精品解析：四川省成都市第七中学初中学校2024-2025学年九年级下学期开学数学试题

成都七中初中学校2024—2025学年度上2025届二月质量检测 数 学 （命题人：梁艳华 审题人：吴智伟）（满分150分，120分钟完成） 姓名____班级____ A卷（满分100分） 一、选择题 （本大题共8小题，每小题4分，共32分） 1. 如图所示的几何体，其主视图是(　　) A. B. C D. 2. 用配方法解方程时，配方后正确是（ ） A. B. C. D. 3. 在一个不透明的盒子中装有红球和白球共50个，这些球除颜色外都相同．现从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，摇匀再从中随机换出一个球……，通过大量重复试验后发现摸出白球的频率逐渐稳定在，则盒子中白球的个数最有可能是（ ） A. 10 B. 20 C. 30 D. 40 4. 如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（ ） A B. C. D. 5. 如图，是平行四边形的边延长线上的一点，交于点，下列各式中错误的是（ ） A. B. C. D. 6. 如果将抛物线向下平移个单位，那么平移后抛物线与轴的交点坐标是（ ） A. B. C. D. 7. 下列说法中，错误的是（ ） A. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 B. 平行四边形对角相等 C. 对角线互相垂直且相等的四边形是矩形 D. 对角线互相垂直的矩形是正方形 8. 如图是二次函数的部分图象，由图象可知下列说法错误的是（ ） A. ， B. 不等式的解集是 C. D. 方程的解是， 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 9. 如果，那么的值为_____． 10. 关于x的方程（k为常数）有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是_____． 11. 小杰沿着坡比的斜坡，从坡底向上步行了米，那么他上升的高度是______米． 12. 函数的图象在每个象限内随的增大而增大，则的取值范围是________． 13. 如图，在矩形中，按以下步骤作图：①分别以点A和点C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N；②作直线交于点E，若，，则________． 三、解答题（共48分） 14. （1） 计算：； （2） 解方程：． 15. 某校计划在七年级开展阳光体育锻炼活动，开设以下五个球类项目：A（羽毛球），B（乒乓球），C（篮球），D（排球），E（足球），要求每位学生必须参加，且只能选择其中一个项目．为了了解学生对这五个项目的选择情况，学校从七年级全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，对调查所得到的数据进行整理、描述和分析，部分信息如下： 根据以上信息，解决下列问题： （1）将图①中的条形统计图补充完整（画图并标注相应数据）； （2）图②中项目E对应的圆心角的度数为______°； （3）根据抽样调查结果，请估计本校七年级800名学生中选择项目B（乒乓球）的人数． 16. 2024年6月2日，嫦娥六号着陆器和上升器组合体（简称为“着上组合体”）成功着陆在月球背面．某校综合实践小组制作了一个“着上组合体”的模拟装置，在一次试验中，如图，该模拟装置在缓速下降阶段从点垂直下降到点，再垂直下降到着陆点，从点测得地面点的俯角为，米，米． （1）求的长； （2）若模拟装置从点以每秒2米的速度匀速下降到点，求模拟装置从点下降到点的时间．（参考数据：，，） 17. 如图，在四边形中，为一条对角线，，， ，E为的中点，连接． （1）求证： 四边形为菱形； （2）连接，若平分，，求的度数和的长． 18. 如图，一次函数图象与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点B，与y轴交于点C，连接． （1）求反比例函数的表达式及点B的坐标； （2）将直线向下平移个单位长度得到直线l：，设直线l与反比例函数的图象交于点P，与x轴交于点D． ①连接，，若，求m的值； ②连接，，当是等腰三角形时，请直接写出点D到直线的距离． B卷（满分50分） 一、填空题（本大题5个小题，每小题4分，共20分） 19. 若a和b是一元二次方程的两根，则的值为______． 20. 一个直四棱柱的三视图如图所示，俯视图是一个正方形，则这个直四棱柱的体积是 _______． 21. 线段上有不同的两点M，N，且满足，，分别以线段，为边作正方形，面积分别为，，则的值为_____． 22. 定义：若x，y满足，（k为常数），且，则称点为“优点”．若是“优点”，则______；若抛物线上至少存在一个“优点”，则的取值范围为______． 23. 如图，在中，，是边上中线，将沿翻折得，连接，， 分别与相交于点O，与相交于点E，与边相交于点F．若，则_____． 二、解答题（共30分） 24. 龙泉驿水蜜桃有果大质优、色泽艳丽、汁多味甜三大特点，素有“天下第一桃”的美誉．某商家在龙泉驿以元的价格收购了一批水蜜桃后出售，售价不低于元，不超过元．该商家对销售情况进行统计后发现，日销售量与售价（元）之间的函数关系如图所示． （1）求与之间的函数关系式； （2）设日销售利润为元，当销售价格定为多少时，日销售利润最大？最大是多少？ 25. 如图1，抛物线与x轴交于点，两点，与y轴交于点C、顶点为D． （1）求抛物线的解析式； （2）P是x轴上一动点，将顶点D绕点Р顺时针旋转90°刚好落在抛物线上的点E处，求点P的坐标； （3）如图2、点G，H为x轴上方的抛物线上两点（点G在点H的左边），直线、与y轴分别交于S，T两点，若，试探究直线是否经过定点，若是，求定点坐标；若不是、请说明理由． 26. 在菱形中，，点E在射线上，连接、． （1）如图1，当点E是边的中点，求的正切值； （2）如图2， 当点E在线段的延长线上，连接与边交于点F，如果，的面积等于，求的长； （3）当点E在边上，与交于点H，连接并延长与的延长线交于点G，如果，与以点E、G、B所组成的三角形相似，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 成都七中初中学校2024—2025学年度上2025届二月质量检测 数 学 （命题人：梁艳华 审题人：吴智伟）（满分150分，120分钟完成） 姓名____班级____ A卷（满分100分） 一、选择题 （本大题共8小题，每小题4分，共32分） 1. 如图所示的几何体，其主视图是(　　) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查判断几何体的三视图．根据主视图是从正面看得到的图形解答即可．掌握主视图是从正面看得到的图形，左视图是从左面看得到的图形，俯视图是从上面看得到的图形是解题关键． 【详解】解：从正面看看到的是一个长方形，中间有两条竖着的虚线， 即， 故选：A． 2. 用配方法解方程时，配方后正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据配方法，先将常数项移到右边，然后两边同时加上，即可求解． 【详解】解： 移项得， 两边同时加上，即 ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题的关键． 3. 在一个不透明的盒子中装有红球和白球共50个，这些球除颜色外都相同．现从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，摇匀再从中随机换出一个球……，通过大量重复试验后发现摸出白球的频率逐渐稳定在，则盒子中白球的个数最有可能是（ ） A. 10 B. 20 C. 30 D. 40 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．利用频率估计概率可估计摸到白球的概率，然后求出这个口袋中白球的个数． 【详解】解：利用频率估计概率可得，摸到白球的概率为， 则这个口袋中白球的个数最有可能是：（个）． 故选：B． 4. 如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了位似变换，根据点的坐标可得到位似比，再根据位似比即可求解，掌握位似变换的性质是解题的关键． 【详解】解：∵与是位似图形，点的对应点为， ∴与的位似比为， ∴点的对应点的坐标为，即， 故选：． 5. 如图，是平行四边形的边延长线上的一点，交于点，下列各式中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，掌握以上知识，数形结合分析思想是解题的关键． 根据题意可得，，则有，，由相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， A、， ∴， ∴，正确，不符合题意； B、， ∴，正确，不符合题意； C、， ∴， ∴，正确，不符合题意； D、根据上述论证，故该选项错误，符合题意； 故选：D ． 6. 如果将抛物线向下平移个单位，那么平移后抛物线与轴的交点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．根据“左加右减、上加下减”的原则写出新抛物线解析式，然后令，通过解解方程求解． 【详解】解：把抛物线图象向下平移2个单位，则平移后的抛物线的表达式为， 令，则． 所以所得抛物线与y轴的交点的坐标为． 故选B． 7. 下列说法中，错误的是（ ） A. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 B. 平行四边形对角相等 C. 对角线互相垂直且相等的四边形是矩形 D. 对角线互相垂直的矩形是正方形 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，矩形、菱形及正方形的判定，根据平行四边形的性质，矩形、菱形及正方形的判定定理进行排除． 【详解】A、有一组邻边相等的平行四边形是菱形；故原说法正确； B、平行四边形对角相等；故原说法正确； C、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，故原说法错误； D、对角线互相垂直的矩形是正方形，原说法正确； 故选：C． 8. 如图是二次函数的部分图象，由图象可知下列说法错误的是（ ） A. ， B. 不等式的解集是 C. D. 方程的解是， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的应用；能够根据二次函数图象特点求出函数与x轴的两个交点，数形结合是解题的关键．由图象判断，，对称轴是，再判断出，与x轴一个交点是，则另一个交点，结合函数图象即可求解． 【详解】解：由图象得：，，对称轴是， ∴， ∴，故A正确，不符合题意； ∵对称轴是，函数图象与x轴一个交点是， ∴另一个交点， ∴不等式的解集是，故B错误，符合题意； ∵函数图象与x轴有两个不同的交点， ∴，故C正确，不符合题意； ∵函数图象与x轴的两个交点为和， ∴方程的解是，，故D正确，不符合题意； 故选：B． 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 9. 如果，那么的值为_____． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质．利用比例的性质，进行计算即可解答． 【详解】解：∵， ∴设，， ∴， 故答案为：6． 10. 关于x的方程（k为常数）有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，根据方程有两个不相等的实数根可知，据此得出k的取值范围即可． 【详解】解：∵关于x的方程（k为常数）有两个不相等的实数根， ∴，即， 解得． 故答案为：． 11. 小杰沿着坡比的斜坡，从坡底向上步行了米，那么他上升的高度是______米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是掌握坡比的定义．设坡度的高为米，根据勾股定理列方程求解． 【详解】解：设坡度的高为米，则水平距离为米， ， 解得：， 故答案为：． 12. 函数的图象在每个象限内随的增大而增大，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的增减性是解答此题的关键．根据反比例函数的性质列出关于的不等式，求出的取值范围即可． 【详解】解：函数的图象在每个象限内随的增大而增大， ， 解得， 故答案为：． 13. 如图，在矩形中，按以下步骤作图：①分别以点A和点C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N；②作直线交于点E，若，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理解三角形，连接，利用基本作图得到垂直平分，所以，设，则，，根据勾股定理求出x即可． 【详解】解：连接，如图： 由作图得到垂直平分， ∴， ∵四边形为矩形， ∴，， 设，则，， 在中， ， 即， 解得：， 即的长为， 故答案为：． 三、解答题（共48分） 14. （1） 计算：； （2） 解方程：． 【答案】 （1）；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查实数的混合运算，解一元二次方程，掌握零次幂，二次根式的混合运算，特殊角的三角函数值的计算，因式分解法求一元二次方程的根的方法是解题的关键． （1）先计算零次幂，化简二次根式，特殊角的三角函数值，化简绝对值，再根据实数的混合运算计算即可求解； （2）运用因式分解法求解即可． 【详解】解：（1） ； （2）， 因式分解得，， ∴或， 解得，． 15. 某校计划在七年级开展阳光体育锻炼活动，开设以下五个球类项目：A（羽毛球），B（乒乓球），C（篮球），D（排球），E（足球），要求每位学生必须参加，且只能选择其中一个项目．为了了解学生对这五个项目的选择情况，学校从七年级全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，对调查所得到的数据进行整理、描述和分析，部分信息如下： 根据以上信息，解决下列问题： （1）将图①中的条形统计图补充完整（画图并标注相应数据）； （2）图②中项目E对应的圆心角的度数为______°； （3）根据抽样调查结果，请估计本校七年级800名学生中选择项目B（乒乓球）的人数． 【答案】（1）见解析 （2）72 （3）本校七年级800名学生中选择项目B（乒乓球）的人数约为240人 【解析】 【分析】本题考查扇形统计图、条形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）利用C组的人数除以所占百分比求出总人数，然后用总人数减去A、B、C、E组的人数，最后补图即可； （2）用乘以E组所占百分比即可； （3）用800乘以B组所占百分比即可． 【小问1详解】 解：总人数为， D组人数为， 补图如下： 【小问2详解】 解：， 故答案为：72； 【小问3详解】 解：（人）． 答：本校七年级800名学生中选择项目B（乒乓球）的人数约为240人． 16. 2024年6月2日，嫦娥六号着陆器和上升器组合体（简称为“着上组合体”）成功着陆在月球背面．某校综合实践小组制作了一个“着上组合体”的模拟装置，在一次试验中，如图，该模拟装置在缓速下降阶段从点垂直下降到点，再垂直下降到着陆点，从点测得地面点的俯角为，米，米． （1）求的长； （2）若模拟装置从点以每秒2米的速度匀速下降到点，求模拟装置从点下降到点的时间．（参考数据：，，） 【答案】（1）的长约为8米； （2）模拟装置从点下降到点的时间为秒． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用——仰俯角问题，灵活运用锐角三角函数求边长是解题关键． （1）过点作交于点，根据余弦值求出的长即可； （2）先由勾股定理，求出的长，再利用正弦值求出的长，进而得到的长，然后除以速度，即可求出下降时间． 【小问1详解】 解：如图，过点作交于点， 由题意可知，， ， 在中，，米， ， 米， 即的长约为8米； 【小问2详解】 解：米，米， 米， 在中，，米， ， 米， 米， 模拟装置从点以每秒2米的速度匀速下降到点， 模拟装置从点下降到点的时间为秒， 即模拟装置从点下降到点的时间为秒． 17. 如图，在四边形中，为一条对角线，，， ，E为的中点，连接． （1）求证： 四边形为菱形； （2）连接，若平分，，求的度数和的长． 【答案】（1）见解析 （2）， 【解析】 【分析】本题考查菱形的判定和性质、直角三角形斜边中线的性质、锐角三角函数等知识． （1）由，，推出四边形是平行四边形，再证明即可解决问题； （2）在中只要推出，即可解决问题． 【小问1详解】 证明：∵，E为的中点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴， ∴四边形是菱形； 【小问2详解】 解：连接， ∵，平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴ 在中， ∵， ∴，． 18. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点B，与y轴交于点C，连接． （1）求反比例函数的表达式及点B的坐标； （2）将直线向下平移个单位长度得到直线l：，设直线l与反比例函数的图象交于点P，与x轴交于点D． ①连接，，若，求m值； ②连接，，当是等腰三角形时，请直接写出点D到直线的距离． 【答案】（1）反比例函数的表达式为，点B的坐标为 （2）①；②当是等腰三角形时，点D到直线AB的距离为或 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数与反比例函数的图像和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． （1）求出，代入反比例函数即可求出答案； （2）①过点P作轴交直线于点Q，设点，将各线段分别表示出来，根据等量关系列出方程求解即可． ②分类讨论，当时，如图2，过点D作于点E，过点E作轴于点M，过点A作，交的延长线于点N；当时，由于直线l是由直线向下平移个单位长度得到．分别进行求解即可． 【小问1详解】 解：一次函数的图象与反比例函数的图象交于点， ．解得． ． 将代入，得．解得． 反比例函数表达式为． 对于一次函数，令，则． 解得． 点B的坐标为． 【小问2详解】 解：①如图1，过点P作轴交直线于点Q，设点， 则点． ． ． 一次函数的图象与y轴交于点C， ． ． ， ．整理，得． 解得，（舍去）． ． 将代入，得． 解得． ②或． ，，， ，，． （ⅰ）当时，如图2，过点D作于点E，过点E作轴于点M，过点A作，交的延长线于点N． ，， ． ，， E是中点， ． ，． ，，． ， ，即． 解得． （ⅱ）当时，由于直线l是由直线向下平移个单位长度得到， ∴此时点D在x轴正半轴．如图3，过点D作于点F，过点D作轴交直线于点G． ． ． ． ．将代入，得．解得． 轴， ． ． ． 由平移可知，． ， 解得． 综上所述，当是等腰三角形时，点D到直线AB的距离为或． B卷（满分50分） 一、填空题（本大题5个小题，每小题4分，共20分） 19. 若a和b是一元二次方程的两根，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，先根据一元二次方程根与系数的关系求出和的值，然后把所求分式进行通分化简，再把所求的和的值代入化简后的式子计算即可． 【详解】解：∵a和b是一元二次方程的两根， ∴，， ∴， 故答案为：． 20. 一个直四棱柱的三视图如图所示，俯视图是一个正方形，则这个直四棱柱的体积是 _______． 【答案】48 【解析】 【分析】本题考查了由三视图判断几何体的知识，根据题意可知该直四棱柱的底面正方形的对角线长为，它的高为，进而得出这个直四棱柱的体积． 【详解】解：这个直四棱柱的体积为： ． 故答案为：48． 21. 线段上有不同的两点M，N，且满足，，分别以线段，为边作正方形，面积分别为，，则的值为_____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了正方形面积，一元二次方程的应用等，由题意得：，，可得：，，进而求得：，，，根据正方形面积公式可得：． 【详解】解：由题意得：，， ∵，， ∴，， ∴（负值已舍去），（负值已舍去）， ∴， ∴， 故答案为：． 22. 定义：若x，y满足，（k为常数），且，则称点为“优点”．若是“优点”，则______；若抛物线上至少存在一个“优点”，则的取值范围为______． 【答案】 ①. 6 ②. 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上的点的坐标特征以及新定义问题，根据“优点”定义得出，进而计算即可得出的值，求出直线解析式，根据二次函数的性质并结合题意，计算即可得答案，熟练掌握二次函数的图象与性质是解此题的关键． 【详解】解：由“优点”定义可知，， 解得或6． 由题意可知，． ∴． ∴． ∴，， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴直线上的点都是“优点”． 对于直线，当时，；当时，． 设，． 由题意可知，抛物线上至少存在一个“优点”，即转化为抛物线与直线至少有一个交点． 如图1，当抛物线与有且只有一个交点时，联立， 整理，得． ∴． 解得， 此时取得最小值． 如图2，当抛物线过点A时，． 解得， 此时取得最大值． ∴的取值范围为． 故答案为6，． ． 23. 如图，在中，，是边上的中线，将沿翻折得，连接，， 分别与相交于点O，与相交于点E，与边相交于点F．若，则_____． 【答案】## 【解析】 【分析】由轴对称的性质可证明是的中位线，然后证明，，设，，，根据相似三角形的性质可列方程，，求得，从而得到，设，利用相似三角形及勾股定理求得，，最后根据三角函数即可求的答案． 【详解】由翻折可知，垂直平分， ，， O是的中点， 是边上的中线， D是的中点， 是的中位线， ，， ，， ，， 设，，， ，， ，，， ①， ②， 由①得， 由②得， ， 解得， ，， ， ， 在和中，，， ， ， ， 设，则，， ， ， D是的中点， ， ． 故答案：． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握相关知识是解题的关键． 二、解答题（共30分） 24. 龙泉驿水蜜桃有果大质优、色泽艳丽、汁多味甜三大特点，素有“天下第一桃”的美誉．某商家在龙泉驿以元的价格收购了一批水蜜桃后出售，售价不低于元，不超过元．该商家对销售情况进行统计后发现，日销售量与售价（元）之间的函数关系如图所示． （1）求与之间的函数关系式； （2）设日销售利润为元，当销售价格定为多少时，日销售利润最大？最大是多少？ 【答案】（1）； （2）当销售价格定为元时，日销售利润最大，最大是元． 【解析】 【分析】（）根据图象，利用待定系数法即可求解； （）根据“日销售利润每千克的利润日销售量”列出与的函数关系式，根据二次函数的性质和的取值范围即可求解； 本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，根据题意列出函数关系式，利用二次函数的性质求解是解题的关键． 【小问1详解】 设与之间的函数关系式为， 由所给函数图象可知，图象经过点，， ∴， 解得， ∴与之间的函数关系式为； 【小问2详解】 ∵， ∴ ， ∵， ∴当时，的值随值的增大而增大， ∴当时，取得最大值，最大值为， ∴当销售价格定为元时，日销售利润最大，最大是元． 25. 如图1，抛物线与x轴交于点，两点，与y轴交于点C、顶点为D． （1）求抛物线的解析式； （2）P是x轴上一动点，将顶点D绕点Р顺时针旋转90°刚好落在抛物线上的点E处，求点P的坐标； （3）如图2、点G，H为x轴上方的抛物线上两点（点G在点H的左边），直线、与y轴分别交于S，T两点，若，试探究直线是否经过定点，若是，求定点坐标；若不是、请说明理由． 【答案】（1） （2）点的坐标为或 （3）直线经过定点 【解析】 【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案； （2）设, 过点作轴于点, 设抛物线的对称轴交轴于点， 则, , 设则, 可证得, 得出, , 建立方程组求解即可求得答案； (3)设 运用待定系数法可得：直线的解析式为, 直线的解析式为,直线的解析式为, 令, 则 可得, , 根据题意推出, 代入直线的解析式得, 当时, , 即直线经过定点. 【小问1详解】 ∵抛物线与轴交于点两点, ， 解得：， ∴抛物线的解析式为 ； 【小问2详解】 设, 过点作轴于点，设抛物线的对称轴交轴于点，如图， 则 ， ∴顶点, , ， 设则, ， 由旋转得：， ， ， ， ， ， ， 解得：， ∴点坐标为或 ； 【小问3详解】 直线经过定点，理由如下： 设， 设直线的解析式为则 ， 解得：， ∴直线的解析式为， 同理可得：直线的解析式为 直线的解析式为 令则， ， ， ， ， 代入直线的解析式得 ∵当 时, ， ∴直线经过定点． 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答. 26. 在菱形中，，点E在射线上，连接、． （1）如图1，当点E是边的中点，求的正切值； （2）如图2， 当点E在线段的延长线上，连接与边交于点F，如果，的面积等于，求的长； （3）当点E在边上，与交于点H，连接并延长与的延长线交于点G，如果，与以点E、G、B所组成的三角形相似，求的长． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）连接，证和均为等边三角形，再由点E为的中点得，，则，设，则，，进而在中可求出的正切值； （2）过点D作于M，先求出，则，从而得，进而得，则，，证得，则，，再由勾股定理求出，进而可得的长； （3）过点E作于N，先证点C只能和点G是对应点得，则，从而得，设，则，在中由得，进而得，再证得，即，由此解出x即可得的长． 【小问1详解】 解：连接，如图1所示： ∵四边形为菱形，， ∴，，，， ∴和均为等边三角形， ∴， ∵点E为的中点， ∴，， ∴， 设，则， 由勾股定理得：， ∴在中，； 【小问2详解】 解：过点D作于M，如图2所示： ∵，和均为等边三角形，， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理得：， ∴， 又∵的面积等于， ∴， ∵的边和的边上的高相同， ∴， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴； 【小问3详解】 解：过点E作于N，如图3所示： ∵和均为等边三角形，，，， ∴，， 又∵，， ∴， ∵与以点E、G、B所组成的三角形相似， ∴点C只能和点G是对应点， ∴， ∴， 又∵， ∴， 设， ∴，则， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 整理得：， 解得：，（不合题意，舍去）， 故． 【点睛】此题主要考查了菱形的性质，等边三角形的性质，锐角三角函数，相似三角形的判定和性质，勾股定理，理解菱形的性质，等边三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质，灵活运用勾股定理，锐角三角函数的定义，相似三角形的性质进行计算是解决问题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $