精品解析：广东省惠州市惠东县2025届高三三模数学试题

惠东县2024-2025学年第二学期高三年级第三次质量检测 数学 （2025.02） 试卷共4页，卷面满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号和座位号填写在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上，将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”. 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案：不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知求函数的值域求集合，再由集合的交运算求结果. 【详解】由题设，，则. 故选：C 2. 把函数的图象按向量平移，得到的图象，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由向量的概念确定函数图象平移方向，进而写出的解析式. 【详解】由题意. 故选：A 3. 函数的最小正周期为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由正切型函数性质求最小正周期即可. 【详解】由正切型函数的性质知，最小正周期为. 故选：B 4. 已知空间向量满足，则（ ） A. B. 1 C. 0 D. 【答案】D 【解析】 【分析】应用向量线性运算的坐标表示求出坐标，再由模长的坐标公式求目标式的值. 【详解】由题设，， 所以. 故选：D 5. 已知 ，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用特殊值及指数函数的单调性逐项判断即可. 【详解】取，则满足题意， 此时，所以A选项错误； 取 ，则满足题意， 此时，所以B选项错误. 取，则满足题意， 此时，所以C选项错误. 由于在上递减，而， 所以， 所以D选项正确. 故选：D 6. 球面上有三点，若，且球心到所在平面的距离，等于球的半径的一半，则该球的球面面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，求出的外接圆半径，再利用球面的截面小圆性质求出球的半径，可求表面积. 【详解】令外接圆的半径为 ，球的半径为， 由，得， 所以为直角三角形，则，即 ， 因为球心到所在平面的距离，等于球的半径的一半， 所以，解得，所以球的表面积为. 故选：A. 7. 设10≤x1＜x2＜x3＜x4≤104，x5=105，随机变量取值x1、x2、x3、x4、x5的概率均为0.2，随机变量取值、、、、的概率也均为0.2，若记、分别为、的方差，则（　　） A. > B. = C. < D. 与的大小关系与x1、x2、x3、x4的取值有关 【答案】A 【解析】 【分析】根据随机变量、的取值情况，计算出它们的期望和方差，再借助均值不等式即可判断作答. 【详解】由随机变量、的取值情况，它们的期望分别为：， ，即， ， 同理， 而 ， 所以有. 故选：A 8. 有四张卡片，每张卡片的一面上写着英文字母，则另外一面上写着数字.现在规定：当牌的一面写着数字7时，另外一面必须写着字母.你的任务是：为了检验下面4张卡牌是否有违反规定的写法，你需要翻看哪些牌？（ ） A. ①② B. ②③ C. ②④ D. ④③ 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可知：M后面是数字7就违反规则，即可得结果. 【详解】根据题意可知：数字7后面一定是字母H，H后面可以不是数字7， 即M后面是数字7就违反规则， 所以只用看7和M，其他卡牌无此顾虑. 故选：B. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错得0分. 9. 有一组样本数据，，…，，由这组数据得到新样本数据，，…，，其中(为非零常数，则（ ） A. 两组样本数据的样本平均数相同 B. 两组样本数据的样本中位数相同 C. 两组样本数据的样本标准差相同 D. 两组样本数据的样本极差相同 【答案】CD 【解析】 【分析】A、C利用两组数据的线性关系有、，即可判断正误；根据中位数、极差的定义，结合已知线性关系可判断B、D的正误. 【详解】A：且，故平均数不相同，错误； B：若第一组中位数为，则第二组的中位数为，显然不相同，错误； C：，故方差相同，正确； D：由极差的定义知：若第一组的极差为，则第二组的极差为，故极差相同，正确； 故选：CD 10. 已知等差数列与等比数列的前项和分别为，则下列结论中正确的是（ ） A. 数列是等比数列 B. 可能为 C. 数列是等差数列 D. 数列是等比数列 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据等比数列的定义判断A、D；由是首项为1，公比为2的等比数列判断B；注意 的情况判断C. 【详解】由题设为定值，则且为定值，A对； 若是首项为1，公比为2的等比数列，则，B对； 对于数列， 时无意义，故不可能为等差数列，C错； 若的公比为，则是首项为，公比为的等比数列，D对. 故选：ABD 11. 曲线是平面内与三个定点和的距离的和等于的点的轨迹，为上一点，则（ ） A. 曲线关于轴对称 B. 存在点P，使得 C. 面积的最大值是1 D. 存在点，使得为钝角 【答案】CD 【解析】 【分析】根据已知有C的方程为，应用特殊点、判断A；若，则即可判断B；根据已知易知P应该在椭圆内（含边界），结合椭圆与曲线C的位置关系判断C；取曲线C上点，此时，再判断是否能找到一个特殊点，，即可判断D. 【详解】设曲线C上任意一点， 由题意，C的方程为. 因为点在曲线C上，而点不在曲线C上， 所以曲线C不关于x轴对称，A错误； 若，则，所以这不存在这样点，B不正确； 由，P应该在椭圆内（含边界）， 曲线C与椭圆D有唯一的公共点，此时，， 当点P为点时，的面积最大，最大值是1，C正确； 取曲线C上点，此时， 在曲线C上再寻找一个特殊点，， 则，即， 两边平方并整理得， 解得，即 或. 因为，则取点，此时，D正确. 故选：CD 【点睛】关键点点睛：根据已知得到曲线方程，利用特殊值或特殊点及曲线性质确定相关临界点或临界值为关键. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 已知向量在正方形网格中的位置如图所示，若网格纸上小正方形的边长为1，则______； 【答案】2 【解析】 【分析】将向量平移至相同的起点位置，利用向量加法得到对应向量，再根据向量数量积的几何意义求即可. 【详解】如下图示，将平移至与相同起点的位置，则， 所以，而， 所以. 故答案为：2. 13. 函数，若成等比数列且，则值域为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据已知有、，进而得到函数有最大值，即可求值域. 【详解】由已知得，， 由a，b，c成等比数列，则，， 所以有最大值，为， 所以值域为. 故答案为： 14. 设表示不超x的最大整数（如）．对于给定的，定义，则___________；当时，函数的值域是___________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据表示不超过的最大整数，， 时，，代入定义式求解.其中利用函数求时的值域. 【详解】， 当时，， 所以， 函数的值域是 故答案为：； 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在中，． （1）求的值； （2）若 ，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理求的值； （2）求出c，再利用余弦定理求出b，然后利用三角形面积公式可求得答案. 【小问1详解】 在中，因为， 由正弦定理得. 【小问2详解】 因为 ，所以， 由余弦定理 得， 解得或（舍）， 所以的面积. 16. 已知函数，（）， （1）若曲线与曲线在它们的交点（1，c）处具有公共切线，求a,b的值 （2）当时，若函数在区间[k,2]上的最大值为28，求k的取值范围 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：（1）求a,b的值,根据曲线与曲线在它们的交点处具有公共切线，可知切点处的函数值相等，切点处的斜率相等，列方程组,即可求出的值；（2）求k的取值范围．,先求出的解析式,由已知时，设,求导函数，确定函数的极值点，进而可得时，函数在区间上的最大值为；时，函数在区间上的最大值小于 ，由此可得结论． 试题解析：（1）,因为曲线与曲线在它们的交点处具有公共切线，所以,所以; （2）当时，，，，令，则，令，得，所以在与上单调递增，在上单调递减，其中为极大值，所以如果在区间最大值为 ，即区间包含极大值点 ，所以． 考点：导数的几何意义，函数的单调性与最值． 17. 如图，正三棱柱的所有棱长都为为中点. （1）求证：平面； （2）求平面与面所成角的余弦值. 【答案】（1）取中点，连结 ，为正三角形，则， 正三棱柱中，平面平面， 平面，平面平面， 平面， 以为原点，的方向为 轴的建立空间直角坐标系， 则 ， ，且都在面内， 平面 （2）. 【解析】 【分析】（1）取中点，连结 ，根据已知构建合适的空间直角坐标系，应用向量法证明，再由线面垂直的判定证结论； （2）应用向量法求面面角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设平面的法向量为，且 ，令，得， 由（1）知面，则为平面的法向量， 设面与面所成角所为， . 18. 甲、乙两大超市同时开业，第一年的全年销售额为a万元，由于经营方式不同，甲超市前n年的总销售额为万元，乙超市第n年的销售额比前一年销售额多万元． （1）求甲、乙两超市第n年销售额的表达式； （2）若其中某一超市的年销售额不足另一超市的年销售额的50%，则该超市将被另一超市收购，判断哪一超市有可能被收购？如果有这种情况，至少会出现在第几年？ 【答案】（1）， （2）乙超市在第7年将被收购 【解析】 【分析】（1）根据求甲超市第年销售额的表达式，利用累加法求乙超市第年销售额的表达式； （2）利用（1）中得表达式，代入求解，计算可得第7年乙超市的年销售额不足甲超市的一半，乙超市将被甲超市收购. 【小问1详解】 设甲超市前年总销售额为，第年销售额为， 则， 因为 时，， 则 时，， 故； 设乙超市第年销售额为，则， 时，， ， 显然 时也符合， 所以. 【小问2详解】 当时，，，有； 当时，，，有； 当时，，，故乙超市有可能被收购， 当，令，则， 整理得， 又当时，，故当且时，必有， 即第7年乙超市的年销售额不足甲超市的一半，乙超市将被甲超市收购. 19. 我们在学习解析几何过程中知道椭圆、双曲线的定义分别是平面内到两定点距离之和、距离之差的绝对值等于某个定值，天文学家卡西尼在研究土星及其卫星运行规律时发现到两定点距离之积为常数的点的轨迹，我们称之为卡西尼卵形线.若定点，动点满足，其中 均为正数，记该卡西尼卵形线为曲线，它的轨迹方程为 . （1）求参数 的值（用含 的式子表示）； （2）若为曲线上一点，求证：，； （3）若，求证：曲线恰经过个整点（横、纵坐标均为整数的点）. 【答案】（1）， （2）证明：据（1）的结论有. 一方面， ，故. 可得，即； 另一方面， ，从而 ，即 . 从而，所以. （3）证明：将代入，可得的轨迹方程为 . 同时据（2）的结论有， . 若 均为整数，则由 ，可知 . 若 ，则 ，即 ，故 . 故 或 ，但和 都不是整数的平方，矛盾. 所以 ，从而 ，这就得到 ，所以可以取 . 这表明曲线经过的整点只可能有，，. 经验证，曲线经过这个整点，结论得证. 【解析】 【分析】（1）设，整理可得，结合题意即得结果； （2）对方程整理可得 ，即有；对方程整理可得 ，即有； （3）由（2）的结论可知 ，再证明 ，最后代入方程并解出即可. 【小问1详解】 设为曲线上一点，则由可得. 整理可得， 结合题意可知：，. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 惠东县2024-2025学年第二学期高三年级第三次质量检测 数学 （2025.02） 试卷共4页，卷面满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号和座位号填写在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上，将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”. 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案：不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 把函数的图象按向量平移，得到的图象，则（ ） A. B. C. D. 3. 函数的最小正周期为（ ） A. B. C. D. 4. 已知空间向量满足，则（ ） A. B. 1 C. 0 D. 5. 已知 ，且，则（ ） A. B. C. D. 6. 球面上有三点，若，且球心到所在平面的距离，等于球的半径的一半，则该球的球面面积为（ ） A. B. C. D. 7. 设10≤x1＜x2＜x3＜x4≤104，x5=105，随机变量取值x1、x2、x3、x4、x5的概率均为0.2，随机变量取值、、、、的概率也均为0.2，若记、分别为、的方差，则（　　） A. > B. = C. < D. 与的大小关系与x1、x2、x3、x4的取值有关 8. 有四张卡片，每张卡片的一面上写着英文字母，则另外一面上写着数字.现在规定：当牌的一面写着数字7时，另外一面必须写着字母.你的任务是：为了检验下面4张卡牌是否有违反规定的写法，你需要翻看哪些牌？（ ） A. ①② B. ②③ C. ②④ D. ④③ 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错得0分. 9. 有一组样本数据，，…，，由这组数据得到新样本数据，，…，，其中(为非零常数，则（ ） A. 两组样本数据的样本平均数相同 B. 两组样本数据的样本中位数相同 C. 两组样本数据的样本标准差相同 D. 两组样本数据的样本极差相同 10. 已知等差数列与等比数列的前项和分别为，则下列结论中正确的是（ ） A. 数列是等比数列 B. 可能为 C. 数列是等差数列 D. 数列是等比数列 11. 曲线是平面内与三个定点和的距离的和等于的点的轨迹， 为上一点，则（ ） A. 曲线关于轴对称 B. 存在点P，使得 C. 面积的最大值是1 D. 存在点 ，使得为钝角 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 已知向量在正方形网格中的位置如图所示，若网格纸上小正方形的边长为1，则______； 13. 函数，若成等比数列且，则值域为__________. 14. 设表示不超x的最大整数（如）．对于给定的，定义，则___________；当时，函数的值域是___________． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在中，． （1）求的值； （2）若 ，求的面积． 16. 已知函数，（）， （1）若曲线与曲线在它们的交点（1，c）处具有公共切线，求a,b的值 （2）当时，若函数在区间[k,2]上的最大值为28，求k的取值范围 17. 如图，正三棱柱的所有棱长都为为中点. （1）求证：平面； （2）求平面与面所成角的余弦值. 18. 甲、乙两大超市同时开业，第一年的全年销售额为a万元，由于经营方式不同，甲超市前n年的总销售额为万元，乙超市第n年的销售额比前一年销售额多万元． （1）求甲、乙两超市第n年销售额的表达式； （2）若其中某一超市的年销售额不足另一超市的年销售额的50%，则该超市将被另一超市收购，判断哪一超市有可能被收购？如果有这种情况，至少会出现在第几年？ 19. 我们在学习解析几何过程中知道椭圆、双曲线的定义分别是平面内到两定点距离之和、距离之差的绝对值等于某个定值，天文学家卡西尼在研究土星及其卫星运行规律时发现到两定点距离之积为常数的点的轨迹，我们称之为卡西尼卵形线.若定点，动点 满足，其中 均为正数，记该卡西尼卵形线为曲线，它的轨迹方程为 . （1）求参数 的值（用含 的式子表示）； （2）若为曲线上一点，求证：，； （3）若，求证：曲线恰经过个整点（横、纵坐标均为整数的点）. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $