培优课程07：第6章圆和扇形章节复习提升 -2024—2025学年 沪教版（五四制）数学六年级下册 培优课程讲义

上海初中六年级数学新教材第5章比和比例（培优课程） 专题07 第6章圆和扇形章节复习提升 1.圆的周长 通过操作和计算，我们发现圆的周长都是直径的固定的倍数，我们把这个倍数叫做圆周率，用字母表示，读作“pai”；圆周率是个无限不循环小数，． 圆的周长直径 = 圆周率． 用字母C表示圆的周长，d表示直径，r表示半径，那么： 或 2.弧长 ①弧和圆心角的概念 圆上A、B两点之间的部分就是弧，记作：，读作：弧AB；称为圆心角． ②弧长公式 设圆的半径长为r，n°圆心角所对的弧长是l，那么：． 3.圆的面积 圆所占平面的大小叫做圆的面积． 设圆的半径长为r，面积为S，那么：圆的面积． 4.扇形的面积 ①扇形的概念 由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形，叫做扇形． ②扇形的面积 设组成扇形的半径为r，圆心角为n°，弧长为l，那么： ． 5.重要公式 1.圆的周长： 2.半圆的周长： 3.弧长： 4.圆的面积： 题型1：圆的的关概念 【例1】如图所示，将一个圆对折，折痕所在的直线都是圆的对称轴，圆有( )条对称轴，两条不同折痕的交点就是圆的( )。 【例2】同一个圆所有的直径都( )（填“相等”或“不相等”），直径长度是半径的( )倍。 题型2：圆的周长公式及其应用 【例3】下图是一个由半圆和一条直径组成的图形，已知这个图形的周长为15.42，求这条直径的长。 【例4】一个铁环直径是60厘米，从操场东端滚到西端转了90圈，另一个铁环的直径是40厘米，它从东端滚到西端要转的圈数是（ ） A. 270 B. 135 C. 100 D. 120 【例5】在一个正方形的铁片里，剪下一个最大的圆，已知圆的周长是25.12厘米，那么正方形的周长比圆的周长长多少厘米? 【例6】如图：圆A的半径为圆B半径的六分之一，圆A从图上所示位置出发，沿着圆B滚，那么至少要滚动（ ）圈才能回到原处。 【例7】如图，已知点O、点B在线段AC上，AB=120米，BC=70米，O是圆心，从A到C有3条不同的半圆弧线路可以走，请你判断走哪一条半圆弧线路的距离最短? C O B A 题型3：弧长公式及其应用 【例8】在半径为6的圆中，的圆心角所对的弧长等于 （结果保留）． 【例9】弧长等于半径的圆弧所对的圆心角是 度（结果保留）． 【例10】圆的半径不变，圆心角扩大为原来的2倍，则（   ） A．弧长扩大为原来的4倍 B．弧长扩大为原来的2倍 C．弧长不变 D．弧长缩小为原来的一半 【例11】台钟的时针长10厘米，从中午12点到下午3点，时针尖端走过的路程是 厘米． 【例12】制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料，试计算图所示的管道的展直长度，即的长（结果精确到）． 题型4：圆的面积公式及其应用 【例13】（2023-2023学年杨浦区期末） 已知一个圆的直径是6厘米，那么这个圆的面积是______平方厘米. 【例14】（2023-2024学年松江区期末） 时钟的分针长6厘米，从10：00到11：00，分针扫过的面积是_________平方厘米． 【例15】（2023-23学年松江区期末）一个圆环的内直径是，圆环的宽度是，这个圆环的面积是______. 【例16】周长相等的圆、正方形、长方形的面积相比，(    )。 A. 圆最大                           B. 长方形最大                           C. 正方形最大                           D. 一样大 【例17】（2023-2024学年松江区期末）中国建筑中经常能见到“外圆内方”和“外方内圆”的设计，如图，在外圆内方图案中，圆与正方形面积比是（ ） A. B. C. D. 【例18】在一张长方形纸板上剪下两个半径是3cm的圆后（如图），刚好剩下一个正方形。原来长方形纸板的周长是( )cm。 题型5：扇形面积公式及其应用 【例19】如图是一个半径为的圆，扇形（阴影部分）的圆心角为，求扇形的面积．（结果保留） 【例20】（2023上·上海杨浦·六年级统考期末）已知扇形A与扇形的面积相等，且扇形A的半径是扇形的半径的2倍，那么扇形A的圆心角是扇形的圆心角的（    ） A．4倍 B．2倍 C． D． 【例21】（2024学年长宁区期末） 如果一个扇形的弧长等于它所在圆的半径，那么此扇形叫做“完美扇形”．已知某个“完美扇形”的周长等于6，那么这个扇形的面积等于_____． 【例22】（2023-2024学年松江区期末）如果一个扇形的圆心角扩大为原来的3倍，半径缩小为原来的，那么它的面积（ ） A. 缩小为原来的 B. 缩小为原来的 C. 与原来一样 D. 扩大为原来的3倍 【例23】（2023上·上海浦东新·六年级上海市建平中学西校校考期末）如果一个扇形的圆心角扩大为原来的3倍，半径长缩小为原来的，那么变化后所得扇形面积与原来的扇形面积的比值为（    ） A．3 B．1 C． D． 【例24】（2023上·上海宝山期末）如图，一只小羊被主人用绳子拴在长为5米，宽为4米的长方形水泥台的一个顶点上，水泥台的周围都是草地， (1)若绳子长为4米，求这只羊能吃到草的区域的最大面积（结果保留） (2)为了增加小羊吃草的范围，现决定把绳子的长度增加到6米，求这只羊现在能吃到草的区域的最大面积（结果保留） 题型6：不规则图形的周长和面积 【例25】（2023闵行区期末）如图，四个圆的半径均为1，A、B、C、D分别为四个圆的圆心，那么阴影部分的面积是（      ） A．π B． C． D．4 【例26】如图，阴影部分面积和的和是（结果保留）（ ） A． B． C． D． 【例27】（2023上·六年级校考单元测试）在等腰中，以直角顶点A为圆心，以高为半径，画一条弧，交分别于点E、F，厘米，则图中阴影部分的面积是 平方厘米．    【例28】（2024上·上海青浦·六年级校考期末）已知图1、图2中两个半圆的半径相等，、分别是两圆的圆心，图1中的阴影部分面积为，图2中的阴影部分面积为，则与之间的大小关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 【例29】（2023学年徐汇中学能力评估卷）某同学用所学过的圆与扇形的知识设计了一个问号，如图中阴影部分所示，已知图中的大圆半径为4，两个小圆的半径均为2，请计算图中阴影部分的周长和面积． 【例30】（2024学年长宁区期末）如图，将一个直径AB等于12厘米的半圆绕着点A逆时针旋转60°后，点B落到了点C的位置，半圆扫过部分的图形如阴影部分所示． （1）阴影部分的周长； （2）阴影部分的面积．（结果保留π） 题型7：图形运动问题 【例31】（2023建平西校期末）一把直角三角尺的一边紧贴在直线上，，，，直角三角尺先绕点顺时针旋转，使落在直线上，然后绕点顺时针旋转，使落在直线上，再绕点顺时针旋转，使落在直线上，此时，三角形的放置方式与初始的放置方式一样，我们称这样的旋转为一个周期．请问，再经过几个周期，点走过的路程就会超过？（取3.14） 【例32】（2023上·上海浦东新·六年级上海市建平中学西校校考期末）一张半径为1厘米的圆形纸片在一个边长为5厘米正方形内任意移动，那么在该正方形内，这张圆形纸片不能覆盖到的部分的面积是（    ）    A． B． C． D． 【例33】（2023-2024学年松江区期末）如图，在直线l上有一个边长为8cm的正方形和一个直径为4cm的圆O，圆O紧贴着正方形的边． （1）如图（1），正方形保持不动，圆O沿直线l以每秒2厘米的速度向右匀速滚动．从初始位置到圆O恰好离开正方形时停止滚动（即到达圆的位置），在这个过程中圆O扫过的面积是多少？这个过程共用了多少秒？ （2）如图（2），圆O沿着正方形外侧按照的方向匀速滚动，碰到直线l停止滚动（即到达圆的位置）．从初始位置到停止滚动的过程，圆心O经过的路程是多少？ 题型8：综合探究题 【例34】为了增加百姓的休闲活动空间，某社区准备新建一个口袋公园。如图左侧的正方形是口袋公园的平面设计图，空白部分为活动区域是4个完全相同的扇形，阴影部分为绿植区域。 （1）以正方形中心O点为观测点，A点在正（    ）方向上，距离是（    ）米；B点在O点的（    ）偏（    ）°方向上。 （2）绿植区域的图形共有（    ）条对称轴。绿植区域的面积是（    ）平方米。 （3）保证活动区域和绿植区域面积不变的情况下，请在如图右侧正方形中用圆规画出你的新设计图，并将绿植区域涂上阴影。 【例35】（2024松江期末30）某小区要建造一个正方形小广场，其方案设计如图1所示，正方形小广场地面的边长是40m，中心建一直径为20m的圆形花坛，广场四角各建一个边长为10m的小正方形花坛，图中阴影部分铺设广场砖. （1）计算阴影部分的面积； （2）圆形花坛和小正方形花坛平均每平方米造价为200元，广场砖平均每平方米造价为50元，完成这个工程需要多少元？ (3)图2表示广场中心的圆形花坛的平面设计图，准备在四个区域分别种植4种不同颜色的花卉，并且各色花卉的种植面积相等，请求出中间小圆的半径为多少米？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 上海初中六年级数学新教材第5章比和比例（培优课程） 专题07 第6章圆和扇形章节复习提升 1.圆的周长 通过操作和计算，我们发现圆的周长都是直径的固定的倍数，我们把这个倍数叫做圆周率，用字母表示，读作“pai”；圆周率是个无限不循环小数，． 圆的周长直径 = 圆周率． 用字母C表示圆的周长，d表示直径，r表示半径，那么： 或 2.弧长 ①弧和圆心角的概念 圆上A、B两点之间的部分就是弧，记作：，读作：弧AB；称为圆心角． ②弧长公式 设圆的半径长为r，n°圆心角所对的弧长是l，那么：． 3.圆的面积 圆所占平面的大小叫做圆的面积． 设圆的半径长为r，面积为S，那么：圆的面积． 4.扇形的面积 ①扇形的概念 由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形，叫做扇形． ②扇形的面积 设组成扇形的半径为r，圆心角为n°，弧长为l，那么： ． 5.重要公式 1.圆的周长： 2.半圆的周长： 3.弧长： 4.圆的面积： 题型1：圆的的关概念 【例1】如图所示，将一个圆对折，折痕所在的直线都是圆的对称轴，圆有( )条对称轴，两条不同折痕的交点就是圆的( )。 【答案】 无数 圆心 【分析】将一个圆对折，折痕是圆的直径，圆有无数条直径，折痕所在的直线都是圆的对称轴，所以圆有无数条对称轴，通过圆心并且两端都在圆上的线段是直径，两条不同直径的交点就是圆的圆心，据此填空。 【详解】将一个圆对折，折痕所在的直线都是圆的对称轴，圆有无数条对称轴，两条不同折痕的交点就是圆的圆心。 【例2】同一个圆所有的直径都( )（填“相等”或“不相等”），直径长度是半径的( )倍。 【答案】 相等 2 【分析】通过圆心并且两端都在圆上的线段是直径，连接圆心和圆上任意一点的线段是半径，据此根据圆的特征进行分析。 【详解】 如图，同一个圆所有的直径都相等，直径长度是半径的2倍。 题型2：圆的周长公式及其应用 【例3】下图是一个由半圆和一条直径组成的图形，已知这个图形的周长为15.42，求这条直径的长。 解：这条半径的长为6。 设这个半圆的半径为r，2r+πr=15.42；5.14r=15.42；r=3；d=6。 【例4】一个铁环直径是60厘米，从操场东端滚到西端转了90圈，另一个铁环的直径是40厘米，它从东端滚到西端要转的圈数是（ ） A. 270 B. 135 C. 100 D. 120 解：找不变量，东端到西端距离不变。 π·d1·n1÷π÷d2=60·90π÷π÷40=135（圈） 【例5】在一个正方形的铁片里，剪下一个最大的圆，已知圆的周长是25.12厘米，那么正方形的周长比圆的周长长多少厘米? 解：正方形的周长比圆的周长长6.88厘米。 C正方形-C圆=4·a-C圆=4·d-C圆=4·C圆÷π-C圆=4×25.12÷3.14-25.12=6.88（厘米） 【例6】如图：圆A的半径为圆B半径的六分之一，圆A从图上所示位置出发，沿着圆B滚，那么至少要滚动（ ）圈才能回到原处。 解：设小圆半径为r，大圆半径即为6r，实际滚动轨迹为以AB为半径的圆的周长，AB=7r，C=2π·7r，小圆滚动一周的距离为小圆周长，即为2πr，∴n=2π·7r÷2πr=7 【例7】如图，已知点O、点B在线段AC上，AB=120米，BC=70米，O是圆心，从A到C有3条不同的半圆弧线路可以走，请你判断走哪一条半圆弧线路的距离最短? C O B A 解：一样长。 ∵O是圆心，∴AO=OC=（120+70）/2=95米 1、弧AO+弧OC=π×95÷2×2=3.14×95=298.3米 2、 弧AB+弧BC=π×120÷2+π×70÷2=3.14×120÷2+3.14×70÷2=298.3米 3、 弧AC=π×190÷2=3.14×190÷2=298.3米 题型3：弧长公式及其应用 【例8】在半径为6的圆中，的圆心角所对的弧长等于 （结果保留）． 【答案】 【分析】根据弧长公式直接解答即可． 【详解】解：由弧长公式得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了弧长公式，解题的关键是熟记弧长公式． 【例9】弧长等于半径的圆弧所对的圆心角是 度（结果保留）． 【答案】 【分析】将l=r代入公式求解即可． 【详解】， n=． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查弧长与圆周长比例公式，熟记公式是解题关键． 【例10】圆的半径不变，圆心角扩大为原来的2倍，则（   ） A．弧长扩大为原来的4倍 B．弧长扩大为原来的2倍 C．弧长不变 D．弧长缩小为原来的一半 【答案】B 【分析】弧长公式是，由于半径不变，则弧长与圆心角度数成正比，依此即可求解． 【详解】，圆心角扩大为原来的2倍，则弧长扩大为原来的2倍． 故选：B． 【点睛】本题考查了弧长公式，掌握当半径不变时，则弧长与圆心角度数成正比是解题的关键． 【例11】台钟的时针长10厘米，从中午12点到下午3点，时针尖端走过的路程是 厘米． 【答案】 【分析】求出时针旋转过程中所对应的圆心角的度数，再根据弧长公式进行计算即可． 【详解】解：从中午12时到下午3时，时针所转过的圆心角的度数为， 所以时针的针尖划过的弧长为（）， 故答案为：． 【点睛】本题考查弧长的计算，掌握弧长的计算方法是正确解答的关键． 【例12】制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料，试计算图所示的管道的展直长度，即的长（结果精确到）． 【答案】 【分析】根据弧长公式可得． 【详解】解：，所以 的长 ． 因此，管道的展直长度约为． 【点睛】本题主要考查了弧长的计算公式，比较基础． 题型4：圆的面积公式及其应用 【例13】（2023-2023学年杨浦区期末） 已知一个圆的直径是6厘米，那么这个圆的面积是______平方厘米. 【答案】 【解析】 【分析】圆的面积，把相关数值代入即可求解． 【详解】解：∵一个圆的直径是6厘米， ∴圆的半径为3厘米， ∴圆的面积平方厘米． 故答案为：． 【点睛】本题考查圆面积，掌握圆的面积公式是解决问题的关键． 【例14】（2023-2024学年松江区期末） 时钟的分针长6厘米，从10：00到11：00，分针扫过的面积是_________平方厘米． 【答案】113.04 【解析】 【分析】根据题意可知从10：00到11：00，分针扫过的面积即为半径为6厘米的圆的面积，据此求解即可． 【详解】解：从10：00到11：00一共经历了60分钟，分针旋转的角度为360度， 所以分针扫过的面积是以6厘米长为半径的一个圆的面积， 所以平方厘米， 故答案为：113.04． 【点睛】本题主要考查了圆的面积，正确理解题意得到分针扫过的面积即为半径为6厘米的圆的面积是解题的关键． 【例15】（2023-23学年松江区期末）一个圆环的内直径是，圆环的宽度是，这个圆环的面积是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据圆环的面积公式进行计算即可． 【详解】解：， 即这个圆环的面积是． 故答案为：28.26． 【点睛】本题主要考查了圆环面积的计算，解题的关键是熟练掌握圆的面积公式． 【例16】周长相等的圆、正方形、长方形的面积相比，(    )。 A. 圆最大                           B. 长方形最大                           C. 正方形最大                           D. 一样大 3.【答案】 A 【解析】【解答】解：周长相等的圆、正方形、长方形的面积相比，圆面积最大。 故答案为：A 【分析】周长相等的圆、正方形、长方形中圆面积最大；面积相等的圆、正方形、长方形中，长方形的周长最长，圆的周长最短。 【例17】（2023-2024学年松江区期末）中国建筑中经常能见到“外圆内方”和“外方内圆”的设计，如图，在外圆内方图案中，圆与正方形面积比是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查圆的面积公式和正方形与圆的关系．因为直径为正方形的对角线，对角线将正方形分成两个三角形，三角形的底为直径，高为半径，假设圆的半径为，三角形的面积底高，即可算出一个三角形的面积，最后乘2可得到这个正方形的面积，根据圆的面积公式表示出圆的面积，再根据比的意义，即可得解． 【详解】解：设圆的半径为．则正方形的面积为： ； 圆的面积：； 圆与正方形的面积比是： 故选：A． 【例18】在一张长方形纸板上剪下两个半径是3cm的圆后（如图），刚好剩下一个正方形。原来长方形纸板的周长是( )cm。 【答案】60 【分析】已知圆的半径是3cm，则圆的直径是6cm；从图中可知，长方形的宽等于圆的直径的2倍，即12cm；剪下两个半径是3cm的圆后，刚好剩下一个正方形，则正方形的边长是12cm； 从图中可知，原来长方形的长等于正方形的边长加上圆的直径，由此得出原来长方形的长是（12＋6）cm，再根据长方形的周长＝（长＋宽）×2，代入数据计算，即可求解。 【详解】圆的直径：3×2＝6（cm） 长方形的宽：6×2＝12（cm） 长方形的长：12＋6＝18（cm） 长方形的周长： （18＋12）×2 ＝30×2 ＝60（cm） 原来长方形纸板的周长是60cm。 【点睛】解题的关键是找出长方形的长、宽与圆的直径之间的关系，再根据长方形周长公式求解。 题型5：扇形面积公式及其应用 【例19】如图是一个半径为的圆，扇形（阴影部分）的圆心角为，求扇形的面积．（结果保留） 【答案】 【分析】本题考查扇形面积计算，掌握扇形面积公式是解决本题的关键；根据（为圆心角的度数）即可求解； 【详解】解：扇形的面积为：． ∴扇形的面积为． 【例20】（2023上·上海杨浦·六年级统考期末）已知扇形A与扇形的面积相等，且扇形A的半径是扇形的半径的2倍，那么扇形A的圆心角是扇形的圆心角的（    ） A．4倍 B．2倍 C． D． 【答案】D 【分析】设扇形B的半径为r，圆心角为n°，则扇形A的半径为2r，设扇形A的圆心角为m°，根据面积相等得，所以，即可得出答案． 【详解】解：设扇形B的半径为r，圆心角为n°， 则扇形A的半径为2r，设扇形A的圆心角为m°， 则扇形B的面积，扇形A的面积， ∴， ∴， ∴扇形A的圆心角是扇形B的圆心角的， 故选：D． 【点睛】本题考查扇形的面积的计算，灵活应用所学知识解决问题，是解题的关键． 【例21】（2023学年长宁区期末） 如果一个扇形的弧长等于它所在圆的半径，那么此扇形叫做“完美扇形”．已知某个“完美扇形”的周长等于6，那么这个扇形的面积等于_____． 【答案】2 【解析】 【分析】根据扇形面积公式S＝，代入计算即可． 【详解】解：∵“完美扇形”的周长等于6， ∴半径r为＝2，弧长l为2， 这个扇形的面积为：＝＝2． 答案为：2． 【点睛】本题考查了扇形的面积公式，扇形面积公式与三角形面积公式十分类似，为了便于记忆，只要把扇形看成一个曲边三角形，把弧长l看成底，R看成底边上的高即可． 【例22】（2023-2024学年松江区期末）如果一个扇形的圆心角扩大为原来的3倍，半径缩小为原来的，那么它的面积（ ） A. 缩小为原来的 B. 缩小为原来的 C. 与原来一样 D. 扩大为原来的3倍 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可以设出原来扇形的圆心角和半径，从而可以得到后来的扇形的圆心角和半径，然后把它们的面积比值计算出来即可． 【详解】解：设原来扇形的圆心角为n，半径为，则后来的扇形的圆心角为，半径为r， ， 即所得的扇形的面积与原来的扇形的面积的比值是缩小到原来的， 故选：A． 【点睛】本题考查扇形面积的计算，解答本题的关键是巧设圆心角和半径，掌握扇形的面积公式． 【例23】（2023上·上海浦东新·六年级上海市建平中学西校校考期末）如果一个扇形的圆心角扩大为原来的3倍，半径长缩小为原来的，那么变化后所得扇形面积与原来的扇形面积的比值为（    ） A．3 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可以设出原来扇形的圆心角和半径，从而可以得到后来的扇形的圆心角和半径，然后把它们的面积比值计算出来即可． 【详解】解：设原来扇形的圆心角为n，半径为，则后来的扇形的圆心角为，半径为r， ， 即所得的扇形的面积与原来的扇形的面积的比值是缩小到原来的， 故选：C． 【点睛】本题考查扇形面积的计算，解答本题的关键是巧设圆心角和半径，掌握扇形的面积公式． 【例24】（2024上·上海宝山·六年级校考期末）如图，一只小羊被主人用绳子拴在长为5米，宽为4米的长方形水泥台的一个顶点上，水泥台的周围都是草地， (1)若绳子长为4米，求这只羊能吃到草的区域的最大面积（结果保留） (2)为了增加小羊吃草的范围，现决定把绳子的长度增加到6米，求这只羊现在能吃到草的区域的最大面积（结果保留） 【答案】(1)平方米 (2)平方米 【分析】（1）先根据题意画出图形，列出算式，再求出即可； （2）先根据题意画出图形，列出算式，再求出即可． 【详解】（1）解：假设羊绷着绳子跑，则羊能到达的区域就是最大区域的边界， 当绳子长为4米时，这只羊能吃到草的区域的最大区域为图中阴影部分， 则面积（平方米）， 答：这只羊能吃到草的区域的最大面积是平方米； （2）如图，当绳长为6米时，羊活动的最大区域为阴影部分， 其中分为扇形，扇形，扇形， ∵，，， ∴，， ∴阴影部分面积为． 【点睛】本题考查了扇形的面积计算，能根据题意画出图形，列出算式是解此题的关键． 题型6：不规则图形的周长和面积 【例25】（2023闵行区期末）如图，四个圆的半径均为1，A、B、C、D分别为四个圆的圆心，那么阴影部分的面积是（      ） A．π B． C． D．4 【答案】D 【分析】先根据题意确定正方形的边长，然后利用阴影部分的面积等于正方形的面积求解即可． 【详解】解：∵四个圆的半径均为1， ∴， ∴， 故选D． 【点睛】本题考查了扇形面积的计算，对于不规则的阴影部分的面积通过割补的方法转化为规则图形的面积． 【例26】如图，阴影部分面积和的和是（结果保留）（ ） A． B． C． D． 【例27】（2023上·六年级校考单元测试）在等腰中，以直角顶点A为圆心，以高为半径，画一条弧，交分别于点E、F，厘米，则图中阴影部分的面积是 平方厘米．    【答案】 【分析】根据阴影部分面积等于的面积减去扇形的面积进行求解即可． 【详解】解：由题意得，都是等腰直角三角形， 所以平方厘米， 所以平方厘米， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了求不规则图形面积，正确利用转换法把用规则图形的面积表示出不规则图形的面积是解题的关键． 【例28】（2024上·上海青浦·六年级校考期末）已知图1、图2中两个半圆的半径相等，、分别是两圆的圆心，图1中的阴影部分面积为，图2中的阴影部分面积为，则与之间的大小关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【分析】设两个圆的半径都是r，则图1中长方形的长为2r，宽为r，图2中三角形的底为2r，高为r，图1中阴影部分的面积为长方形的面积减去半圆的面积，图2中阴影部分的面积为半圆的面积减去三角形的面积，再进行比较所得面积的大小． 【详解】解:设两个半圆的半径都是r，则图1中长方形的长为2r，宽为r， 图2中三角形的底为2r，高为r， ∴ ． 故选A 【点睛】本题考查了求阴影部分的面积，圆的性质，半圆、矩形、三角形的面积公式，解题的关键是明确半圆、矩形、三角形的面积求法及阴影部分求面积的方法． 【例29】（2023学年徐汇中学能力评估卷）某同学用所学过的圆与扇形的知识设计了一个问号，如图中阴影部分所示，已知图中的大圆半径为4，两个小圆的半径均为2，请计算图中阴影部分的周长和面积． 【答案】阴影部分的周长为，阴影部分的面积为 【解析】 【分析】根据圆的周长和面积公式分别求出阴影的周长和面积，再进行运算即可． 【详解】解： ； . 答：阴影部分的周长为，阴影部分的面积为． 【点睛】本题考查了圆的面积、周长公式的运用；能够熟练运用公式，并正确化简计算是解题的关键． 【例30】（2024学年长宁区期末）如图，将一个直径AB等于12厘米的半圆绕着点A逆时针旋转60°后，点B落到了点C的位置，半圆扫过部分的图形如阴影部分所示． （1）阴影部分的周长； （2）阴影部分的面积．（结果保留π） 【答案】（1）16π （2）24π 【解析】 【分析】（1）由阴影部分的周长＝两个半圆弧的长度+弧BC的长，利用弧长公式可求解； （2）由面积的和差关系可求解． 【小问1详解】 解：阴影部分的周长＝2××2π×6+＝16π； 【小问2详解】 解：∵阴影部分面积＝S半圆+S扇形BAC﹣S半圆＝S扇形BAC， ∴阴影部分的面积＝＝24π． 答：阴影部分的周长为16π，阴影部分的面积为24π． 【点睛】本题考查了扇形的弧长公式和面积公式，如果扇形的圆心角是n°，扇形的半径为r，则扇形的弧长l的计算公式为：，扇形的面积公式：． 题型7：图形运动问题 【例31】（2023建平西校期末）一把直角三角尺的一边紧贴在直线上，，，，直角三角尺先绕点顺时针旋转，使落在直线上，然后绕点顺时针旋转，使落在直线上，再绕点顺时针旋转，使落在直线上，此时，三角形的放置方式与初始的放置方式一样，我们称这样的旋转为一个周期．请问，再经过几个周期，点走过的路程就会超过？（取3.14） 【答案】25 【解析】 【分析】当三角形的放置方式与初始的放置方式一样时，旋转为一个周期．点走过的路程为以为半径和以为半径的两个扇形的弧长． 【详解】解：， ， 点走过的路程为以为半径，圆心角为的扇形的弧长和以为半径，圆心角为的扇形的弧长和， 三角形旋转一个周期．点走过的路程为： ， ， 答：从初始位置开始至少经过25个周期，点走过的路程会超过． 【点睛】本题考查了扇形的弧长公式，掌握点经过的图形的形状是关键． 【例32】（2023上·上海浦东新·六年级上海市建平中学西校校考期末）一张半径为1厘米的圆形纸片在一个边长为5厘米正方形内任意移动，那么在该正方形内，这张圆形纸片不能覆盖到的部分的面积是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】圆形纸片“不能接触到的部分”的面积就是小正方形的面积与扇形的面积的差，再乘4即可得解． 【详解】解：如图所示，    小正方形的面积是：， 当圆运动到正方形的一个角上时，形成扇形，它的面积是， 则这张圆形纸片“不能接触到的部分”的面积是：， 故选：C． 【点睛】本题考查轨迹，列代数式，正方形和圆的面积的计算公式，正确理解“不能接触到的部分”的面积是哪部分是关键． 【例33】（2023-2024学年松江区期末）如图，在直线l上有一个边长为8cm的正方形和一个直径为4cm的圆O，圆O紧贴着正方形的边． （1）如图（1），正方形保持不动，圆O沿直线l以每秒2厘米的速度向右匀速滚动．从初始位置到圆O恰好离开正方形时停止滚动（即到达圆的位置），在这个过程中圆O扫过的面积是多少？这个过程共用了多少秒？ （2）如图（2），圆O沿着正方形外侧按照的方向匀速滚动，碰到直线l停止滚动（即到达圆的位置）．从初始位置到停止滚动的过程，圆心O经过的路程是多少？ 【答案】30. 在这个过程中圆O扫过的面积是平方厘米；共用了6秒； 31. 厘米 【解析】 【分析】本题考查了圆的面积和周长． （1）根据题意画出图形，在这个过程中圆O扫过的面积是长方形的面积+两个半圆的面积，这个过程的距离为的长，据此求解即可； （2）根据题意画出图形，圆心O转过3条直边，2个90度角的圆弧，据此求解即可． 【小问1详解】 解：在这个过程中圆O扫过的面积是(平方厘米)， 这个过程共用了（秒）； ； 【小问2详解】 解：如图，圆心O经过的路程是（厘米） ． 题型8：综合探究题 【例34】为了增加百姓的休闲活动空间，某社区准备新建一个口袋公园。如图左侧的正方形是口袋公园的平面设计图，空白部分为活动区域是4个完全相同的扇形，阴影部分为绿植区域。 （1）以正方形中心O点为观测点，A点在正（    ）方向上，距离是（    ）米；B点在O点的（    ）偏（    ）°方向上。 （2）绿植区域的图形共有（    ）条对称轴。绿植区域的面积是（    ）平方米。 （3）保证活动区域和绿植区域面积不变的情况下，请在如图右侧正方形中用圆规画出你的新设计图，并将绿植区域涂上阴影。 【答案】（1）北；10；东；北45；（2）4；86； （3） 【分析】（1）看图，点A在点O的正北方向，距离是（20÷2）米。点B在点O的东偏北45°方向上； （2）看图，绿植区域有4条对称轴。正方形面积＝边长×边长，圆面积＝πr2，四个相同的扇形恰好可以组成一个圆。将正方形面积减去圆的面积，即可求出绿植区域的面积； （3）结合（2）绿植区域的面积可知，可画一个半径是10米的圆，圆以外正方形以内的部分和绿植部分的面积相等。据此解题。 【详解】（1）20÷2＝10（米） 所以，以正方形中心O点为观测点，A点在正北方向上，距离是10米；B点在O点的东偏北45°方向（或北偏东45°方向）上。 （2）20×20－3.14×102 ＝400－3.14×100 ＝400－314 ＝86（平方米） 所以，绿植区域的图形共有4条对称轴。绿植区域的面积是86平方米。 （3）如图： （答案不唯一） 【例35】（2024松江期末30）某小区要建造一个正方形小广场，其方案设计如图1所示，正方形小广场地面的边长是40m，中心建一直径为20m的圆形花坛，广场四角各建一个边长为10m的小正方形花坛，图中阴影部分铺设广场砖. （1）计算阴影部分的面积； （2）圆形花坛和小正方形花坛平均每平方米造价为200元，广场砖平均每平方米造价为50元，完成这个工程需要多少元？ (3)图2表示广场中心的圆形花坛的平面设计图，准备在四个区域分别种植4种不同颜色的花卉，并且各色花卉的种植面积相等，请求出中间小圆的半径为多少米？ 【答案】（1）886；（2）187100元；（3）5米； 【解析】解：（1）===1200-314=886；（2）完成这个工程需要=187100（元）；答：完成这个工程需要187100元；（3）设中间小圆的半径为r，根据题意，得，解得r=5(米). 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$