第04讲 角平分线（1个知识清单+5类热点题型讲练+分层练习）2024-2025学年八年级数学下册同步专项训练（北师大版）

第04讲 角平分线 目 录 题型归纳.........................................................................................................................................................................................1 题型01角平分线性质定理及证明...............................................................................................................................................2 题型02角平分线的性质定理.......................................................................................................................................................6 题型03角平分线的判定定理.......................................................................................................................................................10 题型04角平分线性质的实际应用...............................................................................................................................................13 题型05作角平分线(尺规作图)....................................................................................................................................................15 分层练习.........................................................................................................................................................................................18 夯实基础.........................................................................................................................................................................................18 能力提升.........................................................................................................................................................................................40 知识点1．角平分线的性质 角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE 题型01角平分线性质定理及证明 1．（21-22八年级下·广东揭阳·期中）如图，平分，于点，点是射线上的一个动点，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】角平分线性质定理及证明、垂线段最短、角平分线的性质定理 【分析】连接PQ，当PQ⊥OM时，根据角平分线的性质得出PQ=PA，利用直线外一点到直线的垂线段最短即可得出结论． 【详解】解：连接PQ， 当PQ⊥OM时， ∵OP平分∠MON，PQ⊥OM，PA⊥ON， ∴PQ=PA， 此时点P到OM的距离PQ最小， ∴PA≤PQ， 故选：D． 【点睛】题目主要考查角平分线的性质，直线外一点到直线的距离中，垂线段最短，理解这两个性质定理是解题关键． 2．（22-23八年级下·广东茂名·期中）如图，在中，，，，有下列结论：①；②；③连接DE，则．其中正确的结论有 ．    【答案】①②③ 【知识点】角平分线性质定理及证明、全等的性质和HL综合（HL）、角平分线的性质定理 【分析】①根据证明；②由，得到角相等，从而推出；③连接，过点D作，过点D作，根据角平分线的性质，即可判断． 【详解】解：∵在与中，，， ∴故①正确； ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴故②正确； 如图，连接，过点D作，过点D作，    ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∵，，， ∴是的角平分线， ∵， ∴， ∴故③正确； 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查几何问题，涉及到角平分线的判定与性质、全等三角形的判定与性质等，灵活运用所学知识是关键． 3．（22-23八年级下·广东深圳·期中）如图所示，，在两边上且，是内部的一条射线且于点， (1)求证平分； (2)分别作和的平分线，相交于，求证P同时也在的平分线上． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【知识点】角平分线的性质定理、角平分线的判定定理、角平分线性质定理及证明 【分析】本题考查了角平分线的判定和性质，熟练掌握角平分线的判定和性质是解题的关键； （1）根据等腰三角形的性质及，证得，即可得出结论 （2）过P作，，，利用角平分线的点到角两边的距离相等得，再利用角平分线的逆定理即可得结论． 【详解】（1）， ， ， 在和中 ， 平分； （2）如图：过P作，，， ，平分，平分， ，， ， 点P在的平分线上． 平分， 点P在的平分线上． 题型02角平分线的性质定理 4．（24-25八年级下·河南南阳·开学考试）如图，在等腰三角形中，，是边上的高，在，上分别截取线段，，使；分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内部交于点P，作射线，交于点M，过点M作于点N．若，，，则的面积是（   ） A．24 B．18 C．12 D．6 【答案】A 【知识点】角平分线的性质定理、三线合一 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、角平分线的性质定理，由等腰三角形的性质可得，由作图可得平分，由角平分线的性质定理可得，从而得出，再由三角形面积公式计算即可得解． 【详解】解：∵在等腰三角形中，，是边上的高， ∴， 由作图可得：平分， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 5．（24-25八年级下·湖南郴州·开学考试）如图，中，，是的角平分线，若，，则点D到边的距离为 ． 【答案】2 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】此题考查了角平分线的性质．解题的关键是掌握角平分线的性质． 过点D作于E，由中，，为角平分线，根据角平分线的性质，即可得，又由，，即可求得的长，即可求得答案． 【详解】过点D作于E， ∵中，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵，， ∴． ∴点D到边AB的距离为2． 故答案为：2． 6．（23-24八年级下·江西景德镇·期中）如图，点为线段上任意一点（不与点、重合），分别以、为一腰在的同侧作等腰和等腰，，，与都是锐角，且，连接交于点，连接交于点，与相交于点，连接． 求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【知识点】角平分线的性质定理、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，角的平分线定理及其逆定理． 根据可证，利用可证； 过点作于，于，因为，所以，所以，因为，所以可得，根据到角两边距离相等的点在角的平分线上，可得点在的平分线上，从而可得． 【详解】（1）证明：， ， ， 在和中，   ； （2）证明：如下图所示，分别过点作于，于， 由知：， ，， ， ， ， 点在的平分线上， ． 题型03角平分线的判定定理 7．（2024·安徽安庆·一模）如图，现有两把一样的直尺，将一把直尺的边与射线重合，另一把直尺的边与射线重合，两把直尺的另一边在的内部交于点，作射线，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】角平分线的判定定理 【分析】本题考查角平分线的判定与性质．根据题意得到是的角平分线，由角平分线定义求解即可得到的度数． 【详解】解：过点作、，如图所示： 两把一样的直尺， ， 由角平分线的判定定理可得是的角平分线， ， ， 故选：D． 8．（22-23八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，是边上的高线，点是上一点，连接，当点到的距离等于时，，则 ． 【答案】32 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、角平分线的判定定理 【分析】本题主要考查了角平分线的判定、三角形内角和定理等知识点，掌握到角两边距离相等的点在角的平分线上成为解题的关键． 由三角形内角和定理可得，再根据角平分线的性质定理可得即可解答． 【详解】解：∵是边上的高线，， ∴， 如图：过E作，垂足为F， ∵点到的距离等于， ∴， ∵是边上的高线，， ∴是的角平分线，即． 故答案为：32． 9．（23-24八年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，在中，和的平分线相交于点G，连接．求证：平分． 【答案】见详解 【知识点】角平分线的性质定理、角平分线的判定定理 【分析】本题主要考查了角平分线的判定和性质．根据角平分线的性质可得，从而得到，再由角平分线的判定，即可求证． 【详解】证明：过点G作于点H，于点M，于点N， ∵分别平分和， ∴， ∴． ∵，， ∴平分． 题型04角平分线性质的实际应用 10．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图所示，A、B、C表示重庆市南岸区黄桷垭三个生活区，、、表示三条公路，现想在内设置一个快递点，若要使快递点到三条公路的距离相等，则这个快递点应修在（     ） A．三条高所在直线的交点处 B．三条边的垂直平分线的交点处 C．三个角的角平分线的交点处 D．三条中线的交点处 【答案】C 【知识点】角平分线性质的实际应用 【分析】本题考查的角平分线的性质，根据三角形三条角平分线的交点到三角形各边的距离相等的特点解答即可． 【详解】解：三角形三条角平分线的交点到三角形各边的距离相等， 要使快递点到三条公路的距离相等，则这个快递点应修在三条角平分线的交点处． 故选：C． 11．（23-24八年级下·黑龙江大庆·开学考试）三条公路两两相交，要在该平面内修建一个加油站，使加油站到三条公路的距离都相等，则满足条件的加油站可以建 处． 【答案】4/四 【知识点】角平分线性质的实际应用 【分析】本题考查了角平分线的性质，依照题意画出图形，利用数形结合解决问题是解题的关键． 根据角平分的性质，即可得出油库的位置在角平分线的交点处，依此画出图形，由此即可得出结论． 【详解】解：∵三条公路两两相交，要求加油站到这三条公路的距离都相等，    ∴加油站在角平分线的交点处，画出加油站位置如图所示，共4处． 故答案为：4． 12．（23-24八年级下·山西晋中·期中）如图，已知平分，，，，分别是线段，上的点，连接，，且，求证：． 【答案】见解析 【知识点】角平分线性质的实际应用、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】本题考查了角平分线的性质，证明三角形全等，熟练掌握角平分线的性质与三角形全等是解题的关键． 根据角平分线的性质得出，由于，根据可证明，从而得以证明． 【详解】证明：∵平分，，， ∴，， ∵在和中，， ∴， ∴． 题型05作角平分线(尺规作图) 13．（23-24八年级下·贵州铜仁·期中）如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M、N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，若，则点D到的距离是（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【知识点】作角平分线(尺规作图)、角平分线的性质定理 【分析】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．利用基本作图得到由作法得平分，然后根据角平分线的性质求解． 【详解】解：由作法得平分， ∴点D到和的距离相等， ∵， ∴， ∴点D到的距离为的长，即点D到的距离为10， ∴点D到的距离为10． 故选：C． 14．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，在中，，以点为圆心，长为半径作弧，分别交于点．再分别以点为圆心，适当长度为半径画弧，两弧相交于点，连结，并延长交于点，过点作于点，垂足为，则的长为 ． 【答案】/ 【知识点】用勾股定理解三角形、作角平分线(尺规作图) 【分析】根据基本作图，得，结合，，证明 ，利用勾股定理解答即可． 本题考查了基本作图，勾股定理，熟练掌握定理是解题的关键． 【详解】解：根据基本作图，得平分， ∵，， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， 设，则， 根据勾股定理，得， 解得， 故答案为：． 15．（24-25八年级下·北京·开学考试）如图，在平面直角坐标系中有、两点，请在轴上找一点，将沿翻折，使点的对应点恰好落在轴上．利用无刻度的直尺和圆规在图中找出所有符合条件的点．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见详解 【知识点】作角平分线(尺规作图)、坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题考查基础作图，图形的翻转，角平分线的性质，熟练掌握基础作图是解题的关键； 以为圆心，为半径画圆交轴于，，作，的平分线交轴于，，点，即为所求； 【详解】解：以为圆心，为半径画圆交轴于，，作，的平分线交轴于，，点，即为所求； 夯实基础 一、单选题 1．已知：如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是角平分线，DE⊥AB，AB=5，AC=3，且S△ADC=3，则S△ABD=（     ） A．4 B．5 C．8 D．不能确定 【答案】B 【详解】∵AD是角平分线，DE⊥AB，DC⊥AC， ∴DE=DC， ∵S△ADC=AC•DC=×3×DC=3，∴DC=DE=2， ∴S△ABD=AB•DE=×5×2=5． 故选B. 点睛：本题关键是角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等. 2．如图，OC平分∠AOB，且∠AOB＝60°，点P为OC上任意点，PM⊥OA于M，PD∥OA，交OB于D，若OM＝3，则PD的长为(　　) A．2 B．1.5 C．3 D．2.5 【答案】A 【分析】过点P作PN⊥OB于N，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得PN＝PM，根据角平分线的定义求出∠AOC＝30°，然后求出PM，再根据两直线平行，同位角相等可得∠PDN＝60°，求出∠DPN＝30°，再求解即可． 【详解】如图，过点P作PN⊥OB于N， ∵OC平分∠AOB，PM⊥OA， ∴PN＝PM， ∵OC平分∠AOB，且∠AOB＝60°， ∴∠AOC＝∠AOB＝×60°＝30°， ∵OM＝3， ∴PM＝3×＝， ∵PD∥OA， ∴∠PDN＝∠AOB＝60°， ∴∠DPN＝90°﹣60°＝30°， ∴PD＝÷＝2． 故选A． 【点睛】此题主要考查角平分线的性质，解题的关键是熟知含30°的直角三角形的性质与角平分线的性质. 3．已知平分，点C在上，则下图中线段与一定相等的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解答本题的关键．根据所给图形结合角平分线的性质判断即可． 【详解】解：A，C中与一定不相等；D中与不一定相等； B．∵平分，， ∴，即线段与一定相等． 故选B． 4．如图，已知点P、D、E分别在OC、OA、OB上，下列推理： ①∵OC平分∠AOB，∴PD=PE； ②∵OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD=PE； ③∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD=PE； 其中正确的个数有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】根据角平分线的性质定理判断即可． 【详解】①只有平分条件，缺少垂直条件，故错误． ②符合角平分线性质定理，故正确． ③只有两个垂直条件，缺少平分角的条件，故错误． 所以选B． 【点睛】本题考查了角平分线性质定理的理解，把握角平分线性质定理的两个条件与结论是关键；两个条件是：平分角；两个垂直；结论是角平分线上的点到角的两边距离相等． 5．如图，的两条角平分线BD、CE交于O，且，则下列结论中不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形的内角和等于180°求出∠ABC+∠ACB=120°，再根据角平分线的性质求出∠OBC+∠OCB=60°，然后利用三角形的内角和等于180°列式计算即可求出∠BOC的度数；连接OA，作OF⊥AB于点F，OG⊥AC于点G，OH⊥BC于点H，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得OF=OG=OH，从而可得△BOF和△BOH全等，△COG和△COH全等，根据全等三角形对应边相等可得BH=BF，CH=CG，再根据四边形的内角和求出∠FOG=120°，根据对顶角相等求出∠EOD=120°，然后推出∠EOF=∠DOG，再利用“角边角”证明△EOF和△DOG全等，根据全等三角形对应边相等可得EF=DG，OD=OE，即可判定出B、C选项都正确，根据等角对等边的性质，只有∠ABC=∠ACB时才能得到OB=OC，所以D选项错误． 【详解】解：∵∠A=60°， ∴∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A=180°﹣60°=120°， ∵△ABC的两条角平分线BD、CE交于O， ∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB， ∴∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB）=180°﹣（∠ABC+∠ACB）=120°， 故A选项正确； 如图，连接OA，作OF⊥AB于点F，OG⊥AC于点G，OH⊥BC于点H， ∵△ABC的两条角平分线BD、CE交于O， ∴OF=OG=OH， ∵OF=OH，OB=OB， ∴△BOF≌△BOH， 同理可得：△COG≌△COH， ∴BH=BF，CH=CG， 在四边形AFOG中，∠FOG=360°﹣60°﹣90°×2=120°， ∴DOG=∠FOG﹣∠DOF=120°﹣∠DOF， 又∵∠EOD=∠BOC=120°， ∴∠EOF=∠EOD﹣∠DOF=120°﹣∠DOF， ∴∠EOF=∠DOG， 在△EOF和△DOG中， ， ∴△EOF≌△DOG（ASA）， ∴EF=DG，OD=OE，故C选项正确； ∴BC=BH+CH=BF+CG=BE+EF+CD﹣DG=BE+CD， 即BC=BE+CD，故B选项正确； 只有当∠ABC=∠ACB时， ∵△ABC的两条角平分线BD、CE交于O， ∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB， ∴∠OBC=∠OCB， ∴OB=OC， 而本题无法得到∠ABC=∠ACB， 所以，OB=OC不正确，故D选项错误． 故选D． 角平分线的性质；全等三角形的判定与性质． 【点睛】题目主要考查角平分线的性质；全等三角形的判定与性质，理解题意，作出相应辅助线，综合运用这些判定性质是解题关键． 6．如图，AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，得到下面四个结论： ①OA=OD； ②AD⊥EF； ③当∠A=90°时，四边形AEDF是正方形； ④AE2+DF2=AF2+DE2．其中正确的是（    ） A．②③ B．②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】D 【详解】①不正确； ②因为AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，根据角平分线上的点到角两边的距离相等，可得DE=DF，∠EAD=∠FAD，AD公用，所以△ AED≌△AFD；∴AE=AF，所以AD垂直平分AO； ③因为∠A=∠AED=∠AFD=90°，可得四边形AEDF是矩形，由②得DE=DF，所以四边形ADEF是正方形； ④因为AE=AF，DE=DF，所以；所以选D． 7．如图,在△ABC中,按以下步骤作图:①分别以A,B为圆心,大于AB长为半径作弧,两弧相交于M,N两点;②作直线MN交BC于点D,连接AD．若AD=AC,∠B=25°,则∠C=(     ) A．70° B．60° C．50° D．40° 【答案】C 【分析】利用基本作图得到MN垂直平分AB，则DA=DB，再根据等腰三角形的性质和三角形外角性质求出∠CDA的度数，然后利用AD=AC得到∠C的度数． 【详解】由作法得MN垂直平分AB， ∴DA=DB， ∴∠DAB=∠B=25°， ∴∠CDA=∠DAB+∠B=50°， ∵AD=AC， ∴∠C=∠CDA=50°． 故选C． 【点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）． 8．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=32°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB，AC于点M和N，再分别以M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D，则下列说法： ①AD是∠BAC的平分线； ②CD是△ADC的高； ③点D在AB的垂直平分线上； ④∠ADC=61°． 其中正确的有（    ）. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据角平分线的做法可得①正确，再根据直角三角形的高的定义可得②正确，然后计算出∠CAD=∠DAB=29°，可得AD≠BD，根据到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，因此③错误，根据三角形内角和可得④正确． 【详解】解：根据作法可得AD是∠BAC的平分线，故①正确； ∵∠C=90°， ∴CD是△ADC的高，故②正确； ∵∠C=90°，∠B=32°， ∴∠CAB=58°， ∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠CAD=∠DAB=29°， ∴AD≠BD， ∴点D不在AB的垂直平分线上，故③错误； ∵∠CAD=29°，∠C=90°， ∴∠CDA=61°，故④正确； 共有3个正确， 故选C． 【点睛】此题主要考查了基本作图，关键是掌握角平分线的做法和线段垂直平分线的判定定理． 二、填空题 9．如图，平分，．填空：因为平分，所以 ．从而 ．因此 ． 【答案】 【分析】由AC平分∠DAB，∠1＝∠2，可得出∠CAB＝∠2，由内错角相等可以得出两直线平行． 【详解】解：∵AC平分∠DAB， ∴∠1＝∠CAB． 又∵∠1＝∠2， ∴∠CAB＝∠2， ∴ABDC（内错角相等，两直线平行）． 故答案为：∠CAB，∠CAB，DC． 【点睛】本题考查了平行线的判定定理以及角平分线的定义，解题的关键是找出∠CAB＝∠2．解决该类题型只需牢牢掌握平行线的判定定理即可． 10．如图，已知：BD是∠ABC的平分线，DE⊥BC于E，S△ABC=36cm2；，AB=12cm，BC=18cm，则DE的长为 cm． 【答案】/2.4 【分析】过点D作DF⊥AB于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=DF，再根据S△ABC=S△ABD+S△BCD列出方程求解即可． 【详解】解：如图，过点D作DF⊥AB于F， ∵BD是∠ABC的平分线，DE⊥BC， ∴DE=DF， S△ABC=S△ABD+S△BCD=AB•DF+BC•DE， =×12•DE+×18•DE， =15DE， ∵△ABC=36cm2， ∴15DE=36， 解得DE=2.4cm． 【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，三角形的面积，熟记性质并作辅助线是解题的关键． 11．将一张面积为的三角形纸板按如图所示的方式依次折叠，如图1，使点落在边上的点处，折痕所在的直线为，如图2，使点落在边上的点处，折痕所在的直线为，与相交于点．经测量得知，纸板的三边的长分别为，则点到的距离为 ．    【答案】 【分析】根据题意可得，点是角平分线的交点，根据角平分线的性质可得点到三边的距离都相等，设点到三边的距离为，根据三角形面积的计算方法即可求解． 【详解】解：∵点落在边上的点处，折痕所在的直线为， ∴是的角平分线， ∵点落在边上的点处，折痕所在的直线为， ∴是的角平分线， ∴点是角平分线的交点，如图所示，连接，    ∴点到三边的距离都相等，设点到三边的距离为， ∴，且的长分别为，， ∴，，， ∴， 解得，， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查三角形的折叠，角平分线的性质的综合，掌握角平分线的交点到角两边的距离相等，几何图形面积的计算方法等知识是解题的关键． 12．如图所示，∠AOB=40°，OM平分∠AOB，MA⊥OA于A，MB⊥OB于B，则∠MAB的度数为 ． 【答案】20° 【详解】∵OM平分∠AOB， ∴∠AOM=∠BOM==20°． 又∵MA⊥OA于A，MB⊥OB于B， ∴MA=MB． ∴Rt△OAM≌Rt△OBM， ∴∠AMO=∠BMO=70°， ∴△AMN≌△BMN， ∴∠ANM=∠BNM=90°， ∴∠MAB=90°-70°=20°． 故答案为20°. 13．如图，已知OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点．若PA＝2，则PQ的最小值为 ，理论根据为 ． 【答案】 2 角平分线上的点到角两边的距离相等 【详解】如图，当PQ⊥ON时，PQ最短， 由OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，可知：此时PQ=PA=2，根据是:“角平分线上的点到角两边的距离相等”. 14．如图，在中，是边上的高，平分，交于点，，，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查角平分线的性质以及三角形的面积，过点作于，根据角平分线的性质求得，然后根据三角形面积公式计算即可．作出辅助线求得三角形的高是解题的关键． 【详解】解：过点作于， ∵是边上的高， ∴， ∵平分，，， ∴， ∴， ∴的面积为． 故答案为：． 三、解答题 15．如图，在直角中，，的平分线交于点，若垂直平分，求的度数． 【答案】 【分析】根据平分，得到，根据垂直平分，求证，进而得到，再利用三角形内角和定理，即可求出的度数． 【详解】解：平分， ， 又垂直平分， ， ， ， ，， ， ， 即， ． 【点睛】本题考查了线段的垂直平分线的性质，角平分线的性质，三角形内角和定理，解题的关键是掌握线段垂直平分线的性质． 16．如图，已知，，，请说明平分． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了角平分线的判定，平行线的判定以及性质，由平行线的性质可得出，等量代换可得出，进而可得出，由平行线的性质可得出，等量代换可得出，即可得到平分． 【详解】解：， ， 又， ， ； ， 又， ， 平分． 17．工人师傅常用角尺平分任意角，做法如下：如图， 是一个任意角，在 上分别取 ，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与 重合，过角尺顶点 的射线OP便是∠AOB的平分线．你知道这样做的理由吗？ 【答案】见解析. 【分析】因为在角尺的位置处，角尺两边的刻度相同，则有，再由定理可证，从而根据全等三角形的性质得，故射线OP是∠AOB的平分线. 【详解】工人师傅在做法中创设“边边边”，构造全等三角形，得出对应角相等． ， ， 故射线OP是∠AOB的平分线. 【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理、全等三角形的性质、以及角平分线的定义. 18．已知：如图，P 是 OC 上一点，PD⊥OA 于 D，PE⊥OB 于 E，F、G分别是 OA、OB 上的点，且 PF=PG，DF=EG． 求证：OC 是∠AOB 的平分线．      【答案】见解析 【分析】利用“HL”证明Rt△PFD和Rt△PGE全等，根据全等三角形对应边相等可得PD=PE，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上证明即可． 【详解】证明：在 Rt△PFD 和 Rt△PGE 中， ， ∴Rt△PFD≌Rt△PGE（HL）， ∴PD=PE， ∵P 是 OC 上一点，PD⊥OA，PE⊥OB， ∴OC 是∠AOB 的平分线． 【点睛】本题考查的知识点是角平分线的性质、全等三角形的判定及性质，解题关键是由三角形全等得到线段相等，从而证明OC 是∠AOB 的平分线． 19．如图，PA=PB，∠1+∠2=180°．求证：OP平分∠AOB． 【答案】见解析 【分析】过点P作，垂足分别为E，F，利用全等三角形的判定和性质以及角平分线的判定求解即可． 【详解】解：如图，过点P作，垂足分别为E，F 则 ∵， ∴ 在与中， ∴ ∴ ∴OP平分 【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质以及角平分线的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法与性质． 20．在数学活动课上，数学老师出示了如下题目： 如图①在四边形中，E是边的中点，是的平分线，，求证； 小聪同学发现以下两种方法： 方法1：如图②，延长、交于点F； 方法2：如图③，在上取一点G，使，连接、； (1)请你任选一种方法写出这道题的完整证明过程； (2)如图④，在四边形中，是的平分线，E是边的中点，，，求证． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）方法一根据平行线的性质易证，结合角平分线的性质可知是等腰三角形，从而可证；方法二根据角平分线的性质易证，从而可知是等腰三角形，再结合平行线的性质可求得也是等腰三角形，从而可证； （2）过点作的平行线交于点，交的延长线于点，根据方法一可得是等腰三角形，结合等腰三角形性质，，，可证得，从而可得． 【详解】（1）方法一：证明：延长交于点F，如图②； 是边的中点， ， ， ， ， ， ， 是的平分线， ， ； 方法二：证明：在上取一点G，使，连接，如图③； 是的平分线， ， ，， ， ，， 是边的中点， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）证明：如图，过点作的平行线交于点，交的延长线于点，连接， 由方法一同理可知：， ，， ∵平分， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了角平分线的定义、平行线的性质、三角形全等的判定定理与性质、等腰三角形的性质与判定等知识点，解题关键在于作辅助线构造全等三角形． 能力提升 一、单选题 21．如图，OP平分∠BOA，∠BOA=45°，PC∥OA，PD⊥OA，若PC=4，则PD等于（　　） A．4 B．2 C．2 D．2 【答案】B 【分析】利用角平分线的性质计算． 【详解】解：作PE⊥OB于E， ∵OP平分∠BOA，PD⊥OA，PE⊥OB， ∴PD=PE． ∵∠BOA=45°，PC∥OA， ∴∠PCE=45°． 在Rt△PCE中，PE=sin45°×PC=×4=2， ∴PE=2． 即PD=2． 故选B． 【点睛】此题主要运用了角平分线的性质、平行线的性质以及勾股定理．注意：等腰直角三角形的斜边是直角边的倍． 22．如图，中，，，，是的平分线，若，分别是和上的动点，则的最小值是（    ） A．2.4 B．4.8 C．4 D．5 【答案】B 【分析】过点A作于点M，交BD于点P，过点P作于点Q，由是的平分线，得出,这时有最小值，即AM的长度，运用勾股定理求出AC长，在运用得出AM 的值就为最小值. 【详解】解：如图所示 过点A作于点M，交BD于点P，过点P作于点Q， 是的平分线，得出 有最小值，即AM的长度, , 由勾股定理得出：, . 故选B. 【点睛】本题主要考查轴对称和最短路径问题，数形结合思想是关键. 二、填空题 23．一条射线把一个角分成两个角,这条射线叫这个角的平分线.( ) 【答案】× 【详解】从顶点发出，在角内部的一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫这个角的平分线．故一条射线把一个角分成两个角，这条射线叫这个角的平分线． 故答案为：×． 24．如图，在△ABC中，∠BAC=54°，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，则∠DEF= . 【答案】27° 【详解】∵AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE=DF，∠AED=∠AFD=90°， ∴∠DEF=∠DFE=(180°-∠EDF)， ∠EDF=360°-∠AED-∠AFD-∠BAC=360°-90°-90°-54°=126°， ∴∠DEF=(180°-∠EDF)=(180°-126°)=27°. 三、解答题 25．如图，ΔABC中，AB＝AC，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，BE，CD交于点O．求证：AO平分∠BAC． 【答案】见解析 【分析】根据垂直的定义得到∠ADC＝∠AEB＝90°，根据全等三角形的判定即可得到△ADC≌△AEB，进而可得BD＝CE，根据AAS得到△BDO≌△CEO，即可得到OD＝OE，根据角平分线的性质即可得到结论． 【详解】证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC， ∴∠ADC＝∠AEB＝90°， 在△ADC和△AEB中， ， ∴△ADC≌△AEB（AAS）， ∴AD＝AE， ∴AB﹣AD＝AC﹣AE， DB＝EC； ∵CD⊥AB，BE⊥AC， ∴∠BDO＝∠CEO＝90°， 在△BDO和△CEO中， ， ∴△BDO≌△CEO（AAS）， ∴OD＝OE， ∵CD⊥AB，BE⊥AC， ∴AO平分∠BAC． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的判定，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用两次全等解决问题． 26．如图，点D在的边上，且． (1)作的平分线，交于点E（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，，判断直线与直线的位置关系． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了作角平分线，平行线的判定．熟练掌握作角平分线，平行线的判定是解题的关键． （1）以为圆心，适当长为半径画弧交于，然后以为圆心，大于的长为半径画弧交点为，连接交于，即为所求； （2）由平分可得，由，，可得，则，进而可得． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 角平分线 目 录 题型归纳.........................................................................................................................................................................................1 题型01角平分线性质定理及证明...............................................................................................................................................2 题型02角平分线的性质定理.......................................................................................................................................................6 题型03角平分线的判定定理.......................................................................................................................................................10 题型04角平分线性质的实际应用...............................................................................................................................................13 题型05作角平分线(尺规作图)....................................................................................................................................................15 分层练习.........................................................................................................................................................................................18 夯实基础.........................................................................................................................................................................................18 能力提升.........................................................................................................................................................................................40 知识点1．角平分线的性质 角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE 题型01角平分线性质定理及证明 1．（21-22八年级下·广东揭阳·期中）如图，平分，于点，点是射线上的一个动点，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23八年级下·广东茂名·期中）如图，在中，，，，有下列结论：①；②；③连接DE，则．其中正确的结论有 ．    3．（22-23八年级下·广东深圳·期中）如图所示，，在两边上且，是内部的一条射线且于点， (1)求证平分； (2)分别作和的平分线，相交于，求证P同时也在的平分线上． 题型02角平分线的性质定理 4．（24-25八年级下·河南南阳·开学考试）如图，在等腰三角形中，，是边上的高，在，上分别截取线段，，使；分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内部交于点P，作射线，交于点M，过点M作于点N．若，，，则的面积是（   ） A．24 B．18 C．12 D．6 5．（24-25八年级下·湖南郴州·开学考试）如图，中，，是的角平分线，若，，则点D到边的距离为 ． 6．（23-24八年级下·江西景德镇·期中）如图，点为线段上任意一点（不与点、重合），分别以、为一腰在的同侧作等腰和等腰，，，与都是锐角，且，连接交于点，连接交于点，与相交于点，连接． 求证： (1)； (2)． 题型03角平分线的判定定理 7．（2024·安徽安庆·一模）如图，现有两把一样的直尺，将一把直尺的边与射线重合，另一把直尺的边与射线重合，两把直尺的另一边在的内部交于点，作射线，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 8．（22-23八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，是边上的高线，点是上一点，连接，当点到的距离等于时，，则 ． 9．（23-24八年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，在中，和的平分线相交于点G，连接．求证：平分． 题型04角平分线性质的实际应用 10．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图所示，A、B、C表示重庆市南岸区黄桷垭三个生活区，、、表示三条公路，现想在内设置一个快递点，若要使快递点到三条公路的距离相等，则这个快递点应修在（     ） A．三条高所在直线的交点处 B．三条边的垂直平分线的交点处 C．三个角的角平分线的交点处 D．三条中线的交点处 11．（23-24八年级下·黑龙江大庆·开学考试）三条公路两两相交，要在该平面内修建一个加油站，使加油站到三条公路的距离都相等，则满足条件的加油站可以建 处． 12．（23-24八年级下·山西晋中·期中）如图，已知平分，，，，分别是线段，上的点，连接，，且，求证：． 题型05作角平分线(尺规作图) 13．（23-24八年级下·贵州铜仁·期中）如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M、N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，若，则点D到的距离是（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 14．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，在中，，以点为圆心，长为半径作弧，分别交于点．再分别以点为圆心，适当长度为半径画弧，两弧相交于点，连结，并延长交于点，过点作于点，垂足为，则的长为 ． 15．（24-25八年级下·北京·开学考试）如图，在平面直角坐标系中有、两点，请在轴上找一点，将沿翻折，使点的对应点恰好落在轴上．利用无刻度的直尺和圆规在图中找出所有符合条件的点．（不写作法，保留作图痕迹） 夯实基础 一、单选题 1．已知：如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是角平分线，DE⊥AB，AB=5，AC=3，且S△ADC=3，则S△ABD=（     ） A．4 B．5 C．8 D．不能确定 2．如图，OC平分∠AOB，且∠AOB＝60°，点P为OC上任意点，PM⊥OA于M，PD∥OA，交OB于D，若OM＝3，则PD的长为(　　) A．2 B．1.5 C．3 D．2.5 3．已知平分，点C在上，则下图中线段与一定相等的是（   ） A． B． C． D． 4．如图，已知点P、D、E分别在OC、OA、OB上，下列推理： ①∵OC平分∠AOB，∴PD=PE； ②∵OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD=PE； ③∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD=PE； 其中正确的个数有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 5．如图，的两条角平分线BD、CE交于O，且，则下列结论中不正确的是（   ） A． B． C． D． 6．如图，AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，得到下面四个结论： ①OA=OD； ②AD⊥EF； ③当∠A=90°时，四边形AEDF是正方形； ④AE2+DF2=AF2+DE2．其中正确的是（    ） A．②③ B．②④ C．①③④ D．②③④ 7．如图,在△ABC中,按以下步骤作图:①分别以A,B为圆心,大于AB长为半径作弧,两弧相交于M,N两点;②作直线MN交BC于点D,连接AD．若AD=AC,∠B=25°,则∠C=(     ) A．70° B．60° C．50° D．40° 8．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=32°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB，AC于点M和N，再分别以M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D，则下列说法： ①AD是∠BAC的平分线； ②CD是△ADC的高； ③点D在AB的垂直平分线上； ④∠ADC=61°． 其中正确的有（    ）. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 9．如图，平分，．填空：因为平分，所以 ．从而 ．因此 ． 10．如图，已知：BD是∠ABC的平分线，DE⊥BC于E，S△ABC=36cm2；，AB=12cm，BC=18cm，则DE的长为 cm． 11．将一张面积为的三角形纸板按如图所示的方式依次折叠，如图1，使点落在边上的点处，折痕所在的直线为，如图2，使点落在边上的点处，折痕所在的直线为，与相交于点．经测量得知，纸板的三边的长分别为，则点到的距离为 ．    12．如图所示，∠AOB=40°，OM平分∠AOB，MA⊥OA于A，MB⊥OB于B，则∠MAB的度数为 ． 13．如图，已知OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点．若PA＝2，则PQ的最小值为 ，理论根据为 ． 14．如图，在中，是边上的高，平分，交于点，，，则的面积为 ． 三、解答题 15．如图，在直角中，，的平分线交于点，若垂直平分，求的度数． 16．如图，已知，，，请说明平分． 17．工人师傅常用角尺平分任意角，做法如下：如图， 是一个任意角，在 上分别取 ，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与 重合，过角尺顶点 的射线OP便是∠AOB的平分线．你知道这样做的理由吗？ 18．已知：如图，P 是 OC 上一点，PD⊥OA 于 D，PE⊥OB 于 E，F、G分别是 OA、OB 上的点，且 PF=PG，DF=EG． 求证：OC 是∠AOB 的平分线．      19．如图，PA=PB，∠1+∠2=180°．求证：OP平分∠AOB． 20．在数学活动课上，数学老师出示了如下题目： 如图①在四边形中，E是边的中点，是的平分线，，求证； 小聪同学发现以下两种方法： 方法1：如图②，延长、交于点F； 方法2：如图③，在上取一点G，使，连接、； (1)请你任选一种方法写出这道题的完整证明过程； (2)如图④，在四边形中，是的平分线，E是边的中点，，，求证． 能力提升 一、单选题 21．如图，OP平分∠BOA，∠BOA=45°，PC∥OA，PD⊥OA，若PC=4，则PD等于（　　） A．4 B．2 C．2 D．2 22．如图，中，，，，是的平分线，若，分别是和上的动点，则的最小值是（    ） A．2.4 B．4.8 C．4 D．5 二、填空题 23．一条射线把一个角分成两个角,这条射线叫这个角的平分线.( ) 24．如图，在△ABC中，∠BAC=54°，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，则∠DEF= . 三、解答题 25．如图，ΔABC中，AB＝AC，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，BE，CD交于点O．求证：AO平分∠BAC． 26．如图，点D在的边上，且． (1)作的平分线，交于点E（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，，判断直线与直线的位置关系． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$