精品解析：湖南省岳阳市2025届高三上学期教学质量监测（一）数学试题

岳阳市2025届高三教学质量监测（一） 数学 本试卷共4页，19道题，满分150分，考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的学校､班级､考号和姓名填写在答题卡指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应的标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号. 3.非选择题必须用黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案：不准使用铅笔和涂改液. 4.考生必须保证答题卡的整洁.考试结束后，只交答题卡. 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出集合，根据集合的交集运算即可求解. 【详解】由，得，所以， 故选：D. 2. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】应用复数乘法求复数. 【详解】由 ． 故选：C 3. 若函数为奇函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可知，结合指数运算求解即可. 【详解】令，可得，即函数的定义域为， 若函数为奇函数，则， 可得， 所以. 故选：B. 4. 已知角顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，则它的终边过点若将角的终边绕坐标原点顺时针旋转得到角，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据终边上的点求函数值，再应用差角正弦公式求即可. 【详解】由题意， 则. 故选：C 5. 将一个底面半径为2，高为的圆锥形石材打磨成一个球，则该球表面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】球是圆锥的内切球，打打磨成的球的表面积最大，据此求解即可. 【详解】由题意可得圆锥的母线长为，所以圆锥的轴截面是等边三角形， 将圆锥形石材打磨成一个球，要使球的表面积的最大，则球的半径要最大， 此时球是圆锥的内切球，设等边三角形的内切球的半径为， 由等边三角形的性质可得，所以， 所以球的表面积为. 故选：A. 6. 甲乙两人参加一项户外挑战赛，该挑战赛设置了多道关卡，已知两人是否通过某道关卡是相互独立的，且两人中至少有一人通过当前关卡，才有资格同时进入下一关挑战，否则挑战结束.已知在第一关中甲乙两人通过的概率分别为，若两人有资格挑战第二关，则在第一关中，甲通过的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用对立事件及相互独立事件的概率公式求出两人有资格挑战第二关的概率，再利用条件概率公式计算得解. 【详解】在第一关中甲乙两人通过的事件分别为，两人有资格挑战第二关的事件为， 则，，， 所以若两人有资格挑战第二关，则在第一关中，甲通过的概率. 故选：D 7. 已知椭圆分别为椭圆的左右焦点，离心率为，点为直线上的一点.当的外接圆周长取最小值时，该圆的半径为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】先由几何关系确定当外接圆的半径为时，周长取最小值，再由离心率及焦点坐标得出，即可得出半径. 【详解】 设的外接圆的圆心为，则在的垂直平分线上 又在上，在轴上 ，即当的外接圆的半径为时，周长取最小值， 由题意可知，，即，所以该圆的半径为4. 故选：C. 8. 已知函数，其导函数为，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，先转化问题为在上恒成立，进而结合导数分析函数的单调性得到对恒成立，进而得到对恒成立，即，，再构造函数，，进而结合导数求解即可. 【详解】因为，所以， 因为当时，不等式恒成立， 即当时，不等式恒成立， 所以当时，不等式恒成立， 即当时，不等式恒成立， 即当时，不等式恒成立， 即当时，不等式恒成立， 设，，则， 所以函数在上单调递增， 所以在上恒成立， 可以转化为在上恒成立， 即对恒成立， 即对恒成立，即，. 设，，则， 令，即；令，即， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 又，，又，，显然， 所以，所以， 所以，即实数a的取值范围为. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是观察原不等式的特点，将问题转化为在上恒成立，再结合导数进行求解即可. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的有（ ） A. 的展开式中，的系数是 B. 的展开式中，各二项式系数和为 C. 从名男生，名女生中选名学生参加志愿者服务，表示参加志愿服务的男生人数，则 D. 有个不同的正因数 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据二项式定理求指定项系数、二项式系数和判断A、B；根据随机变量取值及其对应概率求期望判断C；由即可判断D. 【详解】由展开式的通项公式为， 令时，展开式中的系数为，A错误； 由的展开式中，可得各二项式系数和为，B正确； 由题意，从名男生和名女生中任选名参加活动，共有种不同选法， 的取值为、、，，，， 所以，C正确； 因为，所以有个不同的正因数，D正确． 故选：BCD 10. 如图，直线与函数的部分图象交于三点（点在轴上），若，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象 D. 当时， 【答案】AD 【解析】 【分析】对A，根据过判断即可；对B，由相邻可得，，再根据求解；对C，由的函数解析式与平移变化分析即可；对D，根据正弦函数的值域判断即可. 详解】对A，由过可得，即，由图结合可得，故A正确； 对B，由可得，即或， 由相邻可得，， 故，又，则，可得，故B错误； 对C，由AB可得，将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，故C错误； 对D，当时，，故， 则，故D正确. 故选：AD 11. 已知是双曲线：的左右焦点，过点的直线与双曲线的左右两支分别交于两点，和的内切圆半径分别为.设点为的内心，的面积为，的面积为，的面积为，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. 双曲线的离心率 C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】设内切圆与的三边分别切与点，则由双曲线定义、内切圆性质可得，再由得可判断A；设，，利用求出可判断B；利用等面积得，设，由余弦定理得，再由又等面积法得可判断C；由可判断D. 【详解】对于A，如图所示，设内切圆与的三边分别切与点， 则由双曲线定义可得，又由内切圆性质可得：， 又，则，，所以， 又，即， 则，故A错误； 对于B，设，， 所以为等腰三角形，则点为的中点， 则，， 所以，即得，所以双曲线离心率为，故B正确； 对于C，由B可知：，， 则.因为内切圆半径为， 所以， 由等面积法可知，， 整理得，即， 设，，，又由可知为等腰三角形， 则，所以， 由余弦定理可得：， 整理得：，即，即，， 又等面积法可得：， 即，即， 则，故C正确； 对于D，所以，故D正确， 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：在C选项中解题的关键点是利用等面积得、 进行解答. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量.若，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】用向量平行的坐标表示计算即可； 【详解】，， 因为，所以，即. 故答案为：. 13. 已知数列满足，则__________. 【答案】； 【解析】 【分析】由题意可得，可得，两式相减可求通项公式. 【详解】由，可得， 所以， 两式相减得， 所以， 当时，，所以，适合上式， 所以. 故答案为：. 14. 已知函数，若函数与的图象有且仅有三个交点，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据分段函数自变量不同取值范围上的函数解析式，分别构造函数，由函数与方程的关系，等价转化为函数求零点与一元二次方程求解问题，可得答案. 【详解】当时，则，令， 求导可得，令，解得，可得下表： 单调递增 极大值 单调递减 由函数的极大值为，则存在唯一零点， 所以函数与函数在上有且仅有一个交点； 当时，，令， 求导可得，显然上， 则函数在上单调递减， 当时，，当时，， 由，则函数在上存在唯一零点， 所以函数与函数在上有且仅有一个交点； 由题意可得函数与函数在上有且仅有一个交点， 当时，，令， 令，整理可得， 当方程有两个相等的实数解时，，解得， 此时，符合题意， 当方程在有一个实数根时，可得，解得， 综上可得. 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知分别为的内角的对边，且，点为边的中点，若，且. （1）求； （2）求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理结合，辅助角公式得到，从而求出； （2）根据和余弦定理得，结合，得到，根据求出，由三角形面积公式求出答案. 【小问1详解】 ，利用正弦定理可得 ， 又， 故， 即， 因为，所以，故， 由辅助角公式得， 又，故， 即，所以； 【小问2详解】 ，故， 由余弦定理得， 由为中点，化简得， ，故， 又，所以， 又，故， 将代入上式得，即， 解得，负值舍去， 则的面积为 16. 已知抛物线的焦点为，点在直线上，是抛物线上两个不同的点. （1）求抛物线的方程； （2）设直线的斜率为，若，证明：直线过定点，并求定点坐标. 【答案】（1） （2）证明见解析， 【解析】 【分析】（1）根据抛物线焦点坐标求解即可； （2）法一：设所在直线方程为，联立，根据韦达定理代入求解即可； 法二：先讨论当直线的斜率不存在时，直线过点，再分析当直线的斜率存在时，设所在直线方程为 ，联立，再根据求解即可. 【小问1详解】 焦点在轴上，为， 直线与轴的交点坐标为， 则，即 所以抛物线为 【小问2详解】 法一：由题意可知所在直线斜率不为0， 设所在直线方程为，联立，化简可得： ， 则， 又 则，满足（*）式 即直线恒过点 法二：当直线的斜率不存在时，设， 所以，所以，所以直线的方程为； 当直线的斜率存在时，设所在直线方程为 ，联立，化简可得：， 由题意可知即（*）； 由韦达定理知， 所以， 所以，满足（*）式； 所以所在直线方程为 综上，直线恒过点 17. 如图，在四棱锥中，平面底面，底面为平行四边形，为边的中点，. （1）求证：； （2）已知二面角的平面角等于，则在线段上是否存在点，使得到平面的距离为，若存在，指出点的位置；若不存在，说明理由. 【答案】（1）证明见解析 （2）存在，为中点 【解析】 【分析】（1）由余弦定理可求得，进而可得，由面面垂直的性质可得平面，可证. （2）法一，取的中点，可证底面，设在线段上存在点，使得到平面的距离为，且，利用等体积法求解即可.法二，取的中点，可证两两垂直，以为坐标原点，以所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，设，求得平面的法向量，平面的一个法向量，利用向量法可求，设，利用点到面的距离可求，可得结论. 【小问1详解】 因为，为边的中点，所以， 又在中，， 由余弦定理可得，即，则， 又为平行四边形，所以，则， 又平面底面，平面底面， 所以平面，又平面， 所以. 【小问2详解】 法一：取的中点，又， 所以， 又平面底面， 所以底面， 所以， 而， 所以即为二面角的平面角，， 又为直角三角形，， 所以， 设在线段上存在点，使得到平面的距离为，且， 为直角三角形，， ， 又， 解得，即为中点. 法二：取的中点，又， 所以， 又平面底面， 所以底面， 又，所以， 所以两两垂直. 如图，以为坐标原点，以所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系： ， 设，则， 设平面的法向量为， 则， 取，则， 又平面的一个法向量为， 则，得，即. 则平面的一个法向量为， 设，则， 则， 解得， 即为中点. 18. 已知函数. （1）讨论函数的单调性； （2）令，当时，求的极值点个数； （3）令，当有且仅有两个零点时，求的取值范围. 【答案】（1）答案见解析 （2）两个极值点. （3）或 【解析】 【分析】（1）求导，利用一次型含参讨论求得单调性； （2）求导，求的极值点个数即为求的变号零点个数； （3）求导，整理得，易知，为一个零点， 分和分类讨论. 【小问1详解】 的定义域为， 当时，在上单调递增 当时，由，得， 由，得， 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 ， 令 当时，时单调递减， 时，单调递增，， 又时，， 所以分别在和上存在唯一的变号零点， 即有两个极值点. 【小问3详解】 ， 又为一个零点， ①若，则在定义域内单调递增，又，所以只有一个零点. ②若，令 又，则，即单调递增， i.当时，即，当时，单调递减； 当时，单调递增，的最小值为，函数只有一个零点. ii.当时，即，当时，， 所以存在唯一，使得，所以当时，单调递减， 当时，单调递增. 又时，，所以有两个零点. iii.当时，即，当时，， 所以存在唯一，使得，所以当时，单调递减， 当时，单调递增， 又时，，所以有两个零点. 所以，有且仅有两个零点时，或. 【点睛】思路点睛：研究函数的零点问题，可以通过转换、求导研究函数的单调性、最值，借助零点存在定理求解. 19. “外观数列”设各位上的数字均不为是指以下特点的整数序列：它以正整数开始，逐项地描述前一项的外观，将描述结果作为下一项．比如外观数列为： 第一项： 第二项：描述第一项为个 第三项：描述第二项为个个 第四项：描述第三项为个个个 第五项：描述第四项个个个． （1）求“外观数列”的第三项和第五项； （2）若从“外观数列”中随机选取一个数列，求该数列第二项小于第一项的概率； （3）证明：当是六位数时，“外观数列”从首项开始最多连续项单调递减． 【答案】（1）第三项为第五项为 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据外观数列的定义，逐步分析前一项数字的组成并进行描述得到下一项. （2）需要先找出所有可能的数列的第一项和第二项的情况，再根据概率的定义计算. （3）证明当m是六位数时，“m - 外观数列”从首项开始最多连续4项单调递减，需要根据外观数列的定义和六位数的特征进行分析推理. 【小问1详解】 根据“外观数列”的定义得到，第三项为第五项为； 小问2详解】 为一位数时，第项为两位数，不符合； 为两位数时，即为时，第二项为当大于时第二项小于第一项，此时有个符合.当由两种不同的数字构成时，第二项为四位数，不符合； 为三位数时，即为时，第二项为第二项小于第一项，此时有个符合.当由两种或三种数字构成时，第二项为四位数或六位数，不符合． 综上，总共有个数列符合，在所有数列中含的数有个，故总数为个，故第二项小于第一项的概率为． 【小问3详解】 证明：定义一个数列中连续相同若干个数字为一个数字串，数列中第项为． 若只有一个数字串，即则.若则为位数若则两种都不存在连续项单调递减． 若只有两个数字串，即则 若则至少三个数字串至少是位数不存在连续项单调递减 若此时同理或否则 若则当时 当时两种都不存在连续项单调递减 若则 若则不符合题意 若则此时存在连续项单调递减 若只有三个数字串，即 若则至少四个数字串不存在连续项单调递减； 当时，同理或或； 若则同理或又时矛盾， 若与矛盾.若则 同理或又时矛盾，若则不存在连续项单调递减.同理可得和不存在连续项单调递减． 若有四个以上数字串，则不存在连续项单调递减所以当是六位数时，“外观数列”从首项开始最多连续项单调递减． 【点睛】方法点睛：新定义问题的求解过程可以模型化，一般解题步骤如下： 第一步：提取信息 — 对新定义进行信息提取，明确新定义的名称和符号， 第二步：加工信息 — 细细品味新定义的概念、法则，对所提取的信息进行加工，探求解决方法，有时可以用学过的或熟悉的相近知识进行类比，明确它们的共同点和不同点 第三步：迁移转化 — 如果是新定义的运算法则，直接按照运算法则计算即可，如果是新定义的性质，一般需要理解和转化性质的含义，得到性质的等价条件（如等量关系、图形的位置关系等） 第四步：计算，得结论 — 结合题意进行严密的逻辑推理、计算，得结论 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 岳阳市2025届高三教学质量监测（一） 数学 本试卷共4页，19道题，满分150分，考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的学校､班级､考号和姓名填写在答题卡指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应的标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号. 3.非选择题必须用黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案：不准使用铅笔和涂改液. 4.考生必须保证答题卡的整洁.考试结束后，只交答题卡. 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，则（ ） A. B. C. D. 3. 若函数为奇函数，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知角顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，则它的终边过点若将角的终边绕坐标原点顺时针旋转得到角，则（ ） A. B. C. D. 5. 将一个底面半径为2，高为的圆锥形石材打磨成一个球，则该球表面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 6. 甲乙两人参加一项户外挑战赛，该挑战赛设置了多道关卡，已知两人是否通过某道关卡是相互独立的，且两人中至少有一人通过当前关卡，才有资格同时进入下一关挑战，否则挑战结束.已知在第一关中甲乙两人通过的概率分别为，若两人有资格挑战第二关，则在第一关中，甲通过的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知椭圆分别为椭圆的左右焦点，离心率为，点为直线上的一点.当的外接圆周长取最小值时，该圆的半径为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 8. 已知函数，其导函数为，当时，不等式恒成立，则实数取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的有（ ） A. 的展开式中，的系数是 B. 的展开式中，各二项式系数和为 C. 从名男生，名女生中选名学生参加志愿者服务，表示参加志愿服务的男生人数，则 D. 有个不同的正因数 10. 如图，直线与函数的部分图象交于三点（点在轴上），若，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 将函数图象向左平移个单位，得到函数的图象 D. 当时， 11. 已知是双曲线：的左右焦点，过点的直线与双曲线的左右两支分别交于两点，和的内切圆半径分别为.设点为的内心，的面积为，的面积为，的面积为，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. 双曲线的离心率 C. D. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量.若，则__________. 13. 已知数列满足，则__________. 14. 已知函数，若函数与的图象有且仅有三个交点，则实数的取值范围是__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知分别为的内角的对边，且，点为边的中点，若，且. （1）求； （2）求面积. 16. 已知抛物线的焦点为，点在直线上，是抛物线上两个不同的点. （1）求抛物线的方程； （2）设直线斜率为，若，证明：直线过定点，并求定点坐标. 17. 如图，在四棱锥中，平面底面，底面为平行四边形，为边的中点，. （1）求证：； （2）已知二面角的平面角等于，则在线段上是否存在点，使得到平面的距离为，若存在，指出点的位置；若不存在，说明理由. 18. 已知函数. （1）讨论函数单调性； （2）令，当时，求的极值点个数； （3）令，当有且仅有两个零点时，求的取值范围. 19. “外观数列”设各位上的数字均不为是指以下特点的整数序列：它以正整数开始，逐项地描述前一项的外观，将描述结果作为下一项．比如外观数列为： 第一项： 第二项：描述第一项为个 第三项：描述第二项为个个 第四项：描述第三项为个个个 第五项：描述第四项个个个． （1）求“外观数列”的第三项和第五项； （2）若从“外观数列”中随机选取一个数列，求该数列第二项小于第一项的概率； （3）证明：当是六位数时，“外观数列”从首项开始最多连续项单调递减． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$