精品解析：河南省南阳市社旗县宛东实验高级中学2024-2025学年高三下学期开学考试数学试题

高三入学测试数学试题 时间：120分钟 分数：150分 命题人：高三数学组 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1. 复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】根据虚数单位的乘方运算，可得其周期，结合复数的几何意义，可得答案. 【详解】由，且，则， 所以，可得其在复平面上对应的点为，即该点在第四象限. 故选：D. 2. 集合的真子集的个数是（ ） A. 64 B. 63 C. 32 D. 31 【答案】D 【解析】 【分析】首先利用列举法表示集合，再根据含有 个元素的集合的真子集有个计算可得. 【详解】由，解得， 即， 所以集合的真子集有个. 故选：D 3. 已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（ ） A. 13 B. 12 C. 9 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题通过利用椭圆定义得到，借助基本不等式即可得到答案． 【详解】由题，，则， 所以（当且仅当时，等号成立）． 故选：C． 【点睛】 4. 在的展开式中，含的项的系数是（ ） A. 74 B. 121 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据，利用通项公式得到含的项为：，进而得到其系数， 【详解】因为在， 所以含的项为：， 所以含的项的系数是的系数是， ， 故选：D 【点睛】本题主要考查二项展开式及通项公式和项的系数，还考查了运算求解的能力，属于基础题， 5. 已知等比数列首项为，前 项和为，若，则公比为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据等比数列前 项和公式，可求得、表达式，结合题干条件，即可求得q的值. 【详解】当公比时，，不满足题意，当时，，， 所以，解得， 故选：D 6. 已知直线与椭圆，则求椭圆上的点到直线l的最小距离（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据图形得到点到直线的距离最小，然后联立直线和椭圆方程得到，最后求距离即可. 【详解】 如图所示，，与椭圆相切于点，所以点到直线的距离最小， 设：，联立得， 令，解得或（舍去）， 则，的距离， 即点到直线的距离为. 故选：C. 7. 已知函数的图象为C,为了得到函数的图象，只要把C上所有的点（ ） A. 横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变 B. 横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 C. 纵坐标伸长到原来的倍，横坐标不变 D. 纵坐标缩短到原来的，横坐标不变 【答案】C 【解析】 【分析】 根据三角函数的伸缩变换得到答案. 【详解】把的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的倍（横坐标不变） 得到的图像. 故选： 【点睛】本题考查了三角函数的伸缩变换，属于简单题. 8. 已知点是椭圆的左右焦点，点为椭圆上一点，点关于平分线的对称点也在椭圆上，若，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据角平分线的对称性以及椭圆的性质，建立方程，表示出焦半径，利用余弦定理，结合齐次方程的思想，可得答案. 【详解】由题意可作图如下： 由图可知：， 由平分，则，所以， 由，则解得， 由是关于直线的对称点，则共线，，，， 所以，在中，， 可得，解得，， 在中，由余弦定理，可得， 代入可得：，化简可得：， 所以其离心率. 故选：C. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。） 9. 下列命题中正确的是（ ） A. 已知随机变量，则 B. 已知随机变量， C. 数据，，，，，，的第百分位数是 D. 样本甲中有件样品，其方差为，样本乙中有 件样品，其方差为，则由甲乙组成的总体样本的方差为 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用二项分布的期望公式及期望性质可判断A，利用正态曲线的对称性可判断B，根据百分位数的求法可判断C，利用两组数据方差的特征可判断D. 【详解】对于A，因为，所以， 所以，故A正确； 对于B，因为随机变量，所以，故B正确； 对于C，因为，所以数据的第百分位数是，故C正确； 对于D，记样本甲，乙的平均数分别为，由甲乙组成的总体样本的平均数为， 则甲乙组成的总体样本的方差为， 故D不正确. 故选：ABC. 10. 在圆O的内接四边形中，，，，则（ ） A. B. 四边形的面积为 C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】选项A，在，分别使用余弦定理，求解即可； 选项B，结合面积公式，即得解； 选项C，转化利用数量积的定义求解即可； 选项D，转化，，利用数量积的定义求解即可. 【详解】 由题意，，故， 在中，由余弦定理， 在中，由余弦定理， 故，解得，又，故 故，解得，A正确； ，B正确； 在中，， 在中，， ，C错误； ， 又 ，故，D正确. 故选：ABD 11. 已知函数.（其中为自然对数的底数），则下列说法正确的有（ ） A. 是奇函数 B. C. 若方程有且仅有一个解，则的取值范围是 D. 函数，若存在，使成立，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】A. 利用函数奇偶性的定义判断；B.直接计算验证；C.转化为有一个解，利用数形结合法求解；D.由 在上是增函数，转化为有解求解判断. 【详解】，令，定义域为，， 所以是奇函数，故A正确； 因为，，所以，故B错误； 方程，即为，作出函数，的图象，如图所示： 由题意知：或，解得或，故C正确； 在上是增函数，则等价于， 令，令，则， 因为存在，使得成立，所以，故D正确. 故选：ACD 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 2023年9月，我国成功地举办了“杭州亚运会”. 亚运会期间，某场馆要从甲、乙、丙、丁、戊5名音效师中随机选取3人参加该场馆决赛的现场音效控制，则甲、乙至少有一人被选中的概率为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】从5人中选取3人，那么甲、乙至少有一人被选中，包含三种情况，第一种是甲乙中只选中了甲，第二种是甲乙中只选中了乙，第三种是甲乙都被选中，再结合组合数求解. 【详解】从5名音效师中随机选取3人参加该场馆决赛的现场音效控制，记“甲、乙至少有一人被选中”为事件，那么事件包含三种情况，第一种是甲乙中只选中了甲，第二种是甲乙中只选中了乙，第三种是甲乙都被选中， 所以. 故答案为：. 13. 在等差数列中，，，且，为___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据等差数列的性质得到公差，然后求. 【详解】设等差数列公差为，则，所以， . 故答案为：. 14. 古希腊数学家阿波罗尼奥斯在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点射出的光线，经椭圆反射，其反射光线必经过椭圆的另一焦点.设椭圆的左、右焦点分别为、，若从的右焦点发出的光线经过上的点和点反射后，满足，且，则的离心率为______. 【答案】## 【解析】 【分析】由题意，作图，利用三角函数的性质，可设线段的表示，根据齐次方程的思想，可得答案. 【详解】由题意，可作图如下： 则，， 即， 可设，，， 由，则，即， ，在中，， 则. 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。） 15. 在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知 （1）求A； （2）若，求的周长的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理即可求得角； （2）利用三角函数求值域求周长的取值范围. 【小问1详解】 ， ， 由正弦定理得： ， 又，所以， 所以. 【小问2详解】 由正弦定理得：， 所以 ， ，， 所以，所以， 所以周长. 16. 某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的质量（单位：克），质量的分组区间为（490，495]，（495，500]，…，（510，515]，由此得到样本的频率分布直方图如图． （1）根据频率分布直方图，求质量超过505克的产品数量； （2）在上述抽取的40件产品中任取2件，设X为质量超过505克的产品数量，求X的分布列，并求其均值； （3）从该流水线上任取2件产品，设Y为质量超过505克的产品数量，求Y的分布列． 【答案】（1）12（件） （2）分布列见解析， （3）分布列见解析 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图直接可计算产品数量； （2）由已知可知该分布为超几何分布，进而可得分布列与期望； （3）由已知可知该分布为二项分布，进而可得分布列. 【小问1详解】 质量超过克的产品的频率为， 质量超过克的产品数量为. 【小问2详解】 质量超过克的产品数量为， 则质量未超过克的产品数量为，服从超几何分布，的取值为，，. ，， . 的分布列为 解法一：的均值为. 解法二：的均值为. 【小问3详解】 根据用样本估计总体的思想，取一件产品，该产品的质量超过克的概率为. 从流水线上任取件产品互不影响， 该问题可看二项分布，质量超过克的件数可能的取值为，，，且. ，，，. ， ， . 的分布列为 17. 如图，在三棱锥中，，，，，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O，，点F在AC上，. （1）证明：平面； （2）证明：平面平面BEF； （3）求二面角的正弦值. 【答案】（1） 连接，设，则，，， 则， 解得，则为的中点，由分别为的中点， 于是，即，则四边形为平行四边形， ，又平面平面， 所以平面. （2） 法一：由（1）可知，则，得， 因此，则，有， 又，平面， 则有平面，又平面，所以平面平面. 法二：因为，过点作轴平面，建立如图所示的空间直角坐标系， ， 在中，， 在中，， 设，所以由可得：， 可得：，所以， 则，所以，， 设平面的法向量为， 则，得， 令，则，所以， 设平面的法向量为， 则，得， 令，则，所以， ， 所以平面平面BEF； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，证明四边形为平行四边形，再利用线面平行的判定推理作答. （2）法一：由（1）的信息，结合勾股定理的逆定理及线面垂直、面面垂直的判定推理作答.法二：过点作轴平面，建立如图所示的空间直角坐标系，设，所以由求出 点坐标，再求出平面与平面BEF的法向量，由即可证明； （3）法一：由（2）的信息作出并证明二面角的平面角，再结合三角形重心及余弦定理求解作答.法二：求出平面与平面的法向量，由二面角的向量公式求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 法一：过点作交于点，设， 由，得，且， 又由（2）知，，则为二面角的平面角， 因为分别为的中点，因此为的重心， 即有，又，即有， ，解得，同理得， 于是，即有，则， 从而，， 在中，， 于是，， 所以二面角的正弦值为. 法二：平面的法向量为， 平面的法向量为， 所以， 因为，所以， 故二面角的正弦值为. 18. 已知函数． （1）证明：为奇函数； （2）求的导函数的最小值； （3）若恰有三个零点，求的取值范围． 【答案】（1） 由题设，令， 所以， 又定义域为R，所以为奇函数，得证. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用奇偶性定义判断奇偶性即可； （2）由题设可得，应用基本不等式求其最小值； （3）问题化为与在和上各有一个交点，利用导数研究的性质，数形结合确定参数范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题设， 当且仅当，即时取等号， 所以的导函数的最小值为. 【小问3详解】 令，用代换，则， 对于，有， 易知为奇函数，又恰有三个零点，即恰有三个零点，显然， 只需保证在和上各有一个零点即可， 令，则，即与在和上各有一个交点， 由，且，即为奇函数， 令，则，显然上，上， 综上，在R上递增，但递增速率先变快后变慢，大致图象如下图示， 又与都过原点，且原点处的切线斜率为， 结合图象知：当时，与在和上各有一个交点， 所以. 【点睛】难点点睛：导数类综合应用问题，综合性较强，计算量大，解答的难点在于第三问的零点问题，解答时将零点问题转化为函数图象的焦点问题，数形结合进行解决. 19. 已知椭圆的右焦点为，点在上，且轴． （1）求的方程； （2）过点的直线交于两点，为线段的中点，直线交直线于点，证明：轴． 【答案】（1） （2） 直线的斜率必定存在，设，，， 由可得， 故，故， 又， 而，故直线，故， 所以 ， 故，即轴. 【解析】 【分析】（1）设，根据的坐标及轴可求基本量，故可求椭圆方程. （2）设，，，联立直线方程和椭圆方程，用的坐标表示，结合韦达定理化简前者可得，故可证轴. 【小问1详解】 设，由题设有且，故，故，故， 故椭圆方程为. 【小问2详解】 略 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或 ）的一元二次方程，注意的判断； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三入学测试数学试题 时间：120分钟 分数：150分 命题人：高三数学组 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1. 复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 集合的真子集的个数是（ ） A. 64 B. 63 C. 32 D. 31 3. 已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（ ） A. 13 B. 12 C. 9 D. 6 4. 在的展开式中，含的项的系数是（ ） A. 74 B. 121 C. D. 5. 已知等比数列首项为，前 项和为，若，则公比为（ ） A. 1 B. C. D. 6. 已知直线与椭圆，则求椭圆上的点到直线l的最小距离（ ） A. B. 2 C. D. 7. 已知函数的图象为C,为了得到函数的图象，只要把C上所有的点（ ） A. 横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变 B. 横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 C. 纵坐标伸长到原来的倍，横坐标不变 D. 纵坐标缩短到原来的，横坐标不变 8. 已知点是椭圆的左右焦点，点为椭圆上一点，点关于平分线的对称点也在椭圆上，若，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。） 9. 下列命题中正确的是（ ） A. 已知随机变量，则 B. 已知随机变量， C. 数据，，，，，，的第百分位数是 D. 样本甲中有件样品，其方差为，样本乙中有 件样品，其方差为，则由甲乙组成的总体样本的方差为 10. 在圆O的内接四边形中，，，，则（ ） A. B. 四边形的面积为 C. D. 11. 已知函数.（其中为自然对数的底数），则下列说法正确的有（ ） A. 是奇函数 B. C. 若方程有且仅有一个解，则的取值范围是 D. 函数，若存在，使成立，则 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 2023年9月，我国成功地举办了“杭州亚运会”. 亚运会期间，某场馆要从甲、乙、丙、丁、戊5名音效师中随机选取3人参加该场馆决赛的现场音效控制，则甲、乙至少有一人被选中的概率为__________. 13. 在等差数列中，，，且，为___________. 14. 古希腊数学家阿波罗尼奥斯在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点射出的光线，经椭圆反射，其反射光线必经过椭圆的另一焦点.设椭圆的左、右焦点分别为、，若从的右焦点发出的光线经过上的点和点反射后，满足，且，则的离心率为______. 四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。） 15. 在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知 （1）求A； （2）若，求的周长的取值范围． 16. 某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的质量（单位：克），质量的分组区间为（490，495]，（495，500]，…，（510，515]，由此得到样本的频率分布直方图如图． （1）根据频率分布直方图，求质量超过505克的产品数量； （2）在上述抽取的40件产品中任取2件，设X为质量超过505克的产品数量，求X的分布列，并求其均值； （3）从该流水线上任取2件产品，设Y为质量超过505克的产品数量，求Y的分布列． 17. 如图，在三棱锥中，，，，，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O，，点F在AC上，. （1）证明：平面； （2）证明：平面平面BEF； （3）求二面角的正弦值. 18. 已知函数． （1）证明：为奇函数； （2）求的导函数的最小值； （3）若恰有三个零点，求的取值范围． 19. 已知椭圆的右焦点为，点在上，且轴． （1）求的方程； （2）过点的直线交于两点，为线段的中点，直线交直线于点，证明：轴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $