精品解析：陕西省汉中市某校2024-2025学年高一下学期开学质量检测数学试题

汉中市2027届高一下学期质量检测 数学试题 满分：150分 完卷时间：120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2 若，则有（ ） A. B. C. D. 3. 在内满足的的取值范围为（ ）． A. ； B. ； C. ； D. ． 4. 若两个正实数，满足，且不等式有解，则实数的取值范围是（ ） A. B. 或 C. D. 或 5. 设函数是定义在R上的奇函数，当时，则的零点个数为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 函数的部分图象是（ ） A. B. C. D. 7. 数学探究课上，某同学发现借助多项式运算可以更好地理解“韦达定理”.若，，为方程的3个实数根，设，则为的系数，为的系数，为常数项，于是有，，.实际上任意实系数次方程都有类似结论.设方程的四个实数根为，，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 定义在上函数满足：①；②函数对任意的都有．则（ ） A. 0 B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列函数是偶函数的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列说法正确的有（ ） A. 命题，则命题的否定是 B. 与不是同一个函数 C. 定义在上的函数为奇函数的充要条件是 D. “且”是“”的充分不必要条件 11. 已知函数的定义域为，且满足，当时，，则（ ） A. 是奇函数 B. 是增函数 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，则___________. 13. 对于集合，定义，且，，设，则_______ 14. 设x，y为实数，且满足，则________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤.4 15. 已知集合，． （1）当时，求，； （2）求能使成立的实数的取值范围． 16. 某港口水深y(米)是时间t (0≤t≤24，单位：小时)的函数，下面是水深数据： t(小时) 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y(米) 10.0 13.0 9.9 70 10.0 13.0 10.1 7.0 10.0 据上述数据描成的曲线如图所示，该曲线可近似的看成函数的图象． （1）试根据数据表和曲线，求的解析式； （2）一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于4.5米是安全的，如果某船的吃水度(船底与水面的距离)为7米，那么该船在什么时间段能够安全进港？ 17. 设函数，其中，已知. （1）求的最小正周期； （2）将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将整个图象向左平移个单位，得到函数的图象，求在区间上的最小值. 18. 已知定义在上的函数是奇函数. （1）求a，b值； （2）判断并证明函数在定义域中单调性； （3）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 19. 已知函数，若的最小正周期为． （1）求的解析式； （2）若函数在上有三个不同零点，，，且． ①求实数取值范围； ②若，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 汉中市2027届高一下学期质量检测 数学试题 满分：150分 完卷时间：120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】分别求出和的解，根据充分必要条件的定义判定，即可求出结论, 【详解】得，得， 成立，则成立， 而成立，不一定成立， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 【点睛】本题考查充分不必要条件的判定，属于基础题. 2. 若，则有（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】借助中间量“”与“”比较大小即可. 【详解】由指数函数是减函数， 所以，且，故； 由对数函数在上是减函数， 所以，故； 又在上是增函数， 所以，故； 综上可知，. 故选：B. 3. 在内满足的的取值范围为（ ）． A. ； B. ； C. ； D. ． 【答案】A 【解析】 【分析】根据写出的取值范围，再结合求出对应的解集． 【详解】由余弦函数的图象与性质可知， ，则， 又， 或. ∴的取值范围为． 故选：A． 4. 若两个正实数，满足，且不等式有解，则实数的取值范围是（ ） A. B. 或 C D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】首先将原问题转化为，再利用基本不等式的知识求出的最小值即可. 【详解】不等式有解， ， ， ， 当且仅当，等号成立， ，，， 实数的取值范围是． 故选：D． 5. 设函数是定义在R上的奇函数，当时，则的零点个数为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：时，由数形结合知，此时有一个零点．依据奇函数的对称性知，时也有一个零点．又因为奇函数定义域为全体实数，所以，即过原点．因此共有3个零点．选C． 考点：�函数零点问题，�奇函数图像性质． 6. 函数的部分图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数单调性的性质可排除BC；根据时，的奇偶性可排除A. 【详解】， 当和时，单调递增，单调递减， 所以在，上单调递减，可排除BC； 当时，，所以图象不关于轴对称，可排除A. 故选：D. 7. 数学探究课上，某同学发现借助多项式运算可以更好地理解“韦达定理”.若，，为方程的3个实数根，设，则为的系数，为的系数，为常数项，于是有，，.实际上任意实系数次方程都有类似结论.设方程的四个实数根为，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】化简多项式为标准形式，由类似结论直接求解. 【详解】由可得 ， 所以，即， 由题中所给方法知，，， 故选：D 8. 定义在上的函数满足：①；②函数对任意的都有．则（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】确定函数单调递增，设，代入计算得到，解得，计算得到答案. 【详解】，故函数在上单调递增， ，故存在唯一值满足条件， 即，， 当时满足，又函数在上单调递增，故是唯一解， ，. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列函数是偶函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 分析】根据奇偶函数定义对各选项判断即可. 【详解】对于A，定义域，，，所以为非奇非偶函数，故A错误； 对于B，定义域，,所以偶函数，故B正确； 对于C，定义域，，所以奇函数，故C错误； 对于D，定义域，,所以偶函数，故D正确； 故选：BD 10. 下列说法正确的有（ ） A. 命题，则命题的否定是 B. 与不是同一个函数 C. 定义在上函数为奇函数的充要条件是 D. “且”是“”的充分不必要条件 【答案】BD 【解析】 【分析】特称命题的否定需要特称改全称，结果变否定，判断A选项；两个函数如果定义域相同表达式相同则为同一函数，判断B选项；充分必要条件的判定：，则是的充分条件；，则是的必要条件条件；判断C，D选项. 【详解】A选项：命题，则命题的否定是，A选项错误； B选项：定义域：，定义域：，定义域不同，与不是同一个函数，B选项正确； C选项：定义在上的奇函数在0处函数值为0，但在0处函数值为0的函数不一定是奇函数；所以他们不是充要条件的关系，C选项错误； D选项：当且时，成立，满足充分条件；当时，且不成立，例如，，不满足必要条件；所以“且”是“”的充分不必要条件，D选项正确. 故选：BD. 11. 已知函数的定义域为，且满足，当时，，则（ ） A. 是奇函数 B. 是增函数 C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】求出，令可判断A；不妨设可得，根据是奇函数可判断B；令可得，根据单调性可判断CD. 【详解】对于A，令，则；令，则， 为奇函数，故A正确； 对于B，不妨设，则， ，在为增函数，又奇函数， 在为增函数，故B正确； 对于CD，令，，则，， 故C错误D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，则___________. 【答案】-2 【解析】 【分析】由函数解析式，直接代入求解. 【详解】因为， 所以 故答案为：-2 13. 对于集合，定义，且，，设，则_______ 【答案】 【解析】 【分析】利用二次函数最值求出集合，再利用给定的定义求出结果. 【详解】由，得，当且仅当时取等号，则， 而，于是，， 所以. 故答案为： 14. 设x，y为实数，且满足，则________． 【答案】2 【解析】 【分析】构造函数，分析判断其单调性与奇偶性，从而由题设条件得到，从而求得的值. 【详解】依题意，设，其定义域为， 因为，在上单调递增，所以在上单调递增， 为奇函数， ， ， 即， ， 因为在上单调递增，所以，即有. 故答案为：2. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤.4 15. 已知集合，． （1）当时，求，； （2）求能使成立的实数的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）当时，求出集合A，进而可以求解； （2）由题可知，然后根据子集的定义建立不等式关系，即可求解． 【小问1详解】 当时，集合，， 所以，. 【小问2详解】 由，可知， 则，解得， 故实数的取值范围为． 16. 某港口水深y(米)是时间t (0≤t≤24，单位：小时)的函数，下面是水深数据： t(小时) 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y(米) 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.0 据上述数据描成的曲线如图所示，该曲线可近似的看成函数的图象． （1）试根据数据表和曲线，求的解析式； （2）一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于4.5米是安全的，如果某船的吃水度(船底与水面的距离)为7米，那么该船在什么时间段能够安全进港？ 【答案】（1）；（2）至或至. 【解析】 【分析】（1）根据数据，可得，由，可求，从而可求函数的表达式； （2）由题意，水深，即，从而可求t的范围，即可得解； 【详解】解：（1）根据数据，可得， ，， ， ， 函数的表达式为； （2）由题意，水深， 即， ， ，，，1， ，或，； 所以，该船在至或至能安全进港． 17. 设函数，其中，已知. （1）求的最小正周期； （2）将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将整个图象向左平移个单位，得到函数的图象，求在区间上的最小值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】 （1）先根据三角恒等变换的知识化简的解析式，根据求解出的值，然后最小正周期可求； （2）根据图象平移求解出的解析式，采用整体代换的方法求解出在的最小值. 【详解】（1）因为， 所以， 因为，所以，所以， 所以，又，所以，所以； （2）因为 ，将的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变）可得， 将图象向左平移个单位可得， 因为，所以， 所以，此时， 所以的最小值为. 【点睛】思路点睛：求解形如在指定区间上的值域或最值的一般步骤如下： （1）先确定这个整体的范围； （2）分析在（1）中范围下的取值情况； （3）根据取值情况确定出值域或最值，并分析对应的的取值. 18. 已知定义在上的函数是奇函数. （1）求a，b的值； （2）判断并证明函数在定义域中的单调性； （3）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）， （2）单调递减，证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的性质列方程，解方程即可； （2）根据单调性的定义判断和证明； （3）根据奇函数的性质将不等式转化为，然后根据单调性列不等式，得到，最后求最值即可. 【小问1详解】 由题意得，解得， ，所以. 小问2详解】 在定义域中单调递减，证明如下： 设，， 则 ， 因为，所以，，即， 所以在定义域中单调递减. 【小问3详解】 不等式可整理为， 即， 因为单调递减，所以，即对于恒成立， 则， 当时，取得最小值， 所以的取值范围为. 19. 已知函数，若的最小正周期为． （1）求的解析式； （2）若函数在上有三个不同零点，，，且． ①求实数取值范围； ②若，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换化简，根据题意求解即可； （2）①根据（1），利用换元法，结合二次函数根的分布分情况讨论即可，②设，为方程的两个不相等的实数根，由①可求得，的取值范围，根据，结合三角函数的性质和三角恒等变换求得，的关系，根据韦达定理求解，，代入，的关系式中，即可求得的取值范围. 【小问1详解】 因为的最小正周期为，所以，即， 所以； 【小问2详解】 ①由（1）知， 由，可得， 令，则，， 若函数在有三个零点， 即在有三个不相等的实数根， 也就是关于的方程在区间有一个实根，另一个实根在上， 或一个实根是，另一个实根在， 当一个根在，另一个实根在， 所以，即，解得：， 当一个根为时，即，所以，此时方程为，所以，不合题意， 当一个根是，即，解得，此时方程为，所以，不合题意， 当一个根是，另一个实根在，由得，此时方程为，解得或，这两个根都不属于，不合题意， 综上的取值范围是； ②设，为方程的两个不相等的实数根，则， 由①知，，， 所以，即， ，所以，即， 由得，所以， 因为，， 所以， 所以， 所以， 又，且，所以， 所以， 整理得，因为，所以， 解得或，又，所以， 所以的取值范围是. 【点睛】方法点睛：本题考查三角恒等变换，函数零点问题；先进行三角恒等变换，由最小正周期为，可求解的值，得到的解析式，把函数零点问题转化为方程的根的问题，利用换元法转化为二次方程根的分布问题；利用已知条件通过变形得到，的关系，利用韦达定理把，用表示，代入关系式求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$