第19讲 三角形的中位线与多边形的内角和与外角和（3个知识清单+11类热点题型讲练+分层练习）-2024-2025学年八年级数学下册同步专项训练（北师大版）

第19讲 三角形的中位线与多边形的内角和与外角和 目 录 题型归纳..........................................................................................................................................................................................1 题型01与三角形中位线有关的求解问题....................................................................................................................................3 题型02与三角形中位线有关的证明............................................................................................................................................5 题型03三角形中位线的实际应用................................................................................................................................................9 题型04多边形内角和问题...........................................................................................................................................................13 题型05正多边形的内角问题.......................................................................................................................................................17 题型06多（少）算一个角问题...................................................................................................................................................20 题型07多边形截角后的内角和问题...........................................................................................................................................22 题型08正多边形的外角问题.......................................................................................................................................................25 题型09多边形外角和的实际应用...............................................................................................................................................26 题型10多边形内角和与外角和综合...........................................................................................................................................28 题型11平面镶嵌...........................................................................................................................................................................30 分层练习........................................................................................................................................................................................33 夯实基础........................................................................................................................................................................................33 能力提升........................................................................................................................................................................................52 知识点01.三角形中位线定理 （1）三角形中位线定理： 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． （2）几何语言： 如图，∵点D、E分别是AB、AC的中点 ∴DE∥BC，DE＝BC． 知识点02多边形的对角线 （1）多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线． （2）n边形从一个顶点出发可引出（n﹣3）条对角线．从n个顶点出发引出（n﹣3）条，而每条重复一次，所以n边形对角线的总条数为：n（n﹣3）2（n≥3，且n为整数） （3）对多边形对角线条数公：n（n﹣3）2的理解：n边形的一个顶点不能与它本身及左右两个邻点相连成对角线，故可连出（n﹣3）条．共有n个顶点，应为n（n﹣3）条，这样算出的数，正好多出了一倍，所以再除以2． （4）利用以上公式，求对角线条数时，直接代入边数n的值计算，而计算边数时，需利用方程思想，解方程求n． 知识点03多边形内角与外角 （1）多边形内角和定理：（n﹣2）•180° （n≥3且n为整数） 此公式推导的基本方法是从n边形的一个顶点出发引出（n﹣3）条对角线，将n边形分割为（n﹣2）个三角形，这（n﹣2）个三角形的所有内角之和正好是n边形的内角和．除此方法之和还有其他几种方法，但这些方法的基本思想是一样的．即将多边形转化为三角形，这也是研究多边形问题常用的方法． （2）多边形的外角和等于360°． ①多边形的外角和指每个顶点处取一个外角，则n边形取n个外角，无论边数是几，其外角和永远为360°． ②借助内角和和邻补角概念共同推出以下结论：外角和＝180°n﹣（n﹣2）•180°＝360°． 题型01与三角形中位线有关的求解问题 1．（24-25八年级下·四川自贡·期中）如图，在四边形中，E，F分别是，的中点，，，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】与三角形中位线有关的求解问题 【分析】本题考查的是三角形中位线定理、三角形的三边关系，根据三角形中位线定理求出、，根据三角形的三边关系计算即可． 【详解】解：连接，取的中点H，连接、， ∵E，F分别是，的中点，的中点H， ∴是中位线，是中位线， ∴，， 在中，，即，当、、三点共线时取等号， ∴， 故选：B． 2．（24-25八年级下·广东江门·期中）如图，，分别是的边，的中点，如果，则 ． 【答案】 【知识点】与三角形中位线有关的求解问题 【分析】本题考查了三角形中位线定理，由题意可得是的中位线，由此计算即可得解． 【详解】解：∵，分别是的边，的中点， ∴是的中位线， ∴， 故答案为：． 3．（24-25八年级下·北京·期中）如图，在中，若，，．在边上截取，连接，过点作于点，是的中点，连接，求的长度． 【答案】4 【知识点】与三角形中位线有关的求解问题 【分析】此题考查了等腰三角形的判定和性质、三角形中位线等知识，根据等腰三角形的三线合一得到，又由F是边的中点得到为的中位线，再由即可求出，由此即可得到答案． 【详解】解∵，， ∴，． 又∵F是边的中点， ∴为的中位线， ∴． 题型02与三角形中位线有关的证明 4．（2024八年级下·全国·专题练习）如图，将非等腰的纸片沿折叠后，使点落在边上的点处．若点为边的中点，则下列结论：①是等腰三角形；②；③是的中位线，成立的有（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】B 【知识点】与三角形中位线有关的证明、折叠问题 【分析】本题利用了全等三角形的性质，对应角相等，平行线的性质．根据图形可知是对折而成，所以两三角形全等，可得，而是中点，故有，那么①可证；再利用是的外角，可证，那么，即是的中位线，②得证；利用，以及和的对折，可得，即也是等腰三角形，而，那么，故②不成立． 【详解】解：由于是对折而成，故， ， 又点为边的中点， ， ，即是等腰三角形，故①正确； 由于是对折而成，故， ， ， ， ∴，点也是的中点，故③正确； 同理可得也为等腰三角形，，由于是非等腰的， ， ∵ ∴， ②不成立． 故选：B． 5．（24-25八年级下·湖南娄底·期中）如图，四边形是由四边形的各边中点依次连接而形成的四边形，则四边形一定是 ． 【答案】平行四边形 【知识点】证明四边形是平行四边形、与三角形中位线有关的证明 【分析】本题主要考查了中位线的性质，平行四边形的判定，熟练掌握中位线性质，平行四边形的判定方法是解题的关键． 根据中位线的性质得出，，根据平行公理得出，同理得出，即可得出答案； 【详解】解：连接、，如图所示： ∵E，F，G，H分别是边，，，的中点， ∴，， ∴， 同理可得：， ∴四边形为平行四边形， 故答案为：平行四边形． 6．（24-25八年级下·全国·期中）写出下列命题的已知、求证，并完成证明过程． 命题：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． 已知：如图，__________________________________________________________． 求证：__________________________________________________________． 证明： 【答案】见解析 【知识点】用SAS证明三角形全等（SAS）、与三角形中位线有关的证明 【分析】本题考查了三角形的中位线定理的证明，解题关键是通过延长中位线构造全等三角形，进而证明平行四边形，利用其性质得出中位线与第三边的平行和数量关系． 根据命题找出题设和结论，然后根据题设写出已知，根据结论写出求证，      先明确已知条件为D、E分别是的中点，求证，．通过延延长到点F，使，连接  构造全等三角形，得到对应边和角相等，证明四边形是平行四边形，从而得出与的关系． 【详解】已知：如图，在中，D、E分别是的中点． 求证：，． 证明：延长到点F，使，连接． ， ． ． ． ， ． ∴四边形是平行四边形． ． ， ，． 题型03三角形中位线的实际应用 7．（24-25八年级下·广东东莞·期中）如图，为了测量池塘边、两点之间的距离，在的同侧取一点，连接并延长至点，连接并延长至点，使得，．若测得，则，间的距离为（    ） A．13 B．16 C．18 D．20 【答案】A 【知识点】三角形中位线的实际应用 【分析】本题考查了三角形中位线定理，根据三角形中位线定理即可得出结果．熟记三角形中位线定理是解题的关键． 【详解】解：，， 为三角形的中位线， ， 即，间的距离是， 故选：A． 8．（24-25八年级下·广东江门·阶段练习）如图，两点被池塘隔开，在外选一点C，连接和，并分别找出它们的中点，N．若测得米，则两点间的距离为 米． 【答案】40 【知识点】三角形中位线的实际应用 【分析】本题考查三角形中位线定理，三角形中位线定理：三角形的中位线长平行于第三边且等于第三边的一半．熟记性质是解决实际问题的关键．由、分别是、的中点可知，是的中位线，根据三角形中位线定理解答即可． 【详解】解：，分别为、的中点， 是的中位线， 米， （米）． 故答案为：40． 9．（23-24八年级下·山东德州·期末）如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与轴交于点，直线交轴正半轴于点，，点是直线上的动点． (1)求直线的解析式． (2)如果三角形的面积等于三角形面积的三分之一，求点的坐标． (3)已知点在线段上，连结、、．若，求线段的长． 【答案】(1) (2)或 (3) 【知识点】求一次函数解析式、一次函数与几何综合、全等三角形综合问题、三角形中位线的实际应用 【分析】（1）把点代入直线得，设直线解析式为，代入得，即可求出直线解析式． （2）设，当在延长线上时，，在计算即可，当在线段上时，，再计算，即可点的坐标． （3）当时，得为中位线，故，即可求解． 【详解】（1）解：∵点在直线上， ∴， ∴， ∵， ∴， 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为． （2）解：设， 当在延长线上时， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 当在线段上时， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 答：点的坐标为或． （3）当时，如图： ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 同理， ∴为中位线， ∴． 答：的长为． 【点睛】本题考查了一次函数的综合知识，待定系数法求一次函数解析式，三角形中位线的性质，全等三角形的性质，一元一次方程，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 题型04多边形内角和问题 10．（24-25八年级下·全国·单元测试）下列说法中，正确的是（   ）． A．一个三角形中，至多只能有一个锐角 B．一个四边形中，至少有一个锐角 C．一个四边形中，四个内角可能全是锐角 D．一个四边形中，不能全是钝角 【答案】D 【知识点】三角形内角和定理的应用、多边形内角和问题 【分析】本题主要考查了三角形，四边形的内角和问题，掌握四边形内角和等于是解题的关键． 根据三角形的内角和等于180度和四边形内角和等于360度分别判断即可． 【详解】解：A、一个三角形中，至多只能有三个锐角，原说法错误，不符合题意； B、一个四边形中，可以都是直角，原说法错误，不符合题意； C、一个四边形中，四个内角不可能全是锐角，因为四边形内角和为，四个角全为锐角，则内角和小于，原说法错误，不符合题意； D、一个四边形中，不能全是钝角，正确，因为全部为钝角，则内角和大于四边形内角和，故原说法正确，符合题意， 故选：D． 11．（24-25八年级下·广东深圳·期中）若正多边形的内角和是，那么这个多边形一定是正 边形． 【答案】五 【知识点】多边形内角和问题 【分析】主要考查了多边形的内角和公式．要掌握该公式：多边形的内角和等于．直接利用多边形内角和公式求解即可． 【详解】解：设这个多边形是n边形， 则， 解得． 故这个多边形一定是正五边形． 故答案为：五． 12．（24-25八年级下·重庆长寿·阶段练习）如图所示，在四边形中，，，，， (1)求的长； (2)求四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【知识点】含30度角的直角三角形、以直角三角形三边为边长的图形面积、多边形内角和问题 【分析】本题是四边形综合题目，考查了四边形内角和定理、四边形的面积、含角的直角三角形的性质、勾股定理等知识．作辅助线，运用含角的直角三角形的性质及勾股定理是解题的关键． （1）通过四边形内角和定理，得出．延长交的延长线于点，构造出，，通过，求得，，从而在中，得出，，即可求出的长； （2）连接，将四边形分成两个直角三角形，分别求出和的面积，即可求出四边形的面积． 【详解】（1）解：延长交的延长线于点，如图1， ，， 根据四边形内角和为， ， ， 在中，， ， ， ， ，， 又， ， 在中，，设， ，， ，， ． 故答案为：． （2）连接，如图2，将四边形分成两部分， 在中，， 在中，， ． 故答案为：． 题型05正多边形的内角问题 13．（2025·安徽宣城·二模）如图，在正五边形中，连接，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】等边对等角、正多边形的内角问题 【分析】此题考查的是正五边形的性质，熟记正五边形性质是解题的关键． 根据正五边形的性质的，，再利用等腰三角形的性质求出，进而可求出的度数． 【详解】解：五边形是正五边形， ，， ， ∴． 故选B． 14．（24-25八年级下·广西桂林·期中）如果一个正多边形的内角和等于，则这个正多边形是正 边形． 【答案】八 【知识点】正多边形的内角问题 【分析】本题考查了多边形的内角和公式，熟记多边形的内角和公式为是解答本题的关键．根据多边形内角和公式求解即可． 【详解】设这个多边形是n边形， 由题意得， 解得， ∴这个正多边形是正八边形． 故答案为：八． 15．（24-25八年级下·广西来宾·期中）【阅读理解】 【阅读】如图1，用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，叫做平面图形的镶嵌． 【解决问题】我们经常见到如图2那样的地面，它们分别是全用正方形或全用正六边形材料铺成的，这样形状的材料能铺成平整、无空隙的地面． (1)像这样铺地面，能否全用正五边形的材料？为什么？ (2)现有四种地砖，它们的形状分别是正三角形、正方形、正六边形、正八边形，且它们的边长都相等，同时选择其中两种地砖密铺成平整、无空隙的地面，选择的方式有（   ） A．2种    B．3种    C．4种    D．5种 (3)【理解应用】用三块正多边形木板铺地面，拼在一起并相交于一点的各边完全吻合，若其中有两个正五边形，则第三个正多边形的边数是多少？ 【答案】(1)不能，见解析 (2)B (3)10 【知识点】平面镶嵌、正多边形的内角问题 【分析】本题考查平面图形镶嵌知识，解题关键是熟练掌握多边形内角和公式，结合拼接点处内角和为判断能否镶嵌 ． （1）先利用多边形内角和公式求出正五边形每个内角为，再依据平面镶嵌时拼接点处内角和需为，判断能否被整除，得出结论． （2）分别求出正三角形、正方形、正六边形、正八边形的内角度数，然后对四种地砖两两组合，计算在拼接点处内角和能否为，能则可密铺，统计可密铺的组合方式数量． （3）先根据正五边形内角和公式算出其内角为，由拼接点内角和求出第三个正多边形内角为，再通过内角与边数关系公式算出边数． 【详解】（1）解：不能，因为正五边形的每个内角均为，需进行平面镶嵌，内角拼接的度数之和为，而不能被整除．所以不能全用正五边形的材料地砖密铺地面． （2）解：①正三角形、正方形， ， 可以铺满； ②正三角形、正六边形， ， 可以铺满； ③正三角形、正八边形，不能构成的周角， 不能铺满； ④正方形、正六边形，不能构成的周角， 不能铺满； ⑤正方形、正八边形，每个内角的度数为 ， 可以铺满； ⑥正六边形、正八边形，不能构成的周角， 不能铺满． 选择的方式有种． 故选：B； （3）解：设第三个正多边形的内角为， 正五边形的内角为， ， ， 正多边形的边数为，即第三个正多边形的边数为10． 题型06多（少）算一个角问题 16．（22-23八年级下·湖南永州·期中）小红：我计算出一个多边形的内角和为；老师：不对呀，你可能少加了一个角！则小红少加的这个角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】多（少）算一个角问题 【分析】边形的内角和是，少计算了一个内角，结果得．则内角和是与的差一定小于180度，并且大于0度． 【详解】解：设多边形的边数为，小红少加的这个角的度数是， 则有， 则， 因为， 所以， 故选：C． 【点睛】本题考查了多边形的内角和公式．解答此题的关键是把所求的角正确的分解为与一个正整数的积再减去一个小于的角的形式，再根据多边形的内角和公式即可求解． 17．（23-24八年级下·全国·课后作业）小明同学在计算一个多边形的内角和时，由于粗心少算一个内角，结果得到的结果是，则少算的这个内角的度数为 ． 【答案】/度 【知识点】多（少）算一个角问题 【分析】本题主要考查了多边形内角和定理，解不等式，设多边形的边数是n（，且n为整数），根据多边形内角和定理列出不等式，进而求出，再计算出该多边形内角和即可得到答案． 【详解】解：设多边形的边数是n（，且n为整数）， 依题意得， 解得． ∵少算一个内角，且该内角小于， ∴． ∴多边形的内角和是， ∴少算的这个内角的度数为， 故答案为：． 18．（八年级下·全国·专题练习）（1）一个凸多边形的内角和与它的一个外角的和为2005º，求多边形的边数； （2）如果一个凸多边形，除了一个内角以外，其它内角的和为2570，求这个没有计算在内的内角的度数. 【答案】（1）多边形的边数为13；（2）这个没有计算在内的内角的度数130°． 【知识点】多（少）算一个角问题 【分析】（1）根据凸多边形内角和与边数的公式（内角和=）以及凸多边形的外角小于，求解即可； （2）根据凸多边形内角和与边数的公式（内角和=）以及凸多边形的内角小于，求解即可． 【详解】解：（1）根据凸多边形内角和与边数的公式（内角和=）以及凸多边形的外角小于，设凸多边形的边数为， 用余 则， 所以凸多边形的边数为 （2）根据凸多边形内角和与边数的公式（内角和=）以及凸多边形的内角小于， 用余， 所以没有计算在内的内角的度数为． 【点睛】此题主要考查了多边形内角和和外角和的性质，熟练掌握多边形的有关性质是解题的关键． 题型07多边形截角后的内角和问题 19．（21-22八年级下·河北石家庄·期末）有一天，小红的爸爸想考考她，她爸爸说：今天我在做手工的时候，把一个多边形木板锯掉了一个角后得到一个新多边形木板，通过测量计算得到新多边形木板的内角和为，那么原多边形木板的边数是（    ） A．11 B．12 C．13 D．以上都有可能 【答案】D 【知识点】多边形截角后的内角和问题 【分析】先根据多边形的内角和公式求出截去一个角后的多边形的边数，再根据截去一个角后边数增加1，不变，减少1讨论得解． 【详解】解：设多边形截去一个角的边数为， 则， 解得， 截去一个角后边上可以增加1，不变，减少1， 原来多边形的边数是11或12或13． 故选：D． 【点睛】本题考查了多边形的内角和公式，本题难点在于多边形截去一个角后边数有增加1，不变，减少1三种情况． 20．（八年级下·浙江绍兴·期中）已知一个多边形的内角和是900°，把这个多边形剪去一个角，则剩下多边形的内角和可以是 ． 【答案】或或 【知识点】多边形截角后的内角和问题 【分析】先求出原多边形是七边形，剪掉一个角以后，多边形的边数可能增加了1条，也可能减少了1条，或者不变．根据多边形的内角和定理可以知道，边数增加1，相应内角和就增加180度，由此即可求出答案． 【详解】解：∵多边形的内角和是， ∴， 解得：，即原多边形是七边形， 因为剪掉一个角以后，多边形的边数可能增加了1条，也可能减少了1条，或者不变， 当多边形的边数减少了1条边，内角和； 当多边形的边数不变，内角和； 当多边形的边数增加一条边，内角和． 答：将这个多边形剪去一个角，剩下多边形的内角和是或或， 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了多边形的内角和定理，在理解剪掉多边形的一个角的含义时，确定其剩余几边形是关键． 21．（23-24八年级下·陕西榆林·期末）已知一个多边形的内角和比外角和的3倍少． (1)求这个多边形的边数． (2)若截去该多边形的一个角，求截完后所形成的新多边形的内角和． 【答案】(1)这个多边形的边数为7． (2)截完后所形成的新多边形的内角和为或或． 【知识点】多边形截角后的内角和问题、多边形内角和与外角和综合 【分析】本题考查了多边形的内角和与外角和，熟记内角和公式与外角和定理是解题的关键． （1）根据多边形的内角和公式，外角和定理列出方程，求解即可； （2）剪掉一个角以后，多边形的边数可能减少了1，也可能不变，或者增加了1，三种情况，依据多边形的内角和公式求解即可． 【详解】（1）设这个多边形的边数为， 则内角和为，外角和为， 由题意，得 解得． 这个多边形的边数为7． （2）剪掉一个角以后，多边形的边数可能减少了1，也可能不变，或者增加了1． 截完后所形成的新多边形的边数可能是6或7或8． ①当多边形为六边形时．其内角和为； ②当多边形为七边形时，其内角和为； ③当多边形为八边形时，其内角和为． 综上所述，截完后所形成的新多边形的内角和为或或． 题型08正多边形的外角问题 22．（2025·湖南长沙·一模）已知一个正多边形的一个外角是，则这个正多边形的边数是（   ） A．12 B．11 C．10 D．9 【答案】C 【知识点】正多边形的外角问题 【分析】本题考查了多边形的外角和，利用正多边形的外角和为，即可解答，熟知相关概念是解题的关键． 【详解】解：正多边形的边数是， 故答案为：C． 23．（24-25八年级下·江苏扬州·期中）如图，已知，，是正边形的三条边，在同一平面内，以为边在该正边形的外部作正方形．若，则的值为 ． 【答案】10 【知识点】正多边形的外角问题 【分析】本题考查的是正多边形的性质，正多边形的外角和．先求解正多边形的1个内角度数，得到正多边形的1个外角度数，再结合外角和可得答案． 【详解】解：∵正方形， ∴， ∵， ∴， ∴正边形的一个外角为， ∴的值为； 故答案为：10． 24．（23-24八年级下·全国·单元测试）已知一个多边形的每个内角都相等，且它的每个内角比其相邻的外角大，这个多边形是几边形？ 【答案】这个多边形是六边形 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、正多边形的外角问题 【分析】本题考查多边形的外角的性质及外角和．设每个内角相邻的外角均为，则每个内角均为，根据相邻的内外角互补即可求出每个外角的度数，再根据多边形的内角和为即可求出多边形的边数． 【详解】解：设每个内角相邻的外角均为，则每个内角均为，则 ， 解得， 即每个外角都为， ∴该多边形的边数为（边）， 答：这个多边形是六边形． 题型09多边形外角和的实际应用 25．（23-24八年级下·内蒙古·阶段练习）如图，小亮从点出发前进，向右转，再前进，又向右转，……这样他以3m/s的速度匀速的一直走下去，他第一次回到出发点时，一共走了（   ）s．    A．24 B．40 C．80 D．240 【答案】C 【知识点】多边形外角和的实际应用 【分析】本题考查了正多边形的应用和三角形外角和定理的应用，根据小亮从点出发最后回到出发点，可以知道正好走了一个正多边形，再根据三角形外角和为，即可求出正多边形的边数，即可求出总时间． 【详解】解：小亮从点出发最后回到出发点时，正好走了一个正多边形， 正多边形边数：， 一共走了：， 故选：C． 26．（2025八年级下·上海·专题练习）如果多边形的每个外角都是，那么这个多边形的边数是 ． 【答案】18 【知识点】多边形外角和的实际应用 【分析】本题主要考查了多边形的外角和定理，理解多边形外角和中外角的个数与正多边形的边数之间的关系，是解题关键．根据多边形的外角和是360度即可求得外角的个数，即多边形的边数． 【详解】解：多边形的边数是：， 故答案为：18. 27．（23-24八年级下·全国·课后作业）如图，求的度数． 【答案】 【知识点】三角形的外角的定义及性质、多边形外角和的实际应用 【分析】本题主要考查了多边形外角和三角形的外角性质，把所求的几个角转化为一个四边形的外角和即可求解． 【详解】解：如下图， 题型10多边形内角和与外角和综合 28．（24-25八年级下·浙江·期中）若一个多边形的内角和是外角和的倍，则这个多边形的边数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】多边形内角和与外角和综合 【分析】本题考查了多边形内角和与外角和综合，设这个多边形的边数是，根据多边形的内角和定理，外角和定理列出方程，然后解方程即可，掌握相关知识的应用是解题的关键． 【详解】解：设这个多边形的边数是， 根据题意得：， 解得：， 故选：． 29．（24-25八年级下·四川成都·阶段练习）若一个多边形的内角和是其外角和的4倍，则这个多边形的边数是 ． 【答案】 【知识点】多边形内角和与外角和综合 【分析】本题主要考查了多边形的内角和公式与外角和定理，根据题意列出方程是解题的关键．根据多边形的内角和定理，多边形的内角和等于，外角和等于，然后列方程求解即可． 【详解】解：设边数为n，由题意得， ， 解得． 所以这个多边形的边数是10． 故答案为：10． 30．（24-25八年级下·四川广元·开学考试）已知一个多边形的边数为． (1)若这个多边形的内角和是它的外角和的倍，求的值； (2)若过一个顶点的对角线有条，求这个边形对角线的总数． 【答案】(1) (2)这个边形对角线的总数为条 【知识点】多边形对角线的条数问题、多边形内角和与外角和综合 【分析】本题考查多边形内角和与外角和的综合及多边形对角线问题，熟练掌握多边形内角和公式是解题关键． （1）根据多边形内角和为，外角和等于，列方程求出值即可； （2）根据从多边形的一个顶点最多有条对角线列方程求出值，根据多边形对角线总数为即可得答案． 【详解】（1）解：∵这个多边形的内角和是它的外角和的倍， ∴， 解得：． （2）解：∵过一个顶点的对角线有条， ∴， 解得：， ∴这个边形对角线的总数为（条）． 题型11平面镶嵌 31．（23-24八年级下·广东清远·期末）用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，通常把这类问题叫做平面镶嵌问题．如图，利用相同边长的正三角形可以进行平面镶嵌．请问下列图形或图形组合无法进行平面镶嵌的是(   ) A．全等三角形 B．正方形 C．正三角形 D．正五边形 【答案】D 【知识点】平面镶嵌 【分析】本题考查了平面镶嵌(密铺)，根据判断一种或几种图形是否能够镶嵌，只要看一看拼在同一顶点处的几个角能否构成周角，若能构成，则说明能够进行平面镶嵌，反之则不能判断即可． 【详解】解：A选项，三角形内角和是，，能镶嵌，故该选项不符合题意； B选项，正方形的每个内角是，，能镶嵌，故该选项不符合题意； C选项，正三角形的每个内角是，，能镶嵌，故该选项不符合题意； D选项，正五边形的每个内角是，不能镶嵌，故该选项符合题意； 故选：D． 32．（2024·陕西榆林·二模）某广场的地面是由相同的正五边形与相同的四角星形（四个尖角的度数相同）铺成的无缝隙，不重叠的图形，如图是该广场地面的一部分，则图中四角星形的尖角的度数为 °． 【答案】 【知识点】平面镶嵌、正多边形的内角问题 【分析】本题考查平面镶嵌（密铺），关键是求出正五边形的每个内角的度数． 先算出正五边形的每个内角的度数，让减去个内角的度数和的差除以即可． 【详解】正五边形内角和为， 正五边形每个内角是， ∴． 故答案为． 33．（2025·上海宝山·模拟预测）簪花结束后，小强和爸爸牵着妈妈的手，到蟳埔村参观游玩拍照纪念，精美的镂空窗花搭配蚵壳墙，极具泉州古民居特色，给小强一家留下来极其深刻的印象，在感叹泉州人民的勤劳与智慧的同时，聪明的小强发现有的窗花是由几种形状的正多边形组合镶嵌而成，具有很好的对称美，小强爸爸给他出了如下两个题目，请帮帮小强一起解决． (1)已知一扇窗户在某个结点处由两种边长相等的正多边形镶嵌而成，其中一种是等边三角形，另一个种不能是下列哪种形状的正多边形______（填序号） ①正三角形 ②正四边形 ③正五边形 ④正六边形 (2)小强发现某个花纹用4个全等的正八边形进行拼接，使相等的两个正八边形有一条公共边，围成一圈后中间形成一个正方形，如图1，小强猜想，如果用n个全等的正六边形按这种方式进行拼接，如图2，若围成一圈后中间形成一个正多边形，则n的值为______，并简要说明理由 【答案】(1) (2) 【知识点】平面镶嵌 【分析】本题考查了平面镶嵌，熟练掌握平面图形的镶嵌是解题的关键：用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙，不重叠地铺成一片，这就是平面图形的镶嵌． （1）分别求出各多边形内角的度数，再由密铺的条件即可得出结论； （2）根据正六边形各内角的度数即可得出结论． 【详解】（1）解：①正三角形的内角是，，可以密铺，不符合题意； ②正四边形的内角是，，可以密铺，不符合题意； ③正五边形的内角是，，不能密铺，符合题意； ④正六边形的内角是，，可以密铺，不符合题意； 故答案为：③； （2）解：，理由如下： 由题意得，这个正六边形围成的图形是一个正多边形，由图可知，围成的这个正多边形的每个内角的度数是， ， 解得：， 故答案为：． 夯实基础 一、单选题 1．若边形的内角和是五边形的外角和的倍，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】外角和，内角和公式为：，列等式计算即可． 【详解】由题意得： ， 解得． 故选：． 【点睛】本题主要考查多边形外角和及内角和公式，能够熟记内角和公式是解题关键． 2．在四边形ABCD中，∠A+∠C=160°，∠B比∠D大60°，则∠B为（ ） A．70° B．80° C．120° D．130° 【答案】D 【分析】先根据多边形的内角和公式求出四边形的内角和，再由∠A+∠C=160°可得∠B+∠D的度数，同时结合∠B比∠D大60°，即可求得结果． 【详解】∵四边形的内角和等于，∠A+∠C=160°， ∴∠B+∠D=200°， ∵∠B-∠D=60°， ∴∠B=130°， 故选D. 【点睛】解答本题的关键是熟练掌握多边形的内角和公式： 3．如果正n边形的一个外角是40°，则n的值为（ ） A．5 B．6 C．8 D．9 【答案】D 【分析】根据多边形外角和是360°即可求解． 【详解】∵n边形的外角和为360°， ∴正n边形的一个外角是 ， ∴=40°， ∴n=9， 故选D. 4．如图，点F在正五边形ABCDE的边CD的延长线上，连接BD，则∠BDF的度数（    ） A．36° B．144° C．134° D．120° 【答案】B 【分析】根据多边形的内角和公式求出正五边形的五个角的度数之和，进而求出每个内角的度数，即可得出∠BDE的度数，再根据正多边形的外角和是360°，这个正多边形的每个外角相等，因而用360°除以多边形的边数，就得到外角的度数，然后根据角的和差关系计算即可． 【详解】解：正五边形的内角和为：(5-2)×180°=540°， ∴∠C=540÷5=108°， ∵CB=CD， ∴∠CDB=×(180°−∠C)=36°， ∴∠BDE=108°-36°=72° 由多边形的外角和等于360°可得∠EDF=360°÷5=72°， ∴∠BDF=∠BDE+∠EDF=72°+72°=144°． 故选：B． 【点睛】本题考查了多边形内角与外角，解题的关键是掌握多边形的内角和公式，熟悉多边形的外角和等于360度． 5．已知一个多边形的每一个外角都相等，一个内角与一个外角的度数之比是3：1，这个多边形的边数是（    ） A．8 B．9 C．10 D．12 【答案】A 【分析】设这个多边形的外角为x°，则内角为3x°，根据多边形的相邻的内角与外角互补可的方程x+3x=180，解方程可得外角的度数，再用外角和除以外角度数即可得到边数． 【详解】解：设这个多边形的外角为x°，则内角为3x°， 由题意得：x+3x=180， 解得x=45， 这个多边形的边数：360°÷45°=8， 故选：A． 6．一个正十边形的某一边长为8cm，其中一个内角的度数为144º，则这个正十边形的周长和内角和分别为（    ） A．64cm，1440º B．80cm，1620º C．80cm，1440º D．88cm，1620º 【答案】C 【详解】因为正十边形的各个边都相等，则它的周长为8×10=80(cm) 因为正十边形的各内角都相等，则它的内角之和为144°×10=1440°. 故选C. 7．把边长相等的正六边形ABCDEF和正五边形GHCDL的CD边重合，按照如图所示的方式叠放在一起，延长LG交AF于点P，则∠APG＝（　　） A．141° B．144° C．147° D．150° 【答案】B 【分析】先根据多边形的内角和公式分别求得正六边形和正五边形的每一个内角的度数，再根据多边形的内角和公式求得∠APG的度数． 【详解】(6﹣2)×180°÷6＝120°， (5﹣2)×180°÷5＝108°， ∠APG＝(6﹣2)×180°﹣120°×3﹣108°×2 ＝720°﹣360°﹣216° ＝144°， 故选B． 【点睛】本题考查了多边形内角与外角，关键是熟悉多边形内角和定理：(n﹣2)•180 (n≥3)且n为整数)． 8．如图，在边长为的等边中，分别取三边的中点，，，得△；再分别取△三边的中点，，，得△；这样依次下去，经过第2021次操作后得△，则△的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据三角形中位线定理计算，再总结规律，根据规律解答即可得． 【详解】解：点，分别为，的中点， ， 点，分别为，的中点， ， ， ， △的面积， 故选D． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理，解题的关键是掌握三角形中位线定理． 二、填空题 9．在四边形ABCD中，∠A＝65°，∠B＝110°，∠D＝105°，则∠C的度数是 ． 【答案】80° 【分析】根据任意四边形内角和是360°，即可求出∠C的度数． 【详解】解： ∵在四边形ABCD中，∠A＝65°，∠B＝110°，∠D＝105°， ∴∠C＝360°－∠A－∠D－∠B＝360°－65°－105°－110°＝80°. 故答案为80° 【点睛】此题主要考查了四边形内角和定理，熟练掌握四边形内角和为360度是解决问题的关键． 10．如图，某公园的一块三角形空地，米，点、分别是、的中点，沿放置了一道栅栏把分成两个区域，则栅栏的长为 米． 【答案】6 【分析】本题考查三角形的中位线性质的应用，根据三角形的中位线性质得到求解即可． 【详解】解：∵点、分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴，又米， ∴（米）， 故答案为：6． 11．如图所示，已知，正五边形的顶点、在射线上，顶点在射线上，则 度． 【答案】48 【分析】是正五边形的一个外角，利用多边形外交和360°算出一个外角，再利用的内角和180°，即可算出 【详解】∵四边形ABCDE是正五边形，是一个外角 ∴ 在中： 故答案为：48 【点睛】本题考查多边形外角和和三角形内角和，注意多边形外角和均为360° 12．如图，在中，平分，于点E，延长交于点D，F是的中点，若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查角平分线的定义，三角形全等的判定和性质，三角形中位线的性质等知识．根据角平分线的定义结合题意，即可利用“”证明，即得出，，从而可得出，点E为中点，从而可判定为的中位线，进而可求出的长． 【详解】解：由题意可得：，， 又∵， ∴， ∴，， ∴，点E为中点， 又点F是的中点， ∴为的中位线， ∴． 故答案为：． 13．如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E，F分别是AB，CD的中点，AD＝BC，∠PEF＝18°，则∠FPE的度数是 ． 【答案】144° 【分析】根据中位线定理，易证明△EPF是等腰三角形，根据等腰三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E，F分别是AB，CD的中点， ∴FP，PE分别是△CDB与△DAB的中位线， ∴PF＝ BC，PE＝ AD， ∵AD＝BC， ∴PF＝PE， ∵∠PEF＝18°， ∴∠PEF＝∠PFE＝18°． ∠FPE＝180°-18°-18°=144°． 故答案为：144°． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理及等腰三角形的性质，解题关键是利用中位线性质证明△EPF是等腰三角形． 14．如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AE平分交BC于点E，且， ，连接OE．下列结论：①；②S▱ABCD＝AB•AC；③OB＝AB；④，成立的个数有 个．    【答案】3 【分析】由▱ABCD中，∠ADC=60°，易得△ABE是等边三角形，又由AB=BC，证得①∠CAD=30°；继而证得AC⊥AB，得②S▱ABCD=AB•AC；可得OE是三角形的中位线，证得④OE=BC． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°， ∵AE平分∠BAD， ∴∠BAE=∠EAD=60° ∴△ABE是等边三角形， ∴AE=AB=BE， ∵AB=BC， ∴AE=BC， ∴∠BAC=90°， ∴∠CAD=30°，故①正确； ∵AC⊥AB， ∴S▱ABCD=AB•AC，故②正确， ∵AC⊥AB， ∴AB＜OB，故③错误； ∵∠CAD=30°，∠AEB=60°，AD∥BC， ∴∠EAC=∠ACE=30°， ∴AE=CE， ∴BE=CE， ∵OA=OC， ∴OE=AB=BC，故④正确． 故正确的有3个. 故答案是：3． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质、三角形中位线的性质以及等边三角形的判定与性质．注意证得△ABE是等边三角形，OE是△ABC的中位线是关键． 三、解答题 15．过多边形某个顶点的所有对角线，将这个多边形分成7个三角形，这个多边形是几边形？ 【答案】九边形 【分析】根据n边形从一个顶点出发可引出条对角线，可组成个三角形，依此可得n的值． 【详解】设这个多边形是n边形，由题意得，n-2=7， 解得：n=9， 故这个多边形是九边形． 【点睛】本题考查了多边形的对角线分成三角形的问题，理解n边形从一个顶点出发可引出条对角线，可组成个三角形是解题的关键． 16．若D，E分别是，的中点，则只需测量出的长，就可以求出池塘的宽．你知道为什么吗？ 【答案】三角形的中位线等于第三边的一半 【分析】根据条件是的中位线，利用三角形的中位线定理即可求解． 【详解】解：∵D、E分别是、中点， ∴． ∴理由是“三角形的中位线等于第三边的一半”． 【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，是一个基础题．掌握“三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半”是解本题的关键． 17．如图所示，点E，F，G，H分别是四边形的边的中点，求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】连接BD，利用三角形的中位线定理证明得出，从而得到四边形是平行四边形 【详解】解：如图，连接． ∵点E，H分别是线段的中点， ∴是的中位线， ∴EH∥BD，． 同理，． ∴， ∴四边形是平行四边形． 【点睛】此题主要考查了三角形中位线定理和平行四边形的判定方法，题目比较典型，又有综合性，难度不大，解题的关键是正确的添加辅助线，把四边形的问题转化为三角形的问题． 18．如图所示，在四边形中，，且与不平行，、分别是、的中点，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】根据中位线的性质得出、，再根据三角形边的性质得出，即可得出答案. 【详解】证明：如图所示，取中点，连接，， ∵是的中点， ∴是的中位线， ∴， 同理可证， 易证、、三点不共线， ∵， ∴． 在中， ∴． 【点睛】本题考查的是三角形的中位线定理：三角形的中位线平行且等于第三条边的一半. 19．如图1，等腰中，，点，分别在边，上，，连接，点，，分别为，，的中点． （1）观察猜想：图1中，线段与的数量关系是______，位置关系是______． （2）探究证明：把绕点逆时针方向旋转到图2的位置，连接，，，判断的形状，并说明理由； （3）拓展延伸：把绕点在平面内自由旋转，若，，请直接写出面积的最大值． 【答案】（1）， ；（2）是等腰直角三角形，理由见解析；（3）98 【分析】（1）根据题意可证得，利用三角形的中位线定理得出，，即可得出数量关系，再利用三角形的中位线定理得出，得出，通过角的转换得出与互余，证得． （2）先证明，得出，同（1）的方法得出，，即可得出，同（1）的方法由，即可得出结论． （3）当最大时，的面积最大，而最大值是，，计算得出结论． 【详解】（1）线段PM与PN的数量关系是，位置关系是． ∵等腰中，， ∴AB=AC， ∵AD=AE， ∴AB-AD=AC-AE， ∴BD=CE， ∵点，，分别为，，的中点， ∴，， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， ∵（两直线平行内错角相等）， ∴， ∴． （2）是等腰直角三角形． 证明：由旋转可知，， ，， ∴， ∴，， 根据三角形的中位线定理可得，，， ∴， ∴是等腰三角形， 同（1）的方法可得，， ∴， 同（1）的方法得，， ， ∵， ∴ ， ∵，∴， ∴， ∴是等腰直角三角形． （3）由（2）知，是等腰直角三角形，， ∴最大时，面积最大， ∵点在的延长线上，BD最大， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理，等腰直角三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，直角三角形的性质的综合运用，熟练掌握中位线定理是解题关键． 20．（1）回归课本 请用文字语言表述三角形的中位线定理：________________． （2）回顾证法 证明三角形中位线定理的方法很多，但多数都要通过添加辅助线构图完成．下面是其中一种辅助线的添加方法．请结合图2，补全求证及证明过程． 已知：在中，点分别是的中点． 求证：________________． 证明：过点作，与的延长线交于点． （3）实践应用 如图3，点和点被池塘隔开，在外选一点，连接，分别取的中点，测得的长度为9米，则两点间的距离为________________．    【答案】（1）三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半；（2），；详见解析；（3）18米 【分析】（1）根据三角形的中位线定理直接阐述即可； （2）过点作，与的延长线交于点，证明，再证四边形是平行四边形，即可证明结论； （3）直接利用三角形中位线定理求解即可． 【详解】解：（1）三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半． 故答案为：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半； （2）求证：，． 证明：∵点分别是的中点， ∴，， 过点作，与的延长线交于点． ∴， 在和中， ． ，． ，． 四边形是平行四边形， ，， 又， ，． 故答案为：，； （3）∵点分别是的中点，米， ∴，即：米 故答案为：18米． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理，平行四边形的判定和性质，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题． 能力提升 一、单选题 21．如图，直线和都经过正五边形的一个顶点，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查正多边形的内角和、平行线的性质、三角形的内角和定理，求得正五边形的一个内角是解答的关键．先根据正多边形的内角和公式求得正五边形的内角，然后根据平行线的性质求得，然后利用三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：如图， ∵五边形是正五边形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，则， 由得， 故选：B． 22．如图，把纸片沿折叠，当点A落在四边形内部时，则与之间有一种数量关系始终保持不变，这个关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查四边形的内角和，三角形内角和，根据四边形的内角和为及三角形内角和，就可求出这一始终保持不变的性质． 【详解】解： 如图：延长，交于一点N，由翻折性质，知道点N与点A关于对称 则在四边形中，， ∵把纸片沿折叠， ∴， ∵， 则， ∴． 故选：A． 二、填空题 23．当多边形的边数增加一条时，其内角和增加 度． 【答案】180 【分析】根据多边形的内角和定理即可求出答案． 【详解】n边形的内角和是（n-2）•180度，因而多边形的边数增加1条变成n+1条，内角和是（n-1）•180度， 它的内角和增加（n-1）•180-（n-2）•180=180度， 所以当多边形的边数每增加1条时，它的内角和增加180度． 故答案为：180. 【点睛】此题考查多边形的内角和定理，解题关键在于掌握其性质定义． 24．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，F是BC边上的一个动点，连接DE，EF，FD．若△ABC的面积为18 cm，则△DEF的面积是 cm 【答案】4.5// 【分析】连接BE，根据△ABC的面积求出△AEB的面积，进而求出△DEB的面积，根据三角形中位线定理得到DEBC，得到△DEF的面积＝△DEB的面积，得出答案． 【详解】解：连接BE， ∵点E是AC的中点，△ABC的面积的为18 cm， ∴△AEB的面积△ABC的面积＝9（cm）， ∵点D是AB的中点， ∴△DEB的面积△AEB的面积＝4.5（cm）， ∵D，E分别是AB，AC的中点， ∴DEBC， ∴△DEF的面积＝△DEB的面积＝4.5（cm）， 故答案为：4.5． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理、三角形的面积、三角形中线的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键． 三、解答题 25．如图，在中，是的中点，是上的一点，且，与相交于点．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了三角形中位线的性质，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键．取的中点，连接，可得，为的中位线，即得，，得到，，即可证明，即得，即可求证． 【详解】证明：取的中点，连接，则， ∵是的中点， ∴为的中位线， ∴，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 26．如图，在中，平分， 于点E， 点F是的中点． (1)如图1，的延长线与边相交于点 D， 求证：； (2)如图2，探究线段、、之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查了三角形的中位线定理、等腰三角形的判定和性质． （1）先根据, 得, 再根据角平分线的定义得出, 进而得出, 所以, 根据等腰三角形的三线合一, 推出，根据三角形的中位线定理即可解决问题. （2）延长交的延长线于根据角平分线得到得出, 根据两角和为, 证明，根据等腰三角形的“三线合一”，推出，根据三角形的中位线定理即可解决问题. 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， 又∵于点E， ∴， ∴， ∴， ∴是的中点， 又∵点F是的中点， ∴是的中位线， ∴； （2） 证明如下： 如图中，延长交的延长线于. ∵, ∴, ∴, ∵ 平分, ∴, ∴, ∴, ∵, ∴, ∵是的中点, ∴是中位线 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第19讲 三角形的中位线与多边形的内角和与外角和 目 录 题型归纳..........................................................................................................................................................................................1 题型01与三角形中位线有关的求解问题....................................................................................................................................3 题型02与三角形中位线有关的证明............................................................................................................................................5 题型03三角形中位线的实际应用................................................................................................................................................9 题型04多边形内角和问题...........................................................................................................................................................13 题型05正多边形的内角问题.......................................................................................................................................................17 题型06多（少）算一个角问题...................................................................................................................................................20 题型07多边形截角后的内角和问题...........................................................................................................................................22 题型08正多边形的外角问题.......................................................................................................................................................25 题型09多边形外角和的实际应用...............................................................................................................................................26 题型10多边形内角和与外角和综合...........................................................................................................................................28 题型11平面镶嵌...........................................................................................................................................................................30 分层练习........................................................................................................................................................................................33 夯实基础........................................................................................................................................................................................33 能力提升........................................................................................................................................................................................52 知识点01.三角形中位线定理 （1）三角形中位线定理： 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． （2）几何语言： 如图，∵点D、E分别是AB、AC的中点 ∴DE∥BC，DE＝BC． 知识点02多边形的对角线 （1）多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线． （2）n边形从一个顶点出发可引出（n﹣3）条对角线．从n个顶点出发引出（n﹣3）条，而每条重复一次，所以n边形对角线的总条数为：n（n﹣3）2（n≥3，且n为整数） （3）对多边形对角线条数公：n（n﹣3）2的理解：n边形的一个顶点不能与它本身及左右两个邻点相连成对角线，故可连出（n﹣3）条．共有n个顶点，应为n（n﹣3）条，这样算出的数，正好多出了一倍，所以再除以2． （4）利用以上公式，求对角线条数时，直接代入边数n的值计算，而计算边数时，需利用方程思想，解方程求n． 知识点03多边形内角与外角 （1）多边形内角和定理：（n﹣2）•180° （n≥3且n为整数） 此公式推导的基本方法是从n边形的一个顶点出发引出（n﹣3）条对角线，将n边形分割为（n﹣2）个三角形，这（n﹣2）个三角形的所有内角之和正好是n边形的内角和．除此方法之和还有其他几种方法，但这些方法的基本思想是一样的．即将多边形转化为三角形，这也是研究多边形问题常用的方法． （2）多边形的外角和等于360°． ①多边形的外角和指每个顶点处取一个外角，则n边形取n个外角，无论边数是几，其外角和永远为360°． ②借助内角和和邻补角概念共同推出以下结论：外角和＝180°n﹣（n﹣2）•180°＝360°． 题型01与三角形中位线有关的求解问题 1．（24-25八年级下·四川自贡·期中）如图，在四边形中，E，F分别是，的中点，，，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·广东江门·期中）如图，，分别是的边，的中点，如果，则 ． 3．（24-25八年级下·北京·期中）如图，在中，若，，．在边上截取，连接，过点作于点，是的中点，连接，求的长度． 题型02与三角形中位线有关的证明 4．（2024八年级下·全国·专题练习）如图，将非等腰的纸片沿折叠后，使点落在边上的点处．若点为边的中点，则下列结论：①是等腰三角形；②；③是的中位线，成立的有（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 5．（24-25八年级下·湖南娄底·期中）如图，四边形是由四边形的各边中点依次连接而形成的四边形，则四边形一定是 ． 6．（24-25八年级下·全国·期中）写出下列命题的已知、求证，并完成证明过程． 命题：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． 已知：如图，__________________________________________________________． 求证：__________________________________________________________． 证明： 题型03三角形中位线的实际应用 7．（24-25八年级下·广东东莞·期中）如图，为了测量池塘边、两点之间的距离，在的同侧取一点，连接并延长至点，连接并延长至点，使得，．若测得，则，间的距离为（    ） A．13 B．16 C．18 D．20 8．（24-25八年级下·广东江门·阶段练习）如图，两点被池塘隔开，在外选一点C，连接和，并分别找出它们的中点，N．若测得米，则两点间的距离为 米． 9．（23-24八年级下·山东德州·期末）如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与轴交于点，直线交轴正半轴于点，，点是直线上的动点． (1)求直线的解析式． (2)如果三角形的面积等于三角形面积的三分之一，求点的坐标． (3)已知点在线段上，连结、、．若，求线段的长． 题型04多边形内角和问题 10．（24-25八年级下·全国·单元测试）下列说法中，正确的是（   ）． A．一个三角形中，至多只能有一个锐角 B．一个四边形中，至少有一个锐角 C．一个四边形中，四个内角可能全是锐角 D．一个四边形中，不能全是钝角 11．（24-25八年级下·广东深圳·期中）若正多边形的内角和是，那么这个多边形一定是正 边形． 12．（24-25八年级下·重庆长寿·阶段练习）如图所示，在四边形中，，，，， (1)求的长； (2)求四边形的面积． 题型05正多边形的内角问题 13．（2025·安徽宣城·二模）如图，在正五边形中，连接，则的度数为（    ） A． B． C． D． 14．（24-25八年级下·广西桂林·期中）如果一个正多边形的内角和等于，则这个正多边形是正 边形． 15．（24-25八年级下·广西来宾·期中）【阅读理解】 【阅读】如图1，用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，叫做平面图形的镶嵌． 【解决问题】我们经常见到如图2那样的地面，它们分别是全用正方形或全用正六边形材料铺成的，这样形状的材料能铺成平整、无空隙的地面． (1)像这样铺地面，能否全用正五边形的材料？为什么？ (2)现有四种地砖，它们的形状分别是正三角形、正方形、正六边形、正八边形，且它们的边长都相等，同时选择其中两种地砖密铺成平整、无空隙的地面，选择的方式有（   ） A．2种    B．3种    C．4种    D．5种 (3)【理解应用】用三块正多边形木板铺地面，拼在一起并相交于一点的各边完全吻合，若其中有两个正五边形，则第三个正多边形的边数是多少？ 题型06多（少）算一个角问题 16．（22-23八年级下·湖南永州·期中）小红：我计算出一个多边形的内角和为；老师：不对呀，你可能少加了一个角！则小红少加的这个角的度数是（    ） A． B． C． D． 17．（23-24八年级下·全国·课后作业）小明同学在计算一个多边形的内角和时，由于粗心少算一个内角，结果得到的结果是，则少算的这个内角的度数为 ． 18．（八年级下·全国·专题练习）（1）一个凸多边形的内角和与它的一个外角的和为2005º，求多边形的边数； （2）如果一个凸多边形，除了一个内角以外，其它内角的和为2570，求这个没有计算在内的内角的度数. 题型07多边形截角后的内角和问题 19．（21-22八年级下·河北石家庄·期末）有一天，小红的爸爸想考考她，她爸爸说：今天我在做手工的时候，把一个多边形木板锯掉了一个角后得到一个新多边形木板，通过测量计算得到新多边形木板的内角和为，那么原多边形木板的边数是（    ） A．11 B．12 C．13 D．以上都有可能 20．（八年级下·浙江绍兴·期中）已知一个多边形的内角和是900°，把这个多边形剪去一个角，则剩下多边形的内角和可以是 ． 21．（23-24八年级下·陕西榆林·期末）已知一个多边形的内角和比外角和的3倍少． (1)求这个多边形的边数． (2)若截去该多边形的一个角，求截完后所形成的新多边形的内角和． 题型08正多边形的外角问题 22．（2025·湖南长沙·一模）已知一个正多边形的一个外角是，则这个正多边形的边数是（   ） A．12 B．11 C．10 D．9 23．（24-25八年级下·江苏扬州·期中）如图，已知，，是正边形的三条边，在同一平面内，以为边在该正边形的外部作正方形．若，则的值为 ． 24．（23-24八年级下·全国·单元测试）已知一个多边形的每个内角都相等，且它的每个内角比其相邻的外角大，这个多边形是几边形？ 题型09多边形外角和的实际应用 25．（23-24八年级下·内蒙古·阶段练习）如图，小亮从点出发前进，向右转，再前进，又向右转，……这样他以3m/s的速度匀速的一直走下去，他第一次回到出发点时，一共走了（   ）s．    A．24 B．40 C．80 D．240 26．（2025八年级下·上海·专题练习）如果多边形的每个外角都是，那么这个多边形的边数是 ． 27．（23-24八年级下·全国·课后作业）如图，求的度数． 题型10多边形内角和与外角和综合 28．（24-25八年级下·浙江·期中）若一个多边形的内角和是外角和的倍，则这个多边形的边数是（    ） A． B． C． D． 29．（24-25八年级下·四川成都·阶段练习）若一个多边形的内角和是其外角和的4倍，则这个多边形的边数是 ． 30．（24-25八年级下·四川广元·开学考试）已知一个多边形的边数为． (1)若这个多边形的内角和是它的外角和的倍，求的值； (2)若过一个顶点的对角线有条，求这个边形对角线的总数． 题型11平面镶嵌 31．（23-24八年级下·广东清远·期末）用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，通常把这类问题叫做平面镶嵌问题．如图，利用相同边长的正三角形可以进行平面镶嵌．请问下列图形或图形组合无法进行平面镶嵌的是(   ) A．全等三角形 B．正方形 C．正三角形 D．正五边形 32．（2024·陕西榆林·二模）某广场的地面是由相同的正五边形与相同的四角星形（四个尖角的度数相同）铺成的无缝隙，不重叠的图形，如图是该广场地面的一部分，则图中四角星形的尖角的度数为 °． 33．（2025·上海宝山·模拟预测）簪花结束后，小强和爸爸牵着妈妈的手，到蟳埔村参观游玩拍照纪念，精美的镂空窗花搭配蚵壳墙，极具泉州古民居特色，给小强一家留下来极其深刻的印象，在感叹泉州人民的勤劳与智慧的同时，聪明的小强发现有的窗花是由几种形状的正多边形组合镶嵌而成，具有很好的对称美，小强爸爸给他出了如下两个题目，请帮帮小强一起解决． (1)已知一扇窗户在某个结点处由两种边长相等的正多边形镶嵌而成，其中一种是等边三角形，另一个种不能是下列哪种形状的正多边形______（填序号） ①正三角形 ②正四边形 ③正五边形 ④正六边形 (2)小强发现某个花纹用4个全等的正八边形进行拼接，使相等的两个正八边形有一条公共边，围成一圈后中间形成一个正方形，如图1，小强猜想，如果用n个全等的正六边形按这种方式进行拼接，如图2，若围成一圈后中间形成一个正多边形，则n的值为______，并简要说明理由 夯实基础 一、单选题 1．若边形的内角和是五边形的外角和的倍，则的值为（　　） A． B． C． D． 2．在四边形ABCD中，∠A+∠C=160°，∠B比∠D大60°，则∠B为（ ） A．70° B．80° C．120° D．130° 3．如果正n边形的一个外角是40°，则n的值为（ ） A．5 B．6 C．8 D．9 4．如图，点F在正五边形ABCDE的边CD的延长线上，连接BD，则∠BDF的度数（    ） A．36° B．144° C．134° D．120° 5．已知一个多边形的每一个外角都相等，一个内角与一个外角的度数之比是3：1，这个多边形的边数是（    ） A．8 B．9 C．10 D．12 6．一个正十边形的某一边长为8cm，其中一个内角的度数为144º，则这个正十边形的周长和内角和分别为（    ） A．64cm，1440º B．80cm，1620º C．80cm，1440º D．88cm，1620º 7．把边长相等的正六边形ABCDEF和正五边形GHCDL的CD边重合，按照如图所示的方式叠放在一起，延长LG交AF于点P，则∠APG＝（　　） A．141° B．144° C．147° D．150° 8．如图，在边长为的等边中，分别取三边的中点，，，得△；再分别取△三边的中点，，，得△；这样依次下去，经过第2021次操作后得△，则△的面积为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 9．在四边形ABCD中，∠A＝65°，∠B＝110°，∠D＝105°，则∠C的度数是 ． 10．如图，某公园的一块三角形空地，米，点、分别是、的中点，沿放置了一道栅栏把分成两个区域，则栅栏的长为 米． 11．如图所示，已知，正五边形的顶点、在射线上，顶点在射线上，则 度． 12．如图，在中，平分，于点E，延长交于点D，F是的中点，若，，则 ． 13．如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E，F分别是AB，CD的中点，AD＝BC，∠PEF＝18°，则∠FPE的度数是 ． 14．如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AE平分交BC于点E，且， ，连接OE．下列结论：①；②S▱ABCD＝AB•AC；③OB＝AB；④，成立的个数有 个．    三、解答题 15．过多边形某个顶点的所有对角线，将这个多边形分成7个三角形，这个多边形是几边形？ 16．若D，E分别是，的中点，则只需测量出的长，就可以求出池塘的宽．你知道为什么吗？ 17．如图所示，点E，F，G，H分别是四边形的边的中点，求证：四边形是平行四边形． 18．如图所示，在四边形中，，且与不平行，、分别是、的中点，求证：． 19．如图1，等腰中，，点，分别在边，上，，连接，点，，分别为，，的中点． （1）观察猜想：图1中，线段与的数量关系是______，位置关系是______． （2）探究证明：把绕点逆时针方向旋转到图2的位置，连接，，，判断的形状，并说明理由； （3）拓展延伸：把绕点在平面内自由旋转，若，，请直接写出面积的最大值． 20．（1）回归课本 请用文字语言表述三角形的中位线定理：________________． （2）回顾证法 证明三角形中位线定理的方法很多，但多数都要通过添加辅助线构图完成．下面是其中一种辅助线的添加方法．请结合图2，补全求证及证明过程． 已知：在中，点分别是的中点． 求证：________________． 证明：过点作，与的延长线交于点． （3）实践应用 如图3，点和点被池塘隔开，在外选一点，连接，分别取的中点，测得的长度为9米，则两点间的距离为________________．    能力提升 一、单选题 21．如图，直线和都经过正五边形的一个顶点，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 22．如图，把纸片沿折叠，当点A落在四边形内部时，则与之间有一种数量关系始终保持不变，这个关系是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 23．当多边形的边数增加一条时，其内角和增加 度． 24．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，F是BC边上的一个动点，连接DE，EF，FD．若△ABC的面积为18 cm，则△DEF的面积是 cm 三、解答题 25．如图，在中，是的中点，是上的一点，且，与相交于点．求证：． 26．如图，在中，平分， 于点E， 点F是的中点． (1)如图1，的延长线与边相交于点 D， 求证：； (2)如图2，探究线段、、之间的数量关系，并说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$