精品解析：重庆市北碚区西南大学附属中学校2024-2025学年九年级下学期开学考试数学试题

西南大学附中初2025届初三下开学考试数学试题 （满分：150分：考试时间：120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试卷上直接作答； 2、作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成； 4．考试结束，将试卷和答题卡一并收回． 一、选择题：本大题10个小题，每小题4分，共40分．在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上对应题目的正确答案标号涂黑． 1. 的倒数是（ ） A. B. C. D. 2. 下列图案中，既不是中心对称图形也不是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 3. 一元二次方程根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 4. 下列命题中，真命题是（　　） A. 经过一点有且只有一条直线与已知直线平行 B. 两条直线被第三条直线所截，同位角相等 C. 垂线段最短 D. 连接两点之间的线段叫两点间的距离 5. 如图，在平面直角坐标系中，正方形与正方形是以原点为位似中心的位似图形，且位似比为，点，，在轴上，若，则点的坐标为（　　） A. B. C. D. 6. 估计的值应在（　　） A. 0和1之间 B. 1和2之间 C. 2和3之间 D. 3和4之间 7. 2025年央视春晚在重庆设立分会场，场地在来福士对面的规划展览馆，很多明星将参与春晚彩排，家住长嘉汇购物公园旁的小西，在寒假某一天，先从家跑步去规划展览馆拍照打卡，再去面馆打包“重庆小面”，最后回家．小西家、面馆、规划展览馆在一条直线上．小西离开家的距离与时间之间的函数关系如图所示．下列结论正确的是（　　） A. 小西从家到规划展览馆的速度是 B. 小西在面馆停留时间为30min C. 小西从面馆到家的速度是 D. 小西从规划展览馆到面馆的速度 8. 已知正方形的边长为，对角线交于点，以为圆心，长为半径作圆心角为的扇形，则图中阴影部分的面积是（　　） A. B. C. D. 9. 矩形中，；点在线段上，，连接，过点作，垂足为，与对角线交于点，交于点，则的长是（　　） A. B. C. D. 3 10. 对两个整式，进行如下操作：记，称为第一次操作；记，称为第二次操作；记，称为第三次操作；记，称为第四次操作，……下列说法； ①； ②若，则； ③若，则不存在正整数，使得是10的倍数． 其中正确的个数是（　　） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分．请将每小题的答案填在答题卡中对应的横线上． 11. 一个正n边形，其内角和是外角和的三倍，则n的值为__________． 12. 为弘扬我国传统文化，现校准备从春节、元宵节、清明节、端午节四个节日中随机选取两个节日来讲解其文化内涵，那么春节和端午节刚好被选中的概率是______． 13. 如图，在反比例函数的和图象上分别有两点，若轴且，则___________． 14. 若关于的一元一次不等式组有且仅有2个奇数解，且关于的分式方程的解为整数，则满足条件的所有整数的值之和为___________． 15. 如图，四边形内接于，，，点为的中点，连接，连接并延长，交于点，交于点．若，，则___________，___________ 16. 若一个四位正整数的各个数位上的数字不同，且各个数位上的数字之和为完全平方数，则称这个四位数为“方圆数”，那么最小的“方圆数”为___________；将一个“方圆数”的前两位数记为，后两位数记为，规定，．若都是整数，则满足条件的的最大值和最小值的差为___________． 三、解答题：本大题共8个小题，第17题16分，其余各题每题10分，共计86分．解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卡对应的位置上． 17. 计算： （1） （2） 18. 小西在探究角平分线性质的时候，他发出疑问，三角形的一个内角角平分线分其对边所成的两条线段与这个角的两边是否成比例？于是，他展开探究．根据他的想法与思路，完成以下作图和填空． （1）在中，用尺规作图作的角平分线交与点，在射线上取一点，使得（不写作法，保留作图痕迹）． （2）在（）所作的图中，求证：． 证明：∵平分， ∴ ， 又∵， ∴， ∴ ， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴ ， 依据证明过程，小西得出如下结论：___________． 19. 为全面推进新时代类育改革发展，了解掌握学生艺术素养发展情况，某学校举行了音乐基础知识测评．从七、八年级学生中各随机抽取20名学生的测评成绩（百分制），进行收集，整理，描述，分析（成绩得分用表示，共分为4个组：A．，B．，C．，D．），下面给出部分信息： 七年级学生测评成绩在C组的数据为：81，81，83，83，83，87，88，88，89 八年级学生测评成绩在C组的数据为：81，82，84，84，84，84，84，85，87，89 七年级20名学生音乐测评成绩的八年级20名学生音乐测评成绩的扇形统计图条形统计图 平均数 中位数 众数 七年级 85 83 八年级 85 84 （1）上述图表中，则___________，_________，___________； （2）通过二上数据分析，你认为该校七、八年级哪个年级学生测评成绩更好？请说明理由（一条理由即可） （3）该校七年级有780人，八年级有700人，若测评成绩不低于90份的记为优秀，试估计七、八年级测评成绩为优秀的学生共有多少人？ 20. “阅百十风华致生涯广大”值此办学110周年之际，西大附中一大批文创产品惊喜上新，“随行杯”和“盲盒”深受师生喜爱．董老师在“阅见书店”购买了2个“随行杯”和3个“盲盒”，共花费420元，谢老师在“阅见书店”购买了3个“随行杯”和2个“盲盒”，共花费380元． （1）求每个“随行杯”和“盲盒”的售价为多少元？ （2）“阅见书店”的文创产品很快售罄，应广大师生需求，“阅见书店”打算再购进一批“随行杯”和“盲盒”，4500元购进的“随行杯”数量比4500元购进的“盲盒”数量多40个，已知每个“盲盒”成本比每个“随行杯”的成本高，在售价不变的前提下，求这一批“随行杯”和“盲盒”全部售罄的利润为多少元？ 21. 如图1．在中，，，点为的三等分点，动点以每秒1个单位的速度从点出发，按照的顺序在边上运动，同时点以每秒个单位长度的速度从点出发，在线段上运动，当点到达点时，点，都同时停止运动．在运动过程中，设点的运动时间为秒的面积为的面积与的比值为． （1）直接写出与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）在如图2所示的平面直角坐标系中，画出的函数图象，并根据图象写出函数的一条性质； （3）根据函数图象，直接求出时，的取值范围．（近似值精确到0.1，误差不超过0.2） 22. 外卖，作为现代化快节奏生活中的一种餐饮服务形式，近年来在全球范围内迅速发展并广受欢迎．小西在位于点处的家中购买了位于点处“稻香园”的外卖食品，外卖骑手收到商家派单后立即赶往点处取餐，然后进行配送．根据导航显示，点位于点的西北方向米处，点位于点南偏东方向且在点的北偏东方向，点位于点的南偏东方向，又在点的正西方向．（参考数据：） （1）求的长（保留根号）； （2）骑手在“稻香园”取餐后开始配送，由于道路施工，骑手有两条送餐路线可以选择，路线①，速度为每分钟120米，路线②，速度为每分钟240米，请通过计算说明，骑手选择哪条路线才能更快的将外卖送到小西家？ 23. 如图1，抛物线与坐标轴分别交于三点，其中点坐标为． （1）求抛物线解析式； （2）点是直线下方抛物线上的一动点，点是轴上一动点，当四边形的面积最大时，求的最小值； （3）在（2）条件下，将抛物线沿轴翻折得到，则点的对应点为，并将沿射线方向平移个单位长度得到，记在抛物线上的对应点为，过作轴于点是直线上一点，连接，则是否存在点使得；若存在，请直接写出点的坐标． 24. 已知与交于点，连接． （1）如图，若，当时，求； （2）如图，若，取中点为，过作交于点，证明：； （3）如图，延长交延长线于点，若，，，是内一点，满足，，在右侧作，求的最大面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 西南大学附中初2025届初三下开学考试数学试题 （满分：150分：考试时间：120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试卷上直接作答； 2、作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成； 4．考试结束，将试卷和答题卡一并收回． 一、选择题：本大题10个小题，每小题4分，共40分．在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上对应题目的正确答案标号涂黑． 1. 的倒数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了求一个数的倒数，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据倒数的定义求解即可． 【详解】解：的倒数是， 故选：A． 2. 下列图案中，既不是中心对称图形也不是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原重图合．根据中心对称图形和轴对称图形的概念对各图形分析判断即可得解． 【详解】解：A、既是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项不合题意； B、既是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项不合题意； C、既是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项不合题意； D、既不中心对称图形也不是轴对称图形，故本选项符合题意； 故选：D． 3. 一元二次方程根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与判别式的关系．，方程有两个不相等的实数根；，方程有两个相等的实数根；，方程没有实数根，判断判别式的符号，即可得到方程根的情况． 【详解】解：， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根； 故选：B． 4. 下列命题中，真命题是（　　） A. 经过一点有且只有一条直线与已知直线平行 B. 两条直线被第三条直线所截，同位角相等 C. 垂线段最短 D. 连接两点之间的线段叫两点间的距离 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．根据平行线的性质、平行公理、垂线段最短及两点间的距离判断即可． 【详解】解：A、经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，本选项说法是假命题； B、两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，本选项说法是假命题； C、连接直线外一点与直线上各点的线段中，垂线段最短，本选项说法是真命题； D、连接两点之间的线段的长度叫两点间的距离，本选项说法是假命题； 故选：C． 5. 如图，在平面直角坐标系中，正方形与正方形是以原点为位似中心的位似图形，且位似比为，点，，在轴上，若，则点的坐标为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是位似变换、坐标与图形性质与正方形的性质，掌握位似变换的基本性质是解题的关键．根据位似变换的性质得到，且，根据相似三角形的性质求出即可得到答案． 详解】解：正方形与正方形是以原点为位似中心的位似图形， ， 相似比为，， ， ， ， 正方形与正方形是以原点为位似中心的位似图形， ，， ， ， 解得：， 点的坐标为． 故选：A． 6. 估计的值应在（　　） A. 0和1之间 B. 1和2之间 C. 2和3之间 D. 3和4之间 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算、无理数的估算，熟记二次根式的运算法则是解答的关键． 直接利用二次根式的乘法运算法则化简，进而估算无理数的大小即可． 【详解】解： ， ， ， ， 故选A． 7. 2025年央视春晚在重庆设立分会场，场地在来福士对面的规划展览馆，很多明星将参与春晚彩排，家住长嘉汇购物公园旁的小西，在寒假某一天，先从家跑步去规划展览馆拍照打卡，再去面馆打包“重庆小面”，最后回家．小西家、面馆、规划展览馆在一条直线上．小西离开家的距离与时间之间的函数关系如图所示．下列结论正确的是（　　） A. 小西从家到规划展览馆的速度是 B. 小西在面馆停留时间为30min C. 小西从面馆到家的速度是 D. 小西从规划展览馆到面馆的速度 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了从函数图形获取信息，根据函数图象逐项分析即可． 【详解】解：A．小西从家到规划展览馆的速度是，故不正确； B．小西在面馆停留时间为，故不正确； C．小西从面馆到家的速度是，故不正确； D．小西从规划展览馆到面馆的速度，故正确； 故选D． 8. 已知正方形的边长为，对角线交于点，以为圆心，长为半径作圆心角为的扇形，则图中阴影部分的面积是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，扇形的面积，由正方形的性质可证，得到，再根据即可求解，由正方形的性质证明是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 9. 矩形中，；点在线段上，，连接，过点作，垂足为，与对角线交于点，交于点，则的长是（　　） A. B. C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理．根据矩形的性质证明和，根据相似三角形的性质列出比例式，求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 10. 对两个整式，进行如下操作：记，称为第一次操作；记，称为第二次操作；记，称为第三次操作；记，称为第四次操作，……下列说法； ①； ②若，则； ③若，则不存在正整数，使得是10的倍数． 其中正确的个数是（　　） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了整式的加减及数字类变化规律，根据题意找到规律是解题的关键．先分别计算出，再对各个说法分别分析并判断即可得出结论． 【详解】已知，将代入可得：， 已知，将代入可得：， 已知，将代入可得：， 已知，将代入可得：， 由上述计算可知，题干未说明的取值，所以不一定等于7， 故说法①错误； 当时，， ， ∵， ， 故说法②错误； 当时，即， 此时，， 发现所有的末位数字均为2、4、6，不会出现0， 则不存在正整数，使得是10的倍数． 故说法③正确． 综上，正确的说法只有1个， 故选：B． 二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分．请将每小题的答案填在答题卡中对应的横线上． 11. 一个正n边形，其内角和是外角和的三倍，则n的值为__________． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了多边形的内角和与外角和； 根据多边形的内角和公式以及外角和是列方程求解即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故答案为：． 12. 为弘扬我国传统文化，现校准备从春节、元宵节、清明节、端午节四个节日中随机选取两个节日来讲解其文化内涵，那么春节和端午节刚好被选中的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了画树状图法求概率，根据画树状图法求概率即可，熟练掌握列表法与树状图法是解题的关键． 【详解】解：设春节、元宵节、清明节、端午节四个节日中分别用，，，表示， 画树状图如下： 共有种等可能的结果，恰好是和的结果数为种， ∴春节和端午节刚好被选中的概率为， 故答案为：． 13. 如图，在反比例函数的和图象上分别有两点，若轴且，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的综合题：反比例函数图象上的点的坐标满足其解析式；利用相似三角形的相似比进行几何计算是常用的方法．交轴于点，证明，根据相似三角形的性质得到，再利用反比例函数系数的几何意义得到，，从而得到． 【详解】解：交轴于点，如图， 轴， ， ，， ， ， ， ，， ， ． 故答案为． 14. 若关于的一元一次不等式组有且仅有2个奇数解，且关于的分式方程的解为整数，则满足条件的所有整数的值之和为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组和分式方程，解题关键是熟练掌握解一元一次不等式组和分式方程的一般步骤．先解已知条件中的不等式组，再根据不等式组有且仅有2个奇数解，求出的取值范围，然后解已知条件中的分式方程，根据方程解是整数，求出值，最后求出同时满足已知条件的的值，求出它们的和即可． 【详解】解：， 由①得：， ， ， 由②得：， ， ， ， 关于的一元一次不等式组有且仅有2个奇数解， 这两个奇数解为1和3， ， ， ， ， 方程两边同时乘得：， ， 关于的分式方程的解是整数， 或或或或或，且，即， 又， 或2或4或或或， 满足条件的所有整数的值之和为：， 故答案为：． 15. 如图，四边形内接于，，，点为的中点，连接，连接并延长，交于点，交于点．若，，则___________，___________ 【答案】 ①. 10 ②. 【解析】 【分析】作，连接，，，证明四边形是矩形，延长交的延长线于点，再证明，推出，，设，则，，在中，利用勾股定理列式计算即可求得；过点作直径，连接，，证明是的中位线，推出，，证明和，进一步计算即可求解． 【详解】解：作，连接，，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴是的直径， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， 延长交的延长线于点， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得，即， 解得（负值已舍）， ∴，，； 过点作直径，连接，， ∵点为的中点， ∴，是的中位线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， 解得， ∴，， ∴， ∴，即， 故答案为：10；． 【点睛】本题考查了解直角三角形，圆周角定理，垂径定理，矩形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 16. 若一个四位正整数的各个数位上的数字不同，且各个数位上的数字之和为完全平方数，则称这个四位数为“方圆数”，那么最小的“方圆数”为___________；将一个“方圆数”的前两位数记为，后两位数记为，规定，．若都是整数，则满足条件的的最大值和最小值的差为___________． 【答案】 ①. 1026 ②. 8485 【解析】 【分析】（1）由a、b、c、d的取值范围，确定出最小的完全平方数为9，即可求解； （2）先根据题意推导出、能被5整除，求出符合题意的、的值，再根据题意得到或9，进而可得最大值为，最小值为，两数作差可得结论． 【详解】解：由题意可知：，，，，且a、b、c、d互不相等的正整数， ∴， 最小的完全平方数为9， 最小的“方圆数”为， ， 当时，， 最小的“方圆数”为； ，， ，， ，都是整数， ∴、能被5整除， ∵，，且、互不相等， ∴，， ∴或或，或， 当时，解得，符合题意； 当时，解得，符合题意； 当时，解得，不符合题意； 当时，解得，不符合题意； 当时，解得，不符合题意； 当时，解得，不符合题意； 故， ∵，，且a、b、c、d互不相等的正整数， ∴， ∵为完全平方数， ∵，为完全平方数， ∴或9， 当时，此时，当，，，时，的值最大，为， 当时，此时，当，，，时，的值最小，为， ， 故答案为：1026，8485． 【点睛】本题考查了数字规律探索，代数式，整式的加减，整除的意义，理解新定义和掌握相关知识点是解决本题的关键． 三、解答题：本大题共8个小题，第17题16分，其余各题每题10分，共计86分．解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卡对应的位置上． 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了整式及分式的混合运算：要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式． （1）先运用整式的运算法则展开，再去括号，最后进行加减运算即可； （2）先把分子分母因式分解，再把除法运算化为乘法运算，然后约分即可． 【小问1详解】 解：原式， ， ； 【小问2详解】 解：原式， ， ， ， ， 18. 小西在探究角平分线性质的时候，他发出疑问，三角形的一个内角角平分线分其对边所成的两条线段与这个角的两边是否成比例？于是，他展开探究．根据他的想法与思路，完成以下作图和填空． （1）在中，用尺规作图作的角平分线交与点，在射线上取一点，使得（不写作法，保留作图痕迹）． （2）在（）所作的图中，求证：． 证明：∵平分， ∴ ， 又∵， ∴， ∴ ， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴ ， 依据证明过程，小西得出如下结论：___________． 【答案】（1）作图见解析； （2）；；；三角形的一个内角角平分线分其对边所成的两条线段与这个角的两边成比例． 【解析】 【分析】（）作角平分线和作一条线段等于已知线段即可； （）根据角平分线的定义和等边对等角得出，则，故有，然后根据相似三角形的性质即可求解； 本题考查了尺规作图，角平分线的定义，等边对等角，相似三角形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 【小问1详解】 解：如图， 【小问2详解】 证明：∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 依据证明过程，小西得出如下结论：三角形的一个内角角平分线分其对边所成的两条线段与这个角的两边成比例． 故答案为：；；；三角形的一个内角角平分线分其对边所成的两条线段与这个角的两边成比例． 19. 为全面推进新时代类育改革发展，了解掌握学生艺术素养发展情况，某学校举行了音乐基础知识测评．从七、八年级学生中各随机抽取20名学生测评成绩（百分制），进行收集，整理，描述，分析（成绩得分用表示，共分为4个组：A．，B．，C．，D．），下面给出部分信息： 七年级学生测评成绩在C组的数据为：81，81，83，83，83，87，88，88，89 八年级学生测评成绩在C组的数据为：81，82，84，84，84，84，84，85，87，89 七年级20名学生音乐测评成绩八年级20名学生音乐测评成绩的扇形统计图条形统计图 平均数 中位数 众数 七年级 85 83 八年级 85 84 （1）上述图表中，则___________，_________，___________； （2）通过二上数据分析，你认为该校七、八年级哪个年级学生测评成绩更好？请说明理由（一条理由即可） （3）该校七年级有780人，八年级有700人，若测评成绩不低于90份的记为优秀，试估计七、八年级测评成绩为优秀的学生共有多少人？ 【答案】（1）81，84，10 （2） 解：八年级学生测评成绩更好，理由如下： 因为两个年级成绩的平均数相同，但八年级的中位数及众数高于七年级， 所以得到八年级学生 测评成绩更好； （3）七、八年级测评成绩为优秀的学生共有218人 【解析】 【分析】（1）根据中位数的定义可得的值，根据众数的定义可得的值，再求出七年级学生测评成绩在D组的人数，最后求出的值； （2）根据众数和中位数的意义解答即可； （3）利用样本估计总体思想求解可得． 【小问1详解】 解：由题意可得：七年级20名学生的成绩在组中的人数有（人），在组中的人数有（人）， 七年级学生测评成绩在C组的数据为：81，81，83，83，83，87，88，88，89， 把七年级20名学生的成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别是81，81， 故中位数， 七年级20名学生的成绩在组中的人数有（人）， ， 在八年级20名学生的成绩中84出现的次数最多，故众数； 故答案为：81，84，10； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：（人， 答：七、八年级测评成绩为优秀的学生共有218人． 【点睛】本题考查了扇形统计图、条形统计图、中位数、众数以及用样本估计总体，掌握相关统计量的意义以及计算方法是解答本题的关键． 20. “阅百十风华致生涯广大”值此办学110周年之际，西大附中一大批文创产品惊喜上新，“随行杯”和“盲盒”深受师生喜爱．董老师在“阅见书店”购买了2个“随行杯”和3个“盲盒”，共花费420元，谢老师在“阅见书店”购买了3个“随行杯”和2个“盲盒”，共花费380元． （1）求每个“随行杯”和“盲盒”的售价为多少元？ （2）“阅见书店”文创产品很快售罄，应广大师生需求，“阅见书店”打算再购进一批“随行杯”和“盲盒”，4500元购进的“随行杯”数量比4500元购进的“盲盒”数量多40个，已知每个“盲盒”成本比每个“随行杯”的成本高，在售价不变的前提下，求这一批“随行杯”和“盲盒”全部售罄的利润为多少元？ 【答案】（1）每个随行杯”售价为60元，每个“盲盒”售价为100元 （2）这一批“随行杯”和“盲盒”全部售罄的利润为1400元 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用以及二元一次方程组的应用，解题关键：找出等量关系并列出方程（组）． （1）设每个“随行杯”售价为元，每个“盲盒”售价为元，根据购买了2个“随行杯”和3个“盲盒”，共花费420元，谢老师在“阅见书店”购买了3个“随行杯”和2个“盲盒”，共花费380元，列出方程组并求解即可； （2）设“随行杯”的成本为元，则“盲盒”的成本为元．根据题意列出分式方程即可求出，注意分式方程要检验，再根据售价减去成本得出利润． 【小问1详解】 解：设每个“随行杯”售价为元，每个“盲盒”售价为元．根据题意列方程组： 解得：． 答：每个随行杯”售价为60元，每个“盲盒”售价为100元； 【小问2详解】 解：设“随行杯”的成本为元，则“盲盒”的成本为元．根据题意列方程： 解得：， 经检验是原方程的解， 故“盲盒”成本为元， 所以“随行杯”数量：（个），“盲盒”数量：（个）， 则每个“随行杯”利润：（元）．每个“盲盒”利润：（元）， 则总利润：（元）， 答：这一批“随行杯”和“盲盒”全部售罄的利润为1400元． 21. 如图1．在中，，，点为的三等分点，动点以每秒1个单位的速度从点出发，按照的顺序在边上运动，同时点以每秒个单位长度的速度从点出发，在线段上运动，当点到达点时，点，都同时停止运动．在运动过程中，设点的运动时间为秒的面积为的面积与的比值为． （1）直接写出与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）在如图2所示的平面直角坐标系中，画出的函数图象，并根据图象写出函数的一条性质； （3）根据函数图象，直接求出时，的取值范围．（近似值精确到0.1，误差不超过0.2） 【答案】（1），； （2）图见解析，性质：当时，函数取得最大值为6； （3）时，的取值范围为． 【解析】 【分析】本题考查了动点的函数，包括求函数的解析式，画函数图象，根据图象写函数的性质，比较函数值的大小，正确求出函数解析式并画出图象是解题的关键． （1）点分两种情况：点在上运动和点在上运动，分别确定三角形的底和高求解即可；点在射线上运动，直接确定三角形的底和高求解即可； （2）画出图象，再观察的图象，可以从增减性写出函数的一条性质； （3）先从图象上确定交点的横坐标，再利用确定在下面的范围即可． 【小问1详解】 解：当点在线段上时，， ∴， 当点在线段上时，， ∵，， ∴， 作于点， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：列表： x 0 1 2 3 6 2 6 6 3 1 描点，连线，的函数图象，如图， 性质：当时，函数取得最大值为6； 【小问3详解】 解：观察图象，时，的取值范围为． 22. 外卖，作为现代化快节奏生活中的一种餐饮服务形式，近年来在全球范围内迅速发展并广受欢迎．小西在位于点处的家中购买了位于点处“稻香园”的外卖食品，外卖骑手收到商家派单后立即赶往点处取餐，然后进行配送．根据导航显示，点位于点的西北方向米处，点位于点南偏东方向且在点的北偏东方向，点位于点的南偏东方向，又在点的正西方向．（参考数据：） （1）求的长（保留根号）； （2）骑手在“稻香园”取餐后开始配送，由于道路施工，骑手有两条送餐路线可以选择，路线①，速度为每分钟120米，路线②，速度为每分钟240米，请通过计算说明，骑手选择哪条路线才能更快的将外卖送到小西家？ 【答案】（1）米 （2）骑手选择路线②的送餐路线才能更快的将外卖送到小西家 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，勾股定理： （1）如图所示，过点O作于H，由题意求出，则，先解得到，再利求出的长即可得到答案； （2）作，垂足为G，先解得到长，再求出，进而分别计算出两条路线的时间即可得到答案． 【小问1详解】 解：如图所示，过点O作于H， 由题意得，， ∴ ， ， 在中，， 在中，， ， ∴； 【小问2详解】 解：作，垂足为G， 由题意得：， 在中，， ， 在中，， ， ， ， 在中，， ， ∴路线①的时间为分钟； ∴路线②的时间为分钟， ∵， ∴骑手选择路线②的送餐路线才能更快． 23. 如图1，抛物线与坐标轴分别交于三点，其中点坐标为． （1）求抛物线解析式； （2）点是直线下方抛物线上的一动点，点是轴上一动点，当四边形的面积最大时，求的最小值； （3）在（2）条件下，将抛物线沿轴翻折得到，则点的对应点为，并将沿射线方向平移个单位长度得到，记在抛物线上的对应点为，过作轴于点是直线上一点，连接，则是否存在点使得；若存在，请直接写出点的坐标． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）先求出，再把，代入得计算即可； （2）过作轴于，交于，先求直线解析式为，再设，则，，根据，求出面积最大时，再过在轴上方找一点，使，，连接，延长交轴于，根据，当在上时，最小，再求出的轨迹方程，设，根据求解即可； （3）先求出，，得到，直线解析式为，再根据的位置分情况讨论，分别画出图形求解即可． 【小问1详解】 解：令，则， ∴，， ∵， ∴， ∴， 把，代入得， 解得， ∴抛物线解析式； 【小问2详解】 解：过作轴于，交于， ∵， ∴设直线解析式为， 把代入得，解得， ∴直线解析式为， ∴设，则， ∴， ∴ ， ∴当时，最大，此时， 过在轴上方找一点，使，，连接，设交轴于， ∴，， ∴，，即，点在直线上移动， ∴， ∴当在上时，最小， 设直线解析式为， 把代入得，解得， ∴直线解析式为， ∴设， ∴， ∴当时，最小，即， ∴的最小值； 【小问3详解】 解：∵关于轴翻折得到点， ∴将抛物线沿轴翻折得到，解析式为，整理得，的对应点， 连接交轴于，则轴，， ∴，，， ∴将沿射线方向平移个单位长度得到，相当于先向左移动个单位长度，再向下移动12个单位长度， ∴在抛物线上的对应点为，即， ∵过作轴于点， ∴， ∵， ∴设直线解析式为， 把代入得，解得， ∴直线解析式为， 当点在点左边时，由外角可得，不合题意； 当点在线段上时，如图，连接交轴于点，过作于 ∵， ∴，即平分， ∵ ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵中，， ∴， 解得， ∴， 同理可求得直线解析式为， ∵直线与交点为， ∴联立，解得， ∴； 当点在点右边时，如图，过作交于，过作轴于， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，轴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 解得，， ∴， ∴， 同理可求得直线解析式为， ∵直线与交点为， ∴联立，解得， ∴， 综上所述，或． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及到求抛物线解析式，二次函数面积最值，二次函数线段和最值，相似三角形的判定与性质，解直角三角形等知识点． 24. 已知与交于点，连接． （1）如图，若，当时，求； （2）如图，若，取中点为，过作交于点，证明：； （3）如图，延长交延长线于点，若，，，是内一点，满足，，在右侧作，求的最大面积． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）如图，过点A作于点，则，利用等腰三角形的性质和三角形的外角性质求得，则，利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求解即可； （2）延长、相交于点H，过E作于O，过A作于N，先利用等腰三角形的性质得到，，，设，则，，再利用三角形的内角和定理和等腰三角形的性质，结合图形中角的关系求得，进而求得；然后证明得到，则可得，证明得到，进而可求解； （3）延长至O，使，连接，先根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理，结合图形中的角之间关系求得，则点A、C、O、M四点共圆，连接，利用圆周角定理则，过M作交延长线于R，推导出，得到点P、M、R、C四点共圆，且为圆心，则，证明是等边三角形得到，；证明得到，则，作的外接圆，设圆心为T，则点Q在劣弧上，当时，面积的最大，求得即可求得的最大面积． 【小问1详解】 解：如图，过点A作于点，则， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 即； 【小问2详解】 证明：延长、相交于点H，过E作于O，过A作于N， ∵，， ∴，，， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，又， ∴； 在和和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵，的中点为， ∴，， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：延长至O，使，连接， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴点A、C、O、M四点共圆， 连接，则， ∴， 过M作交延长线于R， 则， ∴， ∵，， ∴， ∴，又， ∴点P、M、R、C四点共圆，且为圆心， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， 又,， ∴， ∴， ∴，又， 故作的外接圆，则点Q在劣弧上，设圆心为T，当时，面积的最大，设垂足为K， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴的最大面积为． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定与性质、三角形的内角和定理及外角性质、含30度角的直角三角形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、解直角三角形、等边三角形的判定与性质、圆周角定理等知识，综合性强，难度较大，熟练掌握相关知识的联系与运用，添加辅助线得到是解答的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $