（趣味奥数）第十五讲 逻辑推理（一）-六年级下册奥数精讲精练（通用版）

第十五讲 逻辑推理（一） 动物王国的侦探故事 在动物王国的宁静小镇上，发生了一起离奇的盗窃案。小镇的珠宝店里，一颗珍贵的宝石不翼而飞，这可急坏了警察局的警长狮子先生。 狮子警长立即展开调查，锁定了四位嫌疑犯：狡猾的狐狸、贪婪的狼、胆小的兔子和神秘的猫头鹰。经过一番审讯，四位嫌疑犯各执一词。 狐狸说：“宝石不是我偷的，我那天在森林里找食物。” 狼咆哮道：“肯定是兔子干的，它平时就鬼鬼祟祟！” 兔子吓得瑟瑟发抖，连忙摆手：“不是我，我一整天都在菜园里，狼在诬陷我！” 猫头鹰则冷冷地说：“我什么都不知道，别问我。” 狮子警长陷入了沉思，他知道这其中必定有人在说谎。同学们，我们可以通过逻辑推理来找出真相。假设狼说的是真话，那么兔子是小偷，可这样兔子说的就是假话，即兔子在说谎，可兔子说狼诬陷它就成了真话，这就产生了矛盾，所以狼说的是假话，兔子不是小偷。既然狼说的是假话，那兔子说的就是真话，即兔子不是小偷。狐狸说宝石不是自己偷的，若它说的是假话，那它就是小偷，此时猫头鹰说的就是真话，没有矛盾；若狐狸说的是真话，那小偷就是猫头鹰，此时猫头鹰说自己什么都不知道就是假话，也没有矛盾。但综合来看，狐狸说假话时逻辑更通顺，所以可以推断出狐狸是小偷。 狮子警长通过仔细的分析和推理，也得出了同样的结论。他迅速带领警察们包围了狐狸的家，在一番搜寻后，终于找到了那颗珍贵的宝石。 案件告破后，动物王国的居民们都对狮子警长的智慧赞不绝口。而通过这次事件，动物们也明白了，无论多么复杂的案件，只要运用逻辑推理，就能抽丝剥茧，找到真相。 逻辑推理题不涉及数据，也没有几何图形，只涉及一些相互关联的条件。它依据逻辑汇率，从一定的前提出发，通过一系列的推理来获取某种结论。 解决这类问题常用的方法有：直接法、假设法、排除法、图解法和列表法等。 逻辑推理问题的解决，需要我们深入地理解条件和结论，分析关键所在，找到突破口，进行合情合理的推理，最后作出正确的判断。 推理的过程中往往需要交替运用“排除法”和“反正法”。要善于借助表格，把已知条件和推出的中间结论及时填入表格内。填表时，对正确的（或不正确的）结果要及时注上“√”（或“×”），也可以分别用“1”或“0”代替，以免引起遗忘或混乱，从而影响推理的速度。 推理的过程，必须要有充足的理由或重复内的根据，并常常伴随着论证、推理，论证的才能不是天生的，而是在不断的实践活动中逐渐锻炼、培养出来的。 1：张红因病在家休息了几天，这期间的气候是：（1）下了8次雨，时间是上午或下午；（2）当下午下雨时，当天上午是晴天；（3）有9个下午是晴天；（4）有13个上午是晴天。问她一共在家休息了几天？ 【思路分析】 相当于把每一天分成两部分，上午和下午，由于当下午下雨时，当天上午是晴天，如果上午下雨，下午也必定是晴天；可以设休息的天数是未知数，表示出上午下雨的天数和下午下雨的天数，结合总共下午的次数求解。 【标准答案】 解：设他休息了x天，（x－9）为下午下雨的次数，（x－13）为上午下雨的次数。 （x－9）＋（x－13）＝8 x＝15 答：她一共在家休息了15天。 1. 1．三位女孩、、进行百米赛跑，裁判、、在赛前猜测她们之间的名次。说：“我猜是第一名。”说：“我猜不会是最后一名。”说：“我猜不会是第一名。”成绩揭晓后已知恰只有一位裁判的猜测是正确的，请问哪位女孩得第一名？ 2．A、B、C三个同学进行跳绳比赛。A说：“我不是最后一名。”B说：“我也不是最后一名，但是A的成绩比我好。”他们三人各得了第几名？ 3．三位同学拾到一颗晶莹剔透的小球,小陈认为不是玻璃,也不是塑料;小欣认为不是玻璃,而是钻石;小磊认为不是钻石,而是玻璃.经验证,其中一个人的判断完全错误,一个人判断完全正确,另一个人一半对一半错.那么这颗小球究竟是什么？ 2： 塑料袋里有六个橘子，如何均分给三个小孩，而塑料袋里仍有二个橘子？（不可以分开橘子） 【思路分析】 一人一定会分到两个橘子，不要考虑袋子给谁了，最后一个小孩连袋子一起拿走，这时袋子里仍然有2个橘子. 2． 1．有一个年轻人，他要过一条河去办事；但是，这条河没有船也没有桥．于是他便在上午游泳过河，只一个小时的时间他便游到了对岸，当天下午，河水的宽度以及流速都没有变，更重要的是他的游泳速度也没有变，可是他竟用了两个半小时才游到河对岸. 2．小明带100元去买一件75元的衬衫,但老板却只找了5块钱给他,为什么? 3．考试做判断题，小花掷骰子决定答案，但题目有20题，为什么他却扔了40次？ 3：王佳、李华和刘萍三个好朋友穿着崭新的裙子一起参加了元旦游园会，三条裙子的颜色分别是花色，白色，红色，但不知那一条是王佳，那一条是李华，那一条是刘萍，只知道刘萍不喜欢穿红色的，王佳既不穿红裙子也不穿花裙子，你知道这三个小姑娘各穿什么颜色的裙子吗？ 【思路分析】 在所给的条件中，“王佳既不穿红裙子也不穿花裙子，”是关键条件．因为3个人穿的裙子只有花色，白色，红色3种颜色，除了红花两种颜色，王佳只能 穿白色裙子．又知道“刘萍不喜欢穿红色的”，结合已推断出的“王佳只能穿白色裙子”，因此刘萍只能穿花裙子．3种颜色中已确定了两种，剩下的李华必定穿红 色裙子． 3． 1．有3顶红帽子，4顶黑 帽子，5顶白帽子．让10个人从矮到高站成一队，给他们每个人头上戴一顶帽子．每个人都看不见自己戴的帽子的颜色，却只能看见站在前面那些人的帽子颜色． （所以最后一个人可以看见前面9个人头上帽子的颜色，而最前面那个人谁的帽子都看不见．现在从最后那个人开始，问他是不是知道自己戴的帽子颜色，如果他回 答说不知道，就继续问他前面那个人．假设最前面那个人一定会知道自己戴的是黑帽子．为什么？ 2．一群人开舞会，每人头 上都戴着一顶帽子．帽子只有黑白两种，黑的至少有一顶．每个人都能看到其它人帽子的颜色，却看不到自己的．主持人先让大家看看别人头上戴的是什么帽子，然 后关灯，如果有人认为自己戴的是黑帽子，就打自己一个耳光．第一次关灯，没有声音．于是再开灯，大家再看一遍，关灯时仍然鸦雀无声．一直到第三次关灯，才 有劈劈啪啪打耳光的声音响起．问有多少人戴着黑帽子？ 3．一逻辑学家误入某部落，被囚于牢狱，酋长欲意放行，他对逻辑学家说：“今有两门，一为自由，一为死亡，你可任意开启一门．现从两个战士中选择一人负责解答你所提的任何一个问 题（Y/N），其中一个天性诚实，一人说谎成性，今后生死任你选择．”逻辑学家沉思片刻，即向一战士发问，然后开门从容离去．逻辑学家应如何发问？ 4：有甲、乙两个容器，其中甲容器装了800克纯酒精，乙容器装了640克纯净水。第一次将甲容器中的纯酒精倒一半给乙容器，混合后，再把乙容器中的溶液倒一半给甲容器。这样视为一次操作。连续三次操作后，甲容器中的溶液有多少克？其中含有纯酒精多少克？ 【思路分析】 根据题意来回操作比较复杂，这样的情况列表会比较理清题目的意思。第一次操作的过程中，开始是甲容器是800克纯酒精，乙容器是640克纯净水，甲倒入了一半的酒精也就是400克给乙，这时甲容器里面有400克的酒精，乙容器里面有400克的酒精和640克的水，这时乙溶液是混合的，倒入一半给甲时，也就是乙容器里面的酒精倒入一半给甲，水也倒入一半，这时甲里面酒精有自己的400克和乙容器里面一半的（200克）酒精，以及乙容器640克水的一半（320克）。乙里面的酒精有剩下一半的酒精（200克）和剩下的一半的水（320克），同理第二次和第三次同样的操作，列出表格。 【标准答案】 根据题意列出如下表格： 537.5＋420＝957.5（克） 答：甲容器中的溶液有957.5克，其中含有纯酒精537.5克。 4. 1．小明、小芳、小花各爱好游泳、羽毛球、乒乓球中的一项，并分别在一小、二小、三小中的一所小学上学。现知道：（1）小明不在一小；（2）小芳不在二小；（3）爱好乒乓球的不在三小；（4）爱好游泳的在一小；（5）爱好游泳的不是小芳。问：三人上各爱好什么运动？各上哪所小学？ 2．王平、宋丹、韩涛三个小学生都是少先队的干部，一个是大队长，一个是中队长，一个是小队长。一次数学测验，这三个人的成绩是：（1）韩涛比大队长的成绩好。（2）王平和中队长的成绩不相同。（3）中队长比宋丹的成绩差。请你根据这三个人的成绩，判断一下，谁是大队长呢？ 3．老师让小新把小胖、小贝、小丸子、小淘气、小马虎的作业本带回去，小新见到这五人后就一人给了一本，结果全发错了。现在知道：（1）小胖拿的不是小贝的，也不是小淘气的；（2）小贝拿的不是小丸子的，也不是小淘气的；（3）小丸子拿的不是小贝的，也不是小马虎的；（4）小淘气拿的不是小丸子的，也不是小马虎的；（5）小马虎拿的不是小淘气的，也不是小胖的。另外，没有两人相互拿错（例如小胖拿小贝的，小贝拿小胖的）。问：小丸子拿的是谁的本？小丸子的本被谁拿走了？ 莱昂哈德•欧拉 莱昂哈德•欧拉（Leonhard Euler ，1707年4月15日～1783年9月18日），瑞士数学家、自然科学家。 1707年4月15日出生于瑞士的巴塞尔，1783年9月18日于俄国圣彼得堡去世。欧拉出生于牧师家庭，自幼受父亲的影响。13岁时入读巴塞尔大学，15岁大学毕业，16岁获得硕士学位。欧拉是18世纪数学界最杰出的人物之一，他不但为数学界作出贡献，更把整个数学推至物理的领域。他是数学史上最多产的数学家，平均每年写出八百多页的论文，还写了大量的力学、分析学、几何学、变分法等的课本，《无穷小分析引论》、《微分学原理》、《积分学原理》等都成为数学界中的经典著作。欧拉对数学的研究如此之广泛，因此在许多数学的分支中也可经常见到以他的名字命名的重要常数、公式和定理。 此外欧拉还涉及建筑学、弹道学、航海学等领域。瑞士教育与研究国务秘书Charles Kleiber曾表示：“没有欧拉的众多科学发现，我们将过着完全不一样的生活。”法国数学家拉普拉斯则认为：读读欧拉，他是所有人的老师。 2007年，为庆祝欧拉诞辰300周年，瑞士政府、中国科学院及中国教育部于2007年4月23日下午在北京的中国科学院文献情报中心共同举办纪念活动，回顾欧拉的生平、工作以及对现代生活的影响。 1：张红因病在家休息了几天，这期间的气候是：（1）下了8次雨，时间是上午或下午；（2）当下午下雨时，当天上午是晴天；（3）有9个下午是晴天；（4）有13个上午是晴天。问她一共在家休息了几天？ 【思路分析】 相当于把每一天分成两部分，上午和下午，由于当下午下雨时，当天上午是晴天，如果上午下雨，下午也必定是晴天；可以设休息的天数是未知数，表示出上午下雨的天数和下午下雨的天数，结合总共下午的次数求解。 【标准答案】 解：设他休息了x天，（x－9）为下午下雨的次数，（x－13）为上午下雨的次数。 （x－9）＋（x－13）＝8 x＝15 答：她一共在家休息了15天。 1. 1．三位女孩、、进行百米赛跑，裁判、、在赛前猜测她们之间的名次。说：“我猜是第一名。”说：“我猜不会是最后一名。”说：“我猜不会是第一名。”成绩揭晓后已知恰只有一位裁判的猜测是正确的，请问哪位女孩得第一名？ 答案： 分析：分别假设D、E、F所说的话正确，然后判断其他人说的话是否正确，根据是否有矛盾做出选择。 详解：假设是第一名，那么猜测正确，猜测正确，出现矛盾； 假设是第一名，那么与猜测错误，而当为第二名时，猜测正确； 假设为第一名，那么、猜测正确，出现矛盾； 所以第一名是； 答：第一名是B。 点睛：假设法是求解逻辑推理问题最常用的方法，如果假设有矛盾，则假设错误。 2．A、B、C三个同学进行跳绳比赛。A说：“我不是最后一名。”B说：“我也不是最后一名，但是A的成绩比我好。”他们三人各得了第几名？ 答案：A得第一名，B得第二名，C得第三名。 分析：因为三个同学，根据A说“我不是最后一名”，推断出A不是第一就是第二；再根据B说：“我不是最后一名，但是A得成绩比我好”，推断出B得第二名，A比B成绩好，由此推断出A得第一名，C得第三名，由此解答。 详解：根据分析可知： 答：A得第一名，B得第二名，C得第三名。 点睛：本题考查简单的推理问题，关键是根据B同学得到的成绩，推断出A同学和C同学得第几名。 3．三位同学拾到一颗晶莹剔透的小球,小陈认为不是玻璃,也不是塑料;小欣认为不是玻璃,而是钻石;小磊认为不是钻石,而是玻璃.经验证,其中一个人的判断完全错误,一个人判断完全正确,另一个人一半对一半错.那么这颗小球究竟是什么？ 答案：玻璃 2： 塑料袋里有六个橘子，如何均分给三个小孩，而塑料袋里仍有二个橘子？（不可以分开橘子） 【思路分析】 一人一定会分到两个橘子，不要考虑袋子给谁了，最后一个小孩连袋子一起拿走，这时袋子里仍然有2个橘子. 2． 1．有一个年轻人，他要过一条河去办事；但是，这条河没有船也没有桥．于是他便在上午游泳过河，只一个小时的时间他便游到了对岸，当天下午，河水的宽度以及流速都没有变，更重要的是他的游泳速度也没有变，可是他竟用了两个半小时才游到河对岸. 答案：解：两个半小时就是一小时啊. 详解：“两个”半小时就是1小时，并不是“两个半小时”，这样就理解为两小时再加上半小时了. 2．小明带100元去买一件75元的衬衫,但老板却只找了5块钱给他,为什么? 答案：80元 详解：解：75+5=80(元) 答：小明就只给了老板80元钱. 小明带了100元，并不一定给老板100元，用衬衫的价钱加上找回的钱数就是给老板的钱数. 3．考试做判断题，小花掷骰子决定答案，但题目有20题，为什么他却扔了40次？ 答案：解：他要验证一遍. 详解：只能从脑筋急转弯方面来思考问题，扔20次就可以了，可能是他想验证一遍. 3：王佳、李华和刘萍三个好朋友穿着崭新的裙子一起参加了元旦游园会，三条裙子的颜色分别是花色，白色，红色，但不知那一条是王佳，那一条是李华，那一条是刘萍，只知道刘萍不喜欢穿红色的，王佳既不穿红裙子也不穿花裙子，你知道这三个小姑娘各穿什么颜色的裙子吗？ 【思路分析】 在所给的条件中，“王佳既不穿红裙子也不穿花裙子，”是关键条件．因为3个人穿的裙子只有花色，白色，红色3种颜色，除了红花两种颜色，王佳只能 穿白色裙子．又知道“刘萍不喜欢穿红色的”，结合已推断出的“王佳只能穿白色裙子”，因此刘萍只能穿花裙子．3种颜色中已确定了两种，剩下的李华必定穿红 色裙子． 3． 1．有3顶红帽子，4顶黑 帽子，5顶白帽子．让10个人从矮到高站成一队，给他们每个人头上戴一顶帽子．每个人都看不见自己戴的帽子的颜色，却只能看见站在前面那些人的帽子颜色． （所以最后一个人可以看见前面9个人头上帽子的颜色，而最前面那个人谁的帽子都看不见．现在从最后那个人开始，问他是不是知道自己戴的帽子颜色，如果他回 答说不知道，就继续问他前面那个人．假设最前面那个人一定会知道自己戴的是黑帽子．为什么？ 答案：最前面的那个人听见后面两个人都说了“不知道”，他假设自己戴的是白帽子，于是中间那个人就看见他戴的白帽子．那么中间那个人会作如下推理：“假设我戴了白帽子，那么最后那个人就会看见前面两顶白帽子，但总共只有两顶白帽子，他就应该明白他自己戴的是黑帽子，现在他说不知道，就说明我戴了白帽子这个假定是错的，所以我戴了黑帽子．”问题是中间那人也说不知道，所以最前面那个人知道自己戴白帽子的假定是错的，所以他推断出自己戴了黑帽子． 详解：“有3顶黑帽子，2顶白帽子．让三个人从前到后站成一排，给他们每个人头上戴一顶帽子．每个人都看不见自己戴的帽子的颜色，却只能看见站在前面那些人的帽子颜色．（所以最后一个人可以看见前面两个人头上帽子的颜色，中间那个人看得见前面那个人的帽子颜色但看不见在他后面那个人的帽子颜色，而最前面那个人谁的帽子都看不见．现在从最后那个人开始，问他是不是知道自己戴的帽子颜色，如果他回答说不知道，就继续问他前面那个人．事实上他们三个戴的都是黑帽子，那么最前面那个人一定会知道自己戴的是黑帽子．为什么？” 答案是，最前面的那个人听见后面两个人都说了“不知道”，他假设自己戴的是白帽子，于是中间那个人就看见他戴的白帽子．那么中间那个人会作如下推理：“假设我戴了白帽子，那么最后那个人就会看见前面两顶白帽子，但总共只有两顶白帽子，他就应该明白他自己戴的是黑帽子，现在他说不知道，就说明我戴了白帽子这个假定是错的，所以我戴了黑帽子．”问题是中间那人也说不知道，所以最前面那个人知道自己戴白帽子的假定是错的，所以他推断出自己戴了黑帽子． 我们把这个问题推广成如下的形式： “有若干种颜色的帽子，每种若干顶．假设有若干个人从前到后站成一排，给他们每个人头上戴一顶帽子．每个人都看不见自己戴的帽子的颜色，而且每个人都看得见在他前面所有人头上帽子的颜色，却看不见在他后面任何人头上帽子的颜色．现在从最后那个人开始， 问他是不是知道自己戴的帽子颜色，如果他回答说不知道，就继续问他前面那个人．一直往前问，那么一定有一个人知道自己所戴的帽子颜色．” 当然要假设一些条件： 1)首先，帽子的总数一定要大于人数，否则帽子都不够戴． 2)“有若干种颜色的帽子，每种若干顶，有若干人”这个信息是队列中所有人都事先知道的，而且所有人都知道所有人都知道此事，所有人都知道所有人都知道所有人都知道此事，等等等等．但在这个条件中的“若干”不一定非要具体一一给出数字来． 这个信息具体地可以是象上面经典的形式，列举出每种颜色帽子的数目“有3顶黑帽子，2顶白帽子，3个人”，也可以是“有红黄绿三种颜色的帽子各1顶2顶3顶，但具体不知道哪种颜色是几顶，有6个人”，甚至连具体人数也可以不知道，“有不知多少人排成一排，有黑白两种帽子，每种帽子的数目都比人数少1”，这时候那个排在最后的人并不知道自己排在最后——直到开始问他时发现在他回答前没有别人被问到，他才知道他在最后．在这个帖子接下去的部分当我出题的时候我将只写出“有若干种颜色的帽子，每种若干顶，有若干人”这个预设条件，因为这部分确定了，题目也就确定了． 3)剩下的没有戴在大家头上的帽子当然都被藏起来了，队伍里的人谁都不知道都剩下些什么帽子． 4)所有人都不是色盲，不但不是，而且只要两种颜色不同，他们就能分别出来．当然他们的视力也很好，能看到前方任意远的地方．他们极其聪明，逻辑推理是极好的．总而言之，只要理论上根据逻辑推导得出来，他们就一定推导得出来．相反地如果他们推不出自己头上帽子的颜色，任何人都不会试图去猜或者作弊偷看——不知为不知． 5)后面的人不能和前面的人说悄悄话或者打暗号． 当然，不是所有的预设条件都能给出一个合理的题目．比如有99顶黑帽子，99顶白帽子，2个人，无论怎么戴，都不可能有人知道自己头上帽子的颜色．另外，只要不是只有一种颜色的帽子，在只由一个人组成的队伍里，这个人也是不可能说出自己帽子的颜色的． 但是下面这几题是合理的题目： 1)3顶红帽子，4顶黑帽子，5顶白帽子，10个人． 2)3顶红帽子，4顶黑帽子，5顶白帽子，8个人． 3)n顶黑帽子，n-1顶白帽子，n个人（n>0）． 4)1顶颜色1的帽子，2顶颜色2的帽子，……，99顶颜色99的帽子，100顶颜色100的帽子，共5000个人． 5)有红黄绿三种颜色的帽子各1顶2顶3顶，但具体不知道哪种颜色是几顶，有6个人． 6)有不知多少人（至少两人）排成一排，有黑白两种帽子，每种帽子的数目都比人数少1． 大家可以先不看我下面的分析，试着做做这几题． 如果按照上面3顶黑帽2顶白帽时的推理方法去做，那么10个人就可以把我们累死，别说5000个人了．但是3)中的n是个抽象的数，考虑一下怎么解决这个问题，对解决一般的问题大有好处． 假设现在n个人都已经戴好了帽子，问排在最后的那一个人他头上的帽子是什么颜色，什么时候他会回答“知道”？很显然，只有在他看见前面n-1个人都戴着白帽时才可能，因为这时所有的n-1顶白帽都已用光，在他自己的脑袋上只能顶着黑帽子，只要前面有一顶黑帽子，那么他就无法排除自己头上是黑帽子的可能——即使他看见前面所有人都是黑帽，他还是有可能戴着第n顶黑帽． 现在假设最后那个人的回答是“不知道”，那么轮到问倒数第二人．根据最后面那位的回答，他能推断出什么呢？如果他看见的都是白帽，那么他立刻可以推断出自己戴的是黑帽——要是他也戴着白帽，那么最后那人应该看见一片白帽，问到他时他就该回答“知道”了．但是如果倒数第二人看见前面至少有一顶黑帽，他就无法作出判断——他有可能戴着白帽，但是他前面的那些黑帽使得最后那人无法回答“知道”；他自然也有可能戴着黑帽． 这样的推理可以继续下去，但是我们已经看出了苗头．最后那个人可以回答“知道”当且仅当他看见的全是白帽，所以他回答“不知道”当且仅当他至少看见了一顶黑帽．这就是所有帽子颜色问题的关键！ 如果最后一个人回答“不知道”，那么他至少看见了一顶黑帽，所以如果倒数第二人看见的都是白帽，那么最后那个人看见的至少一顶黑帽在哪里呢？不会在别处，只能在倒数第二人自己的头上．这样的推理继续下去，对于队列中的每一个人来说就成了： “在我后面的所有人都看见了至少一顶黑帽，否则的话他们就会按照相同的判断断定自己戴的是黑帽，所以如果我看见前面的人戴的全是白帽的话，我头上一定戴着我身后那个人看见的那顶黑帽．” 我们知道最前面的那个人什么帽子都看不见，就不用说看见黑帽了，所以如果他身后的所有人都回答说“不知道”，那么按照上面的推理，他可以确定自己戴的是黑帽，因为他身后的人必定看见了一顶黑帽——只能是第一个人他自己头上的那顶．事实上很明显，第一个说出自己头上是什么颜色帽子的那个人，就是从队首数起的第一个戴黑帽子的人，也就是那个从队尾数起第一个看见前面所有人都戴白帽子的人． 这样的推理也许让人觉得有点循环论证的味道，因为上面那段推理中包含了“如果别人也使用相同的推理”这样的意思，在逻辑上这样的自指式命题有点危险．但是其实这里没有循环论证，这是类似数学归纳法的推理，每个人的推理都建立在他后面那些人的推理上，而对于最后一个人来说，他的身后没有人，所以他的推理不依赖于其他人的推理就可以成立，是归纳中的第一个推理．稍微思考一下，我们就可以把上面的论证改得适合于任何多种颜色的推论： “如果我们可以从假设断定某种颜色的帽子一定会在队列中出现，从队尾数起第一个看不见这种颜色的帽子的人就立刻可以根据和此论证相同的论证来作出判断，他戴的是这种颜色的帽子．现在所有我身后的人都回答不知道，所以我身后的人也看见了此种颜色的帽子．如果在我前面我见不到此颜色的帽子，那么一定是我戴着这种颜色的帽子．” 当然第一个人的初始推理相当简单：“队列中一定有人戴这种颜色的帽子，现在我看不见前面有人戴这颜色的帽子，那它只能是戴在我的头上了．” 对于题1)事情就变得很明显，3顶红帽子，4顶黑帽子，5顶白帽子给10个人戴，队列中每种颜色至少都该有一顶，于是从队尾数起第一个看不见某种颜色的帽子的人就能够断定他自己戴着这种颜色的帽子，通过这点我们也可以看到，最多问到从队首数起的第三人时，就应该有人回答“知道”了，因为从队首数起的第三人最多只能看见两顶帽子，所以最多看见两种颜色，如果他后面的人都回答“不知道”，那么他前面一定有两种颜色的帽子，而他头上戴的一定是他看不见的那种颜色的帽子． 题2)也一样，3顶红帽子，4顶黑帽子，5顶白帽子给8个人戴，那么队列中一定至少有一顶白帽子，因为其它颜色加起来一共才7顶，所以队列中一定会有人回答“知道”． 题4)的规模大了一点，但是道理和2)完全一样．100种颜色的5050顶帽子给5000人戴，前面99种颜色的帽子数量是1+……+99=4950，所以队列中一定有第100种颜色的帽子（至少有50顶），所以如果自己身后的人都回答“不知道”，那么那个看不见颜色100帽子的人就可以断定自己戴着这种颜色的帽子． 至于5)、6)“有红黄绿三种颜色的帽子各1顶2顶3顶，但具体不知道哪种颜色是几顶，有6个人”以及“有不知多少人排成一排，有黑白两种帽子，每种帽子的数目都比人数少1”，原理完全相同，我就不具体分析了． 最后要指出的一点是，上面我们只是论证了，如果我们可以根据各种颜色帽子的数量和队列中的人数判断出在队列中至少有一顶某种颜色的帽子，那么一定有一人可以判断出自己头上的帽子的颜色．因为如果所有身后的人都回答“不知道”的话，那个从队尾数起第一个看不见这种颜色的帽子的人就可以判断自己戴了此颜色的帽子．但是这并不是说在询问中一定是由他来回答“知道”的，因为还可能有其他的方法来判断自己头上帽子的颜色．比如说在题2)中，如果队列如下：（箭头表示队列中人脸朝的方向） 白白黑黑黑黑红红红白→ 那么在队尾第一人就立刻可以回答他头上的是白帽，因为他看见了所有的3顶红帽子和4顶黑帽子，能留给他自己戴的只能是白帽子了． 2．一群人开舞会，每人头 上都戴着一顶帽子．帽子只有黑白两种，黑的至少有一顶．每个人都能看到其它人帽子的颜色，却看不到自己的．主持人先让大家看看别人头上戴的是什么帽子，然 后关灯，如果有人认为自己戴的是黑帽子，就打自己一个耳光．第一次关灯，没有声音．于是再开灯，大家再看一遍，关灯时仍然鸦雀无声．一直到第三次关灯，才 有劈劈啪啪打耳光的声音响起．问有多少人戴着黑帽子？ 答案：3 详解：如果只有1人戴黑帽子，那么第一次关灯他就会打自己耳光；如果有2人，第二次关灯他们就会打自己耳光；有n人戴帽子的话第n次关灯他们就会打自己耳光． 3．一逻辑学家误入某部落，被囚于牢狱，酋长欲意放行，他对逻辑学家说：“今有两门，一为自由，一为死亡，你可任意开启一门．现从两个战士中选择一人负责解答你所提的任何一个问 题（Y/N），其中一个天性诚实，一人说谎成性，今后生死任你选择．”逻辑学家沉思片刻，即向一战士发问，然后开门从容离去．逻辑学家应如何发问？ 答案：问：如果我问另一个人死亡之门在哪里，他会怎么回答？ 详解：最终得到的回答肯定是指向自由之门的． 4：有甲、乙两个容器，其中甲容器装了800克纯酒精，乙容器装了640克纯净水。第一次将甲容器中的纯酒精倒一半给乙容器，混合后，再把乙容器中的溶液倒一半给甲容器。这样视为一次操作。连续三次操作后，甲容器中的溶液有多少克？其中含有纯酒精多少克？ 【思路分析】 根据题意来回操作比较复杂，这样的情况列表会比较理清题目的意思。第一次操作的过程中，开始是甲容器是800克纯酒精，乙容器是640克纯净水，甲倒入了一半的酒精也就是400克给乙，这时甲容器里面有400克的酒精，乙容器里面有400克的酒精和640克的水，这时乙溶液是混合的，倒入一半给甲时，也就是乙容器里面的酒精倒入一半给甲，水也倒入一半，这时甲里面酒精有自己的400克和乙容器里面一半的（200克）酒精，以及乙容器640克水的一半（320克）。乙里面的酒精有剩下一半的酒精（200克）和剩下的一半的水（320克），同理第二次和第三次同样的操作，列出表格。 【标准答案】 根据题意列出如下表格： 537.5＋420＝957.5（克） 答：甲容器中的溶液有957.5克，其中含有纯酒精537.5克。 4. 1．小明、小芳、小花各爱好游泳、羽毛球、乒乓球中的一项，并分别在一小、二小、三小中的一所小学上学。现知道：（1）小明不在一小；（2）小芳不在二小；（3）爱好乒乓球的不在三小；（4）爱好游泳的在一小；（5）爱好游泳的不是小芳。问：三人上各爱好什么运动？各上哪所小学？ 答案：小明在二小上学，爱好打乒乓球；小芳在三小上学，爱好打羽毛球；小花在一小上学，爱好游泳。 分析：有小明、小芳、小花三个人，一小、二小、三小三所学校，游泳、羽毛球、乒乓球三项运动，每一个人对应一所学校，一项运动，典型的列表推理的题目。 详解：这道题比上例复杂，因为要判断人、学校和爱好三个内容。先将题目条件中给出的关系用下面的表1、表2、表3表示： 因为各表中，每行每列只能有一个“√”，所以表3可补全为表4。 由表4、表2知道，爱好游泳的在一小，小芳不爱游泳，所以小芳不在一小。于是可将表1补全为表5。对照表5和表4，得到：小明在二小上学，爱好打乒乓球；小芳在三小上学，爱好打羽毛球；小花在一小上学，爱好游泳。 点睛：本题考查的是逻辑推理问题，对于此类条件下逻辑推理问题，最常用的方法就是列表法。 2．王平、宋丹、韩涛三个小学生都是少先队的干部，一个是大队长，一个是中队长，一个是小队长。一次数学测验，这三个人的成绩是：（1）韩涛比大队长的成绩好。（2）王平和中队长的成绩不相同。（3）中队长比宋丹的成绩差。请你根据这三个人的成绩，判断一下，谁是大队长呢？ 答案：王平 分析：王平、宋丹、韩涛三个学生对应大队长、中队长、小队长三个职位，典型的列表推理的题目，先确定表头，再根据三人的数学测验的成绩确定三个人的职位。 详解：根据条件（2）和（3），王平和中队长的成绩不相同，中队长比宋丹的成绩差。可以断定，王平不是中队长，宋丹也不是中队长，只有韩涛当中队长了。 大队长 中队长 小队长 王平 × 宋丹 × 韩涛 √ 王平和宋丹两人谁是大队长呢？由（1）和（3），韩涛比大队长的成绩好，中队长比宋丹的成绩差，可以推断出按成绩高低排列的话，宋丹的成绩比中队长（韩涛）的成绩好，韩涛的成绩比大队长的成绩好。这样，宋丹、韩涛就都不是大队长，那么，大队长肯定是王平。 答：大队长是王平。 点睛：本题考查的是逻辑推理问题，列表法是求解此类逻辑推理问题最常用的方法。 3．老师让小新把小胖、小贝、小丸子、小淘气、小马虎的作业本带回去，小新见到这五人后就一人给了一本，结果全发错了。现在知道：（1）小胖拿的不是小贝的，也不是小淘气的；（2）小贝拿的不是小丸子的，也不是小淘气的；（3）小丸子拿的不是小贝的，也不是小马虎的；（4）小淘气拿的不是小丸子的，也不是小马虎的；（5）小马虎拿的不是小淘气的，也不是小胖的。另外，没有两人相互拿错（例如小胖拿小贝的，小贝拿小胖的）。问：小丸子拿的是谁的本？小丸子的本被谁拿走了？ 答案：小丸子拿了小淘气的本，小丸子的本被小马虎拿去了。 分析：根据全发错了这个条件，结合条件（1）～（5），可以得到小淘气的本被小丸子拿了，然后再假设小胖拿了小丸子的本，分析是否有矛盾。 详解：根据“全发错了”及条件（1）～（5），可以得到下表： 小胖的本 小贝的本 小丸子的本 小淘气的本 小马虎 小胖 × × × 小贝 × × × 小丸子 × × × 小淘气 × × × 小马虎 × × × 由表1看出，小淘气的本被小丸子拿了。此时，再继续推理分析不大好下手，我们可用假设法。 由上表知，小胖拿的本不是小丸子的就是小马虎的。先假设小胖拿了小丸子的本。于是得到下表， 表中小贝拿小马虎的本，小马虎拿小贝的本。两人相互拿错，不合题意。 小胖的本 小贝的本 小丸子的本 小淘气的本 小马虎 小胖 × × √ × × 小贝 × × × × √ 小丸子 × × × √ × 小淘气 √ × × × × 小马虎 × √ × × × 再假设小胖拿小马虎的本。于是又可得表，经检验，下表符合题意。 小胖的本 小贝的本 小丸子的本 小淘气的本 小马虎 小胖 × × × × √ 小贝 √ × × × × 小丸子 × × × √ × 小淘气 × √ × × × 小马虎 × × √ × × 所以小丸子拿了小淘气的本，小丸子的本被小马虎拿去了。 点睛：本题考查的是复杂的逻辑推理问题，综合应用了假设法和列表法进行求解。 学科网（北京）股份有限公司 $$