精品解析：广东省揭阳第二中学2024-2025学年高一上学期期末数学试题

揭阳第二中学 2024-2025学年度第一学期高一级期末考试 数学学科 试卷满分：150分 考试时间：120分钟 命题人：黄暖冰 罗苏雄 李燕娟 组卷人：黄暖冰 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A B. C. D. 2. 已知角终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 3. 若是钝角，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 折扇又名“撒扇”、“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨、韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图1.其平面图如图2的扇形，其中，则扇面（曲边四边形）的面积是（ ） A. B. C. D. 6. 函数的单调递减区间为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数是上的增函数（其中且），则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 若函数在上恰有一个零点，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数为幂函数，则下列结论正确为（ ） A. B. 为偶函数 C. 为单调递增函数 D. 的值域为 10. 已知且，，则函数.与的图象可能是（ ） A. B. C. D. 11. 下列几个说法，其中正确的有（ ） A. 已知函数的定义域是，则的定义域是 B. 当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为 C. 已知关于的方程的一根比1大且另一根比1小，则实数a的取值范围是或 D. 若函数在区间上的最大值与最小值分别为和，则 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 计算__________. 13. 函数的定义域为________． 14. 若，，，则的最小值为___________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 化简或求值: (1) (2) 已知，求的值 16. 已知函数为奇函数. （1）求的值； （2）判断函数在内单调性，并用函数单调性的定义证明你的结论. 17. （1）已知函数，，求函数的值域； （2）解关于x的不等式：（且）. 18. 已知函数定义域为，若对任意的，都有，且时，. （1）判断的奇偶性； （2）讨论的区间上的单调性； （3）设，若，对所有，恒成立，求实数取值范围. 19. 对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为“局部偶函数”. （1）已知函数，试判断是否为“局部偶函数”，并说明理由； （2）若为定义在区间上的“局部偶函数”，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 揭阳第二中学 2024-2025学年度第一学期高一级期末考试 数学学科 试卷满分：150分 考试时间：120分钟 命题人：黄暖冰 罗苏雄 李燕娟 组卷人：黄暖冰 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接根据交集的运算求解. 【详解】由题意，，于是. 故选：B 2. 已知角的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据三角函数的定义得，再由诱导公式和弦化切公式可得选项. 【详解】角∵的终边经过点，则， ∴， 故选：D． 3. 若是钝角，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据诱导公式以及同角三角函数关系求得结果. 【详解】, 又是钝角，，所以 因此， 故选：D 【点睛】本题考查诱导公式以及同角三角函数关系，考查基本分析求解能力，属基础题. 4. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数单调性及中间值比较出大小. 【详解】函数在R上单调递增，故， 在R上单调递减，， 在上单调递减，， 故. 故选：C. 5. 折扇又名“撒扇”、“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨、韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图1.其平面图如图2的扇形，其中，则扇面（曲边四边形）的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据大的扇形面积减去小的扇形面积可求得结果. 【详解】，转化为弧度制为， 扇形的面积为：， 扇形的面积为：， 则曲边四边形的面积为：. 故选：B. 6. 函数的单调递减区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出函数的定义域，再根据复合函数“同增异减”可得到结果. 【详解】因为函数，则， 解得或，所以函数的定义域为， 令，则函数在定义域上为单调递减函数， 而在上单调递减，在单调递增， 根据复合函数“同增异减”原则可得单调递减区间为. 故选：A. 7. 已知函数是上的增函数（其中且），则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用对数函数、一次函数的性质判断的初步取值范围，再由整体的单调性建立不等式，构造函数，利用函数的单调性求解不等式，从求得的取值范围. 【详解】由题意必有，可得，且， 整理为．令 由换底公式有， 由函数为增函数， 可得函数为增函数， 注意到， 所以由，得， 即，实数a的取值范围为． 故选:D. 8. 若函数在上恰有一个零点，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数零点的定义，结合二次函数的图象与性质，分，和，列出不等式，即可求解. 【详解】由函数在上恰有一个零点， 当时，可得，令，解得，符合题意； 当时，由，则满足， 解得，即； 当时，要使得函数在上恰有一个零点， 则满足或，即， 解得或， 综上可得，实数的取值范围为或. 故选：C. 二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数为幂函数，则下列结论正确的为（ ） A. B. 为偶函数 C. 为单调递增函数 D. 的值域为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据幂函数的性质可得，进而可得，由幂函数的性质即可结合选项逐一求解. 【详解】由为幂函数可得，解得， 所以，故A正确，C正确； 由于，故为奇函数，故B错误； 的值域为，D错误， 故选：AC. 10. 已知且，，则函数.与的图象可能是（ ） A B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据条件确定的范围，利用与的单调性分析即得. 【详解】因且，，则中必有一个大于1，一个小于1且大于零. 当时，有，则B项符合，当时，有，则D项符合. 故选：BD. 11. 下列几个说法，其中正确的有（ ） A. 已知函数的定义域是，则的定义域是 B. 当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为 C. 已知关于的方程的一根比1大且另一根比1小，则实数a的取值范围是或 D. 若函数在区间上的最大值与最小值分别为和，则 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A，由可求出的定义域；对于B，利用分离参数的方法求解；对于C，构造二次函数，利用二次函数的性质求解；对于D，判断函数的奇偶性，然后利用奇函数的性质求解 【详解】解：对于A，因为函数的定义域是，所以由，得，所以的定义域是，所以A正确； 对于B，当时，由，得恒成立，因为，所以，所以，所以B错误， 对于C，令，因为关于的方程的一根比1大且另一根比1小，所以，即，得，所以C错误， 对于D，，其定义域为，因为，所以为奇函数，所以的最大值与最小值的和为0，所以最大值与最小值的和为8，所以D正确， 故选：AD 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 计算__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据诱导公式可求得结果. 【详解】根据可得. 故答案为：. 13. 函数的定义域为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用对数函数的定义域及根式有意义求解即可. 【详解】由根式有意义及对数的真数部分大于0可得， 解得， 故答案为： 14. 若，，，则的最小值为___________. 【答案】3 【解析】 【分析】利用基本不等式常值代换即可求解. 【详解】因为，，， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为3， 故答案为：3 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 化简或求值: (1) (2) 已知，求值 【答案】(1) 0；(2) 【解析】 【分析】(1)由三角函数的诱导公式运算即可得解； (2)由三角函数的诱导公式及同角三角函数的平方关系运算即可得解. 【详解】解：(1) 原式=； (2)因为所以 又，所以 则， 则. 【点睛】本题考查了诱导公式及同角三角函数的平方关系，属基础题. 16. 已知函数为奇函数. （1）求的值； （2）判断函数在内的单调性，并用函数单调性的定义证明你的结论. 【答案】（1） （2）函数在内单调递减，证明见解析 【解析】 【分析】（1）由奇函数的定义，通过变形即可求解； （2）任取，可证，从而得出结论. 【小问1详解】 函数的定义域为， 由得，整理可得； 【小问2详解】 函数在内单调递减；证明如下： 由（1）知， 在上任取，，且， ， 由，得，，， 所以，即， 所以函数在内单调递减. 17. （1）已知函数，，求函数的值域； （2）解关于x的不等式：（且）. 【答案】（1）；（2）答案见解析. 【解析】 【分析】（1）利用指数函数单调性求出值域即得. （2）按分类，结合对数函数单调性求解不等式即得. 【详解】（1）函数在上单调递增，则，即， 所以函数，的值域为. （2）当时，在上单调递减，由， 得，解得，因此不等式的解集为； 当时，在上单调递增，由， 得，解得，因此不等式的解集为； 所以当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为. 18. 已知函数定义域为，若对任意的，都有，且时，. （1）判断的奇偶性； （2）讨论的区间上的单调性； （3）设，若，对所有，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）奇函数（2）是在上为单调递减函数（3）或 【解析】 【分析】 （1）首先令得到，再令得到，即可判断函数是奇函数. （2）首先设任意，根据题意得到，即可证明. （3）根据题意得到的最大值为，再根据恒成立求解即可. 【详解】（1）因有， 令，得， 所以， 令可得：， 所以，所以为奇函数. （2）由题意设， 因为是定义在上的奇函数， 则 因为时，有， 所以，即. 所以是在上为单调递减函数； （3）因为在上为单调递减函数， 所以在上的最大值为， 所以要使，对所有恒成立， 只要，即， 令 由得， 所以或. 【点睛】关键点点睛：若，对所有，恒成立的理解转化，是解决本题的关键，首先转化为，即， 再转化为时恒成立，变换主元，看作关于的一次不等式恒成立即可求解. 19. 对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为“局部偶函数”. （1）已知函数，试判断是否为“局部偶函数”，并说明理由； （2）若为定义在区间上的“局部偶函数”，求实数的取值范围. 【答案】（1）是“局部偶函数”，理由见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）解方程得出，从而得出是“局部偶函数”； （2）由得出，令，得出在上有解，求出的范围，进而得出实数的取值范围. 【小问1详解】 ， 令，得，解得， ∴存在满足，故“局部偶函数”； 【小问2详解】 由，得 令，得，则在上有解 ∴，即 故的取值范围为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$