精品解析：河北省张家口市桥西区2024-2025学年九年级上学期1月期末考试数学试题

2024—2025学年度第一学期期末学情诊断测试 九年级 数学试卷 考生注意： 1．本试卷共4页，总分100分，考试时间90分钟； 2．请务必在答题纸上作答，写在试卷上的答案无效．考试结束，只收答题纸； 3．答卷前，请在答题纸上将姓名、班级、考场、座位号、准考证号填写清楚； 4．客观题答题，必须使用2B铅笔填涂，修改时用橡皮擦干净； 5．主观题答案须用黑色字迹钢笔、签字笔书写； 6．必须在答题纸上题号所对应的答题区域内作答，超出答题区域的书写，无效； 7．保持卷面清洁、完整．禁止对答题纸恶意折损，涂画，否则不能过扫描机器． 一、选择题（本大题共12个小题，每题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列图形中的角是圆心角的是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是圆心角的概念，掌握顶点在圆心的角是圆心角是解题的关键．根据圆心角的概念解答． 【详解】解：A、顶点没在圆心，不是圆心角，故选项不符合题意； B、是圆心角，故选项符合题意； C、顶点没在圆心，不是圆心角，故选项不符合题意； D、顶点没在圆心，不是圆心角，故选项不符合题意； 故选：B． 2. 若抛物线的开口下，则的值可以是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．根据二次函数的性质得出，即可得到答案． 【详解】解：抛物线的开口向下， ， 故选项A符合题意， 故选：A ． 3. 如图，，为的两条弦，连接，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理及圆心角、弧、弦的关系，根据圆周角定理即可解决问题． 【详解】解：∵， ∴． 又∵， ∴． 故选：D． 4. 在若二次函数的图象经过原点，则的值为（ ） A. 0 B. C. 1 D. 1或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数，理解题意是解题的关键．将代入解析式即可求解． 【详解】解：二次函数的图象经过原点， ， 解得：， 故选：C． 5. 如图，与分别相切于点A，B，，，则的长度为（ ） A. B. 2 C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了切线长定理，等边三角形的判定与性质；由切线长定理得，由得是等边三角形，由等边三角形的性质即可求得结果． 【详解】解：∵与分别相切， ∴； ∵， ∴是等边三角形， ∴； 故选：B． 6. 二次函数的图象与轴只有一个交点，则“□”中的数可以为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质．二次函数的图象与轴只有一个交点，则其对应的一元二次方程有两个相等的实数根，根据得到关于的方程，解之即可． 【详解】解：设“□”中的数为， 二次函数的图象与轴只有一个交点， 方程有两个相等的实数根， ，即， 解得． 故选：C． 7. 如图，一个半径为的定滑轮带动重物上升了，假设绳索与滑轮之间没有滑动，则滑轮上某一点旋转了（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了弧长的计算，根据弧长公式：（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R），即可得滑轮上某一点P旋转的度数． 【详解】解：∵半径为的定滑轮带动重物上升了， 根据，得： ， 解得． 所以，滑轮上某一点P旋转了． 故选：D． 8. 抛物线的对称轴是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】2 本题主要考查二次函数的图象与性质，将化为顶点式即可解答． 【详解】解： ∴抛物线的对称轴是直线， 故选：A． 9. 琪琪制作了一把扇形纸扇，如图，，，纸扇完全打开后，外侧两竹条（竹条宽度忽略不计）的夹角，现需在扇面一侧绘制山水画，则山水画所在纸面的面积为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形面积的计算，将山水画所在纸面的面积转化为大小两个扇形的面积之差即可解决问题． 【详解】解：由题知，，， 所以山水画所在纸面的面积为：． 故选：C． 10. 甲、乙两个二次函数分别为、，下列判断正确的是（　　） A. 甲有最大值，且其值为时的值 B. 甲有最小值，且其值为时的值 C. 乙有最大值，且其值为时的值 D. 乙有最小值，且其值为时的值 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的性质解答即可判断求解，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵甲， ∴，顶点坐标为， ∴抛物线开口向上，当时，甲有最小值，最小值为； ∵乙， ∴，顶点坐标为， ∴抛物线开口向下，当时，乙有最大值，最大值为； ∴选项错误，正确， 故选：． 11. 如图，已知半圆的直径，点为半圆的上一点，且，为上一动点且不与重合，但可与重合，连接，过作交于点，连接．设，，则与之间满足的关系式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，弧长公式，求得，即可得到的度数，利用四边形内角和即可解答，熟练利用圆周角定理是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， 半圆的直径， 圆的周长为， ， , 根据圆周角定理可得, ， ， ，即， 故选：A． 12. 如图，正方形的顶点坐标分别为，，，抛物线经过点D，顶点坐标为，将此抛物线在正方形内（含边界）的部分记为图象G，若直线与图象G有唯一交点，则k的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或或 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，先求出抛物线解析式为，再求出抛物线与正方形边长另一个交点为，再根据直线过定点，结合函数图象解题即可． 【详解】解：设抛物线与正方形边长另一个交点为， ∵正方形的顶点坐标分别为， ∴， ∵抛物线经过点，顶点坐标为， ∴设抛物线解析式为， 把代入得到，解得， ∴抛物线解析式为， 当时，解得， ， ∵直线， ∴直线过定点， 当时， ∴直线与必有两个交点， ∵将此抛物线在正方形内（含边界）的部分记为图象，直线与图象有唯一交点， ∴当时，抛物线过，即，解得， 当时，抛物线过，即， 解得：， 综上所述，或， 故选：A． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 已知二次函数的图象过点，则的值为______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，将点代入函数解析式，得出关于b的方程，解出即可得出答案． 【详解】解：将点代入函数解析式得：， 解得：． 故答案为：1． 14. 如图，是的切线，点为切点，连接，，若，则________． 【答案】##50度 【解析】 【分析】本题考查切线的性质与三角形内角和定理，熟练掌握切线的性质是解题的关键，根据切线的性质得到，从而得到，再根据三角形内角和即可得到答案． 【详解】解：∵是的切线， ， ， ， ， 故答案为：． 15. 若与成正比例，当时，，则时，______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，设出相应的函数待定式是解题的关键． 根据与成正比例，可设，用待定系数法求解即可． 【详解】解：设 ， ， ， 解得， ， ，即， 当时，， 故答案为: ． 16. 如图，在中，，，是边上一点，且，点是的内心，的延长线交于点，是上一动点，连接、，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】在取点F，使，连接，，过点F作于H，利用三角形内心的定义可得出，利用证明，得出，则，当C、P、F三点共线时，最小，最小值为，利用含的直角三角形的性质求出，利用勾股定理求出，即可． 【详解】解：在取点F，使，连接，，过点F作于H， ∵I是的内心， ∴平分， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 当C、P、F三点共线时，最小，最小值为， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的内心，全等三角形的判定与性质，含的直角三角形的性质，勾股定理等知识，明确题意，添加合适辅助线，构造全等三角形和含的直角三角形是解题的关键． 三、解答题（本大题共8个小题，共52分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 已知抛物线的解析式为，求抛物线的该顶点坐标． 下面是嘉琪同学用配方法求顶点坐标的过程： 解： 顶点坐标为． 判断嘉琪的解答过程是否正确吗，如果正确，请在方框内打“√”；如果错误，请在方框内打“×”，并写出正确的解答过程． 【答案】 解：嘉琪的解答不正确．故在方框内打“×”； 正确的解答过程为： 顶点坐标为 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的顶点式，解决的关键是要正确的配方．用配方法把二次函数变成顶点式，求出顶点即可． 【详解】略 18. 如图①是从正面看到的一个面碗的形状示意图．是的一部分，D是的中点，连接，与弦交于点C，连接．已知，碗深，问的半径是多少？ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理的应用，首先利用垂径定理的推论得出，，再设的半径为，则，，在中，根据勾股定理列出方程，求出r即可． 【详解】解：∵是⊙O的一部分，D是的中点，， ，， 设的半径为，则，， 在中，， ∴， 解得， ∴的半径． 19. 如图，点在抛物线上：，且在抛物线的对称轴右侧． （1）写出抛物线的对称轴和最大值，并求的值； （2）在坐标平面上放置一透明胶片，并在胶片上描画出点及的一段，分别记为，．平移该胶片，使所在抛物线对应的函数解析式恰为．直接写出点平移的方向和距离． 【答案】（1）抛物线对称轴为：，最大值为：4， （2）点向左平移3个单位，再向下平移4个单位 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的几何变换，熟练掌握平移法则是解答本题的关键． （1）根据抛物线顶点式可直接回答对称轴最大值并求出a值； （2）对比两个抛物线顶点式，根据“左加右减，上加下减”法则解答即可． 【小问1详解】 解：抛物线， 抛物线对称轴为：，最大值为：4； 将代入解析式得：； 【小问2详解】 解：原抛物线，平移后的抛物线． 由平移规律得，抛物线是由函数的图象向左平移3个单位，再向下平移4个单位得到的． ∴点向左平移3个单位，再向下平移4个单位得到的． 20. 如图，是的直径，．与的大小有什么关系？为什么？ 【答案】 ，理由如下， 如图，连接， ， ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】连接，根据平行线的性质可得，根据圆的半径相等，可得，等量代换可得，进而可得． 【详解】略 【点睛】本题考查了圆的性质，弧长与圆心角之间的关系，掌握弧和圆心角之间的关系是解题的关键． 21. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点叫做格点．为格点三角形，经过，两个格点，交于点，仅用无刻度的直尺在给定网格中按要求画图． （1）在上画点，使，并在图中画出的圆心； （2）连接，确定并说明与之间的数量关系． 【答案】（1） 如图所示，即为所求； （2） 解：，理由如下： 在中，所对的圆周角是和 ∴， 又， ． 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，熟知圆的相关知识是解题的关键． （1）如图所示，取格点F，连接交于点E，点E即为所求；连接交网格线于，即为所求 （2）根据圆周角定理得出，再根据可得结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 观察下列两个十位上的数都是1的两位数的积（个位上的数的和等于10）． ，，…，，． （1）猜想：哪个积最大？直接写出你的猜想； （2）验证：请你用所学的二次函数的知识验证你的猜想； （3）应用：有一组直角边分别为71，79；72，78；73，77；74，76；75，75的直角三角形，直接写出直角三角形的最大面积． 【答案】（1）的积最大 （2） 证明：将，，…，，, 设为，, ， ∵， ∴当时，y有最大值225， 即的积最大． （3）直角三角形的最大面积为 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的最值问题和直角三角形的性质，运用二次函数的最值证明是解答此题的关键. （1）猜想15×15的积最大； （2）可将条件中的算式设为，，利用二次函数的最值证得结论; （3）将直角三角形的直角边长设为，根据直角三角形的面积公式得到，利用二次函数的性质得到最值． 【小问1详解】 解：猜想的积最大； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：将直角三角形的直角边长设为， 则直角三角形的面积 ， ∴它们中最大的面积是． 故答案为：． 23. 如图，为的直径，交于点，为延长线上一点，切于点，连接交于． （1）判断与的大小关系，并说明理由； （2）若且为的中点，求的半径． 【答案】（1） ，理由如下：连接， ， ， 为的切线， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）的半径为3 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质与判定、勾股定理、等腰三角形的性质、直角三角形的性质等知识，熟练掌握切线的判定与性质是解决问题的突破口． （1）连接，根据半径相等得到，得，根据切线得到，根据直角三角形得到，根据等角的余角得到，易得，即可得出； （2）设的半径，则，，在中，利用勾股定理即可得到． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设的半径，则，， 在中，由勾股定理得，， ， 解得，或（舍去）， 的半径为3． 24. 如图，一小球从斜坡点以一定的方向弹出，球的飞行路线可以用二次函数（）刻画，斜坡可以用一次函数刻画，小球飞行的水平距离（米）与小球飞行的高度（米）的变化规律如下表： 0 1 2 4 5 6 7 … 0 6 8 … （1）①______，______； ②求，的值及小球的落点的坐标； （2）小球飞行高度（米）与飞行时间（秒）满足关系：，小球飞行水平距离（米）与飞行时间（秒）满足关系：．直接写出的值． 【答案】（1）①3，6；②，点的坐标是 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的实际应用： （1）①对称性求出的值即可； ②由抛物线的顶点坐标为可建立过于a，b的二元一次方程组，求出a，b的值即可；联立两函数解析式求解，可求出交点A的坐标； （2）由（1）可知当时，有最大值为，进而得到的最大值为，此时，分别求出，即可得出结果． 【小问1详解】 解：①由表格可知：和的函数值相等， ∴抛物线的对称轴为：， ∵和的函数值相等， ∴， ∵和的函数值相等， ∴； 故答案为：3，6． ②由①知：抛物线顶点坐标为， ∴， 解得：， ∴二次函数解析式为， 联立， 解得：或 ， ∴点A的坐标是； 【小问2详解】 解：由（1）知：当时，有最大值为8， ∵， ∴当时，由最大值，， ∴（负值舍去）； ∴ 此时：， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度第一学期期末学情诊断测试 九年级 数学试卷 考生注意： 1．本试卷共4页，总分100分，考试时间90分钟； 2．请务必在答题纸上作答，写在试卷上的答案无效．考试结束，只收答题纸； 3．答卷前，请在答题纸上将姓名、班级、考场、座位号、准考证号填写清楚； 4．客观题答题，必须使用2B铅笔填涂，修改时用橡皮擦干净； 5．主观题答案须用黑色字迹钢笔、签字笔书写； 6．必须在答题纸上题号所对应的答题区域内作答，超出答题区域的书写，无效； 7．保持卷面清洁、完整．禁止对答题纸恶意折损，涂画，否则不能过扫描机器． 一、选择题（本大题共12个小题，每题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列图形中的角是圆心角的是（    ） A. B. C. D. 2. 若抛物线的开口下，则的值可以是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 3. 如图，，为的两条弦，连接，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 在若二次函数的图象经过原点，则的值为（ ） A. 0 B. C. 1 D. 1或 5. 如图，与分别相切于点A，B，，，则的长度为（ ） A. B. 2 C. 3 D. 6. 二次函数的图象与轴只有一个交点，则“□”中的数可以为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 7. 如图，一个半径为的定滑轮带动重物上升了，假设绳索与滑轮之间没有滑动，则滑轮上某一点旋转了（ ） A. B. C. D. 8. 抛物线的对称轴是（ ） A. B. C. D. 9. 琪琪制作了一把扇形纸扇，如图，，，纸扇完全打开后，外侧两竹条（竹条宽度忽略不计）的夹角，现需在扇面一侧绘制山水画，则山水画所在纸面的面积为（ ）． A. B. C. D. 10. 甲、乙两个二次函数分别为、，下列判断正确的是（　　） A. 甲有最大值，且其值为时的值 B. 甲有最小值，且其值为时的值 C. 乙有最大值，且其值为时的值 D. 乙有最小值，且其值为时的值 11. 如图，已知半圆的直径，点为半圆的上一点，且，为上一动点且不与重合，但可与重合，连接，过作交于点，连接．设，，则与之间满足的关系式为（ ） A. B. C. D. 12. 如图，正方形的顶点坐标分别为，，，抛物线经过点D，顶点坐标为，将此抛物线在正方形内（含边界）的部分记为图象G，若直线与图象G有唯一交点，则k的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或或 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 已知二次函数的图象过点，则的值为______． 14. 如图，是的切线，点为切点，连接，，若，则________． 15. 若与成正比例，当时，，则时，______． 16. 如图，在中，，，是边上一点，且，点是的内心，的延长线交于点，是上一动点，连接、，则的最小值为________． 三、解答题（本大题共8个小题，共52分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 已知抛物线的解析式为，求抛物线的该顶点坐标． 下面是嘉琪同学用配方法求顶点坐标的过程： 解： 顶点坐标为． 判断嘉琪的解答过程是否正确吗，如果正确，请在方框内打“√”；如果错误，请在方框内打“×”，并写出正确的解答过程． 18. 如图①是从正面看到的一个面碗的形状示意图．是的一部分，D是的中点，连接，与弦交于点C，连接．已知，碗深，问的半径是多少？ 19. 如图，点在抛物线上：，且在抛物线的对称轴右侧． （1）写出抛物线的对称轴和最大值，并求的值； （2）在坐标平面上放置一透明胶片，并在胶片上描画出点及的一段，分别记为，．平移该胶片，使所在抛物线对应的函数解析式恰为．直接写出点平移的方向和距离． 20. 如图，是的直径，．与的大小有什么关系？为什么？ 21. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点叫做格点．为格点三角形，经过，两个格点，交于点，仅用无刻度的直尺在给定网格中按要求画图． （1）在上画点，使，并在图中画出的圆心； （2）连接，确定并说明与之间的数量关系． 22. 观察下列两个十位上的数都是1的两位数的积（个位上的数的和等于10）． ，，…，，． （1）猜想：哪个积最大？直接写出你的猜想； （2）验证：请你用所学的二次函数的知识验证你的猜想； （3）应用：有一组直角边分别为71，79；72，78；73，77；74，76；75，75的直角三角形，直接写出直角三角形的最大面积． 23. 如图，为的直径，交于点，为延长线上一点，切于点，连接交于． （1）判断与的大小关系，并说明理由； （2）若且为的中点，求的半径． 24. 如图，一小球从斜坡点以一定的方向弹出，球的飞行路线可以用二次函数（）刻画，斜坡可以用一次函数刻画，小球飞行的水平距离（米）与小球飞行的高度（米）的变化规律如下表： 0 1 2 4 5 6 7 … 0 6 8 … （1）①______，______； ②求，的值及小球的落点的坐标； （2）小球飞行高度（米）与飞行时间（秒）满足关系：，小球飞行水平距离（米）与飞行时间（秒）满足关系：．直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $