作轴交于，设，则，用含的式子表示的面积，根据抛物线的顶点式即可求出最大值． 【小问1详解】 解：将，代入， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：令，则，解得，， ∴，且， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为． 【小问3详解】 解：如图所示，过点作轴交于， 设，则， ∴， ∴， ∴当时，的面积有最大值，最大值为， ∴的面积最大值为． 【点睛】本题主要考查二次函数，一次函数的综合，掌握待定系数法求解析式，函数图像的性质特点及面积的计算方法是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度第一学期期末测试 初四数学试题 一、选择题（每小题3分，共36分） 1. 下列四个图中，中心对称图形有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 将抛物线所在的坐标系向下平移个单位长度，再向左平移个单位长度，抛物线在新坐标系中的解析式是（ ） A. B. C. D. 3. 下列事件属于不可能事件的是（ ） A. 守株待兔 B. 水中捞月 C. 打草惊蛇 D. 水到渠成 4. 若关于x的方程的一个根是，则另一个根是（ ） A. B. C. D. 5. 已知正多边形的中心角是30度，则这个正多边形的边数是（ ） A. 12 B. 10 C. 8 D. 6 6. 用配方法解一元二次方程，配方正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 8. 如图所示，某宾馆大厅要铺圆环形的地毯，工人师傅只测量了与小圆相切的大圆的弦的长，就计算出了圆环的面积．若测量得的长为8米，则圆环的面积为（ ）平方米 A. B. C. 64 D. 16 9. 如图，在正方形ABCD中，△ABE经旋转，可与△CBF重合，AE的延长线交FC于点M，以下结论正确的是（　　） A. BE=CE B. FM=MC C. AM⊥FC D. BF⊥CF 10. 某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，每盆植3株时，平均每株盈利4元．若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元，要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株？设每盆多植x株，则可以列出的方程是（　　） A. （3+x）（4﹣0.5x）＝15 B. （x+3）（4+0.5x）＝15 C. （x+4）（3﹣0.5x）＝15 D. （x+1）（4﹣0.5x）＝15 11. 如图，是的直径，，点B、C在上，，的延长线交于点E．且．下列说法中错误的是（ ） A. B. 的长为 C. 平分 D. C为的中点 12. 如图，在矩形中，，点M，N同时从点A出发，点M以每秒2个单位长度的速度沿A→B→C→D的方向运动，点N以每秒1个单位长度的速度沿A→D→C的方向运动，当M、N两点相遇时，它们同时停止运动．设M，N两点运动的时间为t秒，的面积为S（平方单位），则的面积S与运动时间t之间的函数图象大致是（ ） A. B. C. D. E. 二、填空题（每小题3分，共30分） 13. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是___________． 14. 二次函数的顶点坐标是_______． 15. 把标号为1，2，2，2，3，3的六个同样的小球放入一个不透明的袋子中，随机摸取一个小球，摸出的小球标号为3的概率是_______． 16. 如图，切于A、B两点，，切于点E，交于点C、D，则的周长是_______． 17. 若关于x的二次函数的图象与x轴的交点坐标是和．当函数时，x的取值范围是_______． 18. 设，是方程的两个实数根，则的值为________． 19. 如图，⊙O中，点C为弦的中点，连接，，点D是圆上异于点A、B的一个动点，则的度数是_______． 20. 圆锥的母线长为，高为，则该圆锥侧面展开图的圆心角为_____． 21. 如图，点D是等边三角形的边上的中点，，动点M满足．连接，线段长的最大值是_______． 22. 如图，在平面直角坐标系中，有一个等腰直角三角形．．直角边在x轴上，且．将绕原点O顺时针旋转得到等腰直角三角形，且，再将，绕原点O顺时针旋转得到等腰直角三角形，且依此规律，得到等腰直角三角形，则点的坐标为_______ 三、解答题（共54分） 23. 解方程： （1） （2） 24. 如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点均在格点上． （1）画出关于x轴对称的，并写出点的坐标； （2）画出绕点O顺时针旋转后得到的，并直接写出旋转过程中扫过的面积．坐标为 ， ． 25. 已知是关于x的一元二次方程的两个实数根． （1）求m的取值范围． （2）当时，求m的值． 26. 小颖为学校联欢会设计了一个“配紫色”游戏：有两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成如图所示的几个相等的扇形．游戏者同时转动两个转盘，如果一个转盘转出了红色，另一转盘转出了蓝色，那么他就赢了，因为红色和蓝色在一起配成了紫色 （1）利用树状图或列表的方法表示游戏者所有可能出现的结果； （2）游戏者获胜的概率是多少． 27. 中，的角平分线交于点O，以O为圆心，为半径作． （1）求证：直线是的切线； （2）若，求图中阴影部分的面积． 28. 如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点为直线上方抛物线上的动点，连接，直线与抛物线的对称轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）求直线的解析式； （3）求的面积最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $