6.1 圆的周长和弧长培优课程讲义 ---2024—2025学年 沪教版（五四制）数学六年级下册

上海初中六年级数学新教材第5章比和比例（培优课程） 专题05 圆的周长和弧长 知识点一、圆的周长 通过操作和计算，我们发现圆的周长都是直径的固定的倍数，我们把这个倍数叫做圆周率，用字母表示，读作“pai”；圆周率是个无限不循环小数，． 圆的周长直径 = 圆周率． 用字母C表示圆的周长，d表示直径，r表示半径，那么：或 知识点二、弧和圆心角的概念 如图，圆上A、B两点之间的部分就是弧，记作：，读作：弧AB；称为圆心角． 知识点三、弧长公式 设圆的半径长为，圆心角所对的弧长是l，那么：． 题型1：圆的周长公式的应用 【例1】已知一个半圆形的直径是8厘米，这个半圆形的周长是　　　　　厘米． 【例2】一个铁环直径是60厘米，从操场东端滚到西端转了90圈，另一个铁环的直径是40厘米，它从东端滚到西端要转的圈数是（    ）． A．270 B．135 C．100 D．120 【例3】小明将一张半圆形纸片平均分成四份后，重新组合在一起（如下图），新组合的图形的周长是( )cm（π取3）． 【例4】如图，外面一个大圆，中间两个小圆，则大圆和两个小圆的周长比较结果是（    ）． A．外圆大于两个小圆之和 B．外圆小于两个小圆之和 C．外圆等于两个小圆之和 D．无法确定 【例5】半径为3的圆和边长为3的正方形，二者的周长相比，（ ） A．一样大 B．圆大于正方形 C．圆小于正方形 D．圆等于正方形 【跟踪训练】 1.一个圆形花池的周长是50.24米，它的半径是多少米？ 2.一根铁丝围成了一个边长7.85厘米的正方形，如果把这根铁丝围成一个圆，那么圆的周长是　　　　厘米．如果用圆规画出这个圆，圆规两脚间的距离是　　厘米． 3．如图，是一个由半圆和一条直径所组成的图形，求这个图形的周长．（单位：厘米，取） 4．一块正方形木板，边长为6分米，截出一个最大的圆，圆的周长是______分米． 5.图中，三个圆的圆心在一条直线上，大圆的周长比两个小圆的周长和比较，结果是（　　） A．大圆的周长长 B．大圆的周长短 C．两者相等 D．无法确定 6．如图，点、点在线段上， 米， 米，是圆心．从到有3条不同的半圆弧线路可走，请你判断走哪一条半圆弧线路的距离最短． 题型2：弧长公式的应用 【例6】已知扇形的半径为2cm，圆心角为120°，则此扇形的弧长是　 　cm． 【例7】一条弧所对的圆心角为135°、弧长等于半径为5cm的圆的周长的3倍，则这条弧的半径为 cm。 【例8】半径为R，圆心角为300°的扇形的周长为（ ） A． B． C． D． 【例9】一条弧所对的圆心角是144°，那么这条弧长与这条弧所在圆的周长之比为（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1．已知扇形的弧长为 ，它的圆心角为 ，则该扇形的半径为　 　． 2．一个扇形的面积是其所在圆面积的，那么这个扇形的圆心角是 度． 3．分针长为2厘米，经过25分钟，分针的外端点绕钟面轴心转过的弧长______厘米．（结果保留） 4．圆的半径不变，圆心角扩大为原来的2倍，则（   ） A．弧长扩大为原来的4倍 B．弧长扩大为原来的2倍 C．弧长不变 D．弧长缩小为原来的一半 5．一条弧所对的圆心角是，则这条弧长与这条弧所在圆的周长之比为（    ） A． B． C． D． 6．若一段弧所在的圆的半径缩小到原来的，且所对圆心角扩大到原来的4倍，则弧长（ ） A．不变 B．扩大到原来的2倍 C．缩小到原来的 D．扩大到原来的4倍 题型4：求组合图形的周长 【例10】如图中，两个正方形的边长均为6cm，求这两个图形中阴影部分的周长． 【例11】图中阴影部分的周长是（    ）    A．18cm B．cm C．36cm D．cm 【例12】如图所示，求图中正方形中阴影部分的周长（取3.14）． 【例13】如图，的三条边长都是18毫米，分别以、、为圆心，18毫米为半径画弧，求这三条弧长的和．（取3.14） 【跟踪训练】 1．如图，长方形ABCD的边长AB=4厘米，BC=7厘米，以A为圆心，AB为半径画弧，交AD于点F，以D为圆心，DF为半径画弧，交DC于点E，计算图中阴影部分的周长和面积（结果保留） 2.如图，求阴影部分的周长是多少厘米？ 3.将半径分别为3厘米和2厘米的两个半圆如图那样放置，求阴影部分的周长？ 4．如图，以B、C为圆心的两个半圆的直径都是2厘米，那么阴影部分的周长是多少厘米？（取3.14） 5．已知：如图，四边形和都是正方形，正方形的边长是1厘米，那么曲线长为 厘米． 题型5：圆的周长与弧长公式在图形和生活中应用 【例14】为减少环境污染，某城市倡议大家绿色低碳出行。李叔叔每天骑自行车下班，工作单位距家2000米，自行车的轮胎直径约70厘米。如果自行车每分钟转100圈，李叔叔10分钟能到家吗？ 【例15】将三根直径为a的圆柱形钢管用铁丝据扎，现设计了方案I和Ⅱ两种方案，如图甲和图乙所示，选用哪一种方案最省料． 【例16】【问题背景】学校运动场如图①，两端是半圆形，中间是正方形运动场，周长是257米．中间正方形的边长是多少米？（π取3．14）            (1)【分析与解答】某小组采取合作学习的方式探究此问题，以下是该小组三位同学的对话： 甲：“把运动场进行平移变换（如图②），则圆的周长正方形边长运动场周长．” 乙：“圆的周长可以看作是正方形边长的3.14倍．” 丙：“我们可以用方程的思想来解决问题！” 亲爱的同学，请你帮助他们完成解答． (2)【拓展延伸】学校计划在此运动场内部修建一条宽是5米的塑胶跑道（图③中阴影部分），每平方米塑胶跑道的造价是80元，一共需要多少元？ 【跟踪训练】 1．生活中，经常把一些同样大小的圆柱管按下图的方式捆扎起来，如果每根圆柱管的直径是8cm，当圆柱管放置方式是“单层平放”时，捆扎一圈后的横截面如下图所示，那么当圆柱管有100个时，需要绳子( )cm．（取3）    2．小军今年满12周岁了，爸爸给他买了一辆自行车，经测量，车轮半径是25厘米。   （1）车轮滚动1圈大约前进多少米？ （2）如果车轮平均每分转100周，小军每天骑自行车上学大约需要多少分？（结果保留整数） 3．洋洋和爷爷在体育场散步，他们下午7：00从体育场的同一地点出发，相背而行，他们都沿着体育场的边线走，爷爷每分钟走60米，洋洋走的速度是爷爷的，体育场如下图。 （1）体育场的周长有多少米？ （2）5分钟后他们相遇了吗？ 题型6：弧长公式在滚动问题中的应用 【例17】桌面上平放着一个边长为2分米的等边三角形ABC（如图①），现将这个三角形按下图所示，紧贴着桌面进行滚动．在整个滚动过程中，顶点 经过的路线轨迹最短，是 分米（结果保留π）．      【例18】如下图，是一个电动玩具，它是由一个的长方形盘（单位：）和一个半径为的小圆盘（盘中画有娃娃脸）组成的，它们的连接点为，．如果小圆盘沿着长方形内壁，从点出发按逆时针方向不停地滚动（无滑动），直到回到原来的位置． （1）请你计算一下，小圆盘中的娃娃脸在，，的位置是怎样的？请画出示意图； （2）小圆盘共自转了几圈？ （3）计算小圆盘绕长方形盘滚动一周，扫过长方形盘的面积． 【跟踪训练】 1．等边三角形的边长是3厘米，现将沿一条直线翻滚30次，如图所示，求点经过的路程的长． 2．如图，在一个长方形内有一个等边三角形，长方形的宽与等边三角形的边长之比为，长方形的长是宽的倍，等边三角形的边长为1厘米，三角形沿长方形的边在长方形内部向右翻转，翻转三次后顶点C所划过的曲线的长度为 厘米，（精确到） 3.已知圆O的半径为r，等边三角形的边长为．如下图，圆O按箭头方向从某一位置沿三角形的三边做无滑动的滚动． (1)当圆O第一次回到原来位置时，圆O绕圆心滚动了几圈？ (2)当圆O第三次回到原来位置时，圆心O走过的路程是多少？ (3)假设圆O从中点位置开始滚动，当圆心O走过的路程为时停止，问：圆O绕圆心滚动了多少圈？ 题型7：素养提升 【例19】中学原计划在一个直径为20米的圆形场地内修建圆形花坛（花坛指的是图中实线部分），为使花坛修得更加美观、有特色，决定向全校征集方案，在众多方案中最后选出三种方案： 方案A：如图1所示，先画一条直径，再分别以两条半径为直径修两个圆形花坛； 方案B：如图2所示，先画一条直径，然后在直径上取一点，把直径分成2：3的两部分，再以这两条线段为直径修两个圆形花坛； 方案C：如图3所示，先画一条直径，然后在直径上任意取四点，把直径分成5条线段，再分别以这5条线段为直径修5个圆形花坛． (1)如果按照方案A修，修的花坛的周长是______． (2)如果按照方案B修，与方案A比，省材料吗？为什么？ (3)如果按照方案C修，学校要求在8小时内完成，甲工人承包了此项工程，他做了4小时后，发现不能完成任务，就请乙来帮忙，乙的效率是甲的，乙加入后，甲的效率也提高了，结果正好按时完成任务，若修1米花坛可得到10元钱，修完花坛后，甲可以得到多少钱？（取3） 一、选择题 1．(2023存志中学期末)如果大圆的半径长是小圆半径长的2倍，那么大圆周长是小圆周长的（    ） A．2 B．4 C． D． 2．（2024市北中学月考）已知一个钟表的分针长9cm，则经过10分钟它的外端所走的路线长为（    ） A． B． C． D． 3．（2024闵行区期末）一个闹钟的分针长，从到，这根分针的尖端走了（   ）． A． B． C． D．以上都不对 4．（2024闵行区期末）如图，四个三角形拼成一个风车图形，若，当风车转动，点B运动的路径长度为（    ） A． B． C． D． 5．（2024普陀区期末）如图，甲、乙两块挡板之间有一个半径为的圆，圆从甲挡板开始沿直线滚动到乙挡板，正好滚动3周．甲、乙两块挡板之间的距离是（   ）． A．62.52 B．59.52 C．56.52 6．（2024松江区期末）图中的五个半圆，邻近的两半圆相切，两只小虫同时出发，以相同的速度从A点到B点，甲虫沿ADA1、A1EA2、A2FA3、A3GB路线爬行，乙虫沿ACB路线爬行，则下列结论正确的是（　　） A．甲先到B点 B．乙先到B点 C．甲、乙同时到B D．无法确定 二、填空题 7．（2023建平西校月考）一块正方形木板，边长为6分米，截出一个最大的圆，圆的周长是______分米． 8．（2024闵行区期末）在半径为6的圆中，的圆心角所对的弧长等于 （结果保留）． 9．（2022市北中学期末）如果一条弧的长度是它所在圆的周长的，那么这条弧所对的圆心角是 °． 10．（2024松江区期末）如图，在中，，，，将边绕点A按顺时针方向旋转，使得点C落在边AB上的点D处，所得弧的长为 ． 11．（2024交大二附中区期末）台钟的时针长为9厘米，经过4小时，时针的针尖走过的路径长是_______． 12．（2024徐汇中学期末）下图是丽丽用圆规画的心形祝福卡设计图，她想在“心形”边线处贴上一圈金丝线。现有35 cm长的金丝线，贴一圈( )。（填“够用”或“不够用”） 13．（2024嘉定区期末）圆是一个神奇的平面图形，它可以组成各种美丽的图案，请计算出下面由圆组成的小逗号的周长．（每个小方格的边长．） 14．（2024黄浦区期末）如图，A、B是圆的直径的两端，甲在A点，乙在B点，同时出发，反向而行。两人在C点第一次相遇，在D点第二次相遇。已知C点离A点有40米，D点离B点有20米，则这个圆的周长是( )米。 15．（2024嘉定区期末）如图，将直角三角尺ABC（其中）绕点B顺时针旋转一个角度到的位置，使得点A，B，在同一条直线上，如果AB的长度为10，那么点A旋转到点走过的路程是________．（结果保留） 16．（2024上宝中学期末）如图2所示，圆环的外圆周长C1=250厘米，内周长C2=150厘米，则圆环的宽度d______． 17. （2024嘉定区期末）如图，长方形的长和宽分别是8cm和4cm，图中阴影部分的周长是_____ 18．（2024位育中学月考）如图所示，以△ABC的三个顶点为圆心，15毫米为半径，在△ABC内画弧，得到三段弧，则这三段弧长之和为________. 三、解答题 19．（2023上海课时作业本）求图中阴影部分的周长．（取3.14） 20．（2023上海课时作业本）求阴影部分的周长．    21．（2023上海课时作业本）一辆自行车车轮的外直径是60厘米，小李骑该自行车从家到图书馆用了12分钟，如果车轮每分钟转50圈，那小李从家到图书馆的路程是多少米？ 22．（2023上海课时作业本）直径均为1米的四根管子被一根金属带紧紧地捆在一起，如图所示，试求金属带的长度。 23．（2021上外附中期末）三角形的每边长都是厘米，现将三角形沿一条直线l顺时针方向翻滚次（如图1所示为翻滚一次） 求： (1)翻滚一次点所经过的总路程；（结果保留） (2)翻滚次点所经过的总路程．（结果保留） 24．（2023杨浦区期末）如图，两个圆周只有一个公共点，大圆直径为48厘米，小圆直径为30厘米，甲、乙两虫同时从点出发，甲虫以每秒0.5厘米的速度顺时针沿大圆圆周爬行，乙虫以同样速度顺时针沿小圆圆周爬行．（取3） （1）问乙虫第一次爬回到点时，需要多少秒？此时甲虫是否已经经过点？ （2）两虫沿各自圆周不间断地反复爬行，能否出现这样的情况：乙虫爬回到点时甲虫恰好爬到点？如果可能，求此时乙虫至少爬了几圈；如果不可能，请说明理由． 26．（2023西南位育月考）神舟六号飞船在太空圆形轨道中飞行115.5小时，绕地球77圈，行程325万千米。 (1)求神舟六号飞船绕地球一圈需要几分钟；飞行速度是每分钟多少千米。(精确到个位) (2)已知神舟五号以相同的速度在半径相同的圆形轨道中飞行了21小时，求:神舟五号飞船绕地球飞行的圈数。 (3)已知地球半径为6378公里，求在圆形轨道上飞行的飞船距地面多少千米。(精确到个位) 27．（2022上海期末练习）某服装厂有形状为等腰三角形的边角布料，测的得，米，现要从此三角形中剪出若干扇形，以制作不同形状的玩具，要求扇形的两条半径恰好都在的边上，扇形的弧与的一边有一个公共点（或两边各有一个公共点）．如第一幅图所示的扇形符合题意．现请设计其他符合题意的一种方案，要求在第二幅图中画出图形，请直接写出半径并求扇形的周长（结果保留π），若想不出其他方案，可以直接根据第一幅图写出半径并求该扇形的周长（结果保留π），若还有更多方案，可以画在后面的图中．    2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 上海初中六年级数学新教材第5章比和比例（培优课程） 专题05 圆的周长和弧长 知识点一、圆的周长 通过操作和计算，我们发现圆的周长都是直径的固定的倍数，我们把这个倍数叫做圆周率，用字母表示，读作“pai”；圆周率是个无限不循环小数，． 圆的周长直径 = 圆周率． 用字母C表示圆的周长，d表示直径，r表示半径，那么：或 知识点二、弧和圆心角的概念 如图，圆上A、B两点之间的部分就是弧，记作：，读作：弧AB；称为圆心角． 知识点三、弧长公式 设圆的半径长为，圆心角所对的弧长是l，那么：． 题型1：圆的周长公式的应用 【例1】已知一个半圆形的直径是8厘米，这个半圆形的周长是　　　　　厘米． 【解答】解：3.14×8÷2+8 ＝12.56+8 ＝20.56（厘米） 答：这个半圆形的周长是20.56厘米． 故答案为：20.56． 【知识点】圆、圆环的周长 【例2】一个铁环直径是60厘米，从操场东端滚到西端转了90圈，另一个铁环的直径是40厘米，它从东端滚到西端要转的圈数是（    ）． A．270 B．135 C．100 D．120 【答案】B 【分析】已知一个铁环直径是60厘米，可计算的其周长，再结合滚动的圈数即可计算得操场东端滚到西端长度，再根据另一个铁环的直径，即可求出其周长和它从东端滚到西端要转的圈数． 【解析】∵一个铁环直径是60厘米 ∴铁环周长=直径= ∵铁环从操场东端滚到西端转了90圈 ∴操场东端滚到西端长度 ∵另一个铁环的直径是40厘米 ∴另一个铁环周长直径 ∵另一个铁环从东端滚到西端要转的圈数操场东端滚到西长度铁环周长 ∴另一个铁环从东端滚到西端要转的圈数 故选：B． 【点睛】本题考查了圆的周长的知识；求解的关键是熟练掌握圆的周长计算方法，从而完成求解． 【例3】小明将一张半圆形纸片平均分成四份后，重新组合在一起（如下图），新组合的图形的周长是( )cm（π取3）． 【答案】 【分析】通过观察图形发现，新组合的图形的周长等于圆周长的一半加上2条半径（1条直径）的长．先根据圆的周长求出圆的周长，再用圆的周长÷2求出圆周长的一半；再加上1条直径的长． 【解析】解： ． 所以新组合的图形的周长是． 故答案为：． 【点睛】新组合图形的周长等于半圆的周长，它们的周长都等于圆周长的一半＋1条直 【例4】如图，外面一个大圆，中间两个小圆，则大圆和两个小圆的周长比较结果是（    ）． A．外圆大于两个小圆之和 B．外圆小于两个小圆之和 C．外圆等于两个小圆之和 D．无法确定 【答案】C 【分析】根据圆周长的计算公式分析，即可完成求解． 【解析】结合题意得：小圆的直径是大圆的一半 假设小圆的直径是m，则大圆的直径为2m ∴小圆的周长，大圆的周长 ∴两个小圆的周长之和 ∴大圆的周长=两个小圆的周长之和 即外圆等于两个小圆之和 故选：C． 【点睛】本题考查了圆周长计算的知识；解题的关键是熟练掌握圆周长的计算方法，从而完成求解． 【例5】半径为3的圆和边长为3的正方形，二者的周长相比，（ ） A．一样大 B．圆大于正方形 C．圆小于正方形 D．圆等于正方形 【答案】B 【分析】 分别计算出圆的周长和正方形的周长，再比较即可求解． 【详解】 解：半径为3的圆的周长为：2×3.14×3=18.42， 边长为3的正方形的周长为：3×4=12， 所以圆的周长大于正方形的周长， 故选：B． 【点睛】 本题考查了圆的周长和正方形周长的计算，属于基础题，熟练掌握周长公式是解决本题的关键． 【跟踪训练】 1.一个圆形花池的周长是50.24米，它的半径是多少米？ 【解答】解：50.24÷3.14÷2， ＝16÷2， ＝8（米）； 答：它的半径是8米． 【知识点】圆、圆环的周长 2.一根铁丝围成了一个边长7.85厘米的正方形，如果把这根铁丝围成一个圆，那么圆的周长是　　　　厘米．如果用圆规画出这个圆，圆规两脚间的距离是　　厘米． 【解答】解：7.85×4＝31.4（厘米） 31.4÷3.14÷2＝5（厘米） 答：圆的周长是31.4厘米，如果用圆规画出这个圆，圆规两脚间的距离是5厘米． 故答案为：31.4、5． 【知识点】圆、圆环的周长 3．如图，是一个由半圆和一条直径所组成的图形，求这个图形的周长．（单位：厘米，取） 【答案】 【分析】计算出半圆的弧长加上半圆的直径即可求得图形的周长 【解析】∵半圆的直径为：， ∴半圆的半径为：， ∴半圆的弧长为：，即弧长为： ∴图形的周长为：． 【点睛】本题考查了半圆周长的计算方法，掌握直径和半径之间的关系是解决问题的关键． 4．一块正方形木板，边长为6分米，截出一个最大的圆，圆的周长是______分米． 【答案】18.84 【分析】 根据正方形边长确定圆的直径，即可求出周长. 【详解】 截出一个最大的圆，直径为6分米，C＝πd =3.14×6 =18.84分米. 故答案为：18.84 【点睛】 本题考查圆的周长计算，确定圆的直径是解题的关键. 5.图中，三个圆的圆心在一条直线上，大圆的周长比两个小圆的周长和比较，结果是（　　） A．大圆的周长长 B．大圆的周长短 C．两者相等 D．无法确定 【解答】解：设大圆的直径为d，三个小圆的直径分别为d1、d2，则： πd1+πd2＝（d1+d2）π， 又d1+d2＝d， 所以，πd＝πd1+πd2，即大圆的周长与两个小圆的周长相等． 故选：C． 【知识点】圆、圆环的周长 6．如图，点、点在线段上， 米， 米，是圆心．从到有3条不同的半圆弧线路可走，请你判断走哪一条半圆弧线路的距离最短． 【答案】距离一样长 【分析】根据圆的周长公式，分别计算出每一条路线距离长度，再进行比较大小即可求得答案． 【解析】解：根据题意可得： 路线距离为：米， 路线距离为：米， 路线距离为：米， 故三条路距离一样长． 【点睛】考查圆的周长公式在组合图形周长计算中的运用． 题型2：弧长公式的应用 【例6】已知扇形的半径为2cm，圆心角为120°，则此扇形的弧长是　 　cm． 【答案】 【例7】一条弧所对的圆心角为135°、弧长等于半径为5cm的圆的周长的3倍，则这条弧的半径为 cm。 解：设弧所在圆的半径为rcm，由题意得：，解得r=40， 故这条弧的半径为40cm。 【例8】半径为R，圆心角为300°的扇形的周长为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 根据求扇形周长方法进行计算即可． 【详解】 解析：因为扇形的半径为R，圆心角为， 所以扇形的弧长为， 所以扇形的周长． 故应选：D 【点睛】 本题考查了扇形周长的计算，解答是明确扇形的周长是由哪几部分构成． 【例9】一条弧所对的圆心角是144°，那么这条弧长与这条弧所在圆的周长之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据弧长公式以及圆的周长公式列式化简即可． 【详解】解：设这条弧所在圆的半径为， 则这条弧长为：，这条弧所在圆的周长为， ． 故选：B． 【点睛】本题考查了弧长公式：（弧长为，圆心角度数为，圆的半径为），熟记公式是解题的关键． 【跟踪训练】 1．已知扇形的弧长为 ，它的圆心角为 ，则该扇形的半径为　 　． 【答案】9 2．一个扇形的面积是其所在圆面积的，那么这个扇形的圆心角是 度． 【答案】120 【分析】设圆心角为，半径为r，利用圆面积以及扇形的面积公式计算即可． 【详解】解：设圆心角为，半径为r， 由题意：， 解得， 故答案为：120． 【点睛】本题考查扇形的面积计算，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 3．分针长为2厘米，经过25分钟，分针的外端点绕钟面轴心转过的弧长______厘米．（结果保留） 【答案】 【分析】 利用弧长公式计算即可． 【详解】 解：分针25分钟旋转了6°×25＝150°， 分针的外端点绕钟面轴心转过的弧长＝， 故答案为：． 【点睛】 本题考查弧长公式，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 4．圆的半径不变，圆心角扩大为原来的2倍，则（   ） A．弧长扩大为原来的4倍 B．弧长扩大为原来的2倍 C．弧长不变 D．弧长缩小为原来的一半 【答案】B 【分析】弧长公式是，由于半径不变，则弧长与圆心角度数成正比，依此即可求解． 【详解】，圆心角扩大为原来的2倍，则弧长扩大为原来的2倍． 故选：B． 【点睛】本题考查了弧长公式，掌握当半径不变时，则弧长与圆心角度数成正比是解题的关键． 5．一条弧所对的圆心角是，则这条弧长与这条弧所在圆的周长之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用这条弧所对的圆心角的度数除以360°即可求出结论． 【详解】解：72÷360= 即这条弧长与这条弧所在圆的周长之比为 故选C． 【点睛】此题考查的是弧长与圆的周长，掌握弧长与这条弧所在圆的周长之比等于这条弧所对的圆心角与360°的比是解题关键． 6．若一段弧所在的圆的半径缩小到原来的，且所对圆心角扩大到原来的4倍，则弧长（ ） A．不变 B．扩大到原来的2倍 C．缩小到原来的 D．扩大到原来的4倍 【答案】B 【分析】 根据弧长公式：即可得出结果． 【详解】 解：所在的圆的半径缩小到原来的，且所对圆心角扩大到原来的4倍后得到弧长为， 所以是扩大到原来的2倍． 故选：B 【点睛】 本题主要考查的是弧长的公式，掌握弧长公式是解题的关键． 题型4：求组合图形的周长 【例10】如图中，两个正方形的边长均为6cm，求这两个图形中阴影部分的周长． 【解答】解：（1）3.14×6+6×2 =18.84+12 =20.84（厘米） （2）3.14×6=18.84（厘米） （3）3.14×1+1×2 ＝3.14+2 ＝5.14（分米）． 答：阴影部分的周长是5.14分米． 故答案为：5.14． 【知识点】圆、圆环的周长 【例11】图中阴影部分的周长是（    ）    A．18cm B．cm C．36cm D．cm 【答案】D 【详解】长方形的宽为7÷2=3.5(cm)， 每个圆的直径等于长方形的宽3.5 cm， 阴影部分的周长为：(cm)， 故选：D． 【点睛】本题考查了组合图形的周长，明确阴影部分的周长是“长方形的周长与两个等圆的周长和”是解题的关键． 【例12】如图所示，求图中正方形中阴影部分的周长（取3.14）． 【答案】61.4cm 【分析】根据扇形弧长公式求出直角扇形的弧长等于半径为10cm的圆的周长，直径为10cm的半圆的弧长和正方形三边边长围成的阴影部分． 【解析】解：cm， cm， cm． 答：正方形中阴影部分的周长为61.4cm． 【点睛】本题考查正方形的性质，扇形的弧长，半圆弧长，掌握圆的周长公式，正方形性质是解题关键． 【例13】如图，的三条边长都是18毫米，分别以、、为圆心，18毫米为半径画弧，求这三条弧长的和．（取3.14） 【答案】56.52毫米 【分析】根据弧长公式解答即可； 【详解】毫米． 【点睛】考查对弧长公式的理解以及运用公式进行计算． 【跟踪训练】 1．如图，长方形ABCD的边长AB=4厘米，BC=7厘米，以A为圆心，AB为半径画弧，交AD于点F，以D为圆心，DF为半径画弧，交DC于点E，计算图中阴影部分的周长和面积（结果保留） 【答案】图中阴影部分的周长为，面积为 【解析】解： 阴影周长=×2×π×4+×2×π×3+7+1=． 阴影面积= 4×7-×π×42-×π×32=． 【点睛】本题考查了长方形的面积公式，扇形的面积以及弧长的计算等知识，解题的关键是熟练掌握扇形面积是看扇形占着所在圆的几分之几，弧长的计算是看弧占着所在圆的几分之几． 2.如图，求阴影部分的周长是多少厘米？ 【解答】解：阴影部分的周长为两个圆弧加上一条直径， π×30÷2++30， ＝15π+5π+30， ＝20π+30， ＝20×3.14+30， ＝62.8+30， ＝92.8（厘米）； 答：阴影部分的周长是92.8厘米． 【知识点】圆、圆环的周长 3.将半径分别为3厘米和2厘米的两个半圆如图那样放置，求阴影部分的周长？ 【解答】解：3.14×3×2÷2+3.14×2×2÷2+3+2×2﹣3 ＝9.42+6.28+3+1 ＝19.7（厘米） 答：这个阴影部分的周长是19.7厘米． 【知识点】圆、圆环的周长 4．如图，以B、C为圆心的两个半圆的直径都是2厘米，那么阴影部分的周长是多少厘米？（取3.14） 【答案】3.09厘米 【详解】∵ 已知两段弧所对的圆心角的度数均为， ∴ 阴影部分的周长为：． 答：阴影部分的周长是3.09厘米 【点睛】考查弧长的计算，注意阴影部分的周长包含的长． 5．已知：如图，四边形和都是正方形，正方形的边长是1厘米，那么曲线长为 厘米． 【答案】 【详解】解：由题意得：厘米，厘米，厘米， ∴曲线长为：（厘米）． 故答案为： 题型5：圆的周长与弧长公式在图形和生活中应用 【例14】为减少环境污染，某城市倡议大家绿色低碳出行。李叔叔每天骑自行车下班，工作单位距家2000米，自行车的轮胎直径约70厘米。如果自行车每分钟转100圈，李叔叔10分钟能到家吗？ 【答案】能 【分析】根据圆的周长公式：πd，代入数据，求出自行车车轮的周长，再乘100圈，求出一分钟自行车行多少千米；用一分钟行距离×10分钟，再和2000米进行比较，即可解答。 【详解】3.14×70＝219.8（厘米） 219.8×100×10 ＝21980×10 ＝219800（厘米） 219800厘米＝2198米 2198＞2000 答：李叔叔10分钟能到家。 【例15】将三根直径为a的圆柱形钢管用铁丝据扎，现设计了方案I和Ⅱ两种方案，如图甲和图乙所示，选用哪一种方案最省料． 【答案】选择方案II最省料． 【分析】 根据弧长公式分别求出两种捆法所用的绳子的长度，再进行比较即可． 【详解】 方案（1）中铁丝长： 方案（2）中铁丝长： 因为， 所以选择方案II最省料． 【点睛】 本题考查了弧长公式，解题关键是弄清绳子是由哪几段组成的，再比较哪种更好． 【例16】【问题背景】学校运动场如图①，两端是半圆形，中间是正方形运动场，周长是257米．中间正方形的边长是多少米？（π取3．14）            (1)【分析与解答】某小组采取合作学习的方式探究此问题，以下是该小组三位同学的对话： 甲：“把运动场进行平移变换（如图②），则圆的周长正方形边长运动场周长．” 乙：“圆的周长可以看作是正方形边长的3.14倍．” 丙：“我们可以用方程的思想来解决问题！” 亲爱的同学，请你帮助他们完成解答． (2)【拓展延伸】学校计划在此运动场内部修建一条宽是5米的塑胶跑道（图③中阴影部分），每平方米塑胶跑道的造价是80元，一共需要多少元？ 【答案】(1)米 (2)一共需要125818元 【分析】（1）通过正方形周长先求出正方形边长，即圆的直径，用圆的周长正方形边长运动场周长，计算即可； （2）用圆环面积两个长方形面积，求出塑胶跑道面积，再乘每平方米造价即可． 【解析】（1）解：（米）； （2）（米）； （米）； （平方米）； （元）． 答：一共需要125818元． 【点睛】本题考查了组合图形的周长和面积，圆环面积． 【跟踪训练】 1．生活中，经常把一些同样大小的圆柱管按下图的方式捆扎起来，如果每根圆柱管的直径是8cm，当圆柱管放置方式是“单层平放”时，捆扎一圈后的横截面如下图所示，那么当圆柱管有100个时，需要绳子( )cm．（取3）    【答案】1608 【详解】解：根据题意得： ， 圆柱管有100个时，需要绳子， 故答案为：1608． 【点睛】本题考查了利用圆的相关知识求解，根据题意得出那么100个圆柱体，绳子的长度就是一个底面圆的周长加上圆的直径是解题的关键． 2．小军今年满12周岁了，爸爸给他买了一辆自行车，经测量，车轮半径是25厘米。   （1）车轮滚动1圈大约前进多少米？ （2）如果车轮平均每分转100周，小军每天骑自行车上学大约需要多少分？（结果保留整数） 【答案】（1）1.57米 （2）32分 【分析】（1）根据圆的周长公式：C＝2πr，据此代入数值进行计算即可求出车轮滚动1圈大约前进多少米，结果注意换算单位； （2）由（1）可知车轮转动1周的长度，进而求出车轮每分钟行驶的距离，再根据路程÷速度＝时间，据此求出小军每天骑自行车上学大约需要多少分。 【详解】（1）3.14×（25×2） ＝3.14×50 ＝157（厘米） ＝1.57（米） 答：车轮滚动1圈大约前进1.57米。 （2）5千米＝5000米 1.57×100＝157（米） 5000÷157≈31.8≈32（分钟） 答：小军每天骑自行车上学大约需要32分。 【点睛】本题考查圆的周长，熟记公式是解题的关键。 3．洋洋和爷爷在体育场散步，他们下午7：00从体育场的同一地点出发，相背而行，他们都沿着体育场的边线走，爷爷每分钟走60米，洋洋走的速度是爷爷的，体育场如下图。 （1）体育场的周长有多少米？ （2）5分钟后他们相遇了吗？ 【答案】（1）714米；（2）没有 【分析】（1）根据题意可知，体育场的周长＝一个直径是100米的圆周长＋2个200米，根据圆周长公式：C＝πd，用3.14×100＋200×2即可求出体育场的周长； （2）把爷爷的速度看作单位“1”，根据分数乘法的意义，用60×即可求出洋洋走的速度，然后用路程÷两人的速度和即可求出从出发到相遇的时间，再和5分钟比较即可。 【详解】（1）3.14×100＋200×2 ＝314＋400 ＝714（米） 答：体育场的周长有714米。 （2）60×＝65（米） 714÷（60＋65） ＝714÷125 ＝（分钟） ＞5 答：5分钟后他们还没有相遇。 题型6：弧长公式在滚动问题中的应用 【例17】桌面上平放着一个边长为2分米的等边三角形ABC（如图①），现将这个三角形按下图所示，紧贴着桌面进行滚动．在整个滚动过程中，顶点 经过的路线轨迹最短，是 分米（结果保留π）．      【答案】 C 【分析】在滚动的过程中，每个顶点每次经过的路线轨迹就是一个半径是2分米，圆心角是的扇形的圆弧，顶点A和顶点B经过的路线轨迹都是3个圆弧，顶点C经过的路线轨迹是2个圆弧，所以顶点C经过的路线轨迹最短，根据圆弧长度的计算方法，计算即可． 【解析】解：根据题意，在滚动的过程中，每个顶点每次经过的路线轨迹就是一个半径是2分米，圆心角是的扇形的圆弧，顶点A和顶点B经过的路线轨迹都是3个圆弧，顶点C经过的路线轨迹是2个圆弧，所以顶点C经过的路线轨迹最短， 最短长度为， 故答案为：C；． 【点睛】本题考查求扇形的圆弧长度，找出每个顶点的运动轨迹以及圆弧长度的计算方法是解题关键． 【例18】如下图，是一个电动玩具，它是由一个的长方形盘（单位：）和一个半径为的小圆盘（盘中画有娃娃脸）组成的，它们的连接点为，．如果小圆盘沿着长方形内壁，从点出发按逆时针方向不停地滚动（无滑动），直到回到原来的位置． （1）请你计算一下，小圆盘中的娃娃脸在，，的位置是怎样的？请画出示意图； （2）小圆盘共自转了几圈？ （3）计算小圆盘绕长方形盘滚动一周，扫过长方形盘的面积． 【答案】（1）见解析；（2）3圈；（3）． 【分析】（1）求小圆盘从A到B到C再到D，这些过程滚过的路程长，看小圆盘转动了几圈，画出对应的“娃娃脸”； （2）把整个过程分成四段去分析每段小圆盘自转了几圈，最后加起来； （3）确定小圆盘绕长方形滚动一周扫过的图形的形状，然后利用割补法求面积． 【解析】（1）小圆盘的周长=（cm）， 从A处到B处，小圆盘滚动的距离=（cm）， ∴小圆盘从A滚动到B刚好转一圈，那么B处的“娃娃脸”刚好和A处一样， 从B处到C处，小圆盘滚动的距离= （cm）， ∴小圆盘从B滚动到C刚好转半圈，那么C处的“娃娃脸”应该是倒过来的， 从C到D的过程和从A到B一样， 综上，小圆盘中娃娃脸的位置如图所示： ； （2）根据（1）中的分析，小圆盘从A到B自转了1圈，从B到C自转了圈，从C到D自转了1圈，从D到A自转了圈，所以一共自转了3圈； （3）如图，小圆盘扫过的面积是图中阴影部分面积， 四个角上的空白部分面积和=边长是2cm的正方形面积-半径是1cm的圆的面积=（）， 中间空白长方形的面积=（）， 阴影部分面积=整体面积-空白部分面积=（）． 【点睛】本题考查的是圆的周长和面积的综合运用题，解题的关键是搞清楚题目中这个小圆盘滚动的过程，利用它的周长和面积去解决问题． 【跟踪训练】 1．等边三角形的边长是3厘米，现将沿一条直线翻滚30次，如图所示，求点经过的路程的长． 【答案】125.6cm 【分析】翻转第一次转动，它走的路程是圆心角是的圆弧；翻转第二次转动，它走的路程是圆心角是的圆弧；第三次点是不动的，因此 每翻滚一次，就有一次固定不动，以此类推，根据圆的周长公式求出点经过的路程，由此求解． 【解析】A点运动一次走过的路程是圆心角为半径为3厘米的扇形的弧长，但连续运动两次之后，第三次A点是不动的， 因此每翻滚一次，就有一次固定不动， A点经过的路程的长为：． 【点睛】本题综合性较强，一方面要分清楚点的运动路径，另一方面要确定三角形在旋转时的旋转中心． 2．如图，在一个长方形内有一个等边三角形，长方形的宽与等边三角形的边长之比为，长方形的长是宽的倍，等边三角形的边长为1厘米，三角形沿长方形的边在长方形内部向右翻转，翻转三次后顶点C所划过的曲线的长度为 厘米，（精确到） 【答案】 【分析】首先画出图形，求出长方形的长与宽，再根据弧长公式，即可求得． 【解析】解：翻转三次后顶点C所划过的曲线如图： 等边三角形的边长为1厘米，长方形的宽与等边三角形的边长之比为， 长方形的宽为2厘米，， 长方形的长是宽的倍， 长方形的长是(厘米)， 第一次翻转后点C落在处，第二次翻转后点没动，第三次翻转后点落在处， 第一次翻转后点C所划过的曲线的长度为弧的长，第三次翻转后点所划过的曲线的长度为弧的长， ，， 翻转三次后顶点C所划过的曲线的长度为： (厘米)， 故答案为：． 【点睛】本题考查了翻折的性质，等边三角形的性质，求弧长公式，画出图形，灵活运用弧长公式是解决本题的关键． 3.已知圆O的半径为r，等边三角形的边长为．如下图，圆O按箭头方向从某一位置沿三角形的三边做无滑动的滚动． (1)当圆O第一次回到原来位置时，圆O绕圆心滚动了几圈？ (2)当圆O第三次回到原来位置时，圆心O走过的路程是多少？ (3)假设圆O从中点位置开始滚动，当圆心O走过的路程为时停止，问：圆O绕圆心滚动了多少圈？ 【解析】（1）根据题意可得圆O的周长， ∵等边三角形的边长为， ∴等边三角形的周长为 ∴（圈） 答：圆O绕圆心滚动了3圈． （2） 当圆O第三次回到原来位置时， 走了三个等边三角形的周长加9段所对圆心角为 120°,半径为r的弧长， 故圆心O走过的路程是. （3）圆O沿三角形ABC滚动一周回到原来位置时，圆心O走过的路程为， （周）……， 由于圆O从AB中点位置开始滚动，， 可知圆O最终滚至A点处，此时圆O滚过的路程为, 则圆O绕圆心O滚动了圈． 【点睛】此题考查了圆的周长，解题的关键是熟悉圆的周长公式． 题型7：素养提升 【例19】中学原计划在一个直径为20米的圆形场地内修建圆形花坛（花坛指的是图中实线部分），为使花坛修得更加美观、有特色，决定向全校征集方案，在众多方案中最后选出三种方案： 方案A：如图1所示，先画一条直径，再分别以两条半径为直径修两个圆形花坛； 方案B：如图2所示，先画一条直径，然后在直径上取一点，把直径分成2：3的两部分，再以这两条线段为直径修两个圆形花坛； 方案C：如图3所示，先画一条直径，然后在直径上任意取四点，把直径分成5条线段，再分别以这5条线段为直径修5个圆形花坛． (1)如果按照方案A修，修的花坛的周长是______． (2)如果按照方案B修，与方案A比，省材料吗？为什么？ (3)如果按照方案C修，学校要求在8小时内完成，甲工人承包了此项工程，他做了4小时后，发现不能完成任务，就请乙来帮忙，乙的效率是甲的，乙加入后，甲的效率也提高了，结果正好按时完成任务，若修1米花坛可得到10元钱，修完花坛后，甲可以得到多少钱？（取3） 【答案】(1)20π (2)不省料，因为方案B与方案A的周长相等． (3)甲可以得到360元 【分析】（1）根据圆的周长公式：c=πd，把数据代入公式求此直径是10米的两个圆的周长即可． （2）首先根据圆的周长公式：c=πd，求出直径是8米、和12米的圆的周长和，然后与图1进行比较． （3）因为圆的周长和直径成正比例，所以5个小圆的周长和等于直径20米的圆的周长．设甲原来每小时的工作效率为每小时x米，则乙的工作效率为每小时x米，甲的速度提高后为每小时x米，据此列方程解答． 【解析】（1）π×10×2=20π（米）， 答：修的花坛的周长是20π米． （2）2+3=5 20×=8（米） 20×=12（米）， 8π+12π=20π（米）， 答：不省料，因为方案B与方案A的周长相等． （3）综合前两问可得，花坛的总周长为20π，修完花坛共花费20π×10=200π=600元， 设甲原来每小时的工作效率为每小时x米，则乙的工作效率为每小时x米，甲的速度提高后为每小时x米， 4x+（x +x）×（8-4）=20π 解得x=4， （4×4+4××4）×10=360（元）， 答：甲可以得到360元． 【点睛】此题解答关键是明确：圆的周长和直径成正比例，（3）找出等量关系列方程解答． 一、选择题 1．(2023存志中学期末)如果大圆的半径长是小圆半径长的2倍，那么大圆周长是小圆周长的（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】A 【分析】设小圆的半径长为，则大圆的半径长为，即可分别求得大圆、小圆的周长，据此即可解答． 【解析】解：设小圆的半径长为，则大圆的半径长为， 故大圆的周长为：，小圆的周长为：， ， 大圆周长是小圆周长的2倍， 故选：A． 【点睛】本题考查了求圆的周长公式，根据题意，列出代数式是解决本题的关键． 2．（2024市北中学月考）已知一个钟表的分针长9cm，则经过10分钟它的外端所走的路线长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题应明确，分针的长即半径，10分钟，则走过了个圆的周长，根据圆的周长计算公式C=2πr，代入数值，即可求解 【解析】解：由题意可得：cm 故选：D 【点睛】此类题属于圆周长计算公式的灵活运用，解答时应根据题意，明确分针的长即半径，然后根据圆的周长计算方法解答即可． 3．（2024闵行区期末）一个闹钟的分针长，从到，这根分针的尖端走了（   ）． A． B． C． D．以上都不对 【答案】A 【详解】解：∵分针长从到，旋转了圈， ∴这根分针的尖端走了． 故选：A． 4．（2024闵行区期末）如图，四个三角形拼成一个风车图形，若，当风车转动，点B运动的路径长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：，风车转动， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了弧长的计算，解题的关键是掌握弧长公式：． 5．（2024普陀区期末）如图，甲、乙两块挡板之间有一个半径为的圆，圆从甲挡板开始沿直线滚动到乙挡板，正好滚动3周．甲、乙两块挡板之间的距离是（   ）． A．62.52 B．59.52 C．56.52 【答案】A 【详解】解：2×3.14×3=18.84（厘米） 18.84×3+3×2 =56.52+6 =62.52（厘米） 即：甲、乙两块挡板之间的距离是62.52厘米。 故选：A． 6．（2024松江区期末）图中的五个半圆，邻近的两半圆相切，两只小虫同时出发，以相同的速度从A点到B点，甲虫沿ADA1、A1EA2、A2FA3、A3GB路线爬行，乙虫沿ACB路线爬行，则下列结论正确的是（　　） A．甲先到B点 B．乙先到B点 C．甲、乙同时到B D．无法确定 【分析】甲虫走的路线应该是4段半圆的弧长，那么应该是π（AA1+A1A2+A2A3+A3B）＝π×AB，因此甲虫走的四段半圆的弧长正好和乙虫走的大半圆的弧长相等，因此两个同时到B点． 【解答】解：π（AA1+A1A2+A2A3+A3B）＝π×AB，因此甲虫走的四段半圆的弧长正好和乙虫走的大半圆的弧长相等， 因此两个同时到B点． 故选：C． 二、填空题 7．（2023建平西校月考）一块正方形木板，边长为6分米，截出一个最大的圆，圆的周长是______分米． 【答案】18.84 【分析】 根据正方形边长确定圆的直径，即可求出周长. 【详解】 截出一个最大的圆，直径为6分米，C＝πd =3.14×6 =18.84分米. 故答案为：18.84 【点睛】 本题考查圆的周长计算，确定圆的直径是解题的关键. C半圆＝2πr÷2+2r = πr+2r = （π+2）r 8．（2024闵行区期末）在半径为6的圆中，的圆心角所对的弧长等于 （结果保留）． 【答案】 【分析】根据弧长公式直接解答即可． 【详解】解：由弧长公式得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了弧长公式，解题的关键是熟记弧长公式． 9．（2022市北中学期末）如果一条弧的长度是它所在圆的周长的，那么这条弧所对的圆心角是 °． 【答案】216 【详解】解：因为一条弧的长度是它所在圆的周长的， 所以这条弧所对的圆心角是周角的，即：； 故答案为：216． 10．（2024松江区期末）如图，在中，，，，将边绕点A按顺时针方向旋转，使得点C落在边AB上的点D处，所得弧的长为 ． 【答案】 【详解】解：根据弧长公式可得： ． 故答案为：． 【点睛】此题考查了旋转的性质、弧长公式，解题的关键是确定旋转角的度数和半径． 11．（2024交大二附中区期末）台钟的时针长为9厘米，经过4小时，时针的针尖走过的路径长是_______． 【答案】18.84 厘米 【分析】 经过4小时，，时针共转了4个大格，时针的针尖走过的路径长是圆周长的． 【详解】 经过4小时，时针的针尖走过的路径长是2×3.14×9×=18.84（厘米） 故答案为：18.84厘米 【点睛】 本题考查了弧长的计算，准确的计算出时针转过的角度是解题的关键． 12．（2024徐汇中学期末）下图是丽丽用圆规画的心形祝福卡设计图，她想在“心形”边线处贴上一圈金丝线。现有35 cm长的金丝线，贴一圈( )。（填“够用”或“不够用”） 13．（2024嘉定区期末）圆是一个神奇的平面图形，它可以组成各种美丽的图案，请计算出下面由圆组成的小逗号的周长．（每个小方格的边长．） 【答案】18.84厘米 【详解】解： 厘米． 14．（2024黄浦区期末）如图，A、B是圆的直径的两端，甲在A点，乙在B点，同时出发，反向而行。两人在C点第一次相遇，在D点第二次相遇。已知C点离A点有40米，D点离B点有20米，则这个圆的周长是( )米。 15．（2024嘉定区期末）如图，将直角三角尺ABC（其中）绕点B顺时针旋转一个角度到的位置，使得点A，B，在同一条直线上，如果AB的长度为10，那么点A旋转到点走过的路程是________．（结果保留） 【答案】 【分析】 根据三角尺的度数得出，然后根据平角等于求出，然后根据弧长公式列式进行计算即可得解． 【详解】 解：∵△是旋转得到， ∴， 又∵点A，B，在同一条直线上， ， 的长度为10， 点转动到点走过的路程． 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查了弧长的计算，记住弧长的计算公式、明确三角尺的度数的常识是解题的关键． 16．（2024上宝中学期末）如图2所示，圆环的外圆周长C1=250厘米，内周长C2=150厘米，则圆环的宽度d______． 分析：设外圆的半径是R1，内圆的半径是R2，则d= R1-R2， 因为，， 所以（厘米） 反思：圆环的宽度就是两圆半径之差，利用两圆的周长可分别求得两圆半径． 17. （2024嘉定区期末）如图，长方形的长和宽分别是8cm和4cm，图中阴影部分的周长是_____ 【答案】20.56厘米； 【解析】解：大弧长为厘米，两个小弧长为，所以图中阴影部分的周长为：厘米. 答：图中阴影部分的周长为20.56厘米. 18．（2024位育中学月考）如图所示，以△ABC的三个顶点为圆心，15毫米为半径，在△ABC内画弧，得到三段弧，则这三段弧长之和为________. 分析：设∠A、∠B、∠C所对的弧长分别为, 由题意知，∠A+∠B+∠C=180°，半径r=15毫米, 则，，. 所以三段弧长之和为（毫米） 反思：本例涉及弧长计算，弧长与圆的半径和圆心角有关。由题意知，这三段弧所在圆的半径是相等的，均为15毫米，而这三段弧所对的圆心角大小虽不知，但它们的和正好等于180°（三角形内角和等于180°），这个条件是我们解决此题的关键. 三、解答题 19．（2023上海课时作业本）求图中阴影部分的周长．（取3.14） 20．（2023上海课时作业本）求阴影部分的周长．    【答案】（1），（2） 【分析】（1）首先求出，大半圆的半径，然后运用弧长公式直接计算即可解决问题； 【解析】解 【点睛】该题主要考查了弧长公式及其应用问题、考查扇形的面积，正方形的性质等知识，解题的关键是学会利用分割法求出阴影部分的面积． 21．（2023上海课时作业本）一辆自行车车轮的外直径是60厘米，小李骑该自行车从家到图书馆用了12分钟，如果车轮每分钟转50圈，那小李从家到图书馆的路程是多少米？ 【答案】1130.4米 【分析】根据圆的周长＝圆周率×直径，求出车轮转1圈的距离，车轮转1圈的距离×每分钟转的圈数＝每分钟行驶距离，每分钟行驶距离×时间＝从家到图书馆的距离，据此列式解答。 【详解】3.14×60×50＝9420（厘米）＝94.2（米） 94.2×12＝1130.4（米） 答：小李从家到图书馆的路程是1130.4米。 【点睛】关键是掌握并灵活运用圆的周长公式，注意统一单位。 22．（2023上海课时作业本）直径均为1米的四根管子被一根金属带紧紧地捆在一起，如图所示，试求金属带的长度。 解：金属带的长度为7.14米。 四个角上的圆弧刚好是一个圆，再加上四边上的水平、垂直段，即是金属带的长度。 L=C+4·l=πd+4·l=π+4×1=3.14+4=7.14（米） 23．（2021上外附中期末）三角形的每边长都是厘米，现将三角形沿一条直线l顺时针方向翻滚次（如图1所示为翻滚一次） 求： (1)翻滚一次点所经过的总路程；（结果保留） (2)翻滚次点所经过的总路程．（结果保留） 【答案】(1) (2) 24．（2023杨浦区期末）如图，两个圆周只有一个公共点，大圆直径为48厘米，小圆直径为30厘米，甲、乙两虫同时从点出发，甲虫以每秒0.5厘米的速度顺时针沿大圆圆周爬行，乙虫以同样速度顺时针沿小圆圆周爬行．（取3） （1）问乙虫第一次爬回到点时，需要多少秒？此时甲虫是否已经经过点？ （2）两虫沿各自圆周不间断地反复爬行，能否出现这样的情况：乙虫爬回到点时甲虫恰好爬到点？如果可能，求此时乙虫至少爬了几圈；如果不可能，请说明理由． 【答案】（1）180秒，已经经过点；（2）能，乙虫至少爬了4圈． 【分析】（1）用小圆的周长除以它的速度得到乙虫第一次爬回到A点所需时间； （2）先计算出甲虫从A点恰好爬到B点的长度为72cm，再确定90与72的最小公倍数是360，然后用360除以90得到乙虫至少爬的圈数． 【解析】(1) （秒） 甲虫走的路程>72，此时甲虫已经经过点; 答：乙虫第一次爬回到点时，需要180秒。此时甲虫已经经过点. (2) 90与72的最小公倍数是360，360÷90=4（圈） 此时乙虫至少爬了4圈 【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系，也考查了圆的周长公式． 26．（2023西南位育月考）神舟六号飞船在太空圆形轨道中飞行115.5小时，绕地球77圈，行程325万千米。 (1)求神舟六号飞船绕地球一圈需要几分钟；飞行速度是每分钟多少千米。(精确到个位) (2)已知神舟五号以相同的速度在半径相同的圆形轨道中飞行了21小时，求:神舟五号飞船绕地球飞行的圈数。 (3)已知地球半径为6378公里，求在圆形轨道上飞行的飞船距地面多少千米。(精确到个位) 解：（1） 115.5÷77=1.5小时=90（分钟）；3250000÷115.5÷60=469（千米/分钟） （2） 21÷1.5=14（圈） （3） 3250000÷77÷2π-6378=343（千米） 27．（2022上海期末练习）某服装厂有形状为等腰三角形的边角布料，测的得，米，现要从此三角形中剪出若干扇形，以制作不同形状的玩具，要求扇形的两条半径恰好都在的边上，扇形的弧与的一边有一个公共点（或两边各有一个公共点）．如第一幅图所示的扇形符合题意．现请设计其他符合题意的一种方案，要求在第二幅图中画出图形，请直接写出半径并求扇形的周长（结果保留π），若想不出其他方案，可以直接根据第一幅图写出半径并求该扇形的周长（结果保留π），若还有更多方案，可以画在后面的图中．    【答案】（米）， （米）； （米），（米），图形见解析 【分析】第一幅图中的扇形半径等于等腰三角形腰的一半，用弧长公式求出弧长，再算扇形周长，第二幅图可以以B为圆心，BC为半径画弧，交AB于点D，画出一个扇形，用同样的方法求出扇形周长． 【解析】解：方案一，如图，过点O作于点D，作于点E， O是AB的中点，四边形ODCE是正方形， （米），即半径（米）， 弧长（米）， 扇形周长（米）；      方案二，如图，以B为圆心，BC为半径画弧，交AB于点D， 半径（米）， 弧长（米）， 周长（米），      综上：（米），（米）；（米），（米）． 【点睛】本题考查扇形的周长的求解，解题的关键是掌握扇形的周长的求解方法． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$