精品解析：安徽省亳州市涡阳县蔚华中学2024-2025学年高二下学期开学考试数学试题

2025年02月开学考 一、单选题（共40分） 1. 如图，在空间直角坐标系中，正方形与矩形所在平面互相垂直(与原点重合)，在上，且平面，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 2. 设直线l的斜率为k，且，直线l的倾斜角α的取值范围为（　　） A. B. C. D. 3. 过原点和直线与的交点的直线的方程为（ ） A. B. C. D. 4. 过三点圆的一般方程为（ ） A. B. C D. 5. 已知直线与椭圆相交于两点，且线段的中点在直线上，则此椭圆的离心率为（ ） A B. C. D. 6. 已知焦点在轴上的椭圆离心率为，则实数等于（ ） A. B. C. D. 7. 过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点,如果,那么等于 A. 10 B. 8 C. 6 D. 4 8. 抛物线的焦点为F，其准线与双曲线的渐近线相交于A，B两点，若的周长为，则（ ） A. 2 B. C. 8 D. 4 二、多选题（共18分） 9. （多选）若，，，，下面结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图所示，正方体中，分别在上，且，则正确的选项为（ ） A. 至多与之一垂直 B. C. 与相交 D. 与平行 11. 直线过点，且与以，为端点线段有公共点，则直线斜率可能是 A. B. C. 1 D. 三、填空题（共15分） 12. 已知直线过点，且直线的倾斜角为直线的倾斜角的2倍，则直线的点斜式方程为________． 13. 在直线x－y＋4＝0上取一点P，使它到点M(－2，－4)，N(4,6)的距离相等，则点P的坐标为________. 14. 在平面直角坐标系中，若双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为，则其离心率的值是________． 四、解答题（共77分） 15. 求适合下列条件的直线方程： （1）经过点，并且其倾斜角等于直线的倾斜角的2倍的直线方程. （2）求经过点并且和两个坐标轴围成的三角形的面积是1的直线方程. 16. 已知直线方程为． （1）证明：直线恒过定点； （2）为何值时，点到直线的距离最大，最大值为多少？ （3）若直线分别与轴，轴的负半轴交于、两点，求面积的最小值及此时直线的方程． 17. 已知实数x、y满足方程， （1）求的最大值和最小值； （2）求的最大值和最小值； （3）求最大值和最小值. 18. 在三棱柱中，⊥底面，，，为线段上一点． （1）若，求与所成角的余弦值； （2）若，求与平面所成角的大小； 19. 已知双曲线与椭圆有相同的焦点. 求双曲线的方程； 以为中点作双曲线的一条弦，求弦所在直线的方程. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年02月开学考 一、单选题（共40分） 1. 如图，在空间直角坐标系中，正方形与矩形所在平面互相垂直(与原点重合)，在上，且平面，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，交于点，连接，利用线面平行的性质定理得，从而得是的中点，即可求解点的坐标. 【详解】设，交于点，连接， 因为正方形与矩形所在的平面互相垂直， 点在上，且平面，又平面平面，平面， 所以，又，所以是平行四边形， 故，所以是的中点， 因为，所以，所以. 故选：C 2. 设直线l的斜率为k，且，直线l的倾斜角α的取值范围为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线斜率及倾斜角范围，结合倾斜角与斜率关系求直线l的倾斜角α的范围. 【详解】由，即，而， 所以. 故选：D 3. 过原点和直线与的交点的直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出两直线的交点，从而可得所求的直线方程. 【详解】由可得， 故过原点和交点的直线为即， 故选：C. 4. 过三点的圆的一般方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设出圆的一般方程，代入点坐标，计算得到答案. 【详解】设圆的方程为，将A，B，C三点的坐标代入方程， 整理可得，解得， 故所求的圆的一般方程为， 故选：D． 5. 已知直线与椭圆相交于两点，且线段的中点在直线上，则此椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 联立，得到线段的中点为，设与的交点分别为，，，，利用点差法能求出椭圆的离心率． 详解】联立，得，， 直线与的交点为，线段的中点为， 设与的交点分别为，，，， 则，， 分别把，，，代入椭圆，得： ，两式相减得：， ，，． 故选：C 【点睛】本题考查椭圆的离心率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意点差法的合理运用． 6. 已知焦点在轴上的椭圆离心率为，则实数等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，由椭圆的标准方程分析可得，，则，进而由椭圆的离心率公式，解得的值. 【详解】由题意，得，，则， 所以椭圆的离心率，解得m=8. 故选：B. 7. 过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点,如果,那么等于 A. 10 B. 8 C. 6 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，即，． 【详解】由题意知，抛物线的焦点为，， 则， 故选：A． 8. 抛物线的焦点为F，其准线与双曲线的渐近线相交于A，B两点，若的周长为，则（ ） A. 2 B. C. 8 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】设A在x轴上方，根据双曲线和抛物线的定义表示出，，列出方程，解之即可. 【详解】双曲线的渐近线方程为， 抛物线的准线方程为， 设A在x轴上方，则，， ∴，． 又∵的周长为， ∴， ∴． 故选：A. 二、多选题（共18分） 9. （多选）若，，，，下面结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】通过点的坐标得到相应直线的斜率，通过直线斜率判断直线的位置关系即可. 【详解】，，且C不在直线AB上，∴，故A正确； 又∵，∴，∴，故B正确； ∵，， ∴，，∴，故C正确； 又∵，，∴ ∴，故D错误． 故选:ABC． 10. 如图所示，正方体中，分别在上，且，则正确的选项为（ ） A. 至多与之一垂直 B. C. 与相交 D. 与平行 【答案】BD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法判断两直线的位置关系. 【详解】如图，以为坐标原点，分别以所在直线为轴､轴､轴建立空间直角坐标系． 设正方体的棱长为3，则； ， ， ，B正确，A错误； 由，故D正确，C错误． 故选：BD. 11. 直线过点，且与以，为端点的线段有公共点，则直线斜率可能是 A. B. C. 1 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】分别计算直线过点A，B的斜率，数形结合，即得解 【详解】 当直线过点B时，设直线的倾斜角为，则 当直线过点A时，设直线的倾斜角为，则 故要使直线过点，且与以，为端点的线段有公共点，则直线的斜率的取值范围为：或 故选：ACD 【点睛】本题考查了过定点的直线与线段相交的直线的取值范围问题，考查了学生转化划归，数形结合，数学运算能力，属于中档题 三、填空题（共15分） 12. 已知直线过点，且直线的倾斜角为直线的倾斜角的2倍，则直线的点斜式方程为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，设直线的倾斜角为，则，设直线的倾斜角为，斜率为，则，由二倍角的正切公式即可求出，最后根据直线的点斜式方程即可求得答案. 【详解】解：由直线，得斜率为， 设直线的倾斜角为，则， 设直线的倾斜角为，斜率为， 则， 又直线过点，所以直线的点斜式方程为． 故答案为：． 【点睛】本题考查直线点斜式方程的求法，涉及直线的倾斜角和斜率的关系，以及二倍角的正切公式的应用，属于基础题. 13. 在直线x－y＋4＝0上取一点P，使它到点M(－2，－4)，N(4,6)的距离相等，则点P的坐标为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据点在直线上，可设的坐标为，利用两点间的距离公式列方程，求出、的值即可． 【详解】设直线上一点，则到点，的距离相等， ∴， 解得，∴， ∴点的坐标为，故答案为. 【点睛】本题考查了直线方程以及两点间的距离应用问题，设出点坐标得到方程组是解题的关键，是基础题． 14. 在平面直角坐标系中，若双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为，则其离心率的值是________． 【答案】2 【解析】 【详解】分析：先确定双曲线的焦点到渐近线的距离，再根据条件求离心率. 详解：因为双曲线的焦点到渐近线即的距离为所以，因此 点睛：双曲线的焦点到渐近线的距离为b，焦点在渐近线上的射影到坐标原点的距离为a. 四、解答题（共77分） 15. 求适合下列条件的直线方程： （1）经过点，并且其倾斜角等于直线的倾斜角的2倍的直线方程. （2）求经过点并且和两个坐标轴围成的三角形的面积是1的直线方程. 【答案】（1）；（2）或. 【解析】 【分析】 （1）求出直线的倾斜角,可得所求直线的倾斜角从而可求出斜率，再利用点斜式可求得方程. （2）设直线方程为，将点代入，再结合面积为，即可解得、的值，从而求出直线的方程. 【详解】（1）因为直线的斜率为， 所以其倾斜角为， 所以，所求直线的倾斜角为，故所求直线的斜率为， 又所求直线经过点，所以其方程为， 即， （2）设直线方程为，则，解得或， 故所求的直线方程为：或. 【点睛】本题主要考查了求直线的方程，涉及了点斜式和截距式，属于中档题. 16. 已知直线方程为． （1）证明：直线恒过定点； （2）为何值时，点到直线的距离最大，最大值为多少？ （3）若直线分别与轴，轴的负半轴交于、两点，求面积的最小值及此时直线的方程． 【答案】（1）证明见解析 （2）， （3）4； 【解析】 【分析】（1）利用直线是直线系求出直线恒过定点，即可； （2）点到直线的距离最大，转化为两点间的距离，求出距离就是最大值． （3）若直线分别与轴，轴的负半轴交于、两点，设出直线的方程，求出，，然后求出面积，利用基本不等式求出的最小值及此时直线的方程． 【小问1详解】 直线方程为， 可化为， 对任意都成立，所以，解得， 所以直线恒过定点. 【小问2详解】 如图所示： 点到直线的距离最大， 可知点与定点连线的距离就是所求最大值， 即,此时， 所以斜率为：， 可得，解得． 【小问3详解】 如图所示： 若直线分别与轴，轴的负半轴交于、两点，直线方程为，， 则，， 所以， 当且仅当时，等号成立， 所以面积的最小值为4，此时直线的方程为． 17. 已知实数x、y满足方程， （1）求的最大值和最小值； （2）求的最大值和最小值； （3）求的最大值和最小值. 【答案】（1）， （2）， （3）， 【解析】 【分析】整理方程可知，方程表示以点为圆心，以为半径的圆，设，进而根据圆心到的距离为半径时直线与圆相切，斜率取得最大、最小值. 设，仅当直线与圆相切时，纵轴截距b取最大或最小值，进而利用点到直线的距离求得的最大值和最小值，进而可得的最大值和最小值； 是圆上点与原点距离之平方，故连接OC，与圆交于B点，并延长交圆于，进而可知的最大值和最小值分别为和的平方，答案可得. 【小问1详解】 方程表示以点C为圆心，以为半径的圆, 设，即，由圆心到的距离为半径时直线与圆相切，斜率取得最大、最小值. 由，解得, 所以，. 【小问2详解】 设，则，仅当直线与圆切于第四象限时，纵轴截距b取最小值，切于第一象限时，纵截距最大， 由点到直线的距离公式，得，即， 故，， 所以，. 【小问3详解】 是圆上点与原点距离之平方， 故连接OC，与圆交于B点，并延长交圆于， 可知B到原点的距离最近，点到原点的距离最大， 此时有，， 则 ， 18. 在三棱柱中，⊥底面，，，为线段上一点． （1）若，求与所成角的余弦值； （2）若，求与平面所成角的大小； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出与所成角的余弦值； （2）设，由，得，从而，求出平面的法向量，由此能求出与平面所成角的大小． 【小问1详解】 三棱柱中，⊥底面， ，，为线段上一点， 以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 设，则， ∵，∴， ∴，， 设与所成角为， 则与所成角的余弦值为：， 【小问2详解】 设，由， 得： 得， 解得：， ∴， 设与平面所成角为， ∵平面的法向量为， ∴， ∴与平面所成角的大小为． 19. 已知双曲线与椭圆有相同的焦点. 求双曲线的方程； 以为中点作双曲线的一条弦，求弦所在直线的方程. 【答案】 【解析】 【分析】 根据椭圆的方程和题意，得到双曲线的焦点坐标，求出，再由等轴双曲线的性质，以及，即可求出结果； 先讨论所在直线斜率不存在时，根据题意，可直接排除；再讨论所在直线斜率存在时，联立直线与双曲线方程，根据韦达定理，以及中点坐标公式，即可求出结果. 【详解】由已知椭圆 得双曲线的焦点为，即， 由等轴双曲线的性质及， 则 所求双曲线的方程为 当所在直线斜率不存在时，由对称性可知，中点不可为， 故此时不满足题意; 当所在直线斜率存在时，设所在直线的方程为， 联立方程组得 ① 点在所在的直线上，即 ②. 联立①②两式，解得， 经检验，直线方程即为所求. 【点睛】本题主要考查求双曲线的标准方程，以及双曲线的中点弦所在直线方程，熟记椭圆与双曲线的简单性质即可，属于常考题型. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$