精品解析：河南省漯河市召陵区2024-2025学年八年级上学期1月期末数学试题

2024—2025学年度八年级上期期末学业质量评估 数学试卷 注意事项： 1．本试卷共6页，测试时间100分钟，测试分数120分． 2．本试卷为闭卷考试，学生在考试时不准使用计算器．本试卷分试题卷和答题卡两部分． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 近日，央视公布了2025年蛇年春晚主题“巳巳如意，生生不息”．下列图案是部分生肖剪纸图案，其中图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列说法正确的个数有（ ） ① 三角形的角平分线、中线和高都在三角形内 ② 直角三角形只有一条高 ③ 三角形的高至少有一条在三角形内 ④ 三角形的高是直线，角平分线是射线，中线是线段 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 4. 下列等式中，从左向右的变形为因式分解的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图1，漯河大桥是漯河市的第一座跨河大桥，这座桥不仅是城市发展的见证者，也是漯河一道独特的风景和市民情感的牵绊．其侧面示意图如图2所示，其中，现添加以下条件，不能判定的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，若是等边三角形，是的平分线，延长到E，使，则（　　） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 7. 受降亭是中国历史上一个重要的纪念性建筑，它是为了纪念抗日战争胜利后日军在中国的投降仪式而建立的．如图，某亭子的地基平面图是一个正五边形，记为正五边形，连接和，已知，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，这是庆阳市某路口的斑马线，路段横穿双向车道，其中米，在人行绿灯亮时，小刚共用时10秒通过，其中通过段的速度是通过段的倍，求小刚通过段的速度，设小刚通过段的速度为x米/秒，则根据题意列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 两个边长为的大正方形与两个边长为的小正方形按如图所示放置，如果，阴影部分的面积是60，那么（ ） A. 44 B. 46 C. 50 D. 53 10. 如图，三角形中，于，于，且，与相交于点，下列结论中：①；②；③；④若平分，则，正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 古语有云：“滴水穿石”若水珠不断滴在一块石头上，经过年，石头上会形成一个深为的小洞，数据用科学记数法表示为：______． 12. 若为三角形三边长，且满足，则第三边长可能是_____． 13. 将关于的一次二项式与二次三项式相乘，积中不出现一次项，且二次项系数为，则______． 14. 已知关于的分式方程的解是非负数．则的取值范围是______． 15. 如图，是等边三角形，是边上的高，，点是边的中点，点是线段上的一个动点，最小值为____． 三、解答题（本大题共8小题，共75分） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为：，，． （1）在图中作，使和关于轴对称； （2）写出点关于轴的对称点的坐标 ； （3）是轴上一个动点，如果以点为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点的个数为 ； （4）点是轴上的一个动点，当最小时，画出点的位置． 18. 下面是课堂上化简时甲、乙、丙、丁四位同学进行“接力游戏”的过程． 解：原式甲同学 乙同学 丙同学 丁同学 任务： （1）在“接力游戏”中，丁同学是依据_____进行变形的． A．等式的基本性质 B．不等式的基本性质 C．分式的基本性质 D．乘法分配律 （2）在“接力游戏”中，从_____同学开始出现错误，错误的原因是_____； （3）请你写出该分式化简的正确结果． 19. 如图，上午8时，一条船从海岛A出发，以海里/时的速度向正北航行，上午时到达海岛B处．分别从望灯塔C，测得． （1）求从海岛B到灯塔C的距离； （2）若这条船继续向正北航行，则什么时间船与灯塔C的距离最小？ 20. 如图，在中，，边的垂直平分线与分别交于点和点． （1）作出边的垂直平分线； （2）当时，判断与的数量关系并说明理由． 21. 宋代是茶文化发展的第二个高峰，宋代的饮茶主要以点茶为主，煎茶为辅，在点茶的基础上升华为斗茶、分茶和茶百戏．某网店销售两种点茶器具套装，已知甲种点茶器具套装的单价比乙种点茶器具套装的单价少30元，花2220元购进甲种点茶器具套装的数量是花1780元购进乙种点茶器具套装数量的1.5倍． （1）求甲、乙两种点茶器具套装的单价． （2）某学校社团开展茶文化学习活动，打算从该网店购进甲、乙两种点茶器具共30套，且经费预算不超过5000元，则学校最多可以购进乙种点茶器具套装多少套？ 22. 【教材原题】观察图①，用等式表示下图中图形的面积的运算为______． 【类比探究】观察图②，用等式表示图中阴影部分图形的面积和为______． 【应用】（1）根据图②所得的公式，若，，则______． （2）若x满足，求的值． 【拓展】如图③，某学校有一块梯形空地，于点E，，．该校计划在和区域内种花，在和的区域内种草．经测量种花区域的面积和为，，直接写出种草区域的面积和． 23. 下面是数学兴趣小组探究问题的片段，请仔细阅读，并完成任务． 【问题提出】 如图1，在中，，点在线段上，在外侧，以为边能否构造一个与全等的三角形． 【问题探究】 乐学组：如图2，分别以点、点为圆心，以为半径画弧，两弧交于点，连接，则即为所求作的三角形． 善思组：如图3，过点作于点，过点作于点相交于点，则即为所求作的三角形． （1）乐学组得出的依据是_____，善思组得出的依据是_____．（横线上填序号：①；②；③；④） 【问题再探】 （2）善思组的同学们证得后，在图3的基础上连接，通过几何画板测量发现和的面积相等，请你一起来探究． 如图4，延长线段、交于点．连接，．……把未完成的说理过程补充完整． （3）在（2）的条件下，已知，点是线段的三等分点，请直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度八年级上期期末学业质量评估 数学试卷 注意事项： 1．本试卷共6页，测试时间100分钟，测试分数120分． 2．本试卷为闭卷考试，学生在考试时不准使用计算器．本试卷分试题卷和答题卡两部分． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 近日，央视公布了2025年蛇年春晚主题“巳巳如意，生生不息”．下列图案是部分生肖剪纸图案，其中图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别．根据一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，进行判断即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，不符合题意； B、不是轴对称图形，不符合题意； C、是轴对称图形，符合题意； D、不是轴对称图形，不符合题意； 故选：C． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，单项式乘单项式，幂的乘方，熟练掌握相应的运算法则是解决此题的关键．利用同底数幂的除法的法则，同底数幂的乘法的法则，单项式乘单项式的法则，幂的乘方的法则对各项进行运算即可． 【详解】解：、，故不符合题意； ，故不符合题意； 、，故符合题意； ，故不符合题意； 故选：． 3. 下列说法正确的个数有（ ） ① 三角形的角平分线、中线和高都在三角形内 ② 直角三角形只有一条高 ③ 三角形的高至少有一条在三角形内 ④ 三角形的高是直线，角平分线是射线，中线是线段 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形的中线，角平分线和高线的定义以及在三角形的位置对各项分析判断求解． 【详解】解：①钝角三角形的三条高两条在三角形外，故错误； ②直角三角形有三条高，故错误； ③ 三角形的高至少有一条在三角形内，故正确； ④三角形的高，角平分线及中线都是线段，故错误； 故选A． 【点睛】本题考查三角形的中线、角平分线和高，解题的关键是清楚这三条线的定义和在三角形中的位置． 4. 下列等式中，从左向右的变形为因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查因式分解的定义，熟练掌握因式分解的定义是解题的关键，根据因式分解的定义逐一判断即可得到答案． 【详解】解：A、把一个多项式化为几个整式的积的形式，此项正确； B、是整式的乘法，此项错误； C、没把一个多项式化为几个整式的积的形式，此项错误； D、是整式的乘法，此项错误， 故选：A． 5. 如图1，漯河大桥是漯河市的第一座跨河大桥，这座桥不仅是城市发展的见证者，也是漯河一道独特的风景和市民情感的牵绊．其侧面示意图如图2所示，其中，现添加以下条件，不能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查添加条件使三角形全等，根据全等三角形的判定条件，逐一进行判断即可． 【详解】解：由题意，可知：，； ∴当添加时，不能判定；故选项A符合题意； 当，利用可以判定；故选项B不符合题意； 当时，利用可以判定；故选项C不符合题意； 当时，利用可以判定；故选项D不符合题意； 故选：A． 6. 如图，若是等边三角形，是的平分线，延长到E，使，则（　　） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质；根据等边三角形三线合一的性质可得，由及即可求得的长． 【详解】证明：∵是等边三角形， ∴，， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴ ∴． 故选：C． 7. 受降亭是中国历史上一个重要的纪念性建筑，它是为了纪念抗日战争胜利后日军在中国的投降仪式而建立的．如图，某亭子的地基平面图是一个正五边形，记为正五边形，连接和，已知，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查正多边形的内角问题，等边对等角，先求出正五边形的一个内角的度数，等边对等角，求出的度数，再根据角的和差关系进行求解即可． 【详解】解：∵正五边形， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选B． 8. 如图，这是庆阳市某路口的斑马线，路段横穿双向车道，其中米，在人行绿灯亮时，小刚共用时10秒通过，其中通过段的速度是通过段的倍，求小刚通过段的速度，设小刚通过段的速度为x米/秒，则根据题意列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设小刚通过段的速度为x米/秒，则通过段的速度是米/秒，根据题意，得解答即可． 本题考查了分式方程的应用，解题的关键是理解题意，找出等量关系列出方程． 【详解】解：设小刚通过段的速度为x米/秒，则通过段的速度是米/秒， ∵， ∴， 根据题意，得． 故选：A． 9. 两个边长为的大正方形与两个边长为的小正方形按如图所示放置，如果，阴影部分的面积是60，那么（ ） A. 44 B. 46 C. 50 D. 53 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景的应用，根据题意列出阴影部分面积的表达式是解决本题的关键． 由图可得阴影部分面积为个直角三角形面积的和，用含、的式子表示出阴影部分的面积即可求解． 【详解】解：如图： ∵，， ∴， ∴， ， ∴， 解得：．   故选：A ． 10. 如图，三角形中，于，于，且，与相交于点，下列结论中：①；②；③；④若平分，则，正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】由角边角证明，其性质得，结论①，③正确；由垂直的定义和四边形的内角和等于求出，证明结论②正确；由角平分线概念，线段等量代换综合证明，结论④正确，进而即可得解． 【详解】解：，， ，， ，， 在和中， ， ， 结论①，③正确； ，， ， 结论②正确， ，， ， 平分， ， ， ， ， ， 是等腰三角形， ， ， ， 结论正确； 综合所述，正确的结论有4个， 故选：． 【点睛】本题综合考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，四边形的内角和定理，角平分等相关知识点，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决此题的关键． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 古语有云：“滴水穿石”若水珠不断滴在一块石头上，经过年，石头上会形成一个深为的小洞，数据用科学记数法表示为：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，表示时关键是要正确确定的值以及的值． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 若为三角形三边长，且满足，则第三边长可能是_____． 【答案】2（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，非负数的性质等知识点，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解答此题的关键．先根据非负数的性质求出、的值，再由三角形的三边关系即可得出结论． 【详解】解：、满足， ，， ，， 为三角形的三边长， ，即， 第三边长可能是2， 故答案为：2（答案不唯一）． 13. 将关于的一次二项式与二次三项式相乘，积中不出现一次项，且二次项系数为，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘以多项式．首先根据多项式乘多项式的法则进行计算可得，合并同类项可得，根据积中不出现一次项，且二次项系数为，可得方程组，两个方程相减可得结果 ． 【详解】解： ， 积中不出现一次项，且二次项系数为， ， 得：． 故答案为： ． 14. 已知关于的分式方程的解是非负数．则的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查分式方程的解、解一元一次不等式，掌握用含的式子表示方程的解，根据方程的解为非负数，列不等式组是解题关键． 先求出分式方程的解，根据方程的解的情况结合分式有意义，得到关于的不等式组，进行求解即可． 【详解】解：， 得：， ∵方程的解为非负数，且，即， ， 且； 故答案为：且 15. 如图，是等边三角形，是边上的高，，点是边的中点，点是线段上的一个动点，最小值为____． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了最短路径问题及等边三角形的性质，理解“两点之间线段最短”是解题的关键．先根据“两点之间线段最短”找到最小值，再根据等边三角形的性质进行求解． 【详解】解：如图，连接， 是等边三角形，是边上的高， ， B，C关于直线对称， ， ， 是等边三角形，点是边的中点， ， 最小值为4， 故答案为：4． 三、解答题（本大题共8小题，共75分） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查整式的运算： （1）利用多项式除以单项式的法则进行计算即可； （2）先进行乘法公式的计算，再合并同类项即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 17. 如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为：，，． （1）在图中作，使和关于轴对称； （2）写出点关于轴的对称点的坐标 ； （3）是轴上一个动点，如果以点为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点的个数为 ； （4）点是轴上的一个动点，当最小时，画出点的位置． 【答案】（1） 如下图，即为所求； （2） （3）4 （4）如图： 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称作图、轴对称的性质、等腰三角形的定义和性质等知识，熟练掌握轴对称的性质是解题关键． （1）根据轴对称的性质确定点关于轴的对称点，然后顺次连接即可； （2）关于轴对称的点的坐标特征：横坐标互为相反数，纵坐标相同，据此可得答案； （3）根据等腰三角形的定义，分以为等腰三角形的腰和以为等腰三角形的底两种情况，即可获得答案； （4）连接，交轴于点，连接，即可获得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴点关于轴的对称点的坐标为． 故答案为：； 【小问3详解】 解：如下图， 当以为等腰三角形的腰时，可得，，， 当以为等腰三角形的底时，可得， 所以，以点为顶点的三角形是等腰三角形，符合条件的动点的个数为4． 故答案为：4； 【小问4详解】 解：如下图，连接，与轴的交点即为所求． 18. 下面是课堂上化简时甲、乙、丙、丁四位同学进行“接力游戏”的过程． 解：原式甲同学 乙同学 丙同学 丁同学 任务： （1）在“接力游戏”中，丁同学是依据_____进行变形的． A．等式的基本性质 B．不等式的基本性质 C．分式的基本性质 D．乘法分配律 （2）在“接力游戏”中，从_____同学开始出现错误，错误的原因是_____； （3）请你写出该分式化简的正确结果． 【答案】（1）C； （2）乙，去括号时，括号前面是负号，没有将括号内的每一项都变号； （3） 【解析】 【分析】本题考查分式的混合运算，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键： （1）丁同学利用的分式的基本性质； （2）乙同学去括号时，变号错误； （3）根据分式的混合运算法则进行计算即可． 【小问1详解】 解：在“接力游戏”中，丁同学是依据分式的基本性质进行变形； 故选C； 【小问2详解】 乙同学去括号时，变号错误； 故答案为：乙，去括号时，括号前面是负号，没有将括号内的每一项都变号； 【小问3详解】 原式 ． 19. 如图，上午8时，一条船从海岛A出发，以海里/时的速度向正北航行，上午时到达海岛B处．分别从望灯塔C，测得． （1）求从海岛B到灯塔C的距离； （2）若这条船继续向正北航行，则什么时间船与灯塔C的距离最小？ 【答案】（1）从海岛B到灯塔C的距离为海里 （2）若这条船继续向正北航行，上午时小船与灯塔的距离最短 【解析】 【分析】（1）根据三角形的外角的性质，得，那么，即可求解； （2）过点作于点，根据垂线段最短求得，根据三角形内角和定理，得根据含角的直角三角形的性质，在中，，得海里，那么海里，从而解决此题． 【小问1详解】 由题意得∶(海里)， (海里)． 从海岛B到灯塔C的距离为海里． 【小问2详解】 如图，过点作于点． 根据垂线段最短，线段的长为小船与灯塔的最短距离，． 又 在中，， ， ， 航行的时间为(时)． 若这条船继续向正北航行，上午时小船与灯塔的距离最短． 【点睛】本题主要考查解直角三角形方位角问题，等腰三角形的判定、三角形外角的性质、含角的直角三角形的性质、垂线段最短，熟练掌握等腰三角形的判定、三角形外角的性质、含角的直角三角形的性质、垂线段最短是解决本题的关键． 20. 如图，在中，，边的垂直平分线与分别交于点和点． （1）作出边的垂直平分线； （2）当时，判断与的数量关系并说明理由． 【答案】（1） 如图所示，即为所求； （2） ，理由如下： 如图，连接 ∵是的垂直平分线， ， ． ， ， ． ，， ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）分别以点A、C为圆心，以大于长度为半径画弧，两弧在两边相交于两点，然后过这两点作直线即可； （2）连接，根据线段垂直平分线的性质可得，进而得到，再根据，由三角形内角和定理得，推出，然后根据等边对等角的性质得到，即可证明结论． 本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，线段垂直平分线的作法，难度中等，熟记性质是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 宋代是茶文化发展的第二个高峰，宋代的饮茶主要以点茶为主，煎茶为辅，在点茶的基础上升华为斗茶、分茶和茶百戏．某网店销售两种点茶器具套装，已知甲种点茶器具套装的单价比乙种点茶器具套装的单价少30元，花2220元购进甲种点茶器具套装的数量是花1780元购进乙种点茶器具套装数量的1.5倍． （1）求甲、乙两种点茶器具套装的单价． （2）某学校社团开展茶文化学习活动，打算从该网店购进甲、乙两种点茶器具共30套，且经费预算不超过5000元，则学校最多可以购进乙种点茶器具套装多少套？ 【答案】（1）甲种点茶器具套装的单价是148元，乙种点茶器具套装的单价是178元； （2）学校最多可以购进乙种点茶器具套装18套． 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）设甲种点茶器具套装的单价是x元，则乙种点茶器具套装的单价是元，根据花2220元购进甲种点茶器具套装的数量是花1780元购进乙种点茶器具套装数量的1.5倍，列出分式方程，解方程即可； （2）设学校购进乙种点茶器具套装m套，则购进甲种点茶器具套装套，根据经费预算不超过5000元，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【小问1详解】 解：设甲种点茶器具套装的单价是x元，则乙种点茶器具套装的单价是元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴， 答：甲种点茶器具套装的单价是148元，乙种点茶器具套装的单价是178元； 【小问2详解】 解：设学校购进乙种点茶器具套装m套，则购进甲种点茶器具套装套， 根据题意得：， 解得：， ∴整数m的最大值为18， 答：学校最多可以购进乙种点茶器具套装18套． 22. 【教材原题】观察图①，用等式表示下图中图形的面积的运算为______． 【类比探究】观察图②，用等式表示图中阴影部分图形的面积和为______． 【应用】（1）根据图②所得的公式，若，，则______． （2）若x满足，求的值． 【拓展】如图③，某学校有一块梯形空地，于点E，，．该校计划在和区域内种花，在和的区域内种草．经测量种花区域的面积和为，，直接写出种草区域的面积和． 【答案】[教材原题] ；[类比探究] ； [应用]（1）90；（2）5；[拓展]12 【解析】 【分析】[教材原题]由题意知，； [类比探究]由题意知，； [应用]解：（1）将，代入，计算求解即可； （2）由题意知，，根据，计算求值即可； [拓展]由题意知，，，，由，可得，由，，可得，计算求出的值，根据种草区域的面积和为，计算求值即可． 【详解】[教材原题]解：由题意知，， 故答案为：； [类比探究]解：由题意知，， 故答案为：； [应用]解：（1）， 故答案为：90； （2）解：由题意知，， ∴， 故答案为：5； [拓展]解：∵，，， ∴，，， ∵， ∴， ∵，， ∴，解得，， ∴种草区域的面积和为， ∴种草区域的面积和为12． 【点睛】本题考查了完全平方公式在几何中的应用，代数式求值．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 23. 下面是数学兴趣小组探究问题的片段，请仔细阅读，并完成任务． 【问题提出】 如图1，在中，，点在线段上，在外侧，以为边能否构造一个与全等的三角形． 【问题探究】 乐学组：如图2，分别以点、点为圆心，以为半径画弧，两弧交于点，连接，则即为所求作的三角形． 善思组：如图3，过点作于点，过点作于点相交于点，则即为所求作的三角形． （1）乐学组得出的依据是_____，善思组得出的依据是_____．（横线上填序号：①；②；③；④） 【问题再探】 （2）善思组的同学们证得后，在图3的基础上连接，通过几何画板测量发现和的面积相等，请你一起来探究． 如图4，延长线段、交于点．连接，．……把未完成的说理过程补充完整． （3）在（2）的条件下，已知，点是线段的三等分点，请直接写出的面积． 【答案】（1）①，③； （2） ， 在与中，， ， ， ， ，即． 在和中， ， ； （3）或12 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质： （1）根据作图方法，结合全等三角形的判定方法进行判断即可； （2）延长线段、交于点．连接，证明，得到根据中线平分面积，得到，证明，得到即可得证； （3）根据同高三角形的面积比等于底边比，求出结合（2）中结论即可得解． 【详解】解：（1）乐学组：由作图可知：， 又∵， ∴， 善思组：由作图可知：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：①，③ （2）如图4，延长线段、交于点．连接， ． ， ， 在与中，， ， ， ， ，即． 在和中， ， ； （3）或12． 点是线段的三等分点， 或， 由（2）可知： 或12． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $