1.2.3 运用乘法公式进行计算和推理 课件 2024——2025学年湘教版七年级数学下册

运用乘法公式进行计算和推理 七年级下册 第一章 1.2.3 学习目标 1.能熟练运用平方差公式和完全平方公式进行复杂的代数式计算。 2.会利用乘法公式化简代数式并求值。 3.能运用乘法公式进行简单的代数推理。 4. 经历从具体问题到抽象公式的综合运用过程，培养观察、类比能力。 好好学习，天天向上 复习回顾 什么是平方差公式和完全平方公式？ 平方差公式： (x+y)(xy)=x2y2 完全平方公式2： (xy)2=x22xy+y2 完全平方公式1： (x+y)2=x2+2xy+y2 注意：x,y可以是单项式，也可以是多项式。 好好学习，天天向上 新知探究 运用乘法公式计算： (x + 1)(x2 + 1)(x - 1). 做一做 观察式子特征，灵活运用乘法公式。 分析：将第二个多项式与第三个多项式交换位置后可连续运用平方差公式进行计算。 好好学习，天天向上 新知探究 运用乘法公式计算： (x+1)(x2+1)(x1). 做一做 = x4 1. 解：原式 = (x+1)(x1)(x2 +1) = (x21)(x2+1) 好好学习，天天向上 新知探究 运用乘法公式计算： (2x2)(4x2+4)(2x+2). 举一反三 = 16x4 16. 解：原式 = (2x2)(2x+2)(4x2+4) = (4x24)(4x2+4) 好好学习，天天向上 例题探究 例7 运用乘法公式计算： （1） (a + b + c)2 ； （2） (a – b + c)(a + b – c). = [(a + b) + c]2 = (a + b)2 + 2(a + b)c + c2 = a2 + 2ab + b2 + 2ac + 2bc + c2 解：(a + b + c)2 可以把a + b看成一个整体，也可以把b + c或a + c看成一个整体 好好学习，天天向上 7 例题探究 （2） (a – b + c)(a + b – c). 解：原式= [ a – (b – c)][a + (b – c)] = a2 – (b – c)2 = a2 – (b2 – 2bc + c2) = a2 – b2 + 2bc – c2. 找符号相同的项和符号相反的项 好好学习，天天向上 8 例题探究 运用乘法公式计算： （1）(a–2b+3c)(a+2b–3c)； （2）(a+2b+c)2. 举一反三 解：原式= [a–(2b3c)][a+(2b3c)] = a2–(2b3c)2 = a2–(4b2–6bc+9c2) = a2–4b2 +6bc+9c2. 好好学习，天天向上 9 例题探究 （2）(a+2bc)2. = [(a + 2b)c]2 = (a + 2b)22(a + 2b)c + c2 = a2 + 4ab + 4b2 2ac4bc + c2 解：(a + 2bc)2 好好学习，天天向上 10 例题探究 例8 运用乘法公式计算： (1) (a+b)2+ (a-b)2； (2) (a+b)2-(a-b)2。 解：(a+b)2+(a-b)2 = a2+2ab+b2+a2-2ab+b2 = 2a2+2b2 已知a+b和a-b，求a2+b2： (a+b)2+(a-b)2=2a2+2b2 a2+b2= 好好学习，天天向上 11 例题探究 (2) (a+b)2-(a-b)2。 解：(a+b)2- (a-b)2 = [(a+b)+(a-b)][(a+b)-(a-b)] = 2a·2b = 4ab 解：(a+b)2- (a-b)2 = a2+2ab+b2-a2+2ab-b2 = 4ab 好好学习，天天向上 12 例题探究 1.已知a+b和ab，求a2+b2、(a-b)2： a2+b2=-2ab (a-b)2=(a+b)2-4ab 2.已知a-b和ab，求a2+b2、(a-b)2： a2+b2=2ab (a+b)2=(a-b)2+4ab 3.已知a+b和a-b，求a2+b2、ab： a2+b2= ab= 好好学习，天天向上 13 例9 运用乘法公式计算: (x + y)3 . 例题探究 解：(x + y) = (x + y)( x + y)² = (x + y)(x² + 2xy + y2) = x³+ 2x²y + xy2 + yx² + 2xy² + y3 = x³ + 3x²y + 3xy² + y³. 好好学习，天天向上 先填空：(1) 152 = 100×1×___ ＋ 25； (2) 252 = 100×2× ＋ 25； (3) 352 = 100× × ＋ . 由此猜测：十位数字是 a、个位数字是 5 的两位数可以表示为 ，它的平方可表示为100×___× ＋ . 再探新知 思考 2 3 3 4 25 a (a＋1) 25 10a + 5 好好学习，天天向上 再探新知 十位数字是a、个位数字是5的两位数是10a+5. 由完全平方公式1得(10a+5)²=(10a)²+2·10a·5+5²=100a²+100a+25. 又100a(a+1)+25=100a²+100a+25， 于是(10a+5)²=100a(a+1)+25. 因此，十位数字是a、个位数字是5的两位数的平方，等于其十位数字a与a+1的积的100倍，再加上25. 例如，85²=100×8×9+25=7225. 好好学习，天天向上 1.对式子(a-b-c)2 的变形不正确的是  (　    ) A.[a-(b+c)]2　　　     B.[(a-b)-c]2 C.[(b+c)-a]2　　　     D.[a-(b-c)]2 课堂练习 D 好好学习，天天向上 17 2.计算(2a+3b)2(2a-3b)2的结果是 (　　) A.4a2-9b2 B. 16a4-72a2b2+81b4 C. (4a2-9b2)2 D. 4a4-12a2b2+9b4 课堂练习 B 好好学习，天天向上 18 3.运用乘法公式计算： (1)(x+2y)(x2-4y2)(x-2y). (2)(a+b-3)(a-b+3). (3)(x2+x-3)(x2-x-3). 课堂练习 解： (1)原式=[(x+2y)(x-2y)](x2-4y2)=(x2-4y2)(x2-4y2)=x4-8x2y2+16y4. (2)原式=[a+(b-3)][a-(b-3)]=a2-(b-3)2=a2-(b2-6b+9)=a2-b2+6b-9. (3)原式=(x2-3+x)(x2-3-x)=(x2-3)2-x2=x4-6x2+9-x2=x4-7x2+9. 好好学习，天天向上 课堂小结 1.已知a+b和ab，求a2+b2、(a-b)2： a2+b2=-2ab (a-b)2=(a+b)2-4ab 2.已知a-b和ab，求a2+b2、(a-b)2： a2+b2=+2ab (a+b)2=(a-b)2+4ab 3.已知a+b和a-b，求a2+b2、ab： a2+b2= ab= 好好学习，天天向上 课后作业 课堂作业：P21 T1 家庭作业：《学法》P18-19 A组（基础一般） B组（基础较好） C组（选做） 好好学习，天天向上 学而不思则罔， 思而不学则殆。 $$