精品解析：黑龙江省哈尔滨市香坊区2024-2025学年上学期七年级期末考试数学试卷

香坊区2024～2025学年度上学期教育质量综合评价 学业发展水平监测 数学学科（七年级） 考生须知： 1．本试卷满分为120分，考试时间为120分钟． 2．答题前，考生先将自己的“姓名”、“考场”、“座位号”在答题卡上填写清楚． 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效：在草稿纸上、试题纸上答题无效． 4．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫来黑色字迹签字笔书写，字体工整、字迹清楚． 5．保证卡面整洁，不要折叠、不要弄脏、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀． 第Ⅰ卷 选择题（共27分） 一、选择题（共9小题，每题3分，共27分） 1. 在，，，四个数中，属于无理数的是（ ） A. B. C. 1 D. 2. 下面四个图形中，∠1与∠2是对顶角的是（　　） A. B. C. D. 3. 一个数的算术平方根是3，则这个数是（ ） A. B. 9 C. D. 4. 下面运用等式性质进行的变形，不一定正确的是( ) A. 如果，那么 B. 如果，那么 C. 如果，那么 D. 如果，那么 5. 如图，直线，直线和直线分别经过三角板的一个锐角顶点和直角顶点，已知，则的度数为( ) A. B. C. D. 6. 《九章算术》中有这样一道题：今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三，问人数、羊价几何？这道题的意思是：今有若干人共买一头羊，若每人出5钱，则还差45钱；若每人出7钱，则仍然差3钱．求买羊的人数和这头羊的价格．设买羊的人数为x人，根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，用黑白两种颜色的正方形纸片按黑色纸片张数逐渐增加1的规律拼成下列图案，第5个图案中白色纸片的张数是（ ） A. 14 B. 15 C. 16 D. 17 8. 进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统，约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制．在二进制中，只有0、1两个数字，部分十进制数和二进制数转化如下表： 十进制 二进制 则表中的值为( ) A. 110 B. 100 C. 101 D. 1110 9. 下列命题错误的是（ ） A. 两条直线被第三条直线所截，内错角相等 B. 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 C. 有理数和无理数统称为实数 D. 实数与数轴上的点一一对应 第Ⅱ卷 非选择题（共93分） 二、填空题（共9小题，每题3分，共27分 10. 的立方根是__________． 11. 的相反数是_______． 12. 已知关于的方程的解是，则的值为______． 13. 如图，点P到一条笔直的公路共有四条路径，若要用相同速度从点P走到公路，最快到达的路径是选择沿线段去公路，这一选择用到的数学知识是______ 14. 的比的2倍小7，则可列方程为________． 15. 共享单车为市民绿色出行提供了方便．图①是某品牌共享单车的实物平面图，图②是其部分结构示意图，其中，，，则的度数为______． 16. 举反例说明命题“若，则”是假命题时，可举反例是：___________(写出一个即可) 17. 对于任意有理数a、b，定义新运算：，则______． 18. 直线与直线相交于点，，射线，则的度数为_____． 三、解答题（19、20每题8分，21、23每题7分，22题6分，24、25、26每题10分，共66分） 19. 计算： （1）； （2）． 20. 解方程： （1） （2） 21. 先化简再求值：，其中、都是1的平方根，且． 22. 如图，网格中每个小正方形的边长都为，三角形的顶点都在格点上（每个小正方形的顶点叫格点）． （1）平移三角形，使点平移到点（点平移到点，点平移到点），画出平移后的三角形； （2）连接，，请直接写出三角形的面积是______． 23. 请补全下面证明过程及括号内的相应依据． 如图，点在上，点在上，连接、、，交于点，交于点，如果，，求证：． 证明：∵(已知)，(_____)， ∴( )， ∴(同位角相等，两直线平行)， ∴______(_____)， ∵(______) ∴______(_____)， ∴(两直线平行，内错角相等)， ∴(等量代换)． 24. 【阅读理解】若，规定符号表示a，b两个数中较大的一个．规定符号表示a，b两个数中较小的一个． 例如，． 尝试应用】（1）_______；________． 【拓展探究】（2）若，求x的值． 【拓广探索】（3）．求代数式的值． 25. 综合与实践 【问题情境】哈尔滨马家沟步道是一条集休闲、健身于一体的美丽绿道，它沿着马家沟河精心打造，为市民和游客提供了亲近自然、享受城市绿意的绝佳场所．马家沟步道全长千米，它经道外区、南岗区、香坊区、平房区四个主城区，串联起多个城市景点和休闲区域．这条步道不仅是一条徒步和骑行的绝佳路线，更是一条展示哈尔滨城市风貌和生态环境的绿色长廊．周末，甲、乙两人相约去马家沟步道骑车．如图，甲从朝阳新路入口（记为地）进入自行车道，向任家桥方向骑行，甲出发分钟后乙从任家桥入口（记为地）进入自行车道，向朝阳新路方向骑行．如果，两地间骑行步道长为千米，甲的平均速度是千米小时，乙的平均速度是千米小时．设甲骑行的时间为小时． 【数学思考】（1）分别用含的代数式表示：甲出发后骑行的路程为______千米，乙出发后骑行的路程为________千米． 【问题解决】（2）当甲、乙两人相遇时，求的值； （3）两人相遇后，甲继续以原速度向地骑行，乙休息分钟后掉头按原速度返回地．在乙返回途中，当甲在乙前方千米时，求此时的值． 26. 【问题情境】在数学课上，老师组织班上的同学开展了探究两角之间数量关系的数学活动． 已知直线，点E、G分别为直线、上的点，点F是与之间任意一点，连按、．直线，直线l分别交、于M、N两点． 【探索发现】（1）如图1，求证：； 深入探究】（2）如图2，求证：； 【拓广探索】（3）如图3，平分，平分，过点F作的垂线交于点H，连接，，，求的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 香坊区2024～2025学年度上学期教育质量综合评价 学业发展水平监测 数学学科（七年级） 考生须知： 1．本试卷满分为120分，考试时间为120分钟． 2．答题前，考生先将自己的“姓名”、“考场”、“座位号”在答题卡上填写清楚． 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效：在草稿纸上、试题纸上答题无效． 4．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫来黑色字迹签字笔书写，字体工整、字迹清楚． 5．保证卡面整洁，不要折叠、不要弄脏、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀． 第Ⅰ卷 选择题（共27分） 一、选择题（共9小题，每题3分，共27分） 1. 在，，，四个数中，属于无理数的是（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查无理数识别，算术平方根，按照无理数的定义逐个来判定即可． 【详解】解：，，，是有理数；是无理数 故选：D． 2. 下面四个图形中，∠1与∠2是对顶角的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】一个角的两边是另一个角的两边的反向延长线，据此判断，A不是；B不是；C是的；D不是． 【详解】A、∠1与∠2不是对顶角，故此选项不符合题意； B、∠1与∠2不是对顶角，故此选项不符合题意； C、∠1与∠2是对顶角，故此选项符合题意； D、∠1与∠2不是对顶角，故此选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了对顶角，解决此题的关键是熟练运用对顶角的定义判断. 3. 一个数的算术平方根是3，则这个数是（ ） A. B. 9 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据算术平方根可直接进行求解． 【详解】解：由一个数的算术平方根是3，可得：， ∴这个数是9； 故选B． 【点睛】本题主要考查算术平方根，熟练掌握算术平方根是解题的关键． 4. 下面运用等式性质进行的变形，不一定正确的是( ) A. 如果，那么 B. 如果，那么 C. 如果，那么 D. 如果，那么 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查等式的性质，根据等式的基本性质可判断出选项正确与否；等式的基本性质：①等式两边同时加上(或减去)同一个整式，等式仍然成立；②等式两边同时乘或除以同一个不为0的整式，等式仍然成立． 【详解】解：A．如果，两边同乘得，则A不符合题意； B．如果，两边同时减去得，则B不符合题意； C．如果，当时有，则C符合题意； D．如果，两边同乘得，则D不符合题意； 故选：C． 5. 如图，直线，直线和直线分别经过三角板的一个锐角顶点和直角顶点，已知，则的度数为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，先利用平行线的性质可得，然后利用角的和差关系进行计算即可解答． 【详解】解：如图： ， ， ， ， 故选：A． 6. 《九章算术》中有这样一道题：今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三，问人数、羊价几何？这道题的意思是：今有若干人共买一头羊，若每人出5钱，则还差45钱；若每人出7钱，则仍然差3钱．求买羊的人数和这头羊的价格．设买羊的人数为x人，根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，解题的关键是根据题意，找出等量关系，列出方程求解． 设买羊的人数为x人，根据羊的价格不变，列出方程即可． 【详解】解：设买羊的人数为x人， 根据题意，可列方程为， 故选：D． 7. 如图，用黑白两种颜色的正方形纸片按黑色纸片张数逐渐增加1的规律拼成下列图案，第5个图案中白色纸片的张数是（ ） A. 14 B. 15 C. 16 D. 17 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查图形规律，理解图示中排序和图形数量关系是解题的关键．根据所给图形，依次求出图形中白色纸片的张数，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由所给图形可知， 第个图案中白色纸片的张数为：， 第个图案中白色纸片张数为：， 第个图案中白色纸片的张数为：， 第个图案中白色纸片的张数为：， 第个图案中白色纸片的张数为：， 故选：C． 8. 进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统，约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制．在二进制中，只有0、1两个数字，部分十进制数和二进制数转化如下表： 十进制 二进制 则表中的值为( ) A. 110 B. 100 C. 101 D. 1110 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查有理数的混合运算，根据题意列式计算即可． 【详解】解：， 则， 故选：C． 9. 下列命题错误的是（ ） A. 两条直线被第三条直线所截，内错角相等 B. 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 C. 有理数和无理数统称实数 D. 实数与数轴上的点一一对应 【答案】A 【解析】 【分析】本题分别考查了真假命题的判断；平行线的性质与判定、平行公理及对顶角的性质，实数与数轴．根据平行线的性质，平行公理及推论、实数与数轴，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：A. 两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等，原命题是假命题，故该选项符合题意； B. 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，是真命题，故该选项不符合题意； C. 有理数和无理数统称为实数，是真命题，故该选项不符合题意； D. 实数与数轴上的点一一对应，是真命题，故该选项不符合题意； 故选：A． 第Ⅱ卷 非选择题（共93分） 二、填空题（共9小题，每题3分，共27分 10. 的立方根是__________． 【答案】-2 【解析】 【分析】根据立方根的定义进行求解即可得． 【详解】解：∵（﹣2）3=﹣8， ∴﹣8的立方根是﹣2， 故答案﹣2． 【点睛】本题考查了立方根的定义，熟练掌握立方根的定义是解题的关键． 11. 的相反数是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相反数．根据只有符号不同的两个数叫做互为相反数计算即可． 【详解】解：的相反数是， 故答案为：． 12. 已知关于的方程的解是，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解，把代入关于的方程得关于的方程，解方程即可． 【详解】解：把代入关于的方程得： ， ， ， 故答案为：． 13. 如图，点P到一条笔直的公路共有四条路径，若要用相同速度从点P走到公路，最快到达的路径是选择沿线段去公路，这一选择用到的数学知识是______ 【答案】垂线段最短 【解析】 【分析】根据垂线段最短求解即可． 【详解】解：∵， ∴根据垂线段最短得出最快到达的路径是选择沿线段去公路， 故答案为：垂线段最短． 【点睛】本题考查垂线段最短，熟知直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短是解答的关键． 14. 的比的2倍小7，则可列方程为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查列一元一次方程，根据题意列出方程即可． 【详解】解：根据题意得出：， 故答案为：． 15. 共享单车为市民的绿色出行提供了方便．图①是某品牌共享单车的实物平面图，图②是其部分结构示意图，其中，，，则的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了平行线的性质，根据平行线的性质得出，，根据角的和差，求解即可． 【详解】解：过点作， ， ， ，， ，， ，， ， 故答案为：． 16. 举反例说明命题“若，则”是假命题时，可举的反例是：___________(写出一个即可) 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查命题与定理，解题关键是学会举例说明是假命题，答案不唯一，只要满足的数即可，如． 【详解】解：时，， ∴“若，则”是假命题． 故答案为：（答案不唯一）． 17. 对于任意有理数a、b，定义新运算：，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查新定义运算，有理数的混合运算、根据，可以计算出所求式子的值． 【详解】解： ， 故答案为：． 18. 直线与直线相交于点，，射线，则的度数为_____． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了垂线，首先根据题意作出图形，根据条件求得的度数，根据对顶角相等得，然后根据垂直的定义得，再分两种情况讨论即可得出答案． 【详解】解：如图， ，， ， ， 又， ， ； 当点在的延长线上时，， 的度数为或． 故答案为：或． 三、解答题（19、20每题8分，21、23每题7分，22题6分，24、25、26每题10分，共66分） 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算； （1）根据实数的运算进行计算即可求解； （2）根据立方根，算术平方根，有理数的乘方进行计算即可求解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 解方程： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程步骤是解题的关键； （1）按照去括号，移项，合并同类项，化系数的步骤进行求解即可； （2）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，化系数的步骤进行求解即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 21. 先化简再求值：，其中、都是1的平方根，且． 【答案】； 【解析】 【分析】此题考查了整式的加减与化简求值，平方根的定义；原式去括号合并得到最简结果，把x与y的值代入计算即可求出值． 【详解】解： 原式 都是1的平方根，且 ， 原式 ． 22. 如图，网格中每个小正方形的边长都为，三角形的顶点都在格点上（每个小正方形的顶点叫格点）． （1）平移三角形，使点平移到点（点平移到点，点平移到点），画出平移后的三角形； （2）连接，，请直接写出三角形的面积是______． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查作图-平移变换，三角形面积； （1）由题意得，三角形向左平移个单位长度，向上平移个单位长度得到三角形，结合平移的性质作图即可． （2）利用三角形的面积公式计算即可． 【小问1详解】 解：由题意得，三角形向左平移个单位长度，向上平移个单位长度得到三角形． 如图，三角形即为所求． 【小问2详解】 三角形的面积是 故答案为：． 23. 请补全下面的证明过程及括号内的相应依据． 如图，点在上，点在上，连接、、，交于点，交于点，如果，，求证：． 证明：∵(已知)，(_____)， ∴( )， ∴(同位角相等，两直线平行)， ∴______(_____)， ∵(______) ∴______(_____)， ∴(两直线平行，内错角相等)， ∴(等量代换)． 【答案】对顶角相等，等量代换，，两直线平行，同位角相等，已知，，内错角相等，两直线平行 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定和性质的应用，根据题意，依照平行线的判定和性质，填写上相应的条件和结论，即可． 【详解】证明：已知，对顶角相等， 等量代换， 同位角相等两直线平行， 两直线平行，同位角相等， 已知， 内错角相等，两直线平行， 两直线平行，内错角相等， 等量代换． 故答案为：对顶角相等，等量代换，，两直线平行，同位角相等，已知，，内错角相等，两直线平行． 24. 【阅读理解】若，规定符号表示a，b两个数中较大的一个．规定符号表示a，b两个数中较小的一个． 例如，． 【尝试应用】（1）_______；________． 【拓展探究】（2）若，求x的值． 【拓广探索】（3）．求代数式的值． 【答案】（1）2；；（2）；（3）8 【解析】 【分析】（1）根据题干提供的信息进行解答即可； （2）根据题意列出关于x的方程，解方程即可； （3）根据，得出，求出，代入求出结果即可． 【详解】解：（1）；； （2）， ， ， ， ∵， ∴， 解得：； （3）， ， ， ， ∵， ∴， 整理得：， 即， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了新定义运算，解一元一次方程，代数式求值，解题的关键是理解题意，列出相应的方程或算式，准确计算． 25. 综合与实践 【问题情境】哈尔滨马家沟步道是一条集休闲、健身于一体的美丽绿道，它沿着马家沟河精心打造，为市民和游客提供了亲近自然、享受城市绿意的绝佳场所．马家沟步道全长千米，它经道外区、南岗区、香坊区、平房区四个主城区，串联起多个城市景点和休闲区域．这条步道不仅是一条徒步和骑行的绝佳路线，更是一条展示哈尔滨城市风貌和生态环境的绿色长廊．周末，甲、乙两人相约去马家沟步道骑车．如图，甲从朝阳新路入口（记为地）进入自行车道，向任家桥方向骑行，甲出发分钟后乙从任家桥入口（记为地）进入自行车道，向朝阳新路方向骑行．如果，两地间骑行步道长为千米，甲的平均速度是千米小时，乙的平均速度是千米小时．设甲骑行的时间为小时． 【数学思考】（1）分别用含的代数式表示：甲出发后骑行的路程为______千米，乙出发后骑行的路程为________千米． 【问题解决】（2）当甲、乙两人相遇时，求的值； （3）两人相遇后，甲继续以原速度向地骑行，乙休息分钟后掉头按原速度返回地．在乙返回途中，当甲在乙前方千米时，求此时的值． 【答案】（1）；；（2）；（3） 【解析】 【分析】本题考查了列代数式，一元一次方程的应用，有理数的混合运算的应用，仔细阅读是解题的关键； （1）根据甲的平均速度是千米小时，乙的平均速度是千米小时，甲出发分钟后乙从任家桥入口（记为地）进入自行车道，根据速度乘以时间列出代数式； （2）根据两人相遇时路程之和为千米，列出一元一次方程，解方程，即可求解； （3）先计算出甲在小时所走路程为千米，进而根据题意，求得追上千米所用的时间，进而求得的值，即可求解． 【详解】解：（1）甲出发后骑行的路程为千米，乙出发后骑行的路程为千米 故答案为： ； （2）依题意， 解得 的值为． （3）分钟小时， 甲在小时所走路程：（千米） 甲在乙前方千米， 乙需要追：（千米） 追所用时间：（小时） （小时） 的值为． 26. 【问题情境】在数学课上，老师组织班上的同学开展了探究两角之间数量关系的数学活动． 已知直线，点E、G分别为直线、上的点，点F是与之间任意一点，连按、．直线，直线l分别交、于M、N两点． 【探索发现】（1）如图1，求证：； 【深入探究】（2）如图2，求证：； 【拓广探索】（3）如图3，平分，平分，过点F作的垂线交于点H，连接，，，求的度数． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，平行公理的应用，角平分线定义，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握平行线的性质． （1）根据平行线的性质得出，，然后证明结论即可； （2）延长交于点 P，过点P作交于点 Q，根据平行线的性质得出，，证明，根据平行线的性质得出，即可证明结论； （3）设，得出， 根据角平分线定义得出，过点作 ， 根据平行线的性质得出 ，过点作，根据平行线的性质得出，，求出，根据，求出结果即可． 【详解】（1）证明：直线， ， ∵， ， ∴； （2）证明：延长交于点 P，过点P作交于点 Q， ，， ， 直线， ∴， ； （3）解：设， ， 平分， ， ， ， ， ， 过点作， ， ， 平分， ， 过点作， ， ∵，， ∴， ∴， ， ， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$