第11讲 复数的概念（4大知识点+9大题型+分层练习）-2024-2025学年高一数学考试满分全攻略同步备课备考系列（苏教版2019必修二）

第11讲 复数的概念 目录 题型归纳 1 题型01 虚数单位i及其性质 2 题型02 复数的基本概念 3 题型03 求复数的实部与虚部 3 题型04 根据相等条件求参数 3 题型05 复数的分类及辨析 4 题型06 已知复数的类型求参数 5 题型07 求复数的模 6 题型08 由复数模求参数 7 题型09 与复数模相关的轨迹（图形）问题 7 分层练习 8 夯实基础 8 能力提升 10 知识点01复数的定义及分类 (1)复数的定义： 形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中实部是a，虚部是b. (2)复数的分类： [方法技巧] 求解与复数概念相关问题的技巧 复数的分类、复数的相等、复数的模及共轭复数的概念都与复数的实部、虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即a＋bi(a，b∈R)的形式，再根据题意求解．　　 知识点02复数相等 复数相等 a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R) 知识点03共轭复数 共轭复数 a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c且b＝－d(a，b，c，d∈R) 知识点04复数的模 复数的模 向量的模叫做复数z＝a＋bi的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝r＝(r≥0，a，b∈R) 题型01虚数单位i及其性质 【例1】（22-23高一下·江苏淮安·期末）若复数满足方程（i是虚数单位），则（    ） A．1 B．i C． D． 【变式1】（22-23高一下·江苏徐州·期中）已知为虚数单位，则（    ） A． B． C．1 D． 【变式2】（22-23高一下·山东枣庄·期中） ． 【变式3】（21-22高一下·广东肇庆·期末）已知i为虚数单位，则 ． 题型02 复数的基本概念 【例2】（22-23高一下·河北邢台·期中）复数，则（    ） A．的实部为 B．的虚部为 C．的实部为 D．的虚部为 【变式1】（20-21高二下·陕西咸阳·期中）设是虚数单位，若复数的实部与虚部互为相反数，则实数（    ） A．5 B． C．3 D． 【变式2】（23-24高一下·青海西宁·期中）已知为虚数单位，实数满足，则 ． 【变式3】（21-22高一下·山西吕梁·期中）在复数范围内，将多项式分解成为一次因式的积，则 . 题型03 求复数的实部与虚部 【例3】（23-24高一下·江苏苏州·期中）若复数满足(是虚数单位），则的虚部是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24高一下·北京东城·期中）复数的虚部为（     ） A． B． C．0 D．2 【变式2】（23-24高一下·陕西西安·期中）复数的虚部为 ． 【变式3】（23-24高一下·上海·期中）复数的虚部是 ． 题型04 根据相等条件求参数 【例4】（20-21高一下·福建·期中）已知，且，则（    ） A．1 B． C．2 D．4 【变式1】（21-22高一下·广东江门·期末）实数满足条件：，（其中为i虚数单位），则（    ） A． B．2 C．3 D． 【变式2】（21-22高一下·山西运城·期中）已知，则 . 【变式3】（21-22高一下·新疆伊犁·期末）已知，是实数，为虚数单位，且，求，的值． 题型05 复数的分类及辨析 【例5】（22-23高一下·重庆綦江·期中）下列是纯虚数的是（    ） A．2 B．i C． D． 【变式1】（21-22高一下·上海浦东新·期中）下列命题一定成立的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则是纯虚数 D．若且，则且 【变式2】（21-22高一下·山东青岛·期末）已知是虚数单位，复数是纯虚数，则实数的值为（    ） A．2 B．－2 C． D．4 【变式3】（21-22高一下·上海浦东新·期末）“复数为纯虚数”是“”的（    ） A．必要非充分条件 B．充分非必要条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 题型06 已知复数的类型求参数 【例6】（23-24高一下·福建福州·期末）若是纯虚数，则实数（   ） A． B． C．2 D． 【变式1】（23-24高一下·山东聊城·期末）复数（i为虚数单位）是纯虚数，则实数 . 【变式2】（23-24高一下·甘肃定西·期末）已知复数． (1)若复数是纯虚数，求实数的值； (2)当非零复数的实部和虚部互为相反数时，求实数的值． 【变式3】（22-23高一下·新疆省直辖县级单位·期末）实数取什么数值时，复数分别是： (1)实数？ (2)纯虚数？ 题型07 求复数的模 【例7】（23-24高一下·北京丰台·期末）设复数，则（    ） A．1 B． C．2 D．4 【变式1】（23-24高一下·上海·期中）若复数满足，则 . 【变式2】（22-23高一下·福建宁德·期中）已知复数是纯虚数． (1)求a的值； (2)若，求复数以及的模． 【变式3】（20-21高一下·北京·期中）已知是虚数单位，复数． （I）当时，求复数的模； （II）若为纯虚数，求实数m值． 题型08 由复数模求参数 【例8】（21-22高一下·上海浦东新·期末）若复数满足条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（22-23高一下·安徽·期中）已知i是虚数单位，若，则实数a=（    ） A．2 B．2 C．-2 D．±2 【变式2】（21-22高一下·湖北十堰·期中）复数z的虚部为，在复平面内复数z对应的向量的模为2，则复数 . 【变式3】（21-22高一下·云南昭通·期末）（1）已知复数的实部为3，模为5，求复数； （2） 实数取什么值时，复数是①实数；②虚数；③纯虚数？ 题型09 与复数模相关的轨迹（图形）问题 【例9】（23-24高一下·河北石家庄·期中）当复数z满足时，则的最小值是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式1】（23-24高一下·福建福州·期中）已知复数满足，则最小值是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式2】（23-24高一下·福建龙岩·期中）已知复数（x，），则复平面内满足的点Z的集合围成的图形面积为，则实数 . 【变式3】（23-24高一下·福建三明·期中）已知复数，i为虚数单位． (1)若z是纯虚数，求a； (2)若，求； (3)在（1）的条件下，复数w满足，写出复数w在复平面上对应点的轨迹. 【夯实基础】 一、单选题 1．（23-24高一下·湖南岳阳·期末）设，则的虚部是（    ） A．1 B．-1 C． D． 2．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期中）复数(是虚数单位)的虚部为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·黑龙江佳木斯·期中）已知复数（为虚数单位）为纯虚数，则的值是（    ） A．1 B． C．2 D． 4．（23-24高一下·河北唐山·期中）如果复数是纯虚数，，是虚数单位，则（    ） A． B． C．或 D．且 二、多选题 5．（23-24高一下·四川达州·期中）下列四种说法不正确的是（ ） A．如果实数，那么是纯虚数． B．实数是复数． C．如果，那么是纯虚数． D．任何数的偶数次幂都不小于零． 6．（23-24高一下·江苏泰州·期中）对于复数，则下列结论中错误的是（   ） A．若，则为纯虚数 B．若，则 C．若，则为实数 D．若，则不是复数 三、填空题 7．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期中）复数是纯虚数，则实数的值为 . 8．（23-24高一下·青海西宁·期末）若复数为虚数单位为纯虚数，则的值为 . 四、解答题 9．（23-24高一下·甘肃天水·期中）求实数m的值或取值范围，使得复数分别满足： (1)z是实数； (2)z是纯虚数； 10．（23-24高一下·吉林长春·期中）已知复数， (1)当 z是虚数，求的取值范围； (2)当z是纯虚数，求的取值． 11．（22-23高一下·四川成都·期末）已知复数，，其中. (1)若，求的值； (2)若是纯虚数，求的值. 【能力提升】 一、单选题 1．（23-24高一下·上海·期末）已知复数满足，的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·湖南长沙·阶段练习）复数，（，）为实数的充要条件是（    ） A． B．且 C．且 D．且 3．（22-23高一下·上海虹口·期末）已知，则下列说法中与“是纯虚数”不等价的是（    ） A． B． C．且 D．或，且 4．（21-22高一下·北京·期末）若复数是虚数，则实数取值的集合是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 5．（22-23高一下·河北沧州·期中）关于复数，下列说法错误的是（    ） A．若，则或 B．复数与分别对应向量与，则向量对应的复数为 C．若z是复数，则 D．若复数z满足，则复数z对应的点所构成的图形面积为 6．（23-24高一下·黑龙江·期中）欧拉是科学史上最多才的一位杰出的数学家，他发明的公式为，i虚数单位，将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，这个公式也被誉为“数学中的天桥”（为自然对数的底数，i为虚数单位），依据上述公式，则下列结论中正确的是（    ） A．复数为纯虚数 B．复数对应的点位于第二象限 C．复数的共轭复数为 D．复数的模长为1 三、填空题 7．（21-22高一下·上海浦东新·期末）若复数z满足且，则 ． 8．（23-24高一下·湖南·期中）已知复数z满足，且，则复数z表示的轨迹长为 ． 四、解答题 9．（23-24高一下·安徽马鞍山·期中）已知复数，并且. (1)若为虚数，求的取值范围； (2)求的取值范围. 10．（20-21高一下·浙江·期末）已知复数z满足，的虚部为2， （1）求复数z； （2）若复数z在复平面内所对应的点位于第一象限，且复数m满足，求的最大值和最小值． 11．（22-23高一下·河北·期末）已知复数，，其中是虚数单位，． (1)若为纯虚数，求的值； (2)若，求的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第11讲 复数的概念 目录 题型归纳 1 题型01 虚数单位i及其性质 2 题型02 复数的基本概念 4 题型03 求复数的实部与虚部 5 题型04 根据相等条件求参数 7 题型05 复数的分类及辨析 9 题型06 已知复数的类型求参数 11 题型07 求复数的模 13 题型08 由复数模求参数 15 题型09 与复数模相关的轨迹（图形）问题 17 分层练习 19 夯实基础 19 能力提升 25 知识点01复数的定义及分类 (1)复数的定义： 形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中实部是a，虚部是b. (2)复数的分类： [方法技巧] 求解与复数概念相关问题的技巧 复数的分类、复数的相等、复数的模及共轭复数的概念都与复数的实部、虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即a＋bi(a，b∈R)的形式，再根据题意求解．　　 知识点02复数相等 复数相等 a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R) 知识点03共轭复数 共轭复数 a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c且b＝－d(a，b，c，d∈R) 知识点04复数的模 复数的模 向量的模叫做复数z＝a＋bi的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝r＝(r≥0，a，b∈R) 题型01虚数单位i及其性质 【例1】（22-23高一下·江苏淮安·期末）若复数满足方程（i是虚数单位），则（    ） A．1 B．i C． D． 【答案】C 【知识点】虚数单位i及其性质 【分析】根据题意结合虚数单位的概念运算求解 【详解】因为，即，所以. 故选：C. 【变式1】（22-23高一下·江苏徐州·期中）已知为虚数单位，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【知识点】虚数单位i及其性质 【分析】根据的次方运算的周期性可得答案. 【详解】， 故选：A 【变式2】（22-23高一下·山东枣庄·期中） ． 【答案】 【知识点】虚数单位i及其性质 【分析】根据虚数单位的周期性求解. 【详解】, 故答案为： 【变式3】（21-22高一下·广东肇庆·期末）已知i为虚数单位，则 ． 【答案】i 【知识点】虚数单位i及其性质 【分析】根据虚数单位的定义，可得，，，，根据其周期性，可得每一项结果，可得答案. 【详解】由，，，，得． 故答案为：i. 题型02 复数的基本概念 【例2】（22-23高一下·河北邢台·期中）复数，则（    ） A．的实部为 B．的虚部为 C．的实部为 D．的虚部为 【答案】B 【知识点】复数的基本概念 【分析】根据复数的概念求解. 【详解】因为，所以，所以与的实部均为1，A，C错误； 的虚部为，B正确，D错误. 故选：B. 【变式1】（20-21高二下·陕西咸阳·期中）设是虚数单位，若复数的实部与虚部互为相反数，则实数（    ） A．5 B． C．3 D． 【答案】A 【知识点】复数的基本概念 【分析】根据已知结合复数的定义列式，即可解出答案. 【详解】复数的实部与虚部互为相反数， ，解得：， 故选：A. 【变式2】（23-24高一下·青海西宁·期中）已知为虚数单位，实数满足，则 ． 【答案】6 【知识点】复数的基本概念 【分析】根据复数为实数的条件，解不等式即可求解. 【详解】由题意，即，解得. 故答案为：6 【变式3】（21-22高一下·山西吕梁·期中）在复数范围内，将多项式分解成为一次因式的积，则 . 【答案】 【知识点】复数的基本概念 【分析】根据平方差公式在复数范围内分解因式即可． 【详解】由已知． 故答案为：． 题型03 求复数的实部与虚部 【例3】（23-24高一下·江苏苏州·期中）若复数满足(是虚数单位），则的虚部是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求复数的实部与虚部 【分析】根据复数的虚部概念求解. 【详解】z的虚部是. 故选：B. 【变式1】（23-24高一下·北京东城·期中）复数的虚部为（     ） A． B． C．0 D．2 【答案】A 【知识点】求复数的实部与虚部 【分析】根据虚部的定义直接求解. 【详解】复数的虚部为2. 故选：A 【变式2】（23-24高一下·陕西西安·期中）复数的虚部为 ． 【答案】 【知识点】求复数的实部与虚部 【分析】根据复数虚部的定义直接求解 【详解】复数的虚部为． 故答案为： 【变式3】（23-24高一下·上海·期中）复数的虚部是 ． 【答案】-1 【知识点】求复数的实部与虚部 【分析】利用复数的相关概念求解. 【详解】解：因为复数， 所以复数的虚部是-1， 故答案为：-1 题型04 根据相等条件求参数 【例4】（20-21高一下·福建·期中）已知，且，则（    ） A．1 B． C．2 D．4 【答案】C 【知识点】根据相等条件求参数 【分析】利用复数相等列方程组，由此求得. 【详解】由于， 所以. 故选：C 【变式1】（21-22高一下·广东江门·期末）实数满足条件：，（其中为i虚数单位），则（    ） A． B．2 C．3 D． 【答案】A 【知识点】根据相等条件求参数 【分析】由复数相等的条件列出式子，即可求解 【详解】因为， 所以，解得， 所以， 故选：A 【变式2】（21-22高一下·山西运城·期中）已知，则 . 【答案】1 【知识点】根据相等条件求参数 【分析】由复数分类的定义可知，实部和虚部都为0，则复数为0，联立方程求解即可 【详解】因为，， 所以 解得. 所以 故答案为： 【变式3】（21-22高一下·新疆伊犁·期末）已知，是实数，为虚数单位，且，求，的值． 【答案】 【知识点】复数的相等、根据相等条件求参数 【分析】由复数相等可知实部与虚部分别相等，由此构造方程组求得结果. 【详解】因为， 所以，解得：. 题型05 复数的分类及辨析 【例5】（22-23高一下·重庆綦江·期中）下列是纯虚数的是（    ） A．2 B．i C． D． 【答案】B 【知识点】复数的分类及辨析 【分析】利用纯虚数的定义逐一判断即可得出结论. 【详解】由纯虚数概念可知，纯虚数的实部为零，虚部不为零； 所以选项A中2是实数，B中i是纯虚数，C中是实数，D中是虚数，但不是纯虚数； 故选：B 【变式1】（21-22高一下·上海浦东新·期中）下列命题一定成立的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则是纯虚数 D．若且，则且 【答案】D 【知识点】复数的分类及辨析 【分析】根据复数的概念和性质逐项进行检验即可判断. 【详解】对于，当时，，故选项错误； 对于，当时，，但并不相等，故选项错误； 对于，若，则并不是纯虚数，故选项错误； 对于，因为且，所以为正实数，则且，故选项正确， 故选：. 【变式2】（21-22高一下·山东青岛·期末）已知是虚数单位，复数是纯虚数，则实数的值为（    ） A．2 B．－2 C． D．4 【答案】A 【知识点】复数的分类及辨析、复数的基本概念 【分析】因为是实数，所以复数的实部是，虚部是，直接由实部等于0，虚部不等于0求解的值． 【详解】解：由是纯虚数，得，解得． 故选：A. 【变式3】（21-22高一下·上海浦东新·期末）“复数为纯虚数”是“”的（    ） A．必要非充分条件 B．充分非必要条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【答案】B 【知识点】判断命题的充分不必要条件、复数的分类及辨析 【分析】根据纯虚数的概念分析可知. 【详解】由纯虚数的概念可知，若复数为纯虚数，则且，故“复数为纯虚数”是“”的充分不必要条件. 故选：B 题型06 已知复数的类型求参数 【例6】（23-24高一下·福建福州·期末）若是纯虚数，则实数（   ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【知识点】已知复数的类型求参数 【分析】根据纯虚数的定义，列出方程组，求解即可. 【详解】因为是纯虚数，所以，解得：， 故选：C 【变式1】（23-24高一下·山东聊城·期末）复数（i为虚数单位）是纯虚数，则实数 . 【答案】1 【知识点】已知复数的类型求参数 【分析】根据纯虚数的定义列式求解. 【详解】由题意可得：，解得. 故答案为：1. 【变式2】（23-24高一下·甘肃定西·期末）已知复数． (1)若复数是纯虚数，求实数的值； (2)当非零复数的实部和虚部互为相反数时，求实数的值． 【答案】(1)； (2)． 【知识点】已知复数的类型求参数 【分析】（1）由条件可得实部为零，虚部不为零得出答案； （2）由条件可得可得答案. 【详解】（1）由复数是纯虚数，得，解得； （2）由复数的实部和虚部互为相反数，得， 化简得，解出或， 当时，不符合题意，（舍去），而满足， 所以实数的值为． 【变式3】（22-23高一下·新疆省直辖县级单位·期末）实数取什么数值时，复数分别是： (1)实数？ (2)纯虚数？ 【答案】(1)或 (2) 【知识点】已知复数的类型求参数 【分析】（1）令虚部等于，即可求出值； （2）令实部为，虚部不为，即可求出值. 【详解】（1）由已知得, 其中复数的实部为，虚部为， 当时，即或时复数为实数. （2）当，即， 即时，复数为纯虚数. 题型07 求复数的模 【例7】（23-24高一下·北京丰台·期末）设复数，则（    ） A．1 B． C．2 D．4 【答案】B 【知识点】求复数的模 【分析】利用复数模的定义计算即得. 【详解】复数，则. 故选：B 【变式1】（23-24高一下·上海·期中）若复数满足，则 . 【答案】5 【知识点】求复数的模 【分析】根据复数的几何意义直接求解即可. 【详解】由，得. 故答案为：5 【变式2】（22-23高一下·福建宁德·期中）已知复数是纯虚数． (1)求a的值； (2)若，求复数以及的模． 【答案】(1) (2)， 【知识点】求复数的模、已知复数的类型求参数 【分析】（1）根据纯虚数实部为0求解即可； （2）根据复数的运算与模长公式求解即可. 【详解】（1）因为为纯虚数，故，解得. （2）由（1），故，. 【变式3】（20-21高一下·北京·期中）已知是虚数单位，复数． （I）当时，求复数的模； （II）若为纯虚数，求实数m值． 【答案】（I）；（II） 【知识点】已知复数的类型求参数、求复数的模 【分析】（I）当时，，进而得； （II）由题知，求解即可得答案. 【详解】解：（I）当时，， 所以； （II）若为纯虚数， 所以，解得. 所以当为纯虚数，. 题型08 由复数模求参数 【例8】（21-22高一下·上海浦东新·期末）若复数满足条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由复数模求参数 【分析】由复数模长求解集，即可得的范围. 【详解】由题设，，则. 故选：A 【变式1】（22-23高一下·安徽·期中）已知i是虚数单位，若，则实数a=（    ） A．2 B．2 C．-2 D．±2 【答案】D 【知识点】由复数模求参数 【分析】根据复数模的概念求解即可. 【详解】， ， 解得， 故选：D 【变式2】（21-22高一下·湖北十堰·期中）复数z的虚部为，在复平面内复数z对应的向量的模为2，则复数 . 【答案】或 【知识点】由复数模求参数、求复数的实部与虚部 【分析】设，由题意可得,解出的值即可得答案. 【详解】解：设，则有， 解得或， 所以或， 故答案为：或. 【变式3】（21-22高一下·云南昭通·期末）（1）已知复数的实部为3，模为5，求复数； （2）实数取什么值时，复数是①实数；②虚数；③纯虚数？ 【答案】（1）或；（2）①；②；③. 【知识点】由复数模求参数、已知复数的类型求参数 【分析】（1）由实部得值，然后由模的定义求出得结论； （2）根据复数的定义求解． 【详解】（1）由已知得， ， 解得， 则或. （2）①当，即时，复数为实数； ②当，即时，复数为虚数； ③当时，即时，复数为纯虚数. 题型09 与复数模相关的轨迹（图形）问题 【例9】（23-24高一下·河北石家庄·期中）当复数z满足时，则的最小值是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【知识点】与复数模相关的轨迹（图形）问题 【分析】设，由复数满足可知，在以为圆心的单位圆上，由此求的最值. 【详解】设，复数满足， 所以，表示到点的距离为1， 所以到原点的距离的最小值为，即的最小值是4. 故选：B 【变式1】（23-24高一下·福建福州·期中）已知复数满足，则最小值是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用复数模的几何意义求解即得. 【详解】是复平面内复数对应点的轨迹为以原点为圆心，2为半径的圆， 是上述圆上的点到复数对应点的距离， 而，所以的最小值是. 故选：A    【变式2】（23-24高一下·福建龙岩·期中）已知复数（x，），则复平面内满足的点Z的集合围成的图形面积为，则实数 . 【答案】4 【分析】根据已知条件，结合复数的几何意义，以及圆的面积公式，即可求解． 【详解】复平面内满足的点的集合围成的图形为以为圆心，以半径的圆， 复平面内满足的点的集合围成的图形面积为， 则，解得（负值舍去）． 故答案为：4． 【变式3】（23-24高一下·福建三明·期中）已知复数，i为虚数单位． (1)若z是纯虚数，求a； (2)若，求； (3)在（1）的条件下，复数w满足，写出复数w在复平面上对应点的轨迹. 【答案】(1)． (2)答案见解析 (3)以为圆心，以1为半径的圆 【分析】（1）根据纯虚数的定义即可求解， （2）利用复数的模长公式，即可求解或,进而利用共轭复数的定义求解即可， （3）根据复数的几何意义即可求解. 【详解】（1）若z是纯虚数，则，所以 （2），所以，所以或, 当时，，，                     当时，， （3）由（1）知，                 ∴复数w在复平面上对应点的轨迹为：以为圆心，以1为半径的圆 【夯实基础】 一、单选题 1．（23-24高一下·湖南岳阳·期末）设，则的虚部是（    ） A．1 B．-1 C． D． 【答案】A 【分析】由共轭复数、虚部的概念即可得解. 【详解】由题意的虚部是1. 故选：A. 2．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期中）复数(是虚数单位)的虚部为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用复数的相关概念求解. 【详解】解：复数(是虚数单位)的虚部为， 故选：B 3．（23-24高一下·黑龙江佳木斯·期中）已知复数（为虚数单位）为纯虚数，则的值是（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】根据实部为，虚部不为得到方程（不等式）组，解得即可. 【详解】因为复数（为虚数单位）为纯虚数， 所以，解得. 故选：C 4．（23-24高一下·河北唐山·期中）如果复数是纯虚数，，是虚数单位，则（    ） A． B． C．或 D．且 【答案】B 【分析】根据已知条件，结合纯虚数的定义，即可求解． 【详解】解：是纯虚数， 则，解得． 故选：B． 二、多选题 5．（23-24高一下·四川达州·期中）下列四种说法不正确的是（ ） A．如果实数，那么是纯虚数． B．实数是复数． C．如果，那么是纯虚数． D．任何数的偶数次幂都不小于零． 【答案】ACD 【分析】根据复数的概念及分类，逐项判定，即可求解. 【详解】对A，当时，则是实数，故A错误； 对B，根据复数定义可知，故B正确； 对C，，那么是实数，故C错误； 对D，根据虚数，故D错误. 故选：ACD 6．（23-24高一下·江苏泰州·期中）对于复数，则下列结论中错误的是（   ） A．若，则为纯虚数 B．若，则 C．若，则为实数 D．若，则不是复数 【答案】ABD 【分析】A.由判断；B.由复数的实部和虚部判断；C.复数的分类判断；D.由复数的分类判断. 【详解】A.当时，为实数，故错误； B.若，则，故错误； C.若，则为实数，故正确； D.若，则是实数，故错误； 故选：ABD 三、填空题 7．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期中）复数是纯虚数，则实数的值为 . 【答案】1 【分析】根据题意结合纯虚数的定义列式求解即可. 【详解】若复数是纯虚数，则，解得， 所以实数的值为1. 故答案为：1. 8．（23-24高一下·青海西宁·期末）若复数为虚数单位为纯虚数，则的值为 . 【答案】2 【分析】根据纯虚数的定义即可求解. 【详解】由是纯虚数，有， 解得. 故答案为： 四、解答题 9．（23-24高一下·甘肃天水·期中）求实数m的值或取值范围，使得复数分别满足： (1)z是实数； (2)z是纯虚数； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）为实数时，虚部为； （2）为纯虚数时，实部为，虚部不为. 【详解】（1）因为为实数，所以， 解得； （2）因为为纯虚数，所以且， 解得. 10．（23-24高一下·吉林长春·期中）已知复数， (1)当 z是虚数，求的取值范围； (2)当z是纯虚数，求的取值． 【答案】(1)且，且 (2) 【分析】这两问都是根据复数的特征，列出关于实部和虚部的方程或不等式，即可求解. 【详解】（1）若是虚数，则且， 所以且且； （2）若是纯虚数，则， 解得：. 11．（22-23高一下·四川成都·期末）已知复数，，其中. (1)若，求的值； (2)若是纯虚数，求的值. 【答案】(1)2 (2)或. 【分析】（1）利用复数相等几何复数运算即可求出结果； （2）利用纯虚数定义即可求出结果. 【详解】（1）∵，，， ∴， 从而， 解得， 所以的值为2. （2）依题意得： ， 因为是纯虚数， 所以， 解得或. 【能力提升】 一、单选题 1．（23-24高一下·上海·期末）已知复数满足，的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，由复数的几何意义，代入计算，即可求解. 【详解】因为，所以在复平面对应的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 且表示圆上的点到原点的距离， 则，， 所以的取值范围为. 故选：A 2．（23-24高一下·湖南长沙·阶段练习）复数，（，）为实数的充要条件是（    ） A． B．且 C．且 D．且 【答案】A 【分析】考查复数相关概念问题，根据实数和虚数概念求解即可. 【详解】若复数，（，）为实数， 则有， ， 故选：A. 3．（22-23高一下·上海虹口·期末）已知，则下列说法中与“是纯虚数”不等价的是（    ） A． B． C．且 D．或，且 【答案】A 【分析】利用复数的基本概念依次判断即可. 【详解】对于选项A，设，R , 由可知，，即， 但是不能说明一定不等于零，所以不能说明是纯虚数； 对于选项B，设，R , 由可知，即，，所以可知是纯虚数； 对于选项C，复数实部为，虚部不等于，所以可知是纯虚数； 对于选项D，设，R , 由可知，，则， 又因为，所以，同理且，可知，，所以可知是纯虚数； 故选：A. 4．（21-22高一下·北京·期末）若复数是虚数，则实数取值的集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据复数是虚数的条件为虚部不为零，列式求得结果，选出答案. 【详解】由复数是虚数， 所以，所以实数取值的集合是， 故选：C. 二、多选题 5．（22-23高一下·河北沧州·期中）关于复数，下列说法错误的是（    ） A．若，则或 B．复数与分别对应向量与，则向量对应的复数为 C．若z是复数，则 D．若复数z满足，则复数z对应的点所构成的图形面积为 【答案】ABC 【分析】对于，结合特殊值法，即可求解；对于，结合向量的运算法则，即可求解；对于，结合特殊值法，即可求解；对于，结合复数的几何意义，即可求解． 【详解】对于A，取，则，故A错误； 对于B，，B错误； 对于C，取，但知C错误； 对于D，设复数，则由可知， 故复数z对应的点所构成的图形面积为，D正确． 故选：ABC． 6．（23-24高一下·黑龙江·期中）欧拉是科学史上最多才的一位杰出的数学家，他发明的公式为，i虚数单位，将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，这个公式也被誉为“数学中的天桥”（为自然对数的底数，i为虚数单位），依据上述公式，则下列结论中正确的是（    ） A．复数为纯虚数 B．复数对应的点位于第二象限 C．复数的共轭复数为 D．复数的模长为1 【答案】ABD 【分析】根据给定的公式，结合复数的相关概念逐项分析判断即得. 【详解】A选项：是纯虚数，A选项正确； B选项：而，即，则复数对应的点在第二象限，B 选项正确； C 选项：，则复数的共轭复数为，C 选项错误； D 选项：D选项正确； 故选：ABD. 三、填空题 7．（21-22高一下·上海浦东新·期末）若复数z满足且，则 ． 【答案】2 【分析】令且，根据模长的等量关系列方程求，再由求结果. 【详解】令且， 由，则，可得， 由，则，可得， 所以，故. 故答案为：2 8．（23-24高一下·湖南·期中）已知复数z满足，且，则复数z表示的轨迹长为 ． 【答案】4 【分析】根据给定条件，利用复数的几何意义确定复数对应点的轨迹得解. 【详解】由，得在复平面内，复数对应的点在以原点为圆心，2为半径的圆及内部， 由，得，则点到和对应的点的距离相等， 即点在以为端点的线段的中垂线上， 因此点的轨迹是直线在上述圆及内部，显然直线过圆心， 所以所求轨迹长度为4. 故答案为：4 四、解答题 9．（23-24高一下·安徽马鞍山·期中）已知复数，并且. (1)若为虚数，求的取值范围； (2)求的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据复数相等和纯虚数条件，结合余弦函数性质可得； （2）根据复数相等列方程，消去，利用同角三角函数的平方关系，结合二次函数性质求解可得 【详解】（1）因为，所以， 又为虚数，所以，即，所以. （2），， 消去可得， . 10．（20-21高一下·浙江·期末）已知复数z满足，的虚部为2， （1）求复数z； （2）若复数z在复平面内所对应的点位于第一象限，且复数m满足，求的最大值和最小值． 【答案】（1）或；（2）最大值，最小值. 【分析】（1）设，根据已知条件列出的方程组，求解出的值，则复数可求； （2）根据已知条件先确定出，然后根据确定出复数在复平面内对应点的轨迹为圆，由此求解出的最值. 【详解】（1）设，因为，所以， 又因为，的虚部为，所以， 所以，所以或， 所以或； （2）因为在复平面内所对应的点位于第一象限，所以， 设，因为，所以，所以， 所以复数在复平面内对应的点的轨迹是以为圆心，半径为的圆， 所以，. 【点睛】结论点睛：常见的复数与轨迹的结论： （1）：表示以为圆心，半径为的圆； （2）且：表示以为端点的线段； （3）且：表示以为焦点的椭圆； （4）且：表示以为焦点的双曲线. 11．（22-23高一下·河北·期末）已知复数，，其中是虚数单位，． (1)若为纯虚数，求的值； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）z1为纯虚数，则其实部为0，虚部不为0，解得参数值； （2）由z1＝z2，实部、虚部分别相等，求得关于的函数表达式，根据的范围求得参数取值范围. 【详解】（1）由z1为纯虚数， 则，解得m＝－2. （2）由，得 ∴ ∵， ∴当时，，当时，， ∴实数的取值范围是. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$