精品解析：重庆市石柱县第一初级中学2024-2025学年八年级下学期入学考试数学试题

石柱第一初级中学校2025年春2026届寒假学习成果检测数学试题 一、单选题 1. 下列图形中，为轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是轴对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 根据轴对称图形的概念判断即可． 【详解】解：A、图形不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、图形是轴对称图形，故此选项符合题意； C、图形不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D、图形不是轴对称图形，故此选项不符合题意； 故选：B． 2. 下列运算正确是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘法运算法则，幂的乘方运算法则，积的乘方运算法则，合并同类项法则计算即可． 【详解】解：A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、，故该选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法，合并同类项以及幂的乘方与积的乘方，熟练掌握相关的运算法则是解答本题的关键． 3. 如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】经过一个顶点作对边所在的直线的垂线段，叫做三角形的高，根据概念即可得出． 【详解】根据定义可得A选项是作BC边上的高，符合题意， B选项作的不是三角形ABC的高，不符合题意， C选项是作AB边上的高，不符合题意， D选项是作AC边上的高，不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查三角形高线的作法，熟练掌握定义是解题关键． 4. 下列命题中是假命题的是（ ） A. 负数都小于零 B. 三角形的三个内角的和等于 C. 如果两个角相等，那么这两个角是对顶角 D. 全等三角形的面积相等 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查判断命题的真假，解题的关键是掌握全等三角形的性质，三角形内角和定理，有理数比较大小等知识． 根据比较有理数大小的法则：正数大于零，零大于负数可判断A，根据三角形内角和定理判断B；根据对顶角定义即可判断C；根据全等三角形性质即可判断D． 【详解】解A、负数都小于零，正确，为真命题，故此选项不符合题意； B、三角形的三个内角的和等于，正确，为真命题，故此选项不符合题意； C、如果两个角相等，那么这两个角是对顶角，根据有公共的顶点，角的两边互为反向延长线的两个角是对顶角，故该命题错误，为假命题，故此选项符合题意； D、全等三角形的面积相等，正确，为真命题，故此选项不符合题意； 故选：C． 5. 下列从左到右的变形属于因式分解的是（　 ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，据此逐项分析判断即可求解． 【详解】解：选项A右边不是积的形式，选项A不属于因式分解； 选项B右边是积的形式，属于因式分解； 选项C右边不是积的形式，选项C不属于因式分解； 选项D是整式的乘法，不是因式分解． 故选B． 【点睛】本题考查了因式分解的定义，掌握因式分解的定义是解题的关键． 6. 已知，则的值是（ ） A 0 B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据幂的乘方，以及逆用幂的乘方进行计算即可． 【详解】 ， ， ， ． 故选A． 【点睛】本题考查幂的乘方和逆用幂的乘方运算．熟练掌握幂的乘方运算法则是解题的关键． 7. 已知，mn=12，则的值为（ ） A. -84 B. 84 C. D. 300 【答案】C 【解析】 【分析】根据，mn=12，利用完全平方公式变形求出，，再分情况求出答案. 【详解】∵，mn=12， ∴==， ∴，， 当m-n=1，m+n=7时，==mn（m+n）（m-n）=； 当m-n=1，m+n=-7时，==mn（m+n）（m-n）=12 （-7）1=-84； 当m-n=-1，m+n=7时，==mn（m+n）（m-n）=127 （-1）=-84； 当m-n=-1，m+n=-7时，==mn（m+n）（m-n）=12 （-7） （-1）=84； 故选：C. 【点睛】此题考查完全平方公式的变形计算，整式的因式分解，有理数的乘法计算法则，解题中运用分类讨论是思想解决问题. 8. 我市把提升城市园林绿化水平作为推进城市更新行动的有效抓手，从2023年开始通过拆违建绿、见缝插绿等方式在全域打造多个小而美的“口袋公园”．现需要购买A、B两种绿植，已知A种绿植单价是B种绿植单价的3倍，用6750元购买的A种绿植比用3000元购买的B种绿植少50株．设B种绿植单价是x元，则可列方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，设B种绿植单价是x元，则A种绿植单价是元，根据用6750元购买的A种绿植比用3000元购买的B种绿植少50株，列出方程即可． 【详解】解：设B种绿植单价是x元，则A种绿植单价是元，根据题意得： ， 故选：C． 9. 如图，在中，，，点D，E是边上的两个定点，点M，N分别是边，上的两个动点．当四边形的周长最小时，的大小是（ ）． A. 45° B. 90° C. 75° D. 135° 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查轴对称—最短路径的运用，掌握最短路径的计算方法，等腰三角形的性质，三角形的内角和、外角和的综合运用． 根据题意，分别作点的对称点，根据两点之间线段最短可确定点的位置为点，此时四边形的周长最小，根据对称的性质可得，，根据三角形的外角的性质可得，根据直角三角形中两锐角互余可得出，，运用等量待会即可求解． 【详解】解：如图所示，作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接交于点， ∴根据两点之间线段最短可得，的值最小， ∴四边形的周长最小值为：， ∵在中，，，即是等腰直角三角形， ∴， 在中， ∵， ∴， 根据对顶角的性质可得，，， 根据对称的性质可得，，，，， ∴，， 在，中， ∵，， ∴ ， ∴当四边形的周长最小时，的大小是， 故选：． 10. 若关于x的方程的两个解为，；关于x的方程的两个解为，；关于x的方程的两个解为，；…，则以下说法中： ①关于x的方程的两个解为，； ②关于x的方程的两个解为，； ③关于x的方程的两个解为，． 正确的有（　　）个． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程以及分式方程的解，观察已知方程的解的特征确定出所求方程的解即可． 【详解】解：①由题意得，关于x的方程的两个解为，正确； ②关于x的方程即为， 由题意得它的两个解为或， ∴，，正确； ③关于x的方程即为， ∴， ∴， ∴它的两个解为或， ∴，，正确； 所以正确的有①②③，共3个， 故选：D． 二、填空题 11. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查整式的混合运算，熟练掌握整式运算法则是解题的关键． 先计算乘方，再计算乘法，最后合并同类项即可． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 12. 如图，、、、是五边形的4个外角，若，则______． 【答案】299 【解析】 【分析】本题考查了多边形的外角和定理，理解定理是关键． 先求出与相邻的外角的度数，然后根据多边形的外角和定理即可求解． 【详解】解：∵与相邻的外角的度数是：， ∴． 故答案为：299． 13. 因式分解：=______． 【答案】3（x+3）（x﹣3） 【解析】 【详解】解：原式==3（x+3）（x﹣3）， 故答案为3（x+3）（x﹣3）． 14. 已知关于的二次三项式是一个完全平方式，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了完全平方式，解题的关键是知道常数项是一次项系数一半的平方． 符合形式的式子叫完全平方式，要明确，常数项是一次项系数一半的平方，进而求出即可． 【详解】解：∵关于y的二次三项式是完全平方式， ∴， ∴． 故答案为：． 15. 若，，则的值为______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查平方差公式，解题的关键是熟练运用平方差公式，本题属于基础题型． 根据平方差公式即可求出答案． 【详解】解：∵，， ∴ ． 故答案为：5． 16. 已知实数、在数轴上的位置如图所示，化简：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质，绝对值的性质以及数轴的知识，解题的关键是根据数轴判断出a，b的取值范围，进而确定绝对值内式子的正负性． 先根据数轴判断的正负，再根据二次根式的性质以及绝对值的性质去掉绝对值符号，最后进行化简计算． 【详解】由数轴可知． 因，所以． 因为，所以． 因为，所以． ， 故答案为． 17. 若关于的一元一次不等式组至少有2个整数解，且关于的分式方程的解是正整数，则所有满足条件的整数的值之和是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式组，先解不等式组，确定的取值范围，再把分式方程去分母转化为整式方程，解得，由分式方程有正整数解，确定出的值，相乘即可得到答案． 【详解】解：， 解不等式①得： 解不等式②得：， 则根据题意可知，不等式组的解集为：， 关于的一元一次不等式组至少有2个整数解， 则该不等式的整数解至少包含：，， ， 解得：， 分式方程去分母得：， 解得：， ∵， ∴， 是正整数，且， ∴或， 或， 满足条件的整数的和为， 故答案为：． 18. 对于各位数字都不为0的两位数和三位数，将中的任意一个数字作为一个新的两位数的十位数字，将中的任意一个数字作为该新的两位数的个位数字，按照这种方式产生的所有新的两位数的和记为．例如：． （1）填空：______， （2）若一个两位数，一个三位数（其中，，且，均为整数），交换三位数的百位数字和个位数字得到新数，当与的个位数字的2倍的和被12除余1时，称这样的两个数和为“荫蔽荫庇数对”，则所有“荫蔽荫庇数对”中的最小值为______． 【答案】 ①. 152 ②. 164 【解析】 【分析】（1）根据题意列式解答即可； （2）根据题意，得，，于是得到，表示与的个位数字的2倍的和为，结合与的个位数字的2倍的和被12除余1，能被12整除，分类讨论计算即可． 【详解】（1）解：根据定义，得， 故答案为：52． （2）根据题意，得， ， ∴百位数字为，个位数字为， ∴， ∴与的个位数字的2倍的和为： ， ∵与的个位数字的2倍的和被12除余1， ∴能被12整除， ∴ ， ∴，都是整数， ∵，，且，均为整数， ∴， ∵是整数， ∴或或， ∴或或， 当时，或， 当时，； 当时，； 当时，或， 当时，； 当时，； 当时，（舍去）或， 当时，； 综上所述，的最小值为164． 故答案为：164． 【点睛】本题考查了新定义计算，整数的数位表示法，余数与整除的关系，数的不同表示法，熟练掌握数的整除，表示，理解新定义是解题的关键． 三、解答题 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查整式混合运算，分式混合运算，熟练掌握整式、分式混合运算的法则是解题的关键． （1）先用完全平方公式、单项式乘以多项式法则计算，再合并同类项即可； （2）先计算括号，再计算除法，最后计算减法即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 20. 解方程： （1） （2） 【答案】（1） （2）无解 【解析】 【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解答本题的关键． （1）将分式方程去分母化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，再进行检验即可. （2）将分式方程去分母化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，再进行检验即可. 【小问1详解】 解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项、合并同类项得：， 解得：， 检验:当时，， ∴原分式方程的解为； 【小问2详解】 解：， 去分母得：, 去括号得：， 移项、合并同类项得：， 解得， 检验：当时，， ∴原分式方程无解． 21. 如图所示，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为、、． （1）在图中画出关于轴对称的图形； （2）若点与点关于一条直线成轴对称，请在图中画出这条对称轴； （3）在轴上找一点，使最小，则点的坐标为______． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查作图-轴对称变换、轴对称-最短路线问题，点的坐标，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （1）根据轴对称的性质，分别作点A、B、C关于关于轴的对称点、、，再连接、、即可． （2）根据轴对称的性质可知，点与点关于直线成轴对称，直接画图即可． （3）作点A关于x轴的对称点，连接交x轴于P，此时最小，则点P即为所求，再由图即可得出答案． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问2详解】 解：如图所示，直线l就是所求； 【小问3详解】 解：作点A关于x轴的对称点，连接交x轴于P，如图， ∵点A关于x轴的对称点， ∴ ∴ 根据两点之间线段最短，可得此时，最小，最小值等于， 由图可得点P的坐标为． 22. 如图，在中，，，点为边的中点，交的延长线于点，连接． （1）用直尺和圆规作的平分线交于点（不写作图过程，保留作图痕迹）； （2）完成以下证明： 证明：∵，， ∴ ① 与， ∵是的平分线，∴， ∵ ∴ ② ， ∴ ∴ ③ ∵点为的中点，∴ ④ ， 在和中， ∴ ∴ 【答案】（1）见解析 （2）①；②；③；④ 【解析】 【分析】本题考查了作图-复杂作图、全等三角形的判定与性质．熟悉基本几何图形与掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）利用基本作图作的平分线即可； （2）先根据等腰直角三角形的性质得到与，再根据角平分线的定义得到，接着利用得到，从而证明，即可得到． 【小问1详解】 如图，为所作． 【小问2详解】 ∵，， ∴与， ∵是的平分线，∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∵点为的中点，∴， 在和中，， ∴ ∴． 23. 洋葱是百合科，葱属多年生草本植物，味辛、甘，性温，归肺经，富含钾、维生素C、叶酸、锌、硒等纤维质等营养素，具有保护心脑血管、美容养颜的功效．由于临近初二中考，考生物实验，生物实验课上要求：制作并观察洋葱鳞片叶肉内表皮细胞临时装片，上周生物老师用18元购买了一部分洋葱，本周实验时发现洋葱不够用，由于天气原因，本周洋葱单价上涨了，生物老师花了30元，但只比上周多买了2斤洋葱． （1）求本周生物老师买的洋葱单价为每斤多少元？ （2）经调查发现，一个洋葱可供12名同学使用，两个洋葱正好1斤，本校参加生物实验的同学共1368人，如果本周洋葱价格不变，那么生物老师至少应再买多少斤洋葱才能供给本校参加生物实验的同学所用？ 【答案】（1）元/斤 （2）19斤 【解析】 【分析】本题考查了分式方程应用、一元一次不等式的应用，理解题意，正确列出分式方程与一元一次不等式是解此题的关键． （1）设上周生物老师购买洋葱的单价为x元/斤，则本周所买洋葱的单价为元/斤，根据“生物老师花了30元，但只比上周多买了2斤洋葱”列出分式方程，求解即可得出答案； （2）设生物老师还需再购买洋葱m斤，根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可得出答案． 【小问1详解】 解：设上周生物老师购买洋葱的单价为x元/斤，则本周所买洋葱的单价为元/斤，根据题意，得， 解得：， 经检验：是原方程的根且符合题意． ∴ 答：本周生物老师购买洋葱的单价为元/斤． 【小问2详解】 解：设生物老师还需再购买洋葱m斤，根据题意，得 ， 解得， 答：生物老师至少要再购买19斤洋葱． 24. 如图，是等边三角形，为边的中点，交的延长线于点，点在上，且，连接、． （1）求证： （2）求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三我内角和定理，证明是解题的关键． （1）证明，即可由全等三角形的性质得出结论； （2）证明是等边三角形，得，再求，即可由求解即可． 【小问1详解】 证明：∵是等边三角形， ∴， ∵为边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， 在与中， ， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：由（1）知： ∴， ∵ ∴ ∴是等边三角形， ∴， 又由（1）知：，， ∴， ∴． 25. 新定义：如果两个实数，使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数，组成的数对称为关于的分式方程的一个“关联数对”． 例如：，使得关于的分式方程的解是成立，所以数对就是关于的分式方程的一个“关联数对”． （1）判断下列数对是否为关于的分式方程的“关联数对”， ①（______）；②（______）．若是，请在括号内打“√”若不是，打“×”． （2）若数对是关于的分式方程的“关联数对”，求的值． （3）若数对（，且，）是关于的分式方程的“关联数对”，且关于的方程有整数解，求整数的值． 【答案】（1）①打√；②打“×” （2）4 （3）或 【解析】 【分析】（1）①根据题意，得分式方程的解为， 满足题意，打√；②根据题意，得分式方程的解为， 不满足题意，打“×”． （2）根据数对是关于的分式方程的“关联数对”，得到关于x的分式方程的解为，根据方程同解，建立等式解答即可． （3）根据数对（，且，）是关于的分式方程的“关联数对”，得的解为，继而得到，整理，得 ，得，根据关于的方程有整数解，整理，得，得到，得到，根据方程有整数解，分类解答即可． 【小问1详解】 ①解：根据题意，得分式方程的解为， 又， 故满足关于的分式方程的解是成立， 满足题意，故打√； 故答案为：√； ②根据题意，得分式方程的解为， 不满足题意，打“×”． 故答案为：“×”． 【小问2详解】 解：根据数对是关于的分式方程的“关联数对”， ∴关于x的分式方程的解为， ∵的解为， ∴， 解得， ∵， 故． 【小问3详解】 解：∵数对（，且，）是关于的分式方程的“关联数对”， ∴的解为， ∴， 整理，得， ∴， ∵关于的方程有整数解， 整理，得， ∴， ∴， ∵方程有整数解， ∴即时，此时； ∴即时，此时； ∴即时，此时； ∴即时，此时； ∵，且， ∴或． 【点睛】本题考查了新定义，分式方程的解，整数解的理解，整数解的计算，学生的理解能力以及知识的迁移能力等知识，理解“关联数对”的定义是解题的关键． 26. 已知为等边三角形，点是边所在直线上一点，连接． （1）如图1，若点在点的左边，将沿所在直线翻折至处，并使得于点，求的大小； （2）如图2，设点在点的左边，以为边在右边作，且，连接交于点，求证：； （3）如图3，若点在点右边，点，也在直线上，且满足，，点，分别在线段，上且满足，连接，．当取得最小值时，点是直线上的一个动点，连接，，．当取得最小值时，求的大小． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、折叠的性质等知识． （1）由等边三角形和折叠的性质即可得到答案； （2）过点作交于点，证明，得到，，证明，则，而，即可得到． （3）过点作，在上截取，证明，则，得到，的最小值，即点在上，点是与的交点，证明，则，即平分，得到点关于的对称点落在线段上，而要使取得最小值，点必是与的交点，点只能取点，则． 【小问1详解】 解：如图，∵等边的于点，将沿所在直线翻折至处，并使得于点， ∴平分， ∴，， ∴； 【小问2详解】 证明：如图，过点作交于点， 则，，， 在与中， ∵， ∴， 在中，， ∴，且，， ∴， ∴，， 在与中， ∵，，， ∴， ∴，而， ∴． 【小问3详解】 解：如图，过点作，在上截取， 得，连接，， 在与中， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 而的最小值，即点在上， 点是与的交点， 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 由得，， 即平分， ∴点关于的对称点落在线段上， 而要使取得最小值，点必是与的交点， ∴点只能取点， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 石柱第一初级中学校2025年春2026届寒假学习成果检测数学试题 一、单选题 1. 下列图形中，为轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列命题中是假命题的是（ ） A. 负数都小于零 B. 三角形三个内角的和等于 C. 如果两个角相等，那么这两个角是对顶角 D. 全等三角形的面积相等 5. 下列从左到右的变形属于因式分解的是（　 ） A. B. C. D. 6. 已知，则的值是（ ） A. 0 B. C. 1 D. 2 7. 已知，mn=12，则的值为（ ） A. -84 B. 84 C. D. 300 8. 我市把提升城市园林绿化水平作为推进城市更新行动的有效抓手，从2023年开始通过拆违建绿、见缝插绿等方式在全域打造多个小而美的“口袋公园”．现需要购买A、B两种绿植，已知A种绿植单价是B种绿植单价的3倍，用6750元购买的A种绿植比用3000元购买的B种绿植少50株．设B种绿植单价是x元，则可列方程是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，，点D，E是边上的两个定点，点M，N分别是边，上的两个动点．当四边形的周长最小时，的大小是（ ）． A. 45° B. 90° C. 75° D. 135° 10. 若关于x的方程的两个解为，；关于x的方程的两个解为，；关于x的方程的两个解为，；…，则以下说法中： ①关于x的方程的两个解为，； ②关于x的方程的两个解为，； ③关于x方程的两个解为，． 正确的有（　　）个． A 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题 11. 计算：______． 12. 如图，、、、是五边形的4个外角，若，则______． 13. 因式分解：=______． 14. 已知关于的二次三项式是一个完全平方式，则的值是______． 15. 若，，则的值为______． 16. 已知实数、在数轴上的位置如图所示，化简：______． 17. 若关于的一元一次不等式组至少有2个整数解，且关于的分式方程的解是正整数，则所有满足条件的整数的值之和是__________． 18. 对于各位数字都不为0的两位数和三位数，将中的任意一个数字作为一个新的两位数的十位数字，将中的任意一个数字作为该新的两位数的个位数字，按照这种方式产生的所有新的两位数的和记为．例如：． （1）填空：______， （2）若一个两位数，一个三位数（其中，，且，均为整数），交换三位数的百位数字和个位数字得到新数，当与的个位数字的2倍的和被12除余1时，称这样的两个数和为“荫蔽荫庇数对”，则所有“荫蔽荫庇数对”中的最小值为______． 三、解答题 19. 计算： （1）； （2）． 20 解方程： （1） （2） 21. 如图所示，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为、、． （1）在图中画出关于轴对称的图形； （2）若点与点关于一条直线成轴对称，请在图中画出这条对称轴； （3）在轴上找一点，使最小，则点的坐标为______． 22. 如图，在中，，，点为边的中点，交的延长线于点，连接． （1）用直尺和圆规作的平分线交于点（不写作图过程，保留作图痕迹）； （2）完成以下证明： 证明：∵，， ∴ ① 与， ∵是的平分线，∴， ∵ ∴ ② ， ∴ ∴ ③ ∵点为的中点，∴ ④ ， 在和中， ∴ ∴ 23. 洋葱是百合科，葱属多年生草本植物，味辛、甘，性温，归肺经，富含钾、维生素C、叶酸、锌、硒等纤维质等营养素，具有保护心脑血管、美容养颜的功效．由于临近初二中考，考生物实验，生物实验课上要求：制作并观察洋葱鳞片叶肉内表皮细胞临时装片，上周生物老师用18元购买了一部分洋葱，本周实验时发现洋葱不够用，由于天气原因，本周洋葱单价上涨了，生物老师花了30元，但只比上周多买了2斤洋葱． （1）求本周生物老师买的洋葱单价为每斤多少元？ （2）经调查发现，一个洋葱可供12名同学使用，两个洋葱正好1斤，本校参加生物实验的同学共1368人，如果本周洋葱价格不变，那么生物老师至少应再买多少斤洋葱才能供给本校参加生物实验的同学所用？ 24. 如图，是等边三角形，为边的中点，交的延长线于点，点在上，且，连接、． （1）求证： （2）求的度数． 25. 新定义：如果两个实数，使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数，组成的数对称为关于的分式方程的一个“关联数对”． 例如：，使得关于的分式方程的解是成立，所以数对就是关于的分式方程的一个“关联数对”． （1）判断下列数对是否为关于的分式方程的“关联数对”， ①（______）；②（______）．若，请在括号内打“√”若不是，打“×”． （2）若数对是关于的分式方程的“关联数对”，求的值． （3）若数对（，且，）是关于的分式方程的“关联数对”，且关于的方程有整数解，求整数的值． 26. 已知为等边三角形，点是边所在直线上一点，连接． （1）如图1，若点在点的左边，将沿所在直线翻折至处，并使得于点，求的大小； （2）如图2，设点在点的左边，以为边在右边作，且，连接交于点，求证：； （3）如图3，若点在点的右边，点，也在直线上，且满足，，点，分别在线段，上且满足，连接，．当取得最小值时，点是直线上的一个动点，连接，，．当取得最小值时，求的大小． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$