内蒙古自治区鄂尔多斯市第一中学2025-2026学年第二学期5月期中考试高二数学试题

**基本信息** 本试卷以高二数学期中检测为目标，融合盲盒摸球、零件加工工时、电商点击量等生活情境，覆盖排列组合、概率统计、导数应用等核心知识，通过基础题与综合题梯度设计，考查数学眼光观察现实、数学思维推理及数学语言表达能力，适配期中阶段性评价需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|排列组合、二项式定理、概率分布、线性回归、导数几何意义|第1题以课外读物取法考查分类加法计数原理，体现数学眼光| |多选题|3/18|二项式系数、统计概念辨析、导数极值|第10题综合方差、正态分布、相关系数，考查数学思维严谨性| |填空题|3/15|二项式系数比、线性回归预测、极值点存在条件|第13题结合电商点击量数据建模，强化数学语言表达| |解答题|5/77|独立性检验与分布列、分层抽样概率、导数切线与最值、排列组合应用、导数恒成立|18题三问分别考查不同情境下的计数问题，19题结合切线方程探究恒成立，凸显知识综合应用与创新思维|

2025-2026学年下学期高二年级5月期中考试 数学答题纸16.（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 15. （13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 姓 名 班 级 考 场 座位号 条形码粘贴处 贴条形码区域 注 意 事 项 1.选择题部分必须使用2B铅笔填涂；非选择题部分必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。 2.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 3.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破，禁用涂改液，涂改胶条。 填涂样例 正确填涂 $ 错误填涂 %^&* 缺考标记 ` 1 A B C D 6 A B C D 11 A B C D 2 A B C D 7 A B C D 3 A B C D 8 A B C D 4 A B C D 9 A B C D 5 A B C D 10 A B C D 客观题（请用2B铅笔填涂） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 二、填空题（每题5分，共15分） 12. 13. 14. 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 19.（17分） 18.（17分） 17.（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期下学期5月期中考试 高二数学 本试卷共150分 考试时间120分钟 命题人：赵娟娟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。 1．张丽的书桌上有本不同的语文课外读物和本不同的英语课外读物.现在她想从中取出一本随身携带，以便外出时阅读，则不同的取法种数为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 2．的展开式中常数项为（ ） A． B． C． D． 3．已知随机变量的分布列为，则（   ） A． B． C． D． 4．盲盒中有大小相同的3个红球，2个黑球，随机有放回的摸两次球，记X为摸到黑球的个数，随机无放回的摸两次球，记Y为摸到黑球的个数，则（ ） A．， B．， C．， D．， 5．一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了多次试验，得到了试验数据的线性回归方程为，其中x（单位：个）表示加工零件的个数，y（单位：小时）表示加工零件所花费的时间，又已知试验数据的样本中心点为，估计加工1500个零件所花费的时间为（   ） A．540小时 B．542小时 C．548小时 D．600小时 6．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，根据收集到的数据（如下表），由最小二乘法求得回归直线方程为． 零件数x（个） 1 2 3 4 5 加工时间y（min） 50 67 71 79 表中有一个数据模糊不清，请你推断出该数据的值为（　　） A．55 B．55.8 C．59 D．51 7．曲线在点处的切线的方程为（    ） A． B． C． D． 8．已知函数，直线是曲线的切线，如果切线与曲线有且只有一个公共点，那么这样的直线有（   ） A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．在的展开式中，各二项式系数的和为64，则（    ） A． B． C．展开式中的系数为 D．展开式中常数项为 10．下列说法正确的是（    ） A．若样本数据的方差为4，则数据的方差为9 B．若随机变量，，则 C．若线性相关系数越接近1，则两个变量的线性相关性越弱 D．若事件A，B满足，，，则有 11．已知函数，则（    ） A．为奇函数 B．3是的极大值点 C．曲线在点处的切线方程为 D．若，则在上存在最大值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比为，则__________. 13．已知电商平台统计的连续5天某商品的点击量（单位：万次）如下： 样本号 1 2 3 4 5 第天 1 2 3 4 5 点击量 2.4 2.7 4.1 6.4 7.9 并计算得，，，，.建立点击量关于天数的线性回归方程，预测第6天的点击量为______ 14．已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．某调查小组为了了解人们是否喜欢喝啤酒与性别有关，随机调查了200名品尝者，得到以下不完善的列联表． (1)完成以下2×2列联表，能否有99％的把握认为人们是否喜欢喝啤酒与性别有关？ 喜欢 不喜欢 合计 男性 40 女性 100 合计 95 200 (2)根据是否喜欢喝啤酒利用分层抽样的方法从男性品尝者中随机抽取5人，再从这5人中随机选出3人进行深入交流，记这3人中喜欢喝啤酒的人数为X，求随机变量X的分布列、期望． 附：，． 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 16．某校有3名男教师，2名女教师报名去边区支教，学校准备从这5人中选3人去支教. (1)设所选3人中女教师的人数为，写出的分布列，并求的数学期望及方差； (2)若选派的三人依次到甲、乙、丙三个地方支教，求甲地是男教师的情况下，乙地为女教师的概率. 17．设函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求在区间上的最大值和最小值. 18．回答下列问题 (1)把本不同的书分给位学生，每人至少一本，有多少种方法？ (2)有个相同的口罩全部分给名同学，每名同学至少发两个口罩，则不同的发放方法种数是多少？ (3)某旅行社有导游人，其中人只会英语，人只会日语，其余人既会英语，也会日语，现从中选人，其中人进行英语导游，另外人进行日语导游，则不同的选择方法有多少种？ 19．已知函数的图像在点处的切线方程为． (1)用实数a分别表示出实数b和c； (2)若在上恒成立，求实数a的取值范围. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D D B B D C B ACD BD 题号 11 答案 AC 1．A 【分析】利用组合数，从7本书中取一本有取法； 【详解】由桌面上共有7本书，所以抽取一本的取法有种， 故选：A 2．D 【分析】写出二项展开式通项，令的指数为零，求出参数的值，代入通项即可得解. 【详解】的展开式通项为， 令，可得， 故展开式中的常数项为. 3．D 【分析】由分布列的性质求出的值，再利用期望公式和性质可求得结果. 【详解】由分布列的性质可得，解得， 所以， 故. 故选：D. 4．B 【分析】由题意可得随机变量服从二项分布，随机变量服从超几何分布，进而根据二项分布求，根据超几何分布求，即可得结果. 【详解】由题意可知：，则，， Y的可能取值为0，1，2， 则，，， 可得， ， 所以. 故选：B. 5．B 【详解】将样本中心点代入线性回归方程，得，解得， 所以线性回归方程为，当时，. 所以估计加工1500个零件所花费的时间为542小时. 6．D 【分析】首先根据回归直线必过样本点中心，代入方程求，即可求不清楚的数据. 【详解】回归直线必过样本点中心，其中， 所以， 所以不清楚的数值为. 故选：D 7．C 【分析】由题意得为切点，再利用导数的几何意义即可求得结果. 【详解】由，得到在处切线的斜率为， 故在点处的切线方程为：，整理得： 故选：C 8．B 【分析】设切点为，利用导数，结合直线的点斜式方程求出切线的方程，联立切线方程和曲线方程，化简得方程，根据切线与曲线有且只有一个公共点，求出参数的值即可. 【详解】函数，对其求导得. 设切点为，则切线斜率为 又， 所以切线方程为， 化简得. 将切线方程和曲线方程联立得： 整理得， 因式分解得， 解得或， 因为切线与曲线有且只有一个公共点， 所以，解得， 此时切线方程为，对应唯一一条满足条件的直线， 故选：B. 9．ACD 【分析】根据二项式系数的和的性质求出，即可判断AB；求出展开式的通项，令的指数等于即可判断C；令的指数等于即可判断D. 【详解】由题意，解得，故 A正确；B错误； 二项展开式的通项为， 令，则， 所以展开式中的系数为，故C正确； 令，则， 所以展开式中常数项为，故D错误. 故选：ACD. 10．BD 【分析】A选项，根据方差的线性运算性质，计算即可；B选项，根据正太分布曲线可求得；C选项相关系数越接近1，相关性越强；D选项，，则两事件相互独立，根据条件概率的计算公式可以求得. 【详解】由于，所以数据的方差为16，因此选项A错误； 随机变量，， 则，因此选项B正确； 线性相关系数越接近1，则两个变量的线性相关性越强，故选项C错误； 由于等价于“事件A与事件B相互独立”，即，故必有.因此选项D正确. 故选：BD. 11．AC 【详解】A，，显然是奇函数，正确； B，，易得在，上单调递增，在上单调递减，所以在处取得极小值，错误； C，，，故曲线在点处的切线方程为，即，正确； D， ，在处左增右减，故为极大值点，极大值，在上单调递增，且时，，所以在上不一定存在最大值，错误. 12． 【分析】写出展开式的通项，即可得到，由组合数公式解得即可. 【详解】因为展开式的通项为， 因为第2项与第3项的二项式系数之比为， 所以，即，解得. 故答案为： 13．9.11万次 【分析】根据条件，求出关于的回归直线方程，即可求解. 【详解】因为， 则，所以关于的回归直线方程为， 当时，，故预测第6天的点击量约为9.11万次， 故答案为：9.11万次. 14． 【分析】求解导数，根据导数有两个变号零点，结合图象可求答案. 【详解】，令可得， 因为有两个极值点，所以有两个变号零点， 令，则， 当时，，单调递减， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 当趋近于时，趋近于，当趋近于时，趋近于， 当从负半轴趋近于时，趋近于，当从正半轴趋近于时，趋近于， 又，简图如下，    由图可知，，即实数的取值范围是. 故答案为： 15．(1)列联表见解析；有99％的把握认为人们是否喜欢喝啤酒与性别有关，理由见解析 (2)分布列见解析；期望为 【分析】（1）完善列联表，计算出卡方，与6.635比较后得到结论； （2）计算出5名品尝者中，有3人喜欢喝啤酒，有2人不喜欢喝啤酒，从而得到X的可能取值和对应的概率，得到分布列,计算出数学期望. 【详解】（1）完成的列联表如下： 喜欢 不喜欢 合计 男性 60 40 100 女性 35 65 100 合计 95 105 200 ． ∴有99％的把握认为人们是否喜欢喝啤酒与性别有关． （2）根据题意可知，男性品尝者中喜欢和不喜欢的比例为， 利用分层抽样随机抽取的5名品尝者中，有3人喜欢喝啤酒，有2人不喜欢喝啤酒． 随机变量，2，3． ；；． X的分布列为 X 1 2 3 P ． 16．(1)分布列详见解析，，； (2) 【分析】（1）确定X的所有可能取值，求出相应的概率，由此能求出X的分布列，E(X)和D(X)； （2）设事件A为“甲地是男教师”，事件B为“乙地是女教师”，利用条件概率公式，即可求出概率. 【详解】（1）X的所有可能取值为0，1，2， 且，， ， 所以X的分布列为： X 0 1 2 P 故， . （2）设事件A为“甲地是男教师”，事件B为“乙地是女教师”， 则，， 所以. 17．(1) (2)最大值为，最小值为 【分析】（1）由导数的几何意义求切点处的切线方程； （2）求导，确定单调性后即可求解最值. 【详解】（1）由题意知，，即切点为， 由已知，则， 曲线在点处的切线方程为，即； （2），得或. 当时，，所以函数在区间上单调递增， 当时，，所以函数在区间上单调递减. 所以函数的极小值点为，极小值为， 因为，，故在区间上的最大值为，最小值为. 18．(1) (2) (3) 【详解】（1）把本不同的书分给位学生，每人至少一本，有和两类， 分配方式为时，共有种分法， 分配方式为时，共有种分法， 由分类加法计数原理可得共有种分法. （2）个相同的口罩，每位同学先拿一个， 剩下的个口罩排成一排有个间隙，插入块板子分成份， 每一种分法所得份给到个人即可， 所以不同的发放方法有种. （3）若只会英语的人中选了人做英语导游，共有种选法， 若只会英语的人中选了人做英语导游，共有种选法， 若只会英语的人中选了人做英语导游，共有种选法， 由分类加法计数原理可得共有种选法. 19．(1)，； (2) 【分析】（1）由切点坐标及导数的几何意义列方程求解； （2）构造函数，利用导数讨论函数的单调性求解. 【详解】（1）的定义域为，，又由切线方程可得， 所以且， 则，； （2）由（1）可知， 则可转化为在上恒成立， 设，定义域为，，， ， 当时，即时，当时，， ∴在内单调递减， ∴，这与题意不符， 当时，时，当时，，∴在内单调递增， ∴，即恒成立，仅当时等号成立， 综上所述，实数a的取值范围为. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $