精品解析：湖南省常德市临澧县第一中学2024-2025学年高一下学期第一次阶段性考试数学试题（普通班）

临澧一中2025年上学期高一年级第一次阶段性考试 数学试卷（普通班） 满分：150分 时间：120分钟 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知第一象限角锐角小于的角，则关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据各集合所表示的角的范围逐项分析即可. 【详解】对于A选项，除了锐角，还包括其它角，比如，所以A选项错误； 对于B选项，锐角是小于的角，故B选项正确； 对于C选项，锐角是第一象限角，故，C选项错误； 对于D选项，中角的范围不一样，所以D选项错误. 故选：B 2. “幂函数在单调递减”是“”的（ ） A. 既不充分也不必要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 充要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据幂函数的定义求出m的值，再根据充分、必要条件的定义判断即可． 【详解】若为幂函数，则，解得或， 因为当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增， 故由“幂函数在单调递减”当且仅当“”成立， 即“幂函数在单调递减”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：A. 3. 已知向量和满足，，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，结合向量的运算法则，求得，结合向量的投影向量的计算方法，即可求解. 【详解】由向量和满足，，， 可得，解得， 所以向量在向量上的投影向量. 故选：A. 4. 碳14具有放射性.活体生物组织内的碳14含量大致不变，当生物死亡后，其组织内的碳14开始衰减.已知碳14的半衰期约为5730年，即生物死亡年后，碳14含量，其中为活体生物组织内碳14的含量.科学家一般利用碳14这一特性测定生物死亡年代.2025年科学家在我国发现的某生物遗体中碳14的含量约为原始含量的0.92，已知，则根据所给的数据可推断该生物死亡的朝代为（ ） A. 宋（公元年） B. 元（公元年） C. 明（公元年） D. 清（公元年） 【答案】B 【解析】 【分析】根据碳14含量的计算公式列出方程，然后结合已知条件求解出生物死亡的时间，进而判断该生物死亡的朝代. 【详解】已知碳14含量公式，某生物遗体中碳14的含量约为原始含量的0，92， 即，代入公式可得， 因为，两边同时除以，得到， 对两边取以为底的对数，可得， 则， 因为，，即， 所以， 将代入，可得（年）， 已知是在2025年发现该生物遗体，那么该生物死亡的时间约为（年）， 因为，所以该生物死亡的朝代为元（公元年）. 故选：B 5. 已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由对数型复合函数的单调性，二次函数的对称轴，以及真数大于0求解． 【详解】由题意，解得， 故选：B． 6. 已知角大小如图所示，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由已知结合三角函数定义先求出，然后结合两角和的正切公式，二倍角公式，同角基本关系进行化简即可求解． 【详解】由题意可得，， 则． 故选：D． 7. 如图，在边长为2的菱形中，，点E，F分别在边，上，且，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的线性运算，进而根据数量积的运算律即可求解为边，的中点，进而可求解. 【详解】设，可得， 有，， 故， 又由，有，解得，（舍）， 故为边，的中点，所以为等边三角形，故． 故选：C． 8. 邢台一中数学探索馆中“圆与非圆—搬运”的教具中出现的勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形.在如图所示的勒洛三角形中，已知，为弧上的一点，且，则的最小值为（ ） A. 0 B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的运算可得，结合数量积的几何意义分析求解. 【详解】因为为弧上的一点，则，且， 可知， 由图形可知：当点与点重合时，向量在方向上的投影取到最小值， 此时， 所以的最小值为. 故选：C. 二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 下列关于平面向量的说法中错误的是（ ） A. 设，为非零向量，若，则 B. 设，为非零向量，若，则的夹角为锐角 C. 设，，为非零向量，则 D. 若点G为的外心，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用向量的运算结合数量积公式即可判断选项ABC，结合向量的线性运算即可判断D. 【详解】对于A，若， 则，可得， 又，为非零向量，所以，A正确； 对于B，若，且，为非零向量， 所以，夹角为锐角或者同向，B错； 对于C，与共线，与共线，C错； 对于D，若点为的重心， 延长交于，可得为中点， 即有， 即有， 而为的外心，与重心性质不符，D错.    故选：BCD 10. 已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. 函数的图象可由的图象向左平移个单位得到 B. 直线是图象的一条对称轴 C. 若，则的最小值为 D. 直线与函数在上的图象有7个交点 【答案】BCD 【解析】 【分析】由图象求出函数的解析式，利用三角函数图象变换可判断A选项；利用正弦型函数的对称性可判断B选项；利用正弦型函数的周期性可判断C选项；求出在时的可能取值，可判断D选项. 【详解】对于A选项，由图可知，函数的最小正周期为，则， 又因为，因为，则， 所以，，则，所以，， 故函数的图象可由的图象向左平移个单位得到，A错； 对于B选项，， 所以，直线是图象的一条对称轴，B对； 对于C选项，因为， 所以，的最小值为，C对； 对于D选项，当时，， 由可知的可能取值集合为， 所以，直线与函数在上的图象有个交点，D对. 故选：BCD. 11. 如图，在边长为1的正方形ABCD中，点P是线段AD上的一点，点M，N分别为线段PB，PC上的动点，且，（，），点O，G分别为线段BC，MN的中点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的最小值为 C. 若，则的最小值为 D. 若，，则的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，通过向量的线性运算即可验证；对于B，建立适当的平面直角坐标系，将数量积转换为闭区间上的二次函数，进而判断；对于C，先表示出，进一步可表示出，结合模长公式即可验算；对于D，将条件等式转换为，结合基本不等式即可判断. 【详解】对于A，因为，，所以 ，故A正确； 对于B，以B为坐标原点，BC，BA所在的直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，如图所示． 所以B（0，0），C（1，0），D（1，1），A（0，1），设，，所以P（x，1）， 所以，所以的最小值为，此时，故B正确； 因为，（，）， 所以，， 所以，当时，， 所以，当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为，故C错误； 因为，若，，则 ，所以， 所以，即，当且仅当即时，等号成立， 所以，即的最大值是，故D正确． 故选：ABD． 【点睛】关键点点睛：判断C选项的关键是先表示出，进一步可表示出即可顺利得解. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由向量共线定理的坐标表示，列出方程解得的值. 【详解】因为，， 所以，， 由，得，解得. 故答案：. 13. 已知直角梯形中，，，，，是腰上的动点，则的最小值为______. 【答案】5 【解析】 【分析】以为轴的正方向建立直角坐标系，利用向量的坐标表示求模长的最小值. 【详解】 由题：以为轴的正方向建立直角坐标系，如图所示： 设， 则 ，当取得最小值. 故答案为：5 【点睛】此题考查平面向量线性运算和模长的坐标表示，恰当地建立直角坐标系将模长问题进行转化利于解题. 14. 已知是定义域为的函数，且是奇函数，是偶函数，满足，若对任意的，都有成立，则实数的取值范围是_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，得到，联立方程组，求得，结合题意转化为成立，构造，得到在单调递增，利用二次函数的性质，分类讨论，即可求解. 【详解】因为是奇函数，是偶函数，满足， 可得， 联立方程组，解得， 又因为对任意的，都有成立， 所以，所以成立， 构造， 所以由上述过程可得在单调递增， (i)若，则对称轴，解得； (ii) 若，在单调递增，满足题意； (iii) 若，则对称轴恒成立； 综上可得，，即实数的取值范围为. 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知，集合． （1）若，求； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据集合的交并补运算的定义即可求解， （2）将问题转化为,即可对讨论是否为空集，列不等式即可求解. 【小问1详解】 当时，则故或， 又， 故 【小问2详解】 由于“”是“”的充分不必要条件， 所以, 当为空集时，则，解得， 当不为空集时，则或，解得， 综上可得 16. 已知向量，，. （1）求函数的单调递增区间和最小正周期； （2）若当时，关于的不等式有解，求实数的取值范围. 【答案】（1）单调增区间为，；；（2）. 【解析】 【分析】（1）利用向量的数量积的坐标运算,并利用两角和差的三角函数公式化简得到函数的解析式，有三角函数的性质求得周期，单调增区间； （2）将不等式分离参数，根据不等式有解的意义得到；然后根据角的范围，利用三角函数的性质求得函数的最小值，进而求得的取值范围. 【详解】（1）因为 所以函数的最小正周期； 因为函数的单调增区间为，， 所以，， 解得，， 所以函数的单调增区间为，； （2）不等式有解，即； 因为，所以，又， 故当，即时， 取得最小值，且最小值为， 所以. 17. 已知函数 是定义域为 的奇函数，且 . （1）求函数 的表达式； （2）判断函数 在 上的单调性，并用定义证明; （3）设函数 ，若对任意的 ，存在 ，使得 成立，求实数 的取值范围. 【答案】（1）； （2）在上递增，证明见解析； （3） 【解析】 【分析】（1）利用奇函数的性质可求得，再由的值，可求得，从而得到 的表达式. （2）用定义法判断证明在上的单调性即可. （3）将问题转化为，对进行分类讨论，结合一次函数的单调性，求得的取值范围. 【小问1详解】 依题意函数是定义域为 的奇函数， 所以，所以 又，解得. 此时，经检验，该函数为奇函数． 故. 【小问2详解】 函数在上递增，证明如下： 任取，则，， 因为，，所以， 所以，故在上递增. 【小问3详解】 由（1）得 若对任意的，存在，使得成立，则 由（2）得在上递增，所以， 存在，成立，即 若，则在上为增函数， ， 若，则，此时符合题意． 若，则在上为减函数，   ，符合题意 综上可知：. 即实数的取值范围是：. 18. 如图，在等腰梯形中，，，为线段中点，与交于点，连接，为线段上的一个动点. （1）用基底表示； （2）求的值； （3）设，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）解法一：由平面向量的线性运算法可得，，结合可得出关于的表达式，再由可得结果； 解法二：将表示为的表达式，将表示为的表达式，代入可得结果； （2）设，，将表示为基底的表达式，结合平面向量的基本定理可得出关于、的方程组，解出的值，即可得出的值； （3）设，将表示为的表达式，利用平面向量的基本定理可得出关于的表达式，求出的取值范围，再结合二次函数的基本性质可求出的取值范围. 【小问1详解】 解法一：由向量的线性运算法则可得①，②， 因为为线段中点，则，由题意可得， ①②得，整理得：， 则 解法二：因为①， ②， 将②代入①得. 【小问2详解】 由与交于点，设③， 设，可得，即④， 由③④得，消去得，所以，即. 【小问3详解】 由题意，可设， 代入中并整理可得. 又，故，可得. 因为，且函数在上单调递减，所以， ， 因为函数在单调递减， 所以，，， 所以的取值范围为. 19. 问题：已知、、均为正实数，且，求证：. 证明：，当且仅当时，等号成立.学习上述解法并解决下列问题： （1）已知、、均为正实数，且，求的最小值； （2）已知、、、均为正实数，且，求证：； （3）求的最小值，并求出使得取得最小值时的值. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）当时，取最小值 【解析】 【分析】（1）将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值； （2）将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可证得所证不等式成立； （3）分析可得，利用（2）中的结论可得出，可求得的最小值，结合（2）中的结论可求得对应的的值. 小问1详解】 解：因、、均为正实数，且， 则 ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 所以，的最小值为. 【小问2详解】 证明：因为、、、均为正实数，且， 则 ， 当且仅当时，即当时，等号成立，故 【小问3详解】 解：对于代数式，有，可得， 此时，，则， 所以，， 由（2）中的结论可得，可得， 当且仅当时，即当时，取最小值. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 临澧一中2025年上学期高一年级第一次阶段性考试 数学试卷（普通班） 满分：150分 时间：120分钟 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知第一象限角锐角小于的角，则关系是（ ） A. B. C. D. 2. “幂函数在单调递减”是“”的（ ） A. 既不充分也不必要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 充要条件 3. 已知向量和满足，，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 4. 碳14具有放射性.活体生物组织内的碳14含量大致不变，当生物死亡后，其组织内的碳14开始衰减.已知碳14的半衰期约为5730年，即生物死亡年后，碳14含量，其中为活体生物组织内碳14的含量.科学家一般利用碳14这一特性测定生物死亡年代.2025年科学家在我国发现的某生物遗体中碳14的含量约为原始含量的0.92，已知，则根据所给的数据可推断该生物死亡的朝代为（ ） A 宋（公元年） B. 元（公元年） C. 明（公元年） D. 清（公元年） 5. 已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C D. 6. 已知角的大小如图所示，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在边长为2的菱形中，，点E，F分别在边，上，且，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 8. 邢台一中数学探索馆中“圆与非圆—搬运”的教具中出现的勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形.在如图所示的勒洛三角形中，已知，为弧上的一点，且，则的最小值为（ ） A. 0 B. C. D. 2 二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 下列关于平面向量的说法中错误的是（ ） A. 设，为非零向量，若，则 B. 设，为非零向量，若，则夹角为锐角 C. 设，，为非零向量，则 D. 若点G为的外心，则 10. 已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. 函数的图象可由的图象向左平移个单位得到 B. 直线是图象的一条对称轴 C. 若，则的最小值为 D. 直线与函数在上的图象有7个交点 11. 如图，在边长为1的正方形ABCD中，点P是线段AD上的一点，点M，N分别为线段PB，PC上的动点，且，（，），点O，G分别为线段BC，MN的中点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的最小值为 C. 若，则最小值为 D. 若，，则的最大值为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，，则______． 13. 已知直角梯形中，，，，，是腰上的动点，则的最小值为______. 14. 已知是定义域为的函数，且是奇函数，是偶函数，满足，若对任意的，都有成立，则实数的取值范围是_________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知，集合． （1）若，求； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 16. 已知向量，，. （1）求函数的单调递增区间和最小正周期； （2）若当时，关于的不等式有解，求实数的取值范围. 17. 已知函数 是定义域为 奇函数，且 . （1）求函数 的表达式； （2）判断函数 在 上的单调性，并用定义证明; （3）设函数 ，若对任意的 ，存在 ，使得 成立，求实数 的取值范围. 18. 如图，在等腰梯形中，，，为线段中点，与交于点，连接，为线段上的一个动点. （1）用基底表示； （2）求的值； （3）设，求的取值范围. 19. 问题：已知、、均为正实数，且，求证：. 证明：，当且仅当时，等号成立.学习上述解法并解决下列问题： （1）已知、、均为正实数，且，求的最小值； （2）已知、、、均为正实数，且，求证：； （3）求的最小值，并求出使得取得最小值时的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $