5.3.1函数的单调性与导数 课件-2024-2025学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

5.3 导数在研究函数中的应用 5.3.1 函数的单调性 人教A版（2019）选择性必修第二册第五章 情境引入，探究新知 2 问题1　观察刚刚高台跳水的运动轨迹以及其导数的图象，试说明运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？如何从数学上刻画这种区别？ 提示　通过观察图象，可以发现 （1）运动员从起跳到最高点，离水面的高度h随时间t的增加而增加， 即h(t)单调递增，相应地，v(t)＝h′(t)>0； （2）从最高点到入水，离水面的高度h随时间t的增加而减小， 即h(t)单调递减，相应地，v(t)＝h′(t)<0. 情境引入，探究新知 3 问题2　观察下面几个图象，探究函数的单调性和导数的正负的关系. 提示 （1）函数y＝x的定义域为R，并且在定义域上是增函数，其导数y′＝1>0； （2）函数y＝x2的定义域为R，在(－∞，0)上单调递减，(0，＋∞)上递增. 而y′＝2x，当x < 0时，其导数y′<0； 当x > 0时，其导数y′>0； 当x＝0时，其导数y′＝0. 情境引入，探究新知 4 问题2　观察下面几个图象，探究函数的单调性和导数的正负的关系. 提示 （3）函数y＝x3的定义域为R，在定义域上为增函数. 而y′＝3x2，当x≠0时，其导数3x2>0；当x＝0时，其导数3x2＝0； （4）函数y＝ 的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)， 在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调增减，而y′＝ ，因为x≠0，所以y′<0. 情境引入，探究新知 5 问题2　观察下面几个图象，探究函数的单调性和导数的正负的关系. 从以上四个函数的单调性及其导数符号的关系上说明： 在区间(a，b)内， 如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在这个区间上单调递增； 如果f′(x)<0，那么函数y＝f(x)在这个区间上单调递减. 情境引入，探究新知 6 函数的单调性与其导数的正负之间的关系 定义在区间(a，b)内的函数y＝f(x)： f′(x)的正负 f(x)的单调性 f′(x) > 0 单调递____ f′(x) < 0 单调递____ 增 减 (1)在某个区间上恒有f′(x)＝0，f(x)是常函数； (2)原函数的图象只看增(减)的变化，导函数的图象只看正(负)变化. 注意： 情境引入，探究新知 7 典例剖析、形成方法 一、利用导数判断函数的单调性 三、利用导数求函数的单调区间 二、由导数的信息画函数的大致图象 题型分类 8 利用导数判断函数的单调性 一 典例剖析、形成方法 9 解： (1) 利用导数判断函数的单调性 　　利用导数判断下列函数的单调性： (1)f(x)＝ x3－x2＋2x－5； (2)f(x)＝x－ －ln x； 例 1 典例剖析、形成方法 10 解： (2) 利用导数判断函数的单调性 　　利用导数判断下列函数的单调性： (1)f(x)＝ x3－x2＋2x－5； (2)f(x)＝x－ －ln x； 例 1 典例剖析、形成方法 11 利用导数判断函数单调性的步骤： （1）确定函数的定义域； （2）求导数f′(x)； （3）确定f′(x)在定义域内的符号； （在此过程中，需要对导函数进行通分、因式分解、配方等变形） （4）得出结论. 反思感悟 利用导数判断函数的单调性 典例剖析、形成方法 12 利用导数信息画函数大致图象 二 典例剖析、形成方法 13 例 2 解： (1) 　　　(1)已知f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，那么f(x)的 图象最有可能是图中的 √ 由题意可知：当x<0和x>2时，导函数f′(x)<0，函数f(x)单调递减； 当x∈(0,2)时，导函数f′(x)>0，函数f(x)单调递增， 故函数f(x)的图象如图D. 利用导数信息画函数大致图象 典例剖析、形成方法 14 解： (2) 　　(2)已知导函数f′(x)的下列信息：当x<0或x>7时，f′(x)>0； 当0<x<7时，f′(x)<0； 当x＝0或x＝7时，f′(x)＝0， 试画出函数f(x)的大致图象. 当x<0或x>7时，f′(x)>0， 可知f(x)在区间(－∞，0)和(7，＋∞)上都是单调递增的； 当0<x<7时，f′(x)<0，可知函数f(x)在区间(0,7)上单调递减； 当x＝0或x＝7时，f′(x)＝0，这两个点比较特殊，我们称它们为“临界点”.故如图， 利用导数信息画函数大致图象 典例剖析、形成方法 例 2 15 反思感悟 由导函数图象画原函数图象的依据： 根据f′(x)>0，则f(x)单调递增，f′(x)<0，则f(x)单调递减； 由原函数图象画导函数图象的依据： 若f(x)单调递增，则f′(x)的图象一定在x轴的上方； 若f(x)单调递减，则f′(x)的图象一定在x轴的下方； 若f(x)是常函数，则f′(x)＝0. 利用导数信息画函数大致图象 典例剖析、形成方法 16 利用导数求函数的单调区间 三 典例剖析、形成方法 17 例 3 　　求下列函数的单调区间. (2)f(x)＝3x2－2ln x ＋2 ； (1)f(x)＝2x3＋3x2－36x＋3 ； (3)f(x)＝x2·e－x. 解： (1) 定义域为R . f′(x)＝6x2＋6x－36＝6(x＋3)(x－2). 令f′(x)＝0，解得x＝－3或x＝2 . 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x (－∞，－3) －3 (－3,2) 2 (2，＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) 单调递增 f(－3) 单调递减 f(2) 单调递增 故f(x)的单调递增区间是(－∞，－3)，(2，＋∞)； 减区间是(－3,2). 利用导数求函数的单调区间 典例剖析、形成方法 18 解： (2) 定义域为(0，＋∞). x f′(x) － 0 ＋ f(x) 单调递减   单调递增 利用导数求函数的单调区间 　　求下列函数的单调区间. (2)f(x)＝3x2－2ln x ＋2 ； (1)f(x)＝2x3＋3x2－36x＋3 ； (3)f(x)＝x2·e－x. 典例剖析、形成方法 例 3 19 解： (3) 定义域为(－∞，＋∞). f′(x)＝2xe－x－x2e－x＝e－x·(2x－x2)， 令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2， 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x (－∞，0) 0 (0,2) 2 (2，＋∞) f′(x) － 0 ＋ 0 － f(x) 单调递减 f(0) 单调递增 f(2) 单调递减 ∴f(x)的单调递减区间为(－∞，0)和(2，＋∞)，递增区间为(0,2). 利用导数求函数的单调区间 　　求下列函数的单调区间. (2)f(x)＝3x2－2ln x ＋2 ； (1)f(x)＝2x3＋3x2－36x＋3 ； (3)f(x)＝x2·e－x. 典例剖析、形成方法 例 3 20 反思感悟 利用导数求函数的单调区间的一般步骤 (1)确定函数y＝f(x)的定义域； (2)求出导数f′(x)的零点（需对导函数进行通分、因式分解、配方等变形）； (3)用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间， 列表给出f′(x)在各区间上的正负， 由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性. 或 (3)解不等式f′(x)>0，函数在解集与定义域的交集上单调递增. 解不等式f′(x)<0，函数在解集与定义域的交集上单调递减. 利用导数求函数的单调区间 典例剖析、形成方法 21 1. (多选) 如图是函数y＝f(x)的导函数f′(x)的图象，则下列判断正确的是 A.在(－2,1)上，f(x)单调递增 B.在(1,2)上，f(x)单调递增 C.在(4,5)上，f(x)单调递增 D.在(－3，－2)上，f(x)单调递增 √ √ 随堂演练、巩固新知 2. 设函数f(x)的图象如图所示，则导函数f′(x)的图象可能为 √ 22 3. 函数f(x)＝ln x－4x － 5的单调递增区间为 √ 4. 函数f(x)＝(x2＋2x＋1)ex的单调递减区间为____________. (－3，－1) 5. 函数f(x)＝x＋2cos x，x∈(0，π)的单调递减区间是________. 随堂演练、巩固新知 23 1、函数的单调性与其导数的正负之间的关系： 定义在区间(a，b)内的函数y＝f(x)： f′(x)的正负 f(x)的单调性 f′(x) > 0 单调递____ f′(x) < 0 单调递____ 增 减 2、常见题型：（1）利用导数判断函数的单调性； （2）利用导数信息画原函数大致图像； （3）利用导数求函数的单调区间. 3、特别提醒：（1）注意定义域的考察； （2）注意分类讨论思想和方程、不等式思想的运用. 课堂小结、归纳提升 24 教材87页练习第1题. 2. 教材89页练习第1题. 课后作业、升华新知 25 因为f(x)＝x3－x2＋2x－5， 所以f′(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1>0， 因为f(x)＝x－－ln x，x∈(0，＋∞)， 所以f′(x)＝1＋－＝＝>0， 所以f(x)＝x－－ln x在(0，＋∞)上单调递增. A. 　　　B.(0,4)　　　C. 　　　D. $