精品解析：山东省青岛市崂山区2024-2025学年上学期九年级数学期末考试卷

九年级数学试题 （考试时间：120分钟；满分：120分） 说明： 1．本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共25题．第Ⅰ卷为选择题，共10小题，30分；第Ⅱ卷为填空题、作图题、解答题，共15小题，90分． 2．所有题目均在答题卡上作答，在试题上作答无效． 第Ⅰ卷（共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 如图几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了简单几何体的三视图，三视图分为主视图、左视图、俯视图，分别是从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．注意所看到的线都要用实线表示出来．找到从几何体的上面看所得到图形即可． 【详解】解：从几何体的上面看到的图形即俯视图如图所示， 故选：A． 2. 如图，是的弦，圆周角，那么的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．连接，如图，先根据圆周角定理得到，然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算的度数． 【详解】解：连接，如图， 和都对， ， ， ． 故选：B． 3. 某商场一月份的营业额为万元，第一季度营业总额为万元，若平均每月增长率为x，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程．先得到二月份的营业额，三月份的营业额，等量关系为：一月份的营业额+二月份的营业额+三月份的营业额，把相关数值代入即可． 【详解】解：∵一月份的营业额为400万元，平均每月增长率为x， ∴二月份的营业额为， ∴三月份的营业额为， ∴可列方程为， 即， 故选：B． 4. 将二次函数的图象先向上平移2个单位，再把所得图象进行x轴对称变换，所得图象的表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的平移，轴对称的性质．根据二次函数平移的规律，得到平移后的解析式，然后根据二次函数图象关于x轴对称变换的规律，即可求解． 【详解】解：把二次函数图象先向上平移2个单位 所以，得到的函数的解析式为：． 再把所得图象进行x轴对称变换后的解析式为：， 所以，所得图象的函数解析式为． 故选：C． 5. 下列四个命题中，假命题是（ ） A. 两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 B. 菱形的一条对角线平分一组对角 C. 顺次连结四边形的各边中点所得的四边形是平行四边形 D. 对角线互相平分且相等的四边形是矩形 【答案】A 【解析】 【分析】本题特殊平行四边形的判定和性质，判定命题的真假，掌握特殊平行四边形的判定和性质是解题的关键． 根据特殊的平行四边形的判定和性质逐一分析判定即可． 【详解】A．两条对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，所以该命题错误，是假命题； B．顺次连接四边形的各边中点所得的四边形是平行四边形，所以该命题正确； C．菱形的对角线平分一组对角，所以该命题正确； D．对角线互相平分且相等的四边形是矩形，所以该命题正确． 故选：A． 6. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了根的判别式．利用一元二次方程根的判别式即可解决问题． 【详解】解：由题知， 因为关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， 所以， 解得． 故选：B． 7. 如图，某地修建高速公路，要从B地向C地修一座隧道（B，C在同一水平面上），某工程师操纵无人机从B地出发，垂直上升到达A处，在A处观察C地的俯角为，则两地之间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形应用—仰角俯角问题．根据题意可得：，，从而可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答． 【详解】解：如图： 由题意得：，， ∴， 在中，， ∴， ∴两地之间的距离为， 故选：C． 8. 如图，在平面直角坐标中，正方形与正方形是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，点A，B，E在x轴上，若正方形的边长为12，则C点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查位似变换、坐标与图形性质、正方形的性质，熟练掌握位似的性质、正方形的性质是解答本题的关键．由位似的性质可得，由正方形的性质可得，则，，进而可得答案． 【详解】解：正方形与正方形是以原点为位似中心的位似图形，且相似比为， ． 正方形的边长为12， ， ∴ ，， 点坐标为． 故选：A． 9. 如图，在菱形中，，点O是对角线的中点，以点O为圆心，长为半径作圆心角为的扇形，点D在扇形内，则图中阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过点作的垂线交于点，过点作的垂线交于点，连接；设与交于点，与交于点．根据菱形的性质得，由和证明，由角平分线的性质得，从而根据证明△△，进而得，，再由计算阴影部分的面积即可． 【详解】解：如图，过点作的垂线交于点，过点作的垂线交于点，连接必经过点；设与交于点，与交于点． 为菱形，， ， 为对角线， ， ， ， 同理，可得， ， ， ， 是的平分线， ， 在和中， ， ∴， ， ， ，， ， ，， ， ， ， ． 故选：A． 【点睛】本题考查扇形面积的计算、全等三角形的判定与性质、菱形的性质，掌握扇形面积的计算公式、全等三角形的判定与性质、菱形的性质、特殊角的三角形函数是解题的关键． 10. 表中所列x，y的6对值是二次函数图象上的点所对应的坐标，其中． x … 1 … y … m 0 c 0 n m … 根据表中信息，下列4个结论：①；②；③；④如果，那么当时，直线与该二次函数图象有一个公共点，则．其中正确的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系．①由二次函数的对称性可得对称轴为直线，可直接判断；②由对称轴的位置及且，可知在对称轴右侧，y随x的增大而增大，由此可判断a的符号，进而可判断b和c的符号；③由上述判断可知，当时，，结合可判断；④根据题中给出的数据，可求得函数解析式，进而可判断时，y的取值范围，进而可判断． 【详解】解：①由表格可知，当和时，函数值相等， ∴对称轴为直线， ∴，即，故①正确； ②由表格可知，，且， ∴在对称轴右侧，y随x的增大而增大， ∴， ∴， 由表格可知，当和，函数值相等， 又∵，， ∴， ∴，故②正确； ③由上分析可知，当时，， 又∵， ∴，故③正确； ④当，时，可知函数过点， ∵对称轴为直线， ∴抛物线跟x轴的另一个交点， ∴函数的解析式可设为， ∵， ∴，解得， ∴函数解析式为：， 画出函数图象如图所示： 当时，， 当时，， 又抛物线的顶点坐标为， ∴当时，直线与该二次函数图象有一个公共点； ∴若直线与该二次函数图象有一个公共点，则或，故④不正确． 故选：C． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 若，则值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是比例的基本性质，根据，设，则，再进一步解答即可． 【详解】解：∵， 设，则， ∴， 故答案为： 12. 二维码已经成为广大民众生活中不可或缺的一部分，如图，小山将二维码打印在面积为的正方形纸片上，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷，点，经过大量重复实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在0.65左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为______． 【答案】260 【解析】 【分析】本题主要考查了用频率估计概率，理解在大量反复试验下频率的稳定值即为概率值是解题的关键． 根据大量反复试验下频率的稳定值即为概率值得到点落在黑色阴影的概率为0.65，即黑色阴影的面积占整个面积的0.65，据此求解即可． 【详解】解：经过大量重复实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在0.65左右， 点落在黑色阴影的概率为0.65， 黑色阴影的面积为， 故答案为：260． 13. 如图，在平面直角坐标系中，的半径为3，点P的坐标为，若将沿x轴向右平移，使得与y轴相切，则向右平移的距离为_______． 【答案】2或8 【解析】 【分析】本题考查圆的切线性质、平移性质，分类讨论是解答的关键．分圆在y轴左侧相切和y轴右侧相切求解即可． 【详解】解：∵点的坐标为， ∴， 如图，当圆在y轴左侧相切时，，则； 当圆在y轴右侧相切时，，则； 故向右平移的距离为2或8， 故答案为：2或8． 14. 如图，四边形是矩形，分别以点A和点C为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点M，N；作直线分别交于点E，F，连接，若，则四边形的面积为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查作图—基本作图、线段垂直平分线的性质、矩形的性质、菱形的判定与性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 设与交于点，由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线，结合矩形的性质可得出四边形为菱形，则，，在中，可得，，则，，再根据四边形的面积为可得答案． 【详解】解：设与交于点， 由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线， ，，，． 四边形为矩形， ， ，， ， ， ， 四边形为菱形， ，， 在中，，， ，， ，， 四边形的面积为． 故答案为：． 15. 对于实数a，b定义“”运算：，如：，若m，n是二次函数的图象与轴的交点的横坐标，则为______． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，实数的运算，图象上点的坐标满足解析式是解题的关键．由题意，，故． 【详解】解：，是二次函数的图象与轴的交点的横坐标， ，， ． 故答案为：7． 16. 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点为双曲线图象上一点，且，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数的性质，勾股定理的应用，完全平方公式的应用，由点为双曲线图象上一点，可得，由，可得，再进一步求解即可． 【详解】解：∵点为双曲线图象上一点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 三、作图题（本大题满分4分） 请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 17. 如图，在中，点为边上一点，请用尺规作图法，在边上找一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【解析】 【分析】连接，，作的垂直平分线，交于点，点即为所求． 【详解】解：如图所示，连接，，作的垂直平分线，交于点，点即为所求， 理由如下， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了作垂直平分线，垂直平分线的性质，等边对等角，三角形外角的性质，熟练掌握基本作图是解题的关键． 四、解答题（本大题共8小题，共68分） 18. 计算 （1）解方程：； （2）计算：； （3）已知二次函数的图象经过，求二次函数的表达式． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式和因式分解法求一元二次方程；在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解． （1）求解，再用公式法解答即可； （2）代入特殊角的三角函数值，再计算即可； （3）把两个点的坐标分别代入中得到关于的方程组，然后解方程组求出即可； 【小问1详解】 解：∵， ∴， ． ∴方程有两个不相等的实数根， ， 即． 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解：∵二次函数图象经过， ， 解得：， ． 19. 某班家委会准备组织同学们周末进行徒步健身活动．以抽签的方式从浮山森林公园和中山公园选择一个为徒步地点，规则为：一个不透明纸箱里，装有除颜色不同外其它完全相同的3个红球和2个黑球，先后两次从纸箱里摸出两个球（不放回），若两次所摸球的颜色相同，则去浮山森林公园；否则，去中山公园． （1）求第一次摸到黑球的概率为_____； （2）请用树状图或者列表表示出所有摸球的结果，求出去中山公园概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了简单地概率公式，树状图法求概率，游戏公平性，熟练掌握画树状图法求概率是解题的关键． （1）根据简单的概率公式解答即可． （2）利用画树状图法解答即可．计算颜色相同的概率，颜色不同的概率，比较大小，确定可能性的大小． 【小问1详解】 解：根据题意，得摸到黑球的概率为． 【小问2详解】 解：根据题意，设红球用A，B，C表示，黑球用D，E表示，画树状图如下： 一共有20种等可能性，其中颜色相同的有8种等可能性，颜色不同的有12种等可能性． ∴去中山公园的概率为． 20. 为了保护视力，小明的妈妈为他购买了可调节阅读角度的夹书阅读架（如图1），该阅读架由底座、固定支架和可调节面板三部分构成，将其放置在水平桌面上的侧面示意图如图2．现测得底座高为，支架长为，与底座上表面的夹角，面板宽为． （1）求支架顶端D距离底座上表面的距离； （2）产品说明书中告知，面板绕点D上下转动时，面板与支架的夹角满足是最佳的视力保护范围．小明将阅读架放在桌面上，通过调试感觉当时比较舒适，求此时点F到桌面高度．（参考数据：） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用．把所给的线段和角度整理到直角三角形中，是解决本题的关键． （1）作，于点，易得，利用的正弦值可得的长，即为支架顶端距离底座上表面的距离； （2）作于点，易得，利用的正弦值可得的长，加上的长及的长，即为点到桌面的高度． 【小问1详解】 解：作，于点， ，， ， ， 答：支架顶端距离底座上表面的距离约为； 【小问2详解】 作于点， ， ，， ， ， ， 点到桌面高度约为：． 答：点到桌面高度约为． 21. “同弧或等弧所对的圆周角相等”，利用这个推论可以解决很多数学问题，在一次数学探究活动中，李老师设计了以下任务单： 已知线段，在的上方画，尝试操作后思考： （1）这样的点A唯一吗？ （2）点A的位置有什么特征？你有什么感悟？ 数学兴趣小组通过操作、观察、讨论后汇报：点A的位置不唯一，它在以为弦的圆弧上（点B，C除外），……小颖同学画出了符合要求的一条圆弧（如图1）． （1）该弧所在圆的半径长为_______； （2）经过比对发现，小明同学所画的角的顶点不在小颖所画的圆弧上，而在如图2所示的圆的外部，我们记为，请你说明和的大小关系并说明理由； （3）如图3，已知线段和直线l，在直线l上求作一点P，使得，尺规作图，保留作图痕迹． 【答案】（1）6 （2） （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查了弧与圆周角的关系，等边三角形的判定与性质，三角形的外角定理，尺规作图，难度较低，掌握以上内容是解题关键． （1）作出以为弦的圆，证明为等边三角形即可得到答案； （2）利用外角关系即可证明； （3）先以为边作等边三角形，再作△的外接圆，与直线交于两点，即满足题意． 【小问1详解】 解： ，作出以为弦的圆，如图4所示： ， ， ， 为等边三角形， ． 故答案为：6． 【小问2详解】 ，理由如下： 设交圆于点，连接，如图5所示： ， 由外角关系知， 故． 【小问3详解】 先以为边作等边三角形，再作△的外接圆，与直线交于两点和，皆满足题意使得． 如图6所示： 22. 如图，一次函数与反比例函数的图象相交于两点，连接，延长交反比例函数图象于点C． （1）求一次函数的表达式与反比例函数的表达式； （2）当时，直接写出自变量x的取值范围为______； （3）点P是x轴上一点，当时，请求出点P的坐标． 【答案】（1）一次函数解析式为，反比例函数解析式为； （2）或 （3）或 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握交点坐标满足两个函数解析式是关键． （1）待定系数法求出两个函数解析式即可； （2）根据图象，直接写出不等式解集即可； （3）设点坐标为，点，利用代入数据求出值，继而求出点坐标即可． 【小问1详解】 解：（1）一次函数与反比例函数的图象相交于，两点， ， 反比例函数解析式为， ，两点在一次函数图象上， ，解得， 一次函数解析式为． 【小问2详解】 由反比例函数对称轴性质可得点， 由图象可知，当时，自变量的取值范围为：或． 故答案为：或． 【小问3详解】 ∵直线解析式为， 故直线与轴交点坐标为，与轴交点坐标为， ∴， ， ∴， 设点坐标为，点， ， 解得， ∴或 23. 如图，在平行四边形中，点E，F是对角线上三等分点，连接．求证： （1）； （2）连接，若，且，判断四边形的形状，并证明． 【答案】（1）证明见解析 （2）四边形为正方形 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，，然后可证明，再利用来判定即可得解； （2）如图，连接交于，证明，可得四边形为平行四边形，结合，可得四边形为菱形，证明，可得四边形为正方形． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，． ∴． ∵点E，F是对角线上的三等分点， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：四边形为正方形．理由如下： 如图，连接交于， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形， ∵，， ∴， ∴四边形为正方形． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，菱形的判定，正方形的判定，熟记特殊四边形的判断方法是解本题的关键． 24. 剪纸是一种非常普及的中国民间艺术，春节期间，人们都喜欢在窗户上贴上窗花作为装饰，不仅烘托了喜庆的节日气氛，还为人们带来了美的享受，集装饰性、欣赏性和实用性于一体．某商家在春节前夕购进甲、乙两种剪纸进行销售，已知每套甲种剪纸的进价是每套乙种剪纸进价的1.25倍，用400元购进甲种剪纸的套数比用400元购进乙种剪纸的套数少2套． （1）求这两种剪纸每套进价分别为多少元？ （2）根据商家的销售经验，甲种剪纸的销售量（套）与销售单价x（元）之间的关系为，乙种剪纸的销售量（套）与销售单价x（元）之间的关系为．若每套甲种剪纸的售价同样是每套乙种剪纸售价的1.25倍，则甲、乙两款剪纸的销售单价定为多少元时，商家可获得最大利润？最大利润是多少元？ 【答案】（1）乙种剪纸每套进价是40元，甲种剪纸每套进价50元； （2）甲种剪纸每套售价为元，乙种剪纸每套售价为54元时，商家可获得最大利润，最大利润是120050元． 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，二次函数的应用，正确的理解题意是解题的关键． （1）设乙种剪纸每套进价为a元，则甲种剪纸每套进价为元，根据用400元购进甲种剪纸的套数比用400元购进乙种剪纸的套数少2套，列出方程，解方程即可； （2）设乙种剪纸的销售单价为x元，商家获得的利润为w元，根据利润=售价-进价，列出函数关系式，再根据二次函数的性质即可求解． 【小问1详解】 解：设乙种剪纸每套进价是a元，则甲种剪纸每套进价元， 根据题意得：， 解得， 经检验，是原方程根， 此时， ∴乙种剪纸每套进价是40元，甲种剪纸每套进价50元； 【小问2详解】 解：设乙种剪纸每套售价为x元，则甲种剪纸每套售价为元，商家获得利润为w元， 根据题意得： ， ∵， ∴当时，w有最大值，最大值为120050， 此时， 答：甲种剪纸每套售价为元，乙种剪纸每套售价为54元时，商家可获得最大利润，最大利润是120050元． 25. 如图，在矩形中，，，连接．点P从点A出发，沿顺时针方向匀速运动，速度为；同时，点Q从点A出发，沿逆时针方向匀速运动，速度为，设运动时间为．解答下列问题： （1）P，Q两点何时相遇？ （2）当时，是否能与相似，请说明理由； （3）设以点P，Q，B，D为顶点围成的四边形的面积为，求S与t之间的函数关系式． 【答案】（1）； （2）当时，存在；理由见解析 （3）． 【解析】 【分析】本题是相似综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，分4种情况讨论是解（3）的关键． （1）由题意可得，，求出t即可； （2）由题意可得，，再结合即可推出结论； （3）分①当时，②当时，③当时，④当时，4种情况画出图形分别求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得， ∴； 【小问2详解】 解：当时，存在；理由如下， 此时点Q在边上，，， ∵，， ∴， ∵， ∴； 【小问3详解】 解：①当时，此时点Q在边上，，， ∵， ∴； ②当时，此时点Q在边上，，，， ∵， ∴； ③当时，此时点Q在边上，，，， ∵， ∴； ④当时，此时点Q在边上，点P在边上，，， ∵， ∴， 综上所述，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 九年级数学试题 （考试时间：120分钟；满分：120分） 说明： 1．本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共25题．第Ⅰ卷为选择题，共10小题，30分；第Ⅱ卷为填空题、作图题、解答题，共15小题，90分． 2．所有题目均在答题卡上作答，在试题上作答无效． 第Ⅰ卷（共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 如图几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，是的弦，圆周角，那么的度数是（ ） A. B. C. D. 3. 某商场一月份的营业额为万元，第一季度营业总额为万元，若平均每月增长率为x，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 4. 将二次函数的图象先向上平移2个单位，再把所得图象进行x轴对称变换，所得图象的表达式为（ ） A. B. C. D. 5. 下列四个命题中，假命题是（ ） A. 两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 B. 菱形的一条对角线平分一组对角 C. 顺次连结四边形的各边中点所得的四边形是平行四边形 D. 对角线互相平分且相等的四边形是矩形 6. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，某地修建高速公路，要从B地向C地修一座隧道（B，C在同一水平面上），某工程师操纵无人机从B地出发，垂直上升到达A处，在A处观察C地的俯角为，则两地之间的距离为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平面直角坐标中，正方形与正方形是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，点A，B，E在x轴上，若正方形的边长为12，则C点坐标为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在菱形中，，点O是对角线的中点，以点O为圆心，长为半径作圆心角为的扇形，点D在扇形内，则图中阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 10. 表中所列x，y的6对值是二次函数图象上的点所对应的坐标，其中． x … 1 … y … m 0 c 0 n m … 根据表中信息，下列4个结论：①；②；③；④如果，那么当时，直线与该二次函数图象有一个公共点，则．其中正确的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 若，则的值为______． 12. 二维码已经成为广大民众生活中不可或缺的一部分，如图，小山将二维码打印在面积为的正方形纸片上，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷，点，经过大量重复实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在0.65左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为______． 13. 如图，在平面直角坐标系中，半径为3，点P的坐标为，若将沿x轴向右平移，使得与y轴相切，则向右平移的距离为_______． 14. 如图，四边形是矩形，分别以点A和点C为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点M，N；作直线分别交于点E，F，连接，若，则四边形的面积为_____． 15. 对于实数a，b定义“”运算：，如：，若m，n是二次函数的图象与轴的交点的横坐标，则为______． 16. 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点为双曲线图象上一点，且，则的值是______． 三、作图题（本大题满分4分） 请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 17. 如图，在中，点边上一点，请用尺规作图法，在边上找一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 四、解答题（本大题共8小题，共68分） 18. 计算 （1）解方程：； （2）计算：； （3）已知二次函数的图象经过，求二次函数的表达式． 19. 某班家委会准备组织同学们周末进行徒步健身活动．以抽签的方式从浮山森林公园和中山公园选择一个为徒步地点，规则为：一个不透明纸箱里，装有除颜色不同外其它完全相同的3个红球和2个黑球，先后两次从纸箱里摸出两个球（不放回），若两次所摸球的颜色相同，则去浮山森林公园；否则，去中山公园． （1）求第一次摸到黑球的概率为_____； （2）请用树状图或者列表表示出所有摸球的结果，求出去中山公园概率． 20. 为了保护视力，小明的妈妈为他购买了可调节阅读角度的夹书阅读架（如图1），该阅读架由底座、固定支架和可调节面板三部分构成，将其放置在水平桌面上的侧面示意图如图2．现测得底座高为，支架长为，与底座上表面的夹角，面板宽为． （1）求支架顶端D距离底座上表面的距离； （2）产品说明书中告知，面板绕点D上下转动时，面板与支架的夹角满足是最佳的视力保护范围．小明将阅读架放在桌面上，通过调试感觉当时比较舒适，求此时点F到桌面高度．（参考数据：） 21. “同弧或等弧所对的圆周角相等”，利用这个推论可以解决很多数学问题，在一次数学探究活动中，李老师设计了以下任务单： 已知线段，在的上方画，尝试操作后思考： （1）这样的点A唯一吗？ （2）点A位置有什么特征？你有什么感悟？ 数学兴趣小组通过操作、观察、讨论后汇报：点A的位置不唯一，它在以为弦的圆弧上（点B，C除外），……小颖同学画出了符合要求的一条圆弧（如图1）． （1）该弧所在圆的半径长为_______； （2）经过比对发现，小明同学所画角的顶点不在小颖所画的圆弧上，而在如图2所示的圆的外部，我们记为，请你说明和的大小关系并说明理由； （3）如图3，已知线段和直线l，在直线l上求作一点P，使得，尺规作图，保留作图痕迹． 22. 如图，一次函数与反比例函数的图象相交于两点，连接，延长交反比例函数图象于点C． （1）求一次函数的表达式与反比例函数的表达式； （2）当时，直接写出自变量x的取值范围为______； （3）点P是x轴上一点，当时，请求出点P的坐标． 23. 如图，在平行四边形中，点E，F是对角线上的三等分点，连接．求证： （1）； （2）连接，若，且，判断四边形的形状，并证明． 24. 剪纸是一种非常普及中国民间艺术，春节期间，人们都喜欢在窗户上贴上窗花作为装饰，不仅烘托了喜庆的节日气氛，还为人们带来了美的享受，集装饰性、欣赏性和实用性于一体．某商家在春节前夕购进甲、乙两种剪纸进行销售，已知每套甲种剪纸的进价是每套乙种剪纸进价的1.25倍，用400元购进甲种剪纸的套数比用400元购进乙种剪纸的套数少2套． （1）求这两种剪纸每套进价分别为多少元？ （2）根据商家的销售经验，甲种剪纸的销售量（套）与销售单价x（元）之间的关系为，乙种剪纸的销售量（套）与销售单价x（元）之间的关系为．若每套甲种剪纸的售价同样是每套乙种剪纸售价的1.25倍，则甲、乙两款剪纸的销售单价定为多少元时，商家可获得最大利润？最大利润是多少元？ 25. 如图，在矩形中，，，连接．点P从点A出发，沿顺时针方向匀速运动，速度为；同时，点Q从点A出发，沿逆时针方向匀速运动，速度为，设运动时间为．解答下列问题： （1）P，Q两点何时相遇？ （2）当时，是否能与相似，请说明理由； （3）设以点P，Q，B，D为顶点围成的四边形的面积为，求S与t之间的函数关系式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$