第一章第三节基础与提升三 线段垂直平分线与角平分线2024-2025学年北师大版数学八年级下学期

基础与提升三 线段垂直平分线与角平分线 一、选择题： 1.如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，EF垂直平分AB，连接 AF，若AF＝5，AB＝8，则AD的长为(　 ) A. 2.4 B. 4.2 C. 4.8 D. 5.2 2.如图，点O在△ABC内，且到三边的距离相等，若∠A＝36°，则∠BOC的度数(　　) A. 108° B. 118° C. 126° D. 136° 3.如图，O为△ABC内角平分线的交点，过点O作OM⊥AB于点M. 若∠ACB＝60°，OM＝2，则OC的长为(　　) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，BD平分∠ABC交AC于点D，点E是射线BC上的动点，连接AE，∠BAE的平分线与BD交于点P，若∠CAE＝20°，则∠APB的度数为(　　) A. 120° B. 145° C. 125°或145° D. 120°或145° 二、填空题： 5.如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，BC＝10，D，E分别是AC，BC边上一点，将△ABC沿DE折叠，且顶点B与顶点C重合，点A落在点F处，则DE的长为 . 6.若点C，D在线段AB的垂直平分线上，且∠ACB＝70°，∠ADB＝100°，则∠CAD的度数为 . 7.如图，在△ABC中，AB与AC的垂直平分线交于点P，连接AP，BP，CP，若∠ABC＝60°，则∠ACP的度数为 . 8.如图，在△ABC中，乐乐按以下步骤进行作图：①分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点E，F；②连接EF交AC于点P. 若BC＝6，AP＝4，∠A＝45°，则AC的长为 . 9.在△ABC中，AB，AC的垂直平分线相交于点P，若∠BPC＝110°，则∠A的度数为 . 10.如图，CD平分∠ADB，E，F分别是CD，BD上一点，过点E作EG⊥BD，垂足为G，若DF＝3，DG＝5，H在AD上，且满足EF＝EH，则DH的长为 . 11.如图，在△ABC中，BC＝16，点O到△ABC三边的距离相等，过点O作AB，AC的平行线，分别交BC于E，F两点，则△OEF的周长为 . 12.如图，在△ABC中，D是△ABC三条角平分线的交点， E是△ABC三边垂直平分线的交点，连接BD、DC、BE、EC，若∠ BEC＝140°,则∠BDC的度数为_______. 三、解答题： 13.【问题发现】我们知道“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”，那么不在线段垂直平分线上的点到线段两端的距离大小如何判断呢？ 【自主探究】如图①，直线l是线段AB的垂直平分线，点P在直线l的左侧，经测量，PA＜PB. 请证明这个结论； 【应用迁移】如图②，直线l是线段AB的垂直平分线，点C在直线l外，且与点A在直线l的同侧，点D是直线l上的任意一点，连接AD，BC，CD，判断AD＋CD与BC之间的大小关系，并说明理由； 【解决问题】如图③，在△ABC中，AD是BC边上的高，直线l是AB边的垂直平分线，P是直线l上的动点，若S△ABC＝6，BC＝4，求BP＋DP的最小值. 14.如图，在△ABC中，AB的垂直平分线DE与AC的垂直平分线DF相交于点D，垂足分别为E，F，DE，DF分别交BC于点M，N，连接AM，AN. (1)求证：点D在BC的垂直平分线上； (2)若AB＝AC，判断△AMN的形状并说明理由； (3)若∠BAC＝135°，BC＝24， ①求△AMN的周长； ②MN＝10，求△AMN的面积. 15.【教材呈现】我们在教材第28页已经学习过：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.我们可以用演绎推理的数学方法来证明这一定理. 【定理证明】(1)请结合图①，写出“角平分线的性质定理”完整的证明过程； 已知： . 求证： ⁠. 【知识应用】(2)如图②，在四边形ABCD中，∠B＝∠C，点E在边BC上，AE平分∠BAD，DE平分∠ADC. ①求证：BE＝CE； ②若四边形ABCD的周长为22，面积为26，BE＝4，求△ABE的边AB上高的长度. 16.如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°． （1）如图1，CF平分∠ACB交AB于F，BE⊥CF于E，探究CF，BE之间的数量关系； （2）如图2，若D为线段BC上一点，∠EDB＝∠ACB，BE⊥DE，垂足为E，DE交AB于F，线段DF，BE的数量关系是否发生变化？请说明理由． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $$