精品解析：江苏省南通市如皋市2025届高三第一次适应性考试（1.5模）数学试题

2025南通（如皋）1.5模 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，若，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由对数函数的单调性可得集合，再由集合间的包含关系可得. 【详解】， 因为，所以， 所以，即实数的取值范围为. 故选：C 2. 若抛物线的准线为直线，则截圆所得的弦长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出准线的方程，进而可求出圆心到直线的距离，结合勾股定理可求得结果. 【详解】抛物线的准线方程为， 圆的圆心为原点，半径为，圆心到直线的距离为， 所以，截圆所得的弦长为， 故选：A. 3. 在公差不为的等差数列中，若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】依题意可得，再由乘“1”法及基本不等式计算可得. 【详解】，，，显然， ， 当且仅当，即，时取等号. 故选：D． 4. 若非零向量，满足，且向量在向量上的投影向量是，则向量与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】运用投影向量的公式，结合数量积运算即可. 【详解】在上投影向量， ，， 则， 由于，， 故选：B． 5. 在复平面内，复数（i为虚数单位）与点对应，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的几何意义得到方程组，然后相加，结合同角三角函数关系式和两角差的余弦公式计算即可. 【详解】， ，，， 故选：C． 6. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件，利用多项式的运算及组合，得，即可求解. 【详解】由题知， 故选：D． 7. 已知一几何体上半部分为圆台，下半部分为圆锥，其中圆锥底面的半径为，高为．圆台的两底面的半径分别为和，高为．该几何体内接于表面积为的球，则圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】组合体的存在外接球，作出图形，由图形去列出关系式，从而求出半径和高，然后求体积． 【详解】外接球半径，则． ， 设外接球球心，在即 在即 则， ， 故选：D． 8. 已知椭圆，称点和直线是椭圆的一对极点和极线，每一对极点与极线是一一对应关系当在椭圆外时，其极线是椭圆从点所引两条切线的切点所确定的直线（即切点弦所在直线）结合阅读材料回答下面的问题：已知是直线上的一个动点，过点向椭圆引两条切线，切点分别为，直线恒过定点，当时，直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据极点极线的定义，写出极点坐标和极线方程，再利用切点弦和弦中点斜率乘积为定值，得直线的方程. 【详解】设,则的直线方程为，， 整理得, 由解得，，定点 ，则为中点， ，即． 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某市对高三年级学生进行体育测试，其中甲班的成绩与乙班的成绩均服从正态分布，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据条件，利用正态分布的性质，对各个选项逐一分析判断，即可求解. 【详解】因为，所以，， 所以选项A正确，选项B错误， 对于选项C，因为，所以选项C正确 对于选项D，易知，所以选项D错， 故选：AC． 10. 把函数的图象向左平移个单位长度，得到的函数图象关于原点对称，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于直线对称 C. 在上单调递增 D. 若在区间上存在极大值点和极小值点，则实数的取值范围为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用辅助角公式化简函数，由已知求出即得解析式，再利用正弦函数的图象性质逐项判断. 【详解】， 由关于原点对称，得，， 而，则，， 对于A，的最小正周期，A正确； 对于BC，由，得，直线是的图象一条对称轴，B正确，C错误； 对于D，由，得，而在上有极大值点又有极小值点， 则，解得，D正确 故选：ABD 11. 已知正项等比数列的公比为，前项的积为，当且仅当时，取得最大值，则下列说法正确的是（ ） A. B. 数列为等比数列 C. 使数列的前项的积取最大值时，最大正整数的值为198 D. 若数列的前项的积大于1成立最大正整数的值为396，则的最大正整数的值为198 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据等比数列结合前n项的积分别判断A，B，再根据通项与1的大小关系计算前n项的积的最大值判断C，D. 【详解】正项等比数列，当且仅当时，取最大值， 则且时，时，， 是等比数列，A，B正确； 的前197项都大于1，第198项开始可能小于1，第199项后一定小于1 前197项积最大，C错误； 的前项积 成立的最大正整数为396，即， 即，，时，时， 的最大正整数为198，D正确； 故选：ABD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 一组从小到大排列的数据：，若删去前后它们的百分位数相同，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据百分位数计算规则得到第百分位数，从而得到方程，解得即可. 【详解】原来有10个数据，，原来第百分位数为， 删去后有9个数据，，则第百分位数， 依题意可得，解得． 故答案为： 13. 从公比不为1的正项等比数列的前8项中任取三项，则这3项能构成等比数列的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据等比数列的性质，可知任取3项能构成等比数列共有12种取法，根据计数原理，前8项中任取三项，共有种取法，结合古典概型可得答案. 【详解】从公比不为1的正项等比数列的前8项中任取三项，共有种取法， 其中能构成等比数列的有，，，，，，，，，，，，共12种取法， 假设任取三项并能构成等比数列为事件A，所以． 故答案为：. 14. 已知是定义域为的偶函数，的导函数满足，则______． 【答案】3 【解析】 【分析】先根据是偶函数得出的一个等式关系，再对其求导得到的一个等式关系，然后结合推出的周期，最后根据周期求出的值. 【详解】因为是定义域为的偶函数，所以，即. 两边求导，可得：，可得. 因为，所以的图象关于直线对称，则. 用代替可得. 将代入中，可得 ①. 用代替可得 ②. 由②-①可得：. 所以是周期为的周期函数. 所以. 在中，令，可得. 又因为的图象关于直线对称，所以. 在中，令，可得，解得， 所以，即. 故答案为：3. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 近年来，盲盒经济在消费市场中掀起了一阵热潮，成为一种普遍的经济现象．商家通过不断变换花样吸引消费者．某商店推出一款售价为1元/个且外观相同的盲盒，每开一个盲盒，会开出3款不同颜色（分别记为红色、黄色、蓝色）的某一商品，开出红色、黄色、蓝色商品的概率分别为． （1）若某顾客一次性购买了3个盲盒，求该顾客恰好开出两个红色商品的概率； （2）若某顾客只想要红色商品，与老板协商一致，每次开一个盲盒，如果开出红色商品则停止，否则再开一个盲盒，若连续4次均未开出红色商品，老板就赠送一个红色商品给他为了得到红色商品，求该顾客的平均花费． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由二项分布求解概率； （2）记该顾客打开盲盒的次数为，的所有可能取值为，求出分布列，找出均值，即可求出平均消费. 【小问1详解】 记“该顾客恰好开出两个红色商品”为事件， ． 【小问2详解】 为了得到红色商品，记该顾客打开盲盒的次数为，的所有可能取值为． ， ， 的分布列如下： 1 2 3 4 则该顾客的平均花费为元． 16. 在四棱锥中，底面是等腰梯形，，面底面． （1）证明：； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）平面底面， 平面平面， 平面平面 又因为平面. （2） 【解析】 【分析】（1）利用面面垂直的性质可得平面再利用线面垂直的性质可得结论. （2）以为原点，以分别为轴，建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量以及平面的一个法向量，利用空间向量夹角公式求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为底面是等腰梯形，， ， ， ， 由 （1）平面 以为原点，以分别为轴，建立如图所示的坐标系． ， 设平面的一个法向量， ， 令可得， 而平面的一个法向量， 设平面与平面的夹角为 ． 17. 已知的三边所对的角分别为． （1）求证：； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1）由正弦定理得 ， ． （2） 【解析】 【分析】（1）可以采用正弦定理边角互化，再用余弦定理得到，最后结合和角公式和同角三角函数关系式计算即可； （2）由（1），直接将用和表示，转变成关于的函数，借助函数单调性求范围即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， ，令， 由于在上单调递增， 则原函数也是在上单调递增. ，即的取值范围为． 18. 若函数与函数的图象在公共点处有相同的切线． （1）当时，求函数与在公共点处的切线方程； （2）求的最小值； （3）求证：当时，． 【答案】（1） （2）1 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）设为与的一个公共点，再根据斜率相等和切点在函数图像上列出等式，即可求得结果. （2）设为与的一个公共点，再根据斜率相等和切点在函数图像上列出等式，得到，再构造函数利用函数的单调性与最大值即可求得结果. （3）证：时，，即证：对恒成立，再通过构造函数利用函数的单调性即可证明. 【小问1详解】 当时，，设为与的一个公共点 ，，切点 与在公共点处的切线方程为． 【小问2详解】 设为与的一个公共点， ，由，代入①， ， 令 当时，在区间单调递增； 当时，在单调递减，当时，，， 当且仅当时取“”，． 【小问3详解】 由（2）知， 证：时，， 即证：对恒成立 令， 当时，在上单调递减；当时，在单调递增, 当时，，故函数在时取最小值， ，证毕！ 19. 双曲线，射线和射线分别与交于点和点． （1）求双曲线的离心率； （2）作射线（异于与分别交于点，记的面积为． ①求证：； ②若，且，记，证明：． 【答案】（1） （2）①证明：由题意将与双曲线联立，，化简得， ， ，同理将与双曲线联立，，同理可得， ， ，同理， ， ，．从而可证． ②由（1）可知，当时，且， 直线方程为：，且， 则到的距离， ， 令，则， 令，解得， 当时，单调递增； 当时，单调递增， ， ，又因为时，， ．从而可证． AI 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，再利用，从而可求解； （2）①中将直线与双曲线方程分别联立求出，，从而求出，同理求出，从而可证；②中由（1）可得当时，且，则可得直线方程为：，再由到到的距离，从而求出，令，再利用导数求出，从而得，又因为而时，，从而可证. 【小问1详解】 双曲线， 双曲线的离心率. 【小问2详解】 略 【点睛】方法点睛：第二问的第一小问可分别将两条射线，和双曲线联立，进而求出和的坐标，从而算出和的斜率，直接代入斜率公式，可以得到是一个关于，的式子，其值为定值，故也有．最后一小问受（2）第一小问的启发可分别写出，的坐标，并写出直线的方程，算出的长和点到直线的距离，进而表示出的面积，并视为主元，构造一个函数，求出的最小值，进而得到的最大值，接着就是对进行放缩处理了，向右裂项放缩即可得出结果，本题比较综合涵盖三角形面积的转化求解，主元法和构造函数求最值以及数列中裂项放缩求和等经典元素，实属一道不可多得的好题，值得一做． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025南通（如皋）1.5模 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，若，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 2. 若抛物线的准线为直线，则截圆所得的弦长为（ ） A. B. C. D. 3. 在公差不为的等差数列中，若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 4. 若非零向量，满足，且向量在向量上的投影向量是，则向量与的夹角为（ ） A. B. C. D. 5. 在复平面内，复数（i为虚数单位）与点对应，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知一几何体上半部分为圆台，下半部分为圆锥，其中圆锥底面的半径为，高为．圆台的两底面的半径分别为和，高为．该几何体内接于表面积为的球，则圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知椭圆，称点和直线是椭圆的一对极点和极线，每一对极点与极线是一一对应关系当在椭圆外时，其极线是椭圆从点所引两条切线的切点所确定的直线（即切点弦所在直线）结合阅读材料回答下面的问题：已知是直线上的一个动点，过点向椭圆引两条切线，切点分别为，直线恒过定点，当时，直线的方程为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某市对高三年级学生进行体育测试，其中甲班的成绩与乙班的成绩均服从正态分布，且，则（ ） A. B. C. D. 10. 把函数的图象向左平移个单位长度，得到的函数图象关于原点对称，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于直线对称 C. 在上单调递增 D. 若在区间上存在极大值点和极小值点，则实数的取值范围为 11. 已知正项等比数列的公比为，前项的积为，当且仅当时，取得最大值，则下列说法正确的是（ ） A. B. 数列为等比数列 C. 使数列的前项的积取最大值时，最大正整数的值为198 D. 若数列的前项的积大于1成立最大正整数的值为396，则的最大正整数的值为198 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 一组从小到大排列的数据：，若删去前后它们的百分位数相同，则______． 13. 从公比不为1的正项等比数列的前8项中任取三项，则这3项能构成等比数列的概率为______． 14. 已知是定义域为的偶函数，的导函数满足，则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 近年来，盲盒经济在消费市场中掀起了一阵热潮，成为一种普遍的经济现象．商家通过不断变换花样吸引消费者．某商店推出一款售价为1元/个且外观相同的盲盒，每开一个盲盒，会开出3款不同颜色（分别记为红色、黄色、蓝色）的某一商品，开出红色、黄色、蓝色商品的概率分别为． （1）若某顾客一次性购买了3个盲盒，求该顾客恰好开出两个红色商品的概率； （2）若某顾客只想要红色商品，与老板协商一致，每次开一个盲盒，如果开出红色商品则停止，否则再开一个盲盒，若连续4次均未开出红色商品，老板就赠送一个红色商品给他为了得到红色商品，求该顾客的平均花费． 16. 在四棱锥中，底面是等腰梯形，，面底面． （1）证明：； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 17. 已知的三边所对的角分别为． （1）求证：； （2）若，求的取值范围． 18. 若函数与函数的图象在公共点处有相同的切线． （1）当时，求函数与在公共点处的切线方程； （2）求的最小值； （3）求证：当时，． 19. 双曲线，射线和射线分别与交于点和点． （1）求双曲线的离心率； （2）作射线（异于与分别交于点，记的面积为． ①求证：； ②若，且，记，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $