（趣味奥数）第十七讲 对策问题-六年级下册奥数精讲精练（通用版）

第十七讲 对策问题 象棋争霸赛 在动物王国，一年一度的象棋争霸赛即将拉开帷幕。这场比赛不仅是技艺的较量，更是智慧与策略的对弈，吸引了众多象棋高手前来参赛。 经过层层选拔，小兔子和小猴子脱颖而出，成功闯入决赛。决赛现场座无虚席，动物们都满怀期待，想看看这场巅峰对决究竟谁能胜出。 比赛开始，小兔子执红棋先行。它深知小猴子棋艺高超，不敢贸然进攻，于是选择了稳健的开局，架起了 “当头炮”，意图控制棋盘中心。小猴子则不慌不忙，以 “屏风马” 应对，稳稳地守住防线，同时也在暗中观察小兔子的布局，寻找反击的机会。 几个回合下来，双方都没有露出明显的破绽。小兔子见正面进攻难以突破，便决定采用 “迂回战术”。它先将 “车” 悄悄移动到侧翼，看似要从侧面发动攻击，实则是虚晃一枪。小猴子识破了小兔子的计谋，并没有轻易调动兵力去防守侧翼，而是继续巩固自己的中路防线，同时将 “炮” 悄悄移动到合适的位置，准备给小兔子来个 “回马枪”。 小兔子见计谋被识破，并不气馁。它思考片刻后，决定 “弃子争先”，故意牺牲一个 “马”，引诱小猴子来吃。小猴子心中明白这可能是个陷阱，但又担心错过扩大优势的机会，经过一番权衡，还是选择吃掉了这个 “马”。就在小猴子以为自己占了便宜时，小兔子迅速调动 “车” 和 “炮”，对小猴子的 “九宫格” 展开了猛烈的攻击。小猴子这才意识到自己中计了，但此时已经来不及回防，只能仓促应对。 在这关键时刻，小猴子并没有慌乱。它冷静地分析局势，发现小兔子的后方出现了一个漏洞。于是，小猴子果断放弃防守，集中兵力，利用 “双车错” 的战术，直捣小兔子的老巢。小兔子万万没想到小猴子会如此大胆地反击，一时间手忙脚乱，无法兼顾前后。最终，小猴子成功将死了小兔子的 “帅”，赢得了这场比赛的胜利。 比赛结束后，全场响起了热烈的掌声。小猴子凭借着出色的对策和冷静的头脑，成为了动物王国新一届的象棋冠军。通过这场比赛，动物们深刻地认识到，在面对强大的对手时，不仅要有扎实的技艺，更要有灵活多变的策略和冷静分析局势的能力，才能在激烈的竞争中脱颖而出。 同学们都熟悉“田忌与齐王赛马”的故事，这个故事给我们的启示是：田忌采用了“扬长避短”的策略，取得了胜利。 生活中的许多事物都蕴含着数学道理，人们在竞赛和争斗中总是玩游戏，大至体育比赛、军事较量等，人们在竞赛和争斗中总是希望自己或自己的一方获取胜利，这就要求参与竞争的双方都要制定出自己的策略，这就是所谓“知己知彼，百战不殆”。哪一方的策略更胜一筹，哪一方就会取得最终的胜利。 解决这类问题一般采用逆推法和归纳法。 1：黑板上写着一排相连的自然数1，2，3，…，51，甲、乙两人轮流划掉连续的3个数。规定在谁划过之后另一人再也划不成了，谁就算取胜。问：甲有必胜的策略吗？ 【思路分析】 题目规定必须是划掉连续的3个数，所以当不存在连续的3个数时，就不能继续划了，游戏到此结束。 【标准答案】 可以先把中间25，26，27这三个数划去，就将1到51这51个数分成了两组，每组有24个数； 这样，只要乙在某一组里有数字可划，那么甲在另一组里相对称的位置上就总有数字可划； 因此，若甲先划，且按上述策略进行，则甲必能获胜。 点睛：本题考查的是必胜策略的问题，对于此类问题，先要判断先手还是后手，然后分析具体如何操作才能确保获胜。 1. 1．桌子上放着2堆火柴，一堆12根，另一堆24根。两人轮流在其中任一堆中拿取，取的根数不限，但不能不取。规定取得最后一根者为胜者。如果都采用最佳方法，那么谁将获胜？ 2．1111个空格排成一行，最左端空格中放有一枚棋子，甲先乙后轮流向右移动棋子，每次移动1～7个格。规定将棋子移到最后一格者输。甲为了获胜，第一步必须向右移多少格？ 3．（1）桌子上放着55根火柴，甲、乙二人轮流每次取走1～3根。规定谁取走最后一根火柴谁获胜。如果双方采用最佳方法，甲先取，那么谁将获胜？ （2）将（1）的条件“每次取走1～3根”改为“每次取走1～4根”，其余不变，情形会怎样？ （3）将（1）的“谁取走最后一根火柴谁获胜”改为“谁取走最后一根火柴谁输”，其余不变，情形又将如何？ 2： 有一只小猴子在深山中发现了一片野香蕉园，它一共摘了300根香蕉，然后要走1000米才能到家，如果它每次最多只能背100根香蕉，并且它每走10米就要吃掉一根香蕉，那么，它最多可以把( )根香蕉带回家？ 【思路分析】 猴子每走10米就要吃掉一根香蕉，如果猴子背着100根香蕉直接回家，总共需要吃掉100根，在到家的时候，猴子刚好吃完最后一根香蕉其他200根香蕉白白浪费了；所以我们考虑让猴子适当地往返，在半路上储存一些香蕉。 【标准答案】 猴子每次最多只能背100根香蕉，300根香蕉猴子必然要折返3次； 我们为猴子想到一个绝妙的主意：在半路上储存一部分香蕉； 猴子的路线： 这两个储存点与就是猴子放置香蕉的地方，怎么选呢？最好的情况是： （一）当猴子第①③④次回去时，都能在这里拿到足够到野香蕉园的香蕉。 （二）当猴子第②④次到达储存点时，都能将之前路上消耗的香蕉补充好。（即身上还有100个） （三）点同上。 的距离为，路上消耗个香蕉。的距离为，路上消耗个香蕉。 猴子第一次到达点，还有个香蕉，回去又要消耗个，只能留下个香蕉。这个香蕉将为猴子补充②③④次路过时的消耗和需求，每次都是个，则。米，猴子将在留下60个香蕉。 那么当猴子②次到达时，身上又有了100个香蕉，到⑤时还有个，从⑤回③需要个，可在留下个，用于⑥时补充从④到⑥的消耗个。则：。 至此，猴子到家时所剩的香蕉为：。 因为猴子每走10米才吃一个香蕉，走到家时最后一个10米才走了，所以还没有吃香蕉，应该还剩下54根香蕉。 2． 1．有两堆火柴，一堆3根，另一堆7根。甲、乙两人轮流取火柴，每次可以从每一堆中取任意根火柴，也可以同时从两堆中取相同数目的火柴。每次至少要取走一根火柴。谁取得最后一根火柴谁胜。如果都采用最佳方法，甲先取，那么谁将获胜？ 2．桌子上放着50根火柴，甲、乙二人轮流每次取走1～3根。规定谁取走最后一根火柴谁获胜。如果双方采用最佳方法，甲先取，那么谁将获胜？ 3．有一长为11cm，宽为9cm，高为7cm的长方体木块，能否切割成77块长、宽都是3cm，高是1cm的长方体形状的积木块？说明理由。 3：甲、乙两人轮流往一个圆桌面上放同样大小的硬币．规则是：每人每次只能放一枚，硬币不许重叠，谁放完最后一枚硬币而使对方再也无处可放，谁就获胜．如果甲先放，那么他怎样放才能取胜？ 【思路分析】 我们用对称的思想来分析一下．圆是关于圆心对称的图形，若A是圆内除圆心外的任意一点，则圆内一定有一点B与A关于圆心对称（见右图，其中AO=OB）．所以，圆内除圆心外，任意一点都有一个（关于圆心的）对称点．由此可以想到，只要甲把第一枚硬币放在圆桌面的圆心处，以后无论乙将硬币放在何处，甲一定能找到与之对称的点放置硬币．也就是说，只要乙能放，甲就一定能放．最后无处可放硬币的必是乙． 【标准答案】 甲的获胜策略是： 如果甲先放，他要把第一枚硬币放到圆桌面的圆心处，以后总在乙上次放的硬币的对称点放置硬币，这样才能取胜． 3． 1．六年级同学组织“六一”庆祝活动，需要给48名同学购买同样大小的矿泉水。 A超市：每10瓶矿泉水售价20元，凡购满50瓶可按总价的90%付款。 B超市：每箱售价27元，凡购满4箱按总价的85%付款。（提示：每箱12瓶）。 如果让你负责购买，你会到哪个超市购买？请用计算方法说明理由。 2．如果妈妈要买这款上衣，你会建议妈妈到哪个商店去买？ 3．一场数学游戏在小聪和小明间展开：黑板上写着自然数2，3，4，…，2007，2008，一名裁判现在随意擦去其中的一个数，然后由小聪和小明轮流擦去其中的一个数（即小明先擦去一个数，小聪再擦去一个数，如此下去），若到最后剩下的两个数互质，则判小聪胜；否则判小明胜，问：小聪和小明谁有必胜策略？说明理由。 4：有2002个空格排成一行，第一格中放入一枚棋子，每次可向前移动3格或6格，由甲乙两人交替走，以先到最后一格者为胜，问先走胜还是后走胜？如何取胜？ 【思路分析】 先走者胜．如甲先走，他可以把棋子向前移动3格．以后若乙将棋子向前移动3格，则甲将棋子向前移动6格；若乙将棋子向前移动6格，则甲将棋子向前移动3格，总保持每轮甲、乙共移动棋子格数为9格，由于（2002－1－3）÷222，所以经过222轮，先走者将到达第2002格． 4. 1．甲、乙两个人按自然数顺序轮流报数，每人每次只能报1个或2个数，但不能不报．例如，甲报1，乙就接着报2或2、3；而甲也可以报1、2，乙接着报3或3、4．这样连续报下去，谁报出100，谁就获胜．甲要怎样才能获胜？先报还是后报？ 2．在黑板上写下数1，2，3，4，…，100，101，甲先擦掉其中的一个数，然后乙再擦去一个数．如此轮流下去，直到最后只剩下两个数为止，若最后剩下的两个数互素，则甲胜；若最后剩下的两个数不互素，则乙胜．按此规则，请为甲制定一个必胜策略． 3．有m个减号“－”号排成一行，甲、乙两人轮流将减号“－”改成加号“+”，每次只能改其中的一个或者是相邻的两个，但不能不改，谁将最后剩下的减号“－”改为加号“+”谁就获胜．如果甲先改，请问甲是否有必胜的策略？ 吴文俊 吴文俊(Wentsun WU)，男，1919年5月12日生于上海，1940年毕业于交通大学，1949年获法国国家博士学位。世界著名数学家， 中国科学院数学与系统科学研究院系统科学研究所研究员、名誉所长，中国数学会名誉理事长。中国数学机械化研究的创始人之一，现任中国科学院系统科学研究所名誉所长、研究员，中国科学院院士，第三世界科学院院士；曾任中国数学会理事长（1985-1987），中国科学院数理学部主任（1992-1994），全国政协委员、常委（1979-1998）。 他在拓扑学、自动推理、机器证明、代数几何、中国数学史、对策论等研究领域均有杰出的贡献,在国内外享有盛誉。他在拓扑学的示性类、示嵌类的研究方面取得一系列重要成果，是拓扑学中的奠基性工作并有许多重要应用。他的“吴方法”在国际机器证明领域产生巨大的影响，有广泛重要的应用价值。当前国际流行的主要符号计算软件都实现了吴文俊教授的算法。 曾获得首届国家自然科学一等奖(1956)、中国科学院自然科学一等奖(1979)、第三世界科学院数学奖(1990)、陈嘉庚数理科学奖(1993)、首届香港求是科技基金会杰出科学家奖(1994)、Herbrand自动推理杰出成就奖(1997)、首届国家最高科学技术奖(2000)、第三届邵逸夫数学奖(2006)。 吴文俊在数学上作出了许多重大的贡献。 ◆ 拓扑学方面，在示性类、示嵌类等领域获得一系列成果，还得到了许多著名的公式，指出了这些理论和方法的广泛应用。他还在拓扑不变量、代数流形等问题上有创造性工作。1956年吴文俊因在拓扑学中的示性类和示嵌类方面的卓越成就获中国自然科学奖一等获。 ◆ 数学机械化或机器证明方面，从初等几何着手，在计算机上证明了一类高难度的定理，同时也发现了一些新定理，进一步探讨了微分几何的定理证明。提出了利用机器证明与发现几何定理的新方法。这项工作为数学研究开辟了一个新的领域，将对数学的革命产生深远的影响。1978年获全国科学大会重大科技成果奖。 ◆ 中国数学史方面，吴文俊认为中国古代数学的特点是：从实际问题出发，经过分析提高，再抽象出一般的原理、原则和方法，最终达到解决一大类问题的目的。他对中国古代数学在数论、代数、几何等方面的成就也提出了精辟的见解。 1：黑板上写着一排相连的自然数1，2，3，…，51，甲、乙两人轮流划掉连续的3个数。规定在谁划过之后另一人再也划不成了，谁就算取胜。问：甲有必胜的策略吗？ 【思路分析】 题目规定必须是划掉连续的3个数，所以当不存在连续的3个数时，就不能继续划了，游戏到此结束。 【标准答案】 可以先把中间25，26，27这三个数划去，就将1到51这51个数分成了两组，每组有24个数； 这样，只要乙在某一组里有数字可划，那么甲在另一组里相对称的位置上就总有数字可划； 因此，若甲先划，且按上述策略进行，则甲必能获胜。 点睛：本题考查的是必胜策略的问题，对于此类问题，先要判断先手还是后手，然后分析具体如何操作才能确保获胜。 1. 1．桌子上放着2堆火柴，一堆12根，另一堆24根。两人轮流在其中任一堆中拿取，取的根数不限，但不能不取。规定取得最后一根者为胜者。如果都采用最佳方法，那么谁将获胜？ 答案：先取者胜 分析：既然都采用最佳方法，那就要考虑对自己最有利的情况，首先要判断先手还是后手，然后分析具体如何操作。 详解：先取者在24根一堆的火柴中取12根火柴，使得取后剩下两堆的火柴数相同以后无轮对手在某一堆取几根火柴，你只需在另一堆也取同样多根的火柴只要对手有火柴可取，你也有火柴可取，也就是说，最后一根火柴总会被你拿到，这样先取者胜。 点睛：本题考查的是必胜策略的问题，首先要判断是否存在必胜策略，然后确定如何操作，才能取胜。 2．1111个空格排成一行，最左端空格中放有一枚棋子，甲先乙后轮流向右移动棋子，每次移动1～7个格。规定将棋子移到最后一格者输。甲为了获胜，第一步必须向右移多少格？ 答案：5格 分析：一开始棋子已占一格，棋子的右面有1110个空格，由于每次移动1~7个格，那么只要甲始终留给乙8的倍数加1格，就可获胜。 详解：1111－1＝1110（个） 1＋7＝8 所以甲第一步必须移5格，还剩下1105格，1105是8的倍数加1.以后无论以移几格，甲下次移的格数与乙移的格数之和是8，甲就必胜。 答：第一步必须移5格。 点睛：本题考查的是必胜策略的问题，对于必胜策略的问题，首先要判断先后手，然后判断如何进行操作。 3．（1）桌子上放着55根火柴，甲、乙二人轮流每次取走1～3根。规定谁取走最后一根火柴谁获胜。如果双方采用最佳方法，甲先取，那么谁将获胜？ （2）将（1）的条件“每次取走1～3根”改为“每次取走1～4根”，其余不变，情形会怎样？ （3）将（1）的“谁取走最后一根火柴谁获胜”改为“谁取走最后一根火柴谁输”，其余不变，情形又将如何？ 答案：（1）甲必胜 （2）乙必胜 （3）甲必胜 分析：题目的要求是双方都采用最佳方法，所以要按照最利于自己的方法来取。 详解：（1）获胜方在最后一次取走最后一根；往前逆推，在倒数第二次取时，必须留给对方4根，此时无论对方取1，2或3根，获胜方都可以取走最后一根；再往前逆推，获胜方要想留给对方4根，在倒数第三次取时，必须留给对方8根……由此可知，获胜方只要每次留给对方的都是4的倍数根，则必胜。现在桌上有55根火柴，55÷4＝13……3，所以只要甲第一次取走3根，剩下52根火柴是4的倍数，以后甲总留给乙4的倍数根火柴，甲必胜。 答：甲必胜。 （2）由上面的分析，只要始终留给对方（1＋4＝）5的倍数根火柴，就一定获胜。因为55是5的倍数，甲先取，不可能留给乙5的倍数根，而甲每次取完后，乙再取都可能留给甲5的倍数根，所以在双方都采用最佳策略的情况下，乙必胜。 答：乙必胜。 （3）因为最后留给对方1根火柴者必胜，按照逆推的方法分析，只要每次留给对方4的倍数加1根火柴必胜。甲先取，只要第一次取2根，剩下53根（53除以4余1），以后每次都将除以4余1的根数留给以，甲必胜。 答：甲必胜。 点睛：本题考查的是必胜策略的问题，对于必胜策略的问题，不仅要考虑先后手，还要考虑如何操作。 2： 有一只小猴子在深山中发现了一片野香蕉园，它一共摘了300根香蕉，然后要走1000米才能到家，如果它每次最多只能背100根香蕉，并且它每走10米就要吃掉一根香蕉，那么，它最多可以把( )根香蕉带回家？ 【思路分析】 猴子每走10米就要吃掉一根香蕉，如果猴子背着100根香蕉直接回家，总共需要吃掉100根，在到家的时候，猴子刚好吃完最后一根香蕉其他200根香蕉白白浪费了；所以我们考虑让猴子适当地往返，在半路上储存一些香蕉。 【标准答案】 猴子每次最多只能背100根香蕉，300根香蕉猴子必然要折返3次； 我们为猴子想到一个绝妙的主意：在半路上储存一部分香蕉； 猴子的路线： 这两个储存点与就是猴子放置香蕉的地方，怎么选呢？最好的情况是： （一）当猴子第①③④次回去时，都能在这里拿到足够到野香蕉园的香蕉。 （二）当猴子第②④次到达储存点时，都能将之前路上消耗的香蕉补充好。（即身上还有100个） （三）点同上。 的距离为，路上消耗个香蕉。的距离为，路上消耗个香蕉。 猴子第一次到达点，还有个香蕉，回去又要消耗个，只能留下个香蕉。这个香蕉将为猴子补充②③④次路过时的消耗和需求，每次都是个，则。米，猴子将在留下60个香蕉。 那么当猴子②次到达时，身上又有了100个香蕉，到⑤时还有个，从⑤回③需要个，可在留下个，用于⑥时补充从④到⑥的消耗个。则：。 至此，猴子到家时所剩的香蕉为：。 因为猴子每走10米才吃一个香蕉，走到家时最后一个10米才走了，所以还没有吃香蕉，应该还剩下54根香蕉。 2． 1．有两堆火柴，一堆3根，另一堆7根。甲、乙两人轮流取火柴，每次可以从每一堆中取任意根火柴，也可以同时从两堆中取相同数目的火柴。每次至少要取走一根火柴。谁取得最后一根火柴谁胜。如果都采用最佳方法，甲先取，那么谁将获胜？ 答案：甲必胜 分析：既然规定谁取得最后一根火柴谁胜，那么可以先假设甲获胜，然后采用逆推法分析，求出每一次取，剩下的火柴可能是多少，最终倒推得到最初甲应该从那一堆里面取，该如何取。 详解：假设甲获胜，甲最终将两堆火柴都变为0，简记（0，0）；因为甲至少取1根火柴，所以甲取之前，即乙留给甲的两堆火柴最少的几种情况是（1，0），（2，0）（1，1）；要想乙留给甲上述情况，甲应该留给乙（1，2）；再往前逆推，当甲留给乙（3，5）时，无论乙怎样取，甲都可以一次取完所有的火柴或留给乙（1，2）。所以甲先从7根火柴的一堆取出2根，留给乙（3，5），甲必胜。 答：甲会获胜。 点睛：本题考查的是必胜策略的问题，既然都采取最佳策略，就要从最利于自己的角度来分析问题。 2．桌子上放着50根火柴，甲、乙二人轮流每次取走1～3根。规定谁取走最后一根火柴谁获胜。如果双方采用最佳方法，甲先取，那么谁将获胜？ 答案：甲必胜 分析：获胜方在最后一次取走最后一根；往前逆推，在倒数第二次取时，必须留给对方4根，此时无论对方取1，2或3根，获胜方都可以取走最后一根；再往前逆推，获胜方要想留给对方4根，在倒数第三次取时，必须留给对方8根……由此可知，获胜方只要每次留给对方的都是4的倍数根，则必胜。 详解：3＋1＝4（根） 50÷4＝12……2 所以只要甲第一次取走2根，剩下48根火柴是4的倍数，以后甲总留给乙4的倍数根火柴，甲必胜。 答：甲必胜。 点睛：本题考查的是必胜策略的问题，对于题目给出了先手是甲，所以关键是考虑如何操作。 3．有一长为11cm，宽为9cm，高为7cm的长方体木块，能否切割成77块长、宽都是3cm，高是1cm的长方体形状的积木块？说明理由。 答案：不能；见详解 分析：长方体木块的体积是693立方厘米，77个小长方体的体积也是693立方厘米，至于能否切割成77块长、宽都是3cm，高是1cm的长方体形状的积木块，需要考虑大长方体的长、宽、高与小长方体长、宽、高的关系。 详解：木块体积为立方厘米，77块立方厘米的积木也恰为693立方厘米； 如果能将立方厘米的木块切割为77块立方厘米的积木，那么的侧面将被小积木的侧面盖满； 而小积木侧面面积要么是3平方厘米，要么是9平方厘米，从而应被3整除，但这不成立。 所以长为11cm，宽为9cm，高为7cm的木块不能切割成77块立方厘米的长方体积木。 答：不能切割成77块长、宽都是3cm，高是1cm的长方体形状的积木块。 点睛：本题考查的是立体几何问题，注意并不是体积相等就可以。 3：甲、乙两人轮流往一个圆桌面上放同样大小的硬币．规则是：每人每次只能放一枚，硬币不许重叠，谁放完最后一枚硬币而使对方再也无处可放，谁就获胜．如果甲先放，那么他怎样放才能取胜？ 【思路分析】 我们用对称的思想来分析一下．圆是关于圆心对称的图形，若A是圆内除圆心外的任意一点，则圆内一定有一点B与A关于圆心对称（见右图，其中AO=OB）．所以，圆内除圆心外，任意一点都有一个（关于圆心的）对称点．由此可以想到，只要甲把第一枚硬币放在圆桌面的圆心处，以后无论乙将硬币放在何处，甲一定能找到与之对称的点放置硬币．也就是说，只要乙能放，甲就一定能放．最后无处可放硬币的必是乙． 【标准答案】 甲的获胜策略是： 如果甲先放，他要把第一枚硬币放到圆桌面的圆心处，以后总在乙上次放的硬币的对称点放置硬币，这样才能取胜． 3． 1．六年级同学组织“六一”庆祝活动，需要给48名同学购买同样大小的矿泉水。 A超市：每10瓶矿泉水售价20元，凡购满50瓶可按总价的90%付款。 B超市：每箱售价27元，凡购满4箱按总价的85%付款。（提示：每箱12瓶）。 如果让你负责购买，你会到哪个超市购买？请用计算方法说明理由。 答案：A超市 详解：A超市：购买50瓶，20×5×90%＝90（元） B超市：4箱共12×4＝48（平） 27×4×85%＝91.8（元） 因为在A超市花的总钱数少且多2瓶，所以会去A超市购买。 2．如果妈妈要买这款上衣，你会建议妈妈到哪个商店去买？ 答案：到B商店购买 详解：A商店：480×70%＝336（元） B商店：400×80%＝320（元） 320＜336 答：B商店便宜，建议妈妈到B商店购买。 3．一场数学游戏在小聪和小明间展开：黑板上写着自然数2，3，4，…，2007，2008，一名裁判现在随意擦去其中的一个数，然后由小聪和小明轮流擦去其中的一个数（即小明先擦去一个数，小聪再擦去一个数，如此下去），若到最后剩下的两个数互质，则判小聪胜；否则判小明胜，问：小聪和小明谁有必胜策略？说明理由。 答案：若裁判擦去的是奇数，则小明一定获胜；若裁判擦去的是偶数，则小聪一定获胜。 自然数2，3，4，……，2007，2008中，共有奇数1003个，偶数1004个，他们获胜的关键是看裁判擦去的数。 ①如果裁判擦去的奇数，那么奇数剩下1002个，偶数1004个，这样不管小聪擦什么数，小明都擦去奇数，这样最后剩下的就是两个偶数，两个偶数不可能互质，所以小明一定获胜； ②如果裁判擦去的偶数，那么奇数1003个，偶数剩下1003个，将相连的奇数与偶数两两组成一组，这样不管小明擦什么数，小聪都擦去与它组合一组的数，这样最后剩下的就是一个奇数一个偶数，且这两个数一定是互质，这样小聪一定获胜。 4：有2002个空格排成一行，第一格中放入一枚棋子，每次可向前移动3格或6格，由甲乙两人交替走，以先到最后一格者为胜，问先走胜还是后走胜？如何取胜？ 【思路分析】 先走者胜．如甲先走，他可以把棋子向前移动3格．以后若乙将棋子向前移动3格，则甲将棋子向前移动6格；若乙将棋子向前移动6格，则甲将棋子向前移动3格，总保持每轮甲、乙共移动棋子格数为9格，由于（2002－1－3）÷222，所以经过222轮，先走者将到达第2002格． 4. 1．甲、乙两个人按自然数顺序轮流报数，每人每次只能报1个或2个数，但不能不报．例如，甲报1，乙就接着报2或2、3；而甲也可以报1、2，乙接着报3或3、4．这样连续报下去，谁报出100，谁就获胜．甲要怎样才能获胜？先报还是后报？ 答案：甲必须先报数，并且先报1；以后乙若报1个数，则甲就报2个数，乙若报2个数，甲就报1个数，依次类推，当甲报数“97”后，无论乙如何报数，甲都可以报到数“100”． 2．在黑板上写下数1，2，3，4，…，100，101，甲先擦掉其中的一个数，然后乙再擦去一个数．如此轮流下去，直到最后只剩下两个数为止，若最后剩下的两个数互素，则甲胜；若最后剩下的两个数不互素，则乙胜．按此规则，请为甲制定一个必胜策略． 答案：首先，甲可以擦去1，这时还有100个数，我们把它们分成50组：（2，3），（4，5），（6，7），…，（98，99），（100，101）；这样，无论乙擦去哪一个数，甲都可以擦去与此数同一组的另一个数，依此下去，最后剩下的将是相邻的两个自然数．由于相邻的两个自然数是互素的，所以甲必然获胜． 详解：相邻的两个自然数是互素的，只要利用这一基本知识，甲就能够获胜．首先，甲可以擦去1，这时还有100个数，我们把它们分成50组：（2，3），（4，5），（6，7），…，（98，99），（100，101）；这样，无论乙擦去哪一个数，甲都可以擦去与此数同一组的另一个数，依此下去，最后剩下的将是相邻的两个自然数．由于相邻的两个自然数是互素的，所以甲必然获胜． 3．有m个减号“－”号排成一行，甲、乙两人轮流将减号“－”改成加号“+”，每次只能改其中的一个或者是相邻的两个，但不能不改，谁将最后剩下的减号“－”改为加号“+”谁就获胜．如果甲先改，请问甲是否有必胜的策略？ 答案：甲有必胜的策略 分析：我们先从简单的情况入手来寻找获胜的策略．若m=1，甲必胜；若m=2时，甲可以改相邻的两个减号“－”，也必胜；若m=3，甲可以改第2个减号“－”为“+”，这时剩下的两上减号“－”不相邻且关于加号“+”对称，无率乙改哪一个，甲可以改最后一个，甲必胜；若m=4，甲可以改2、3个关于中间的两个加号“+”对称，无论乙如何改，甲都必胜．依此类推，甲有必胜的策略． 详解：甲可以制定下面的策略，从而稳操胜券． 当m是奇数时，甲先将中间的一个“－”改为加号“+”，并以此为对称中心，以后无论乙将哪一侧的一个或相邻的两个减号“－”改为“+”，甲都可以将另一侧与乙所改的一个或相邻的两个对称的减号“－”改为加号“+”，从而甲必定是最后将减号“－”改为加号“+”的人；当m是偶数时，甲先将中间的两个减号“－”改为加号“+”，并以此为对称中心，以后无论乙在哪一侧将一个或相邻的两上减号“－”改为加号“+”，甲都可以选择在另一侧与乙所改的对称的减号“－”改为加号“+”，从而甲必胜． 学科网（北京）股份有限公司 $$