精品解析：福建省龙岩市第一中学2024-2025学年高二下学期第一次月考(2月)数学试卷

龙岩一中2026届高二下第一次月考数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中只有一项量符合题目要求的． 1. 若物体的运动方程是，时物体的瞬时速度是（　　） A. 33 B. 31 C. 39 D. 27 2. 经过点，且方向向量为的直线方程是（ ） A. B. C. D. 3. 若直线和直线互相垂直，则 A. 或 B. 3或1 C. 或1 D. 或3 4. 方程(x+y-1)=0所表示的曲线是 A. B. C. D. 5. 若等比数列前n项和为，且，为与的等差中项，则( ) A. 29 B. 33 C. 31 D. 30 6. 某学校寒假期间安排3名教师与4名学生去北京、上海参加研学活动，每地要求至少1名教师与2名学生，且教师甲不去上海，则分配方案有（ ） A. 36种 B. 24种 C. 18种 D. 12种 7. 已知抛物线，直线，过抛物线的焦点作直线的垂线，垂足为，若点是拋物线上的动点，则的最小值为（ ） A. 3 B. 4 C. D. 8. 已知中心在原点，焦点在轴上，且离心率为的椭圆与经过点的直线交于两点，若点在椭圆内，的面积被轴分成两部分，且与的面积之比为，则面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 已知，则（ ） A. 展开式中所有项二项式系数和为 B. 展开式中所有奇次项系数和 C. 展开式中所有偶次项系数和为 D. 10. 设，过定点的动直线，和过定点的动直线交于点是圆上的任意一点，则下列说法正确的有（ ） A. 直线与圆相切时 B. 到距离的最大值是 C. 直线与圆相交的最短弦长为 D. 的最大值为 11. 已知是数列前项和，，则（ ） A. B. 当时， C. 当时，为等差数列 D. 当数列单调递增时，的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数是定义在R上的函数，，且曲线在点处的切线斜率为，则_________. 13. 设椭圆的左右焦点为，，过点的直线与该椭圆交于，两点，若线段的中垂线过点，则__________． 14. 双曲线：的左、右焦点分别为，，过的直线与的左、右两支分别交于，两点，点在轴上，，平分，则的渐近线方程为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知的展开式中，所有项的系数之和是512． （1）求展开式中含项的系数； （2）求的展开式中的常数项. 16. 已知圆，直线l过点． （1）若直线l被圆M所截得的弦长为，求直线l的方程； （2）若直线l与圆M交于另一点B，与x轴交于点C，且A为BC的中点，求直线l的方程． 17. 已知数列的前n项和为，，. （1）证明：数列为等比数列； （2）设，求数列的前n项和； （3）是否存在正整数p，q（），使得，，成等差数列？若存在，求p，q；若不存在，说明理由. 18. 已知双曲线的离心率为，且该双曲线经过点. （1）求双曲线C：方程； （2）设斜率分别为，的两条直线，均经过点，且直线，与双曲线C分别交于A，B两点（A，B异于点Q），若，试判断直线AB是否经过定点，若存在定点，求出该定点坐标；若不存在，说明理由. 19. 已知表示数列，，，…，中最大的项，按照以下方法：，，，…，得到新数列，则称新数列为数列的“数列”． （1）已知数列仅有5项，各项互不相等，，且，请写出所有“数列”； （2）若满足，，且数列为等差数列，的“数列”为． （ⅰ）求； （ⅱ）求的前n项和． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 龙岩一中2026届高二下第一次月考数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中只有一项量符合题目要求的． 1. 若物体的运动方程是，时物体的瞬时速度是（　　） A. 33 B. 31 C. 39 D. 27 【答案】A 【解析】 【分析】对运动方程求导,得到导函数,利用导数的物理意义,导函数中代入时间数据,得到物体的瞬时速度. 【详解】物体的运动方程是,则. 当时,代入函数得到，答案为A 【点睛】本题考查了导数的物理意义和导数的计算，属于简单题． 2. 经过点，且方向向量为的直线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由直线方向向量可得直线斜率，由直线点斜式方程可整理得到结果. 【详解】直线的方向向量为，直线的斜率， 直线的方程为，即. 故选：A. 3. 若直线和直线互相垂直，则 A. 或 B. 3或1 C. 或1 D. 或3 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用两直线垂直的充要条件列方程求解即可. 【详解】因为直线和直线互相垂直， 所以， 解方程可得或，故选C. 【点睛】本题主要考查直线与直线垂直的充要条件，属于基础题. 对直线位置关系的考查是热点命题方向之一，这类问题以简单题为主，主要考查两直线垂直与两直线平行两种特殊关系：在斜率存在的前提下，（1） （）；（2）（），这类问题尽管简单却容易出错，特别是容易遗忘斜率不存在的情况，这一点一定不能掉以轻心. 4. 方程(x+y-1)=0所表示的曲线是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：由题意得方程，得或，且 ，所以方程所表示的曲线为选项D，故选D． 考点：曲线与方程． 5. 若等比数列的前n项和为，且，为与的等差中项，则( ) A. 29 B. 33 C. 31 D. 30 【答案】D 【解析】 【分析】利用等差中项的性质以及等比数列前公式即可计算出 【详解】设等比数列的等比为， 由，为与的等差中项得， 所以，， 故. 故选：D. 6. 某学校寒假期间安排3名教师与4名学生去北京、上海参加研学活动，每地要求至少1名教师与2名学生，且教师甲不去上海，则分配方案有（ ） A. 36种 B. 24种 C. 18种 D. 12种 【答案】C 【解析】 【分析】分教师甲与2名学生去北京与教师甲与另一名教师及2名学生去北京两种情况分类讨论可求分配方案的方法数. 【详解】当教师甲与2名学生去北京时，分配方案共有（种）； 当教师甲与另一名教师及2名学生去北京时，分配方案共有（种）， 综上，分配方案共有（种）. 故选：C. 7. 已知抛物线，直线，过抛物线的焦点作直线的垂线，垂足为，若点是拋物线上的动点，则的最小值为（ ） A. 3 B. 4 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过直线l过定点A，得到P在以AF为直径的圆上，将Q到P的距离转化为到圆心的距离，再结合抛物线的定义即可求出的最小值. 【详解】因为直线，即，过定点，记作点A， 因为，垂足为，所以，又， 故点P的轨迹为以为直径的圆，半径，圆心为，记作点B， 又因为Q在抛物线上，其准线为， 所以等于Q到准线的距离， 过点Q做准线的垂线，垂足为R，要使取到最小，即最小， 此时，三点共线，且三点连线后直线过圆心B，如图所示， 此时. 8. 已知中心在原点，焦点在轴上，且离心率为的椭圆与经过点的直线交于两点，若点在椭圆内，的面积被轴分成两部分，且与的面积之比为，则面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设出直线方程和椭圆方程，把直线方程带入椭圆方程，根据离心率公式及韦达定理即可求出，利用三角形面积公式及基本不等式即可求得面积的最大值. 【详解】设椭圆的方程为，直线的方程为， ， 联立整理得： ， 由椭圆的离心率，得， 带入上式并整理得： ， 则， 由与的面积之比为，则， 则， 所以的面积为 ， 当且仅当时，等号成立， 故面积的最大值为 故选：. 二、多选题：本题共3题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 已知，则（ ） A. 展开式中所有项的二项式系数和为 B. 展开式中所有奇次项系数和为 C. 展开式中所有偶次项系数和 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据二项式定理的计算方法与性质即可计算出结果 【详解】对于A，二项式系数之和为，故A正确； 对于B，令，得，① 令，得，② ①+②，可得，∴，故C正确； 对于C，①-②，得，∴，故B错误； 对于D，令，得，令，得． ∴，故D正确． 故选：ACD 10. 设，过定点的动直线，和过定点的动直线交于点是圆上的任意一点，则下列说法正确的有（ ） A. 直线与圆相切时 B. 到距离最大值是 C. 直线与圆相交的最短弦长为 D. 的最大值为 【答案】BC 【解析】 【分析】根据时直线也与圆相切，可判断A选项；根据几何知识得到当时到的距离最大，然后求最大值，可判断B选项；根据几何知识得到当时所得弦长最短，然后得到此时的直线的方程，最后求弦长，可判断C选项；根据几何知识得到点的轨迹，然后利用三角函数或不等式的方法求最值，可判断D选项. 【详解】显然当时直线也与圆相切，故错误； 直线过的定点为，当时到的距离最大，最大值为，此时到距离的最大值为，故B正确； 由圆的标准方程可得圆心为，半径，直线过的定点为，当时所得弦长最短，则，又，所以，得，则圆心到直线的距离为，所以弦长为，故正确； 由，当时，，有，当时，，则，所以，又点是两直线的交点，所以，所以， 法一：设，则，因为，所以，所以，故D错误. 法二：因为， 所以，当且仅当时等号成立，故D错误. 故选：BC. 11. 已知是数列的前项和，，则（ ） A. B. 当时， C. 当时，为等差数列 D. 当数列单调递增时，的取值范围是 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A，由，多写一项，两式相减得到，注意检验时是否成立即可； 对于B，先根据题意求得，从而得到奇数项是以为首项，2为公差的等差数列，偶数项是以为首项，2为公差的等差数列，再根据等差数列得前项和公式即可求解； 对于C，结合B选项求得，，得到数列为，进而判断即可； 对于D，先结合选项C求得，，再根据数列单调递增，则必有，且，求解即可得出的取值范围． 【详解】对于A，因为，当，， 两式相减得， 但当时，，即，得，不符合，故A错误； 对于B，结合A选项有，所以， 两式相减得， 又， 令，则，，得，又，所以， 令，则，，得，所以， 则，所以， 所以奇数项是以为首项，2为公差的等差数列，偶数项是以为首项，2为公差的等差数列， 则 ，所以B正确； 对于C，结合B选项有，，， 又， 则， ， 即数列的偶数项和奇数项都是等差数列，但数列为， 所以数列不是等差数列，故C错误； 对于D，结合选项C有，， 又数列单调递增，则必有，且， 所以，且，解得， 所以的取值范围是，所以D正确． 故选：BD． 【点睛】关键点点睛：数列单调性问题或不等式问题，要充分挖掘题干条件，通常由递推公式求通项公式，或研究出数列的性质，结合等差数列或等比数列的性质进行求解． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数是定义在R上的函数，，且曲线在点处的切线斜率为，则_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据导数的几何意义有，即可求参数a的值. 【详解】因为，根据题意有，解得. 故答案为： 13. 设椭圆的左右焦点为，，过点的直线与该椭圆交于，两点，若线段的中垂线过点，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】由椭圆方程确定，，的值，结合已知条件及椭圆定义求出，在中，求出，由诱导公式求出，设，则，在中由余弦定理构造方程，解出值即可. 【详解】 设线段的中垂线与相交于点，由椭圆方程可知， ，，；由已知有：，点在椭圆上， 根据椭圆定义有：，所以，， 在中，，， ，点在椭圆上，根据椭圆定义有：， 设，则，，在中由余弦定理有： , 解得，即. 故答案为： 14. 双曲线：的左、右焦点分别为，，过的直线与的左、右两支分别交于，两点，点在轴上，，平分，则的渐近线方程为______． 【答案】． 【解析】 【分析】设，根据题意结合双曲线的定义可得，进一步判断是等边三角形，在中利用余弦定理可得，即可得出关系，继而得出关系，求出渐近线方程. 【详解】根据题意，作出如下所示的图形， 由题可知，，由，∴∽，∴， 设，则， ∵平分，∴ ， ∴，，， 由双曲线的定义知，， ∴，即①， ， ∴，∴，即是等边三角形， ∴， 在中，由余弦定理知， ，即， 化简得，②， 由①②可得，， 则， 可得双曲线的渐近线方程为． 故答案为：． 【点睛】关键点睛：本题考查双曲线的渐近线的求解，解题的关键是利用已知结合双曲线的定义求出关系. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知的展开式中，所有项的系数之和是512． （1）求展开式中含项的系数； （2）求的展开式中的常数项. 【答案】（1）27 （2） 【解析】 【分析】（1）利用赋值法得所有项的系数和，求解n，然后利用二项式展开式通项公式求解即可； （2）把式子化简为，然后分别利用二项式展开式通项公式求解常数项即可. 【小问1详解】 因为的展开式中，所有项的系数之和是512． 所以令，得，所以， 所以的展开式通项公式为， 令，解得，所以展开式中含项为， 所以展开式中含项的系数为27. 【小问2详解】 由（1）知，，从而， 因为的展开式的通项为， 所以的常数项为， 又的常数项为， 所以的展开式中的常数项为. 16. 已知圆，直线l过点． （1）若直线l被圆M所截得的弦长为，求直线l的方程； （2）若直线l与圆M交于另一点B，与x轴交于点C，且A为BC的中点，求直线l的方程． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）由题意分析可知：圆心到直线的距离为，分类讨论直线斜率是否存在，结合点到直线的距离公式分析求解； （2）设，则，根据点在圆上列式求解即可得，进而可得直线方程. 【小问1详解】 由题意可知：圆的圆心为，半径， 若直线l被圆M所截得的弦长为，则圆心到直线的距离为. 当直线斜率不存在时，与圆相切，不符合题意，舍去； 当直线斜率存在时，设直线，即， 可得，所以， 则直线l方程为或. 【小问2详解】 设，因为A为BC中点，则， 由B在圆M上得，解得，则， 所以直线，即直线． 17. 已知数列的前n项和为，，. （1）证明：数列为等比数列； （2）设，求数列的前n项和； （3）是否存在正整数p，q（），使得，，成等差数列？若存在，求p，q；若不存在，说明理由. 【答案】（1）证明见解析； （2）； （3）存，. 【解析】 【分析】（1）利用给定的递推公式，结合及等比数列定义推理即得. （2）由（1）求出，再利用裂项相消法求和即可. （3）由（1）求出，由已知建立等式，验证计算出，再分析求解即可. 【小问1详解】 ，，当时，， 两式相减得，即， 则有，当时，，则，即， 所以数列是以1为首项，为公比的等比数列. 【小问2详解】 由（1）得，，则，数列是等差数列， 于是，解得，则， 所以的前项和 . 【小问3详解】 由（1）知，， 由成等差数列，得，整理得， 由，得，又，，不等式成立， 因此，即，令，则, 从而，显然，即， 所以存在，使得成等差数列. 【点睛】易错点睛：裂项法求和，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的． 18. 已知双曲线的离心率为，且该双曲线经过点. （1）求双曲线C：方程； （2）设斜率分别为，的两条直线，均经过点，且直线，与双曲线C分别交于A，B两点（A，B异于点Q），若，试判断直线AB是否经过定点，若存在定点，求出该定点坐标；若不存在，说明理由. 【答案】（1） （2）过定点，（0，1） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求处标准方程； （2）先判断出斜率存在，不妨设直线AB的方程为，代入双曲线方程，利用“设而不求法”，表示出，得到，即可得到直线AB的方程为，经过定点. 【小问1详解】 离心率，则，，即双曲线方程为. 又点在双曲线C上，所以， 解得，， 所以双曲线C的方程为. 【小问2详解】 当直线AB的斜率不存在时，点A，B关于x轴对称， 设，， 则由，解得， 即，解得，不符合题意，所以直线AB的斜率存在. 不妨设直线AB的方程为，代入， 整理得， 设，，则， 由，得，即， 整理得， 所以， 整理得：，即， 所以或. 当时，直线AB的方程为，经过定点； 当时，直线AB的方程为，经过定点，不符合题意. 综上，直线AB过定点（0，1）. 19. 已知表示数列，，，…，中最大的项，按照以下方法：，，，…，得到新数列，则称新数列为数列的“数列”． （1）已知数列仅有5项，各项互不相等，，且，请写出所有的“数列”； （2）若满足，，且数列为等差数列，的“数列”为． （ⅰ）求； （ⅱ）求的前n项和． 【答案】（1）5，5，5，5，1或5，5，5，5，2或5，5，5，5，3或5，5，5，5，4． （2）（ⅰ）；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）结合题意可得，，进而分类结合“数列”求解即可； （2）（ⅰ）结合等差数列的性质先求得，进而分n为奇数和n为偶数两种情况结合“数列”求解即可. （ⅱ）当n为偶数时，结合错位相减法求和即可；当n为奇数时，为偶数，可得，进而求解即可. 【小问1详解】 因为数列仅有5项，各项均为互不相等的正整数，且，， 所以，， 若，此时“数列”为5，5，5，5，1； 若，此时“数列”为5，5，5，5，2； 若，此时“数列”为5，5，5，5，3； 若，此时“数列”为5，5，5，5，4， 所以根据“数列”的定义可知有4个， 分别为5，5，5，5，1或5，5，5，5，2或5，5，5，5，3或5，5，5，5，4． 【小问2详解】 （ⅰ）因为为等差数列，设数列的公差为d， 且，， 所以，，， 所以等差数列的首项为1，公差为2， 所以，则． 当n为奇数时，，当n为偶数时，， 当且n为偶数时，， 所以，数列单调递减， 由“数列”的定义，可知，， 当且为奇数时，， 当且为偶数时，，且单调递减， 故， 所以． （ⅱ）由（ⅰ）可知，当n偶数时， ，，， ，① ，② 由，得 ， 所以； 当n为奇数时，为偶数， 则， 故. 【点睛】方法点睛：与数列的新定义有关的问题的求解策略： 1.通过给出一个新的数列的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的； 2.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$