第04讲 整式方程与分式方程（3个知识清单+5类热点题型讲练+分层练习）-2024-2025学年八年级数学下册同步专项训练（沪教版）

第04讲 整式方程与分式方程 目 录 题型归纳.........................................................................................................................................................................................1 题型01二项方程...........................................................................................................................................................................2 题型02解分式方程.......................................................................................................................................................................4 题型03分式方程无解问题...........................................................................................................................................................6 题型04分式方程的实际应用.......................................................................................................................................................8 题型05根据分式方程解的情况求值...........................................................................................................................................9 分层练习.........................................................................................................................................................................................12 夯实基础.........................................................................................................................................................................................12 能力提升.........................................................................................................................................................................................28 知识点1．高次方程 （1）高次方程的定义：整式方程未知数次数最高项次数高于2次的方程，称为高次方程． （2）高次方程的解法思想： 通过适当的方法，把高次方程化为次数较低的方程求解．所以解高次方程一般要降次，即把它转化成二次方程或一次方程．也有的通过因式分解来解． 对于5次及以上的一元高次方程没有通用的代数解法和求根公式（即通过各项系数经过有限次四则运算和乘方和开方运算无法求解），这称为阿贝尔定理． 换句话说，只有三次和四次的高次方程可用根式求解． 知识点2．分式方程的增根 （1）增根的定义：在分式方程变形时，有可能产生不适合原方程的根，即代入分式方程后分母的值为0或是转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值的根，叫做原方程的增根． （2）增根的产生的原因：对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未知数取哪些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件．当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根． （3）检验增根的方法：把由分式方程化成的整式方程的解代入最简公分母，看最简公分母是否为0，如果为0，则是增根；如果不是0，则是原分式方程的根． 知识点3．含字母系数的一元一次方程 一、含有字母系数的一元一次方程的定义 ax＝b（a≠0）中对于未知数x来说a是x的系数，叫做字母系数，字母b是常数项，这个方程就是一个含有字母系数的一元一次方程，今天我们就主要研究这样的方程． 二、含有字母系数的一元一次方程的解法 ax＝b（a≠0）是一元一次方程，而 a、b 是已知数，就可以当成数看，就像解一般的一元一次方程一样． 三、含有字母函数的一元一次方程和过去学过的一元一次方程的解法的区别和联系． 含有字母系数的一元一次方程的解法和学过的含有数字系数的一元一次方程的解法相同．（即仍需要采用去分母、去括号、移项、合并同类项、方程两边同除以未知数的系数等步骤） 特别注意：用含有字母的式子去乘或者除方程的两边，这个式子的值不能为零． 题型01二项方程 1．（21-22八年级下·上海杨浦·阶段练习）下列方程中，二项方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】二项方程 【分析】本题考查二项方程的判断，如果一元次方程的一边只有含未知数的一项和非零的常数项，另一边是零，那么这样的方程就叫做二项方程，据此进行判断即可． 【详解】解：A、是一元二次方程，不是二项方程，不符合题意； B、是二项方程，符合题意； C、是一元二次方程，不是二项方程，不符合题意； D、是一元一次方程，不是二项方程，不符合题意； 故选B． 2．（21-22八年级下·上海·阶段练习）二项方程的实数解是 ． 【答案】 【知识点】二项方程 【分析】本题考查高次方程的解法，关键在于降次，利用开平方降次是关键．先求的解，再求实数解即可． 【详解】解：， ， ， （负值舍去）， ， 故答案为：． 3．（23-24八年级下·上海闵行·期中）解方程组：． 【答案】或 【分析】本题主要考查了解二元二次方程，先由①得到，再把代入②得到关于y的方程，解方程求出y的值，进而求出x的值即可得到答案． 【详解】解： 由①得：， 把③代入②得：，即，解得或， 当时，，当时，， ∴方程组的解为或． 题型02解分式方程 4．（23-24八年级下·上海长宁·期末）用换元法解方程时，如果设，那么原方程可变形为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】解分式方程 【分析】本题考查用换元法整理分式方程的能力，掌握用换元法解分式方程是关键．用换元法解分式方程，可简化计算过程，减少计算量，是一种常用的方法． 设，将方程变形后整体代换计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 设， 根据题中所设可得原方程变形为． 故选：B． 5．（23-24八年级下·上海徐汇·期中）用换元法解方程时，如果设，那么原方程可化为关于x的整式方程为 ． 【答案】 【知识点】解分式方程 【分析】本题考查了换元法解分式方程，正确的方程变形是解题的关键． 设，则，根据换元法整理成整式方程即可． 【详解】解：设，则，则原方程可变形为：，即为． 故答案为：． 6．（23-24八年级下·上海徐汇·期中）解方程：． 【答案】 【知识点】解分式方程、因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查解分式方程、解一元二次方程，熟练掌握分式方程的解法步骤是解答的关键，注意计算结果要检验． 【详解】解：去分母，得， 整理，得， 则， ∴或， 解得或， 检验：当时，，则是分式方程的增根； 当时，，则是分式方程的解， 综上，该分式方程的解为． 题型03分式方程无解问题 7．（22-23八年级·上海黄浦·期中）下列命题正确的是（    ） A． B．与是同类二次根式 C．是分式方程的增根 D．一元二次方程可能没有实根，可能有一个实根，可能有两个实根 【答案】B 【知识点】分式方程无解问题、根据判别式判断一元二次方程根的情况、同类二次根式、利用二次根式的性质化简 【分析】根据二次根式、分式增根以及一元二次方程的知识，对选项逐个判断即可． 【详解】解：A，当，时，，选项错误，不符合题意； B、，，被开方数相同，是同类二次根式 选项正确，符合题意； C、将转化为整式方程为 化简可得： 不是方程的根， ∴也不是的增根，选项错误，不符合题意； D、一元二次方程可能没有实根，可能有两个相等的实根，可能有两个不相等的实根，说法错误，不符合题意； 故选：B 【点睛】本题考查了二次根式运算、同类二次根式、分式增根以及一元二次方程的知识，解题的关键是熟练掌握相关基础知识． 8．（23-24八年级下·上海嘉定·期中）如果关于的方程的有增根，那么则的值为 ． 【答案】 【知识点】分式方程无解问题 【分析】本题主要考查了分式方程的增根，掌握解决增根问题的步骤是解题的关键． 先将分式方程化为整式方程，然后再确定增根的值，再将增根代入化为整式方程的方程求出k的值即可． 【详解】解： 方程两边同乘以，得：， ∵方程有增根， ∴，解得：， 把代入中可得：． 故答案为：． 9．（2022八年级下·上海·专题练习）＝有增根，求所有可能的t之和． 【答案】3 【知识点】分式方程无解问题 【分析】根据根据有增根，说明0或﹣1可能是方程的增根，将分式方程化为整式方程可得（x+1）2+x2＝x+t，进一步求得t的所有可能值，相加即可求解． 【详解】解：∵有增根， ∴说明0或﹣1可能是方程的增根， 去分母得：（x+1）2+x2＝x+t， 代入x＝0，有t＝1； 代入x＝﹣1，有t＝2． 故所有可能的t之和为3． 【点睛】本题主要考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 题型04分式方程的实际应用 10．（23-24八年级下·上海·阶段练习）某学生计划每天平均看书若干页，则在预定日期可看完300页的书，读了15天后，改变计划每天多读6页，结果比预定日期提前2天读完，设该学生原计划每天读x页，则可列方程： ． 【答案】 【知识点】分式方程的实际应用 【分析】本题考查分式方程的应用，解题的关键是找出合适的等量关系，列出方程．设他原计划平均每天读x页书，则他需要天读完，根据改变计划后结果比预定日期提前2天读完可列出关于x的方程． 【详解】解：设他原计划平均每天读x页书，根据题意得： ， 故答案为：． 11．（21-22八年级下·上海·期中）5G手机的下载速度很快，比4G下载速度每秒多95MB，下载一部1000MB的电影，5G比4G要快190秒，求5G手机的下载速度． 【答案】100MB/秒 【知识点】分式方程的实际应用 【分析】设5G手机的下载速度是xMB/秒，则4G下载速度是（x-95）MB/秒，根据“5G比4G要快190秒”列出方程，求解即可． 【详解】解：设5G手机的下载速度是xMB/秒，则4G下载速度是（x-95）MB/秒， 由题意得：， 解得：（舍去）， 经检验，是原方程的根， ∴5G手机的下载速度是100MB/秒． 【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，审清题意、找准等量关系是解题的关键． 题型05根据分式方程解的情况求值 12．（八年级下·上海·阶段练习）去分母，解关于的方程产生增根，则的值是（    ） A．2 B．1 C．-1 D．以上答案都不对 【答案】C 【知识点】根据分式方程解的情况求值 【分析】先把分式化为整式方程x−3＝m，由于原分式方程有增根，则有x−2＝0，得到x＝2，即增根只能为2，然后把x＝2代入整式方程即可得到m的值． 【详解】解：方程两边乘以x−2得，x−3＝m， ∵分式方程有增根， ∴x−2＝0，即x＝2， ∴2−3＝m， ∴m＝−1． 故选：C． 【点睛】本题考查了分式方程的增根：先把分式方程两边乘以最简公分母，把分式方程转化为整式方程，再解整式方程，然后把整式方程的解代入最简公分母中，若其值不为零，则此解为原分式方程的解；若其值为0，则此整式方程的解为原分式方程的增根． 13．（23-24八年级下·上海闵行·期中）解分式方程时，产生增根，那么k的值是 ． 【答案】 【知识点】根据分式方程解的情况求值 【分析】本题主要考查了根据分式方程解的情况求参数，先把原方程去分母得到，再根据题意得到是方程的解，据此把代入方程中求出k的值即可得到答案． 【详解】解： 去分母得：， ∵解分式方程时，产生增根， ∴是方程的解， ∴， 故答案为：． 14．（21-22八年级下·上海·期末）已知方程只有一个根，求a的值． 【答案】5或9或； 【知识点】一元二次方程的解、根据一元二次方程根的情况求参数、根据分式方程解的情况求值 【分析】去分母化为一元二次方程，分别讨论一元二次方程有一根为x=-1、有一根为x=-2、有两个相同根时，求得a的值再代入验证即可； 【详解】解： 去分母得： 去括号得： ①有一根为x=-1时，代入得a=5， ，则另一个根为x=0， 此时分式方程只有一个根x=0，且分母不等于零，符合题意； ②有一根为x=-2时，代入得a=9， ，则另一个根为x=1， 此时分式方程只有一个根x=1，且分母不等于零，符合题意； ③有两个相同根时，4-8（5-a）=0，a=， ，， 此时分式方程只有一个根x=，且分母不等于零，符合题意； ∴a的值为5或9或； 【点睛】本题考查了分式方程的增根，掌握分式方程的分母不能为零是解题关键． 夯实基础 一、单选题 1．下列方程中不是分式方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式方程的概念逐项判断即可找出正确答案． 【详解】解：分式方程需同时满足3个条件，即是方程，有分母，分母中含有未知量， 观察可知，选项A B D均满足上述三个条件，故都是分式方程， 选项C分母中没有未知量，不属于分式方程， 故答案为：C． 【点睛】本题考查分式方程的概念，熟练掌握分式方程的判定方法是解题的关键． 2．要使的值和的值互为倒数，则x的值是（　　） A．0 B． C． D．1 【答案】B 【分析】根据互为倒数的两数之积为1列出方程，求出方程的解即可得到x的值． 【详解】解：根据题意得：， 即， 移项合并得：， 经检验是所列分式方程的解． 故选：B． 【点睛】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根． 3．已知关于x的分式方程有增根，则m的值是（　　） A．1 B．﹣1 C．3 D．5 【答案】B 【详解】先把方程两边都乘以（x﹣1），整理得到2x﹣1+m=0，由于于x的分式方程有增根，则增根只能为x=1，然后把x=1代入2x﹣1+m=0得到关于m的方程，解此方程即可． 解：去分母得，x+x﹣1=﹣m， 整理得2x﹣1+m=0， ∵原分式方程有增根， ∴x﹣1=0，即x=1， 把x=1代入2x﹣1+m=0得2﹣1+m=0， ∴m=﹣1． 故选B． 4．若关于x的一元一次不等式结的解集为；且关于的分式方程有正整数解，则所有满足条件的整数a的值之积是（    ） A．7 B．－14 C．28 D．－56 【答案】A 【分析】不等式组整理后，根据已知解集确定出a的范围，分式方程去分母转化为正整数方程，由分式方程有非负整数解，确定出a的值，求出之和即可． 【详解】解：解不等式，解得x≤7， ∴不等式组整理的， 由解集为x≤a，得到a≤7， 分式方程去分母得：y−a＋3y−4＝y−2，即3y−2＝a， 解得：y＝， 由y为正整数解且y≠2，得到a＝1，7， 1×7＝7， 故选：A． 【点睛】此题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 5．小华在做解方程作业时，不小心将方程中的一个常数弄脏了而看不清楚，被弄脏的方程是 ， 这该怎么办呢？他想了一想，然后看了一下书后面的答案，知道此方程的解是x＝5，于是，他很快便补好了这个常数，并迅速地做完了作业．同学们，你能补出这个常数吗？它应该是（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】设这个数是a，把x=5代入方程得出一个关于a的方程，求出方程的解即可． 【详解】设这个数是a， 把x=5代入得：（-2+5）=1-， ∴1=1-， 解得：a=5． 故选D． 【点睛】本题主要考查对解一元一次方程，等式的性质，一元一次方程的解等知识点的理解和掌握，能得出一个关于a的方程是解此题的关键． 二、填空题 6．一元二次方程（x﹣2）2＝0的根是 ． 【答案】x1＝x2＝2 【分析】等式两边直接开平方即可． 【详解】解：（x﹣2）2＝0， 两边直接开平方可得： x﹣2＝0， 则x1＝x2＝2， 故答案是：x1＝x2＝2． 【点睛】考查了直接开平方法解一元二次方程，关键是掌握要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”来求解． 7．x= 时，函数y=3x-2与函数y=5x+1有相同的函数值． 【答案】- 【详解】本题考查了函数值.根据有相同的函数值，也就是y的值相等解答 解：由题意得：3x-2=5x+1 解得：x=- 8．已知关于x的分式方程有增根，则k＝ ． 【答案】1 【分析】先将分式方程去分母转化为整式方程，然后根据分式方程有增根求出x的值，再把x的值代入整式方程计算即可求出k的值． 【详解】解：去分母得，， ∵分式方程有增根， ∴，则， 把代入得 ，解得：， 故答案为：1． 【点睛】本题考查分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 9．当m＝ ，方程会产生增根． 【答案】或 【分析】用含m的代数式表示x的值，通过x＝0或x＝1时为增根求m的值． 【详解】解：方程两边同时乘以x（x−1）得， 3（x−1）＋6x＝x＋m， ∵方程有增根， ∴x＝0或x＝1， 把x＝0代入3（x−1）＋6x＝x＋m， 解得m＝−3， 把x＝1代入3（x−1）＋6x＝x＋m， 解得m＝5， 故答案为：−3或5． 【点睛】本题考查分式方程增根问题，解题关键是将原式化简，分别代入x为增根的值． 10．若实数范围内定义一种运算“”，其规则为，根据这个规则，若，则 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了实数的运算，也考查了解分式方程，根据，推出的展开形式，然后解方程即可．属于新定义题型，首先要分析好定义式的形式，关键是弄清、各代表所给式子中哪一个代数式，然后再根据所的规律进行解题． 【详解】解：， ， 又， ， 解得：， 经检验得是方程的根． 故答案为：． 11．试写出一个二项方程，这个方程可以是 . 【答案】二项方程可以是x2-1=0(答案不唯一). 【分析】根据二项方程定义写出即可.只含有未知数的一项和非零的常数项的一元方程，一般形式是（a、b 是不为0的常数）. 【详解】解：二项方程可以是x2-1=0(答案不唯一). 【点睛】本题考查了方程的项数的定义，掌握定义是关键. 12．如图，已知函数与的图象交于点（1，2），那么关于，的方程组的解是 ． 【答案】 【分析】由题可知，利用函数图象，求解对应方程组的解；由于方程组的解即为与其对应函数交点的坐标，即可求解． 【详解】由题可知：函数 与的图象交于点P（1，2）； 又所求方程组，恰为对应的函数组成； 又函数图象的交点即为其对应方程组的解； ∴方程组的解为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查函数与对应方程组的关系，重点理解交点及方程组解的对应关系；熟练数形结合的应用． 13．方程＝的解是x＝ ． 【答案】-3 【分析】根据解分式方程的步骤解答即可，注意求出x的值后记得要代入原方程进行检验，看是否有意义． 【详解】解：方程的两边同乘（2x+1）×（x﹣2），得：x﹣2＝2x+1， 解这个方程，得：x＝﹣3， 经检验，x＝﹣3是原方程的解， ∴原方程的解是x＝﹣3． 故答案为：﹣3． 【点睛】本题主要考查了分式的求解，首先需要注意要给等式两边同时乘以最简公分母，其次计算结束后要对方程的解进行检验，要求熟练掌握分式方程的解题规则． 14．关于的方程的根是 ． 【答案】无解或者x=±. 【分析】先移项，然后利用直接开平方法解方程即可． 【详解】解：∵（bx）2-1=0 ∴（bx）2=1 ∴bx=±1 ①当b=0时，该方程无解． ②当b＞0时，x=± 综上所述，当b=0时原方程无解；当b＞0时方程的解是x=±． 故答案是：无解或者x=±． 【点睛】考查了解一元二次方程的解法-直接开平方法．形如x2=p或（nx+m）2=p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解． 15．表1给出了直线l1上部分点(x，y)的坐标值，表2给出了直线l2上部分点(x，y)的坐标值． 那么直线l1和直线l2交点坐标为 ． 【答案】(－1，－3) 【分析】通过观察直线l1上和l2上部分点的坐标值，会发现当x=-1时，y的值都是-3，即两直线都经过点（-1，-3），即交点． 【详解】通过观察表可知,直线l1和直线l2交点坐标为(-1,−3). 故答案为(-1,−3). 【点睛】本题考查的知识点是两直线相交的问题，解题关键是仔细观察图表数据，判断出两直线与y轴的交点以及两直线的交点坐标． 三、解答题 16．解方程：． 【答案】 【分析】根据解分式方程的步骤求出解，再检验即可． 【详解】方程两边同乘以，得． 解方程，得． 经检验，是原方程的解． 【点睛】本题主要考查了解分式方程，掌握解分式方程的步骤是解题的关键．即去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，检验． 17．解下列分式方程： (1) (2) 【答案】(1)x＝﹣5 (2)无解 【分析】（1）观察方程可得最简公分母为，两边同乘最简公分母把分式方程化为整式方程即可得解； （2）观察方程可得最简公分母为，两边同乘最简公分母把分式方程化为整式方程即可得解． 【详解】（1）解：去分母得：7x＝5x﹣10， 解得：x＝﹣5， 检验：把x＝﹣5代入得：x（x﹣2）≠0， ∴分式方程的解为x＝﹣5； （2）解：去分母得：1+3（x﹣2）＝x﹣1， 解得：x＝2， 检验：把x＝2代入得：x﹣2＝0， ∴x＝2是增根，分式方程无解． 【点睛】本题考查分式方程的解法，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解，注意解分式方程一定要验根；熟练找到最简公分母是解题的关键． 18．用图象法解下列方程组： （1）    (2) 【答案】（1）；（2）． 【分析】先把每个方程组中的两个方程化成一次函数的形式，然后在同一坐标系中画出它们的图象，交点的坐标就是方程组的解． 【详解】（1）由y-2x=1，得y=2x+1；由x+2y=2，得y=-x+1； 在同一平面直角坐标系内作出y=2x+1的图象L1和y=-x+1的图象L2， 如下图所示，观察图象得，L1与L2交于点P（0，1）， 所以方程组的解是． （2）由x+y=3，得y=-x+3，由2x-3y=6，得y=x-2； 在同一平面直角坐标系中作出一次函数y=3-x和y=x-2的图象， 如图所示，交点坐标为（3，0）， 所以方程组的解是． 【点睛】此题考查了一次函数和二元一次方程（组），在同一平面直角坐标系中，两个一次函数图象的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解．反过来，以二元一次方程组的解为坐标的点，一定是相应的两个一次函数的图象的交点． 19．如图，过点A的两条直线l1，l2分别与y轴交于点B，C，其中点B在原点上方，点C在原点下方，已知AB＝，B（0，3）． (1)求点A的坐标； (2)若△ABC的面积为4，求直线l2的表达式． (3)在（2）的条件下，在直线l1上是否存在点M，使得△OAM的面积与△OCA的面积相等？若存在，求出M点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)A（2，0） (2)y＝ (3)存在，M的坐标为（，1）或（，﹣1） 【分析】（1）先根据勾股定理求得AO的长，再写出点A的坐标； （2）先根据△ABC的面积为4，求得CO的长，再根据点A、C的坐标，运用待定系数法求得直线l2的解析式； （3）求出直线l1的表达式为y=−x+3，设M（m，-m+3），根据△OAM的面积与△OCA的面积相等且△OAM与△OCA同底，即可得到结论． 【详解】（1）解：∵B（0，3）， ∴OB=3， 在Rt△AOB中，OA=， ∴A（2，0）； （2）解：∵S△ABC=BC•OA， ∴4=•BC×2，解得BC=4， ∴OC=BC-OB=4-3=1， ∴C（0，-1）， 设直线l2的表达式为y=kx+b， 将A（2，0），C（0，-1）代入y=kx+b，得： ，解得， ∴直线l2的表达式为y=x−1； （3）（3）设直线l1的表达式为y=k1x+b1将A（2，0），B（0，3）代入y=k1x+b1， 得，解得， ∴直线l1的表达式为y=−x+3， ∵△OAM的面积与△OCA的面积相等且△OAM与△OCA同底， ∴两个三角形的高都为OC=1， ∴点M的纵坐标为±1且点M在直线l1上， 令y=1，则1=−x+3，解得x=， 令y=-1，则−1=−x+3，解得x=， ∴M的坐标为（，1）或（，-1）． 【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了两条直线的交点问题，三角形的面积公式，解题的关键是掌握勾股定理以及待定系数法． 20．甲工人工作效率是乙工人工作效率的倍，他们同时加工1500个零件，甲比乙提前18个小时完工，问他们每人每小时各加工多少个零件？ 【答案】甲每小时加工125个，乙每小时加工50个 【详解】试题分析：首先设乙的工作效率为x个/时，甲的工作效率为个/时，然后根据甲所需要的时间=乙所需要的时间+18列出分式方程，从而求出分式方程的解，得出答案. 试题解析：设乙的工作效率为x个/时，甲的工作效率为个/时． ．．经检验，x＝50是原方程的根． 答：甲每小时加工125个，乙每小时加工50个． 21．（1）分解因式： （2）分解因式： （3）解方程：． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）提取公因式，再用公式法因式分解． （2）提取公因式，再用公式法因式分解． （3）去分母，去括号，移项，合并同类型可得． 【详解】（1）原式； （2）原式． （3）解：去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 经检验，是分式方程的解． 【点睛】此题考查了因式分解和解分式方程，解题的关键是熟悉因式分解和解分式方程解题的步骤． 22．解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）. 【答案】（1）；（2）无解；（3）无解；（4）无解；（5）；（6） 【分析】根据分式方程的解法进行计算即可. 【详解】解：（1）方程两边同时乘以得：， 解得：， 经检验，是原方程的解； （2）方程两边同时乘以得：， 解得：， 检验：当时，，是增根，故原方程无解； （3）原方程可化为， 方程两边同时乘以得：， 解得：， 检验：当时，，是增根，故原方程无解； （4）原方程可化为， 方程两边同时乘以，得：， 解得：， 检验：当时，，是增根，故原方程无解； （5）原方程可化为， 方程两边同时乘以得：， 解得：， 经检验，是原方程的解； （6）原方程可化为， 方程两边同时乘以得：， 解得：， 经检验，是原方程的解. 【点睛】本题考查解分式方程，掌握分式方程的解法是解题的关键. 能力提升 一、单选题 23．一次函数和的图象的交点坐标是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把所给的两个函数解析式联立，组成方程组，解方程组求得x、y的值，即可得两个函数图像的交点坐标. 【详解】由题意可得， ， 解得， ， ∴一次函数和的图象的交点坐标为（2，5）. 故选A. 【点睛】本题考查了二元一次方程组和一次函数的关系，解题的关键是掌握方程组的解就是两函数图象的交点． 24．如图，两条直线和相交于点，两直线与x轴所围成的的面积是（    ） A． B． C．75 D．15 【答案】A 【分析】先根据交点坐标求得，进而求得点的坐标，的坐标，进而根据三角形面积公式求解即可 【详解】两条直线和相交于点， 解得 ， 令，解得 由，令，解得， 故选A 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，求两直线围成的三角形的面积，求直线与坐标轴的交点，求得直线解析式是解题的关键． 二、填空题 25．已知a、b是一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个根，则代数式3a2+2b2﹣3a﹣2b的值等于 ． 【答案】5 【分析】根据一元二次方程根的定义，分别把a，b代入方程可得a2-a=1，b2-b=1，再把代数式3a2+2b2-3a-2b变形代入即可． 【详解】解：∵a、b是一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个根， ∴a2-a=1，b2-b=1， ∴3a2+2b2-3a-2b=3a2-3a+2b2-2b =3（a2-a）+2（b2-b）=3+2=5． 故答案为5 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解的定义．一般解题思路是，把表示根的字母代入方程得到相关的等式，再把所求的代数式变形成已知条件的形式，把已知条件整体代入即可． 26．如图，已知一次函数与的图像都经过，且与轴分别交于点、，则的面积为 ． 【答案】3 【分析】根据题意可知，一次函数与都经过点，所以把点的坐标分别代入一次函数与，即可算出和的值和一次函数解析式，又因为两条直线与轴分别交于点、，即．把代入已知一次函数解析式中，即可得到点、的坐标，即可得出的长．点，即．即可算出的面积． 【详解】解：∵一次函数与都经过点， ∴把代入，可得： ， 解得：； 把代入，可得： ， 解得：． 把代入，可得一次函数解析式为：； 把代入，可得一次函数解析式为：； ∵两条直线与轴分别交于点、，即． ∴把代入，可得：， ∴点 ∴把代入，可得：， ∴点 ∴， ∵点， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查一次函数解析式的参数问题，一次函数与坐标轴的交点问题，一次函数图像与y轴组成的面积问题．本题的关键在熟练掌握一次函数与坐标轴组成的面积问题． 三、解答题 27．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)x=-5； (2)无解； 【分析】（1）方程两边都乘x(x+3)，得出2x=5(x+3)，求出方程的解，再进行检验即可； （2）方程两边都乘(x+2)( x-2)得出，求出方程的解，再进行检验即可． 【详解】（1）解：方程两边都乘x(x+3)，得 2x=5(x+3)， 解这个方程，得x=-5． 经检验，x=-5是原方程的根． （2）解：． 方程两边都乘，得 ． 解这个方程，得x=2． 经检验x=2是增根，原方程无解． 【点睛】此题考查了解分式方程，解题的关键是知道解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解，还要注意去分母时要把方程两边每一项都要乘以公分母，不要漏乘，解分式方程一定要注意要验根． 28．选择适当的方法解下列方程： (1)(x－1)2＋2x(x－1)＝0； (2)x2－6x－6＝0； (3)6 000(1－x)2＝4 860； (4)(10＋x)(50－x)＝800； (5)(2x－1)2＝x(3x＋2)－7. 【答案】(1) x1＝1，x2＝;(2) x1＝3＋，x2＝3－;(3) x1＝1.9，x2＝0.1;(4) x1＝10，x2＝30.（5） x1＝2，x2＝4 【分析】（1）先提取公因式（x-1），再分成两个一元一次方程，解方程即可；（2）利用公式法解方程即可；（3）方程两边同时除以6000，再利用直接开平方法解方程即可；（4）把方程左边展开后移项整理，再利用十字相乘法解方程即可；（5）两边同时展开，移项整理，再利用十字相乘法解方程即可. 【详解】(1)(x－1)2＋2x(x－1)＝0， (x－1)(x－1＋2x)＝0， (x－1)(3x－1)＝0， ∴x1＝1，x2＝. (2)x2－6x－6＝0， ∵a＝1，b＝－6，c＝－6， ∴b2－4ac＝(－6)2－4×1×(－6)＝60. ∴x＝＝3±， ∴x1＝3＋，x2＝3－. (3)6000(1－x)2＝4860， (1－x)2＝0.81， 1－x＝±0.9， ∴x1＝1.9，x2＝0.1. (4)(10＋x)(50－x)＝800， x2－40x＋300＝0， ∴x1＝10，x2＝30. (5)(2x－1)2＝x(3x＋2)－7， 4x2－4x＋1＝3x2＋2x－7， x2－6x＋8＝0， ∴x1＝2，x2＝4. 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，根据方程的特点灵活选用合适的方法是解题关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 整式方程与分式方程 目 录 题型归纳.........................................................................................................................................................................................1 题型01二项方程...........................................................................................................................................................................2 题型02解分式方程.......................................................................................................................................................................4 题型03分式方程无解问题...........................................................................................................................................................6 题型04分式方程的实际应用.......................................................................................................................................................8 题型05根据分式方程解的情况求值...........................................................................................................................................9 分层练习.........................................................................................................................................................................................12 夯实基础.........................................................................................................................................................................................12 能力提升.........................................................................................................................................................................................28 知识点1．高次方程 （1）高次方程的定义：整式方程未知数次数最高项次数高于2次的方程，称为高次方程． （2）高次方程的解法思想： 通过适当的方法，把高次方程化为次数较低的方程求解．所以解高次方程一般要降次，即把它转化成二次方程或一次方程．也有的通过因式分解来解． 对于5次及以上的一元高次方程没有通用的代数解法和求根公式（即通过各项系数经过有限次四则运算和乘方和开方运算无法求解），这称为阿贝尔定理． 换句话说，只有三次和四次的高次方程可用根式求解． 知识点2．分式方程的增根 （1）增根的定义：在分式方程变形时，有可能产生不适合原方程的根，即代入分式方程后分母的值为0或是转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值的根，叫做原方程的增根． （2）增根的产生的原因：对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未知数取哪些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件．当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根． （3）检验增根的方法：把由分式方程化成的整式方程的解代入最简公分母，看最简公分母是否为0，如果为0，则是增根；如果不是0，则是原分式方程的根． 知识点3．含字母系数的一元一次方程 一、含有字母系数的一元一次方程的定义 ax＝b（a≠0）中对于未知数x来说a是x的系数，叫做字母系数，字母b是常数项，这个方程就是一个含有字母系数的一元一次方程，今天我们就主要研究这样的方程． 二、含有字母系数的一元一次方程的解法 ax＝b（a≠0）是一元一次方程，而 a、b 是已知数，就可以当成数看，就像解一般的一元一次方程一样． 三、含有字母函数的一元一次方程和过去学过的一元一次方程的解法的区别和联系． 含有字母系数的一元一次方程的解法和学过的含有数字系数的一元一次方程的解法相同．（即仍需要采用去分母、去括号、移项、合并同类项、方程两边同除以未知数的系数等步骤） 特别注意：用含有字母的式子去乘或者除方程的两边，这个式子的值不能为零． 题型01二项方程 1．（21-22八年级下·上海杨浦·阶段练习）下列方程中，二项方程是（   ） A． B． C． D． 2．（21-22八年级下·上海·阶段练习）二项方程的实数解是 ． 3．（23-24八年级下·上海闵行·期中）解方程组：． 题型02解分式方程 4．（23-24八年级下·上海长宁·期末）用换元法解方程时，如果设，那么原方程可变形为（   ） A． B． C． D． 5．（23-24八年级下·上海徐汇·期中）用换元法解方程时，如果设，那么原方程可化为关于x的整式方程为 ． 6．（23-24八年级下·上海徐汇·期中）解方程：． 题型03分式方程无解问题 7．（22-23八年级·上海黄浦·期中）下列命题正确的是（    ） A． B．与是同类二次根式 C．是分式方程的增根 D．一元二次方程可能没有实根，可能有一个实根，可能有两个实根 8．（23-24八年级下·上海嘉定·期中）如果关于的方程的有增根，那么则的值为 ． 9．（2022八年级下·上海·专题练习）＝有增根，求所有可能的t之和． 题型04分式方程的实际应用 10．（23-24八年级下·上海·阶段练习）某学生计划每天平均看书若干页，则在预定日期可看完300页的书，读了15天后，改变计划每天多读6页，结果比预定日期提前2天读完，设该学生原计划每天读x页，则可列方程： ． 11．（21-22八年级下·上海·期中）5G手机的下载速度很快，比4G下载速度每秒多95MB，下载一部1000MB的电影，5G比4G要快190秒，求5G手机的下载速度． 题型05根据分式方程解的情况求值 12．（八年级下·上海·阶段练习）去分母，解关于的方程产生增根，则的值是（    ） A．2 B．1 C．-1 D．以上答案都不对 13．（23-24八年级下·上海闵行·期中）解分式方程时，产生增根，那么k的值是 ． 14．（21-22八年级下·上海·期末）已知方程只有一个根，求a的值． 夯实基础 一、单选题 1．下列方程中不是分式方程的是（    ） A． B． C． D． 2．要使的值和的值互为倒数，则x的值是（　　） A．0 B． C． D．1 3．已知关于x的分式方程有增根，则m的值是（　　） A．1 B．﹣1 C．3 D．5 4．若关于x的一元一次不等式结的解集为；且关于的分式方程有正整数解，则所有满足条件的整数a的值之积是（    ） A．7 B．－14 C．28 D．－56 5．小华在做解方程作业时，不小心将方程中的一个常数弄脏了而看不清楚，被弄脏的方程是 ， 这该怎么办呢？他想了一想，然后看了一下书后面的答案，知道此方程的解是x＝5，于是，他很快便补好了这个常数，并迅速地做完了作业．同学们，你能补出这个常数吗？它应该是（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 二、填空题 6．一元二次方程（x﹣2）2＝0的根是 ． 7．x= 时，函数y=3x-2与函数y=5x+1有相同的函数值． 8．已知关于x的分式方程有增根，则k＝ ． 9．当m＝ ，方程会产生增根． 10．若实数范围内定义一种运算“”，其规则为，根据这个规则，若，则 ． 11．试写出一个二项方程，这个方程可以是 . 12．如图，已知函数与的图象交于点（1，2），那么关于，的方程组的解是 ． 13．方程＝的解是x＝ ． 14．关于的方程的根是 ． 15．表1给出了直线l1上部分点(x，y)的坐标值，表2给出了直线l2上部分点(x，y)的坐标值． 那么直线l1和直线l2交点坐标为 ． 三、解答题 16．解方程：． 17．解下列分式方程： (1) (2) 18．用图象法解下列方程组： （1）    (2) 19．如图，过点A的两条直线l1，l2分别与y轴交于点B，C，其中点B在原点上方，点C在原点下方，已知AB＝，B（0，3）． (1)求点A的坐标； (2)若△ABC的面积为4，求直线l2的表达式． (3)在（2）的条件下，在直线l1上是否存在点M，使得△OAM的面积与△OCA的面积相等？若存在，求出M点的坐标；若不存在，请说明理由． 20．甲工人工作效率是乙工人工作效率的倍，他们同时加工1500个零件，甲比乙提前18个小时完工，问他们每人每小时各加工多少个零件？ 21．（1）分解因式： （2）分解因式： （3）解方程：． 22．解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）. 能力提升 一、单选题 23．一次函数和的图象的交点坐标是（  ） A． B． C． D． 24．如图，两条直线和相交于点，两直线与x轴所围成的的面积是（    ） A． B． C．75 D．15 二、填空题 25．已知a、b是一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个根，则代数式3a2+2b2﹣3a﹣2b的值等于 ． 26．如图，已知一次函数与的图像都经过，且与轴分别交于点、，则的面积为 ． 三、解答题 27．解方程： (1)； (2)． 28．选择适当的方法解下列方程： (1)(x－1)2＋2x(x－1)＝0； (2)x2－6x－6＝0； (3)6 000(1－x)2＝4 860； (4)(10＋x)(50－x)＝800； (5)(2x－1)2＝x(3x＋2)－7. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$