5.3.1单调性课件（1）-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

5.3.1 导数在研究函数中的应用 ——单调性 选择性必修第一册 第5章《导数及应用》 27 二月 2025 1 学习目标 XUEXIMUBIAO 1.理解导数与函数的单调性的关系. 2.掌握利用导数判断函数单调性的方法. 3.能利用导数求不超过三次多项式函数的单调区间. 函数是描述客观世界变化规律的数学模型，研究“变化规律”自然要考虑变化的两个方面：变化的趋势和变化的快慢。 变化趋势：导数、函数的单调性 问题：如何利用导数来研究函数的性质呢？ 问题引入 3 请同学们以熟悉的函数为例，进行进一步的研究。 导学探究1 导数与函数的单调性有什么联系？ 探究思路一：从“形”的角度分析 探究思路二：从“数”的角度研究 回归函数单调性的定义 结论:一般地,对于函数y＝f(x) 如果在某个区间 f (x)＞0, 注意:如果在某个区间内恒有f (x)＝0,则f(x)为常数函数. 如果在某个区间 f (x)＜0, 则f(x)为该区间上单调递增; 则f(x)为该区间上单调递减. 获得新知 6 课堂展示 例2：求函数f(x)＝2x3－6x2＋7的单调区间. 解:函数的定义域为R，f (x)＝6x2－12x， 令f (x) =6x2－12x＞0，解得x＜0或x＞2， 则f(x)的单增区间为（－∞，0）和（2，＋∞）． 再令f (x) = 6x2－12x＜0,解得0＜x＜2, 则f(x)的单减区间(0，2). 课堂展示 8 方法总结：根据导数确定函数的单调性步骤 1.确定函数f (x)的定义域. 2.求出函数的导数f (x). 3.解不等式f (x)＞0,得函数单增区间; 解不等式f (x)＜0,得函数单减区间. 9 导学探究2 0 y x 1 2 －1 －2 单增区间：(-∞，－1)和（1，＋∞）. 单减区间：(－1，0）和（0，1）. 变式2：讨论函数　　　　　的单调性． 12 课堂小结 一个联系：导数与函数的单调性之间的联系： 两种思想方法：特殊到一般，数形结合 2025/2/27 课堂检测 见课本P214练习第1题． 课本P222习题第2题． 课堂作业 思考：由 ，你能联想到什么？ 在区间上是增函数 ，当 ,都有 ” ， 确定函数 在哪个区间上单调递增， 在哪个区间上单调递减. 解：f ′(x)=2x-4, 令f ′(x)＞0，解得 ，令f ′(x)＜0，解得， 所以 在 上单调递增，在 上单调递减. 思考：如果 在某区间上单调递增， 那么在该区间上必有 EMBED Equation.3 吗？ 不一定！函数 在 上单调递增，但在 处的导数值为0 一般地： 如果 在某区间上是单调递增，那么该区间上必有 ≥0,且 不恒为0； 如果f(x)在某区间上是单调递减，那么该区间上必有 ≤0， 且 不恒为0； 变式1 确定函数 的单调减区间 解： =，令 ,即 .又 ，所以 故所求的单调减区间为 . 如果在某区间上 ,那么 为该区间上单调递增； 如果在某区间上 ,那么 为该区间上单调递减. $$