第1套 2025年高考数学八省联考仿真卷（巩固卷2）

第1套 2025年八省联考仿真卷（巩固卷2） ||| 试卷概述 1.2025年八省联考简述：近几年的联考，堪称高考极为重要的方向标，本次联考呈现出一个突出特点，即降低了教材外知识的占比，这无疑是回归高考命题正确轨道的积极信号，由此可以合理预期，2025年高考难度相较于以往或有所降低，此外，就本次联考试题而言，个人认为其中第11题不具备深入研究的价值. 2.本卷特点： （1）本卷在难度设定上紧密对标八省联考，从命题思路、知识点覆盖广度与深度，到题型的复杂程度，均力求与八省联考保持高度一致. （2）本次试卷严格对标八省联考的出题模式，在题目筛选与设计上精益求精，从多角度考量知识点的覆盖与考查深度，力求为考生打造极具价值的仿真试卷，帮助考生提前适应高考节奏与题型风格.||| 仿真好题 一、本题共8小题，每小题5分，共40分.（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1.已知集合，那么（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】根据交集运算可得解. 【详解】因为， 所以. 故选：D. 2.函数的最小正周期是（ ） A. B. C. D.2π 【答案】C 【分析】根据周期公式求解即可. 【详解】 故选：C 3.为虚数单位，若，则（ ） A.5 B.7 C.9 D.25 【答案】A 【分析】化简复数，再进行求模计算即可. 【详解】因为， 所以， 故选：A. 4.已知向量，，则（ ） A.1 B. C.3 D. 【答案】B 【分析】根据向量加减的坐标运算求出，，再根据向量数量积的坐标运算即可求解. 【详解】由，， 两式联立，可得，， 所以. 故选：B 5.已知双曲线的焦距为12，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】根据双曲线的焦距，求得，再求渐近线方程即可. 【详解】因为双曲线的焦距为，所以，解得， 所以该双曲线的渐近线方程为. 故选：C. 6.（24·25高三上·山东潍坊·期中）已知一个圆锥的底面圆半径为，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】先根据扇形的弧长公式求出圆锥的母线长，进而求出高，再根据圆锥的体积公式求解即可. 【详解】设圆锥的母线长为，高为， 则，解得， 所以， 所以圆锥的体积. 故选：D. 7.设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，D为边BC上一点，，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】设，在与中，由余弦定理求出，根据求出，进而求得的面积. 【详解】设，在中，， 在中，， 所以，解得， 因为，所以， 所以的面积为. 故选：C 8.已知关于x的不等式组仅有一个整数解，则k的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】先解不等式可得或，再解不等式，进而分三种情况讨论，结合交集的定义求解即可. 【详解】由，即，解得或， 由，即， 当时，不等式为，无解； 当时，不等式解集为， 结合题意，此时原不等式组的解集为，且仅有一个整数解， 所以，即， 当时，不等式解集为， 结合题意，要使不等式组仅有一个整数解， 则，即， 综上所述，k的取值范围为， 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.（在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9.设为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与交于两点，为的准线，则（ ） A. B. C.以为直径的圆与相切 D. 【答案】CD 【分析】求出抛物线方程，利用抛物线的定义，结合直线与抛物线的位置关系计算弦长和三角形面积判断选项的正误即可 【详解】直线过抛物线的焦点， 可得，则，所以A选项错误； 抛物线方程为，准线的方程为， 直线与抛物线交于两点，设， 直线方程代入抛物线方程消去可得， 则，得，所以B选项错误； 的中点的横坐标，中点到抛物线的准线的距离为， 则以为直径的圆与相切，所以C选项正确； 点到直线的距离，，所以D选项正确. 故选：CD. 10.如果定义在R上的函数，对任意两个不相等的实数，，都有，则称函数为“H函数”，下列函数是“H函数”的有（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【分析】新定义变形为函数是增函数，因此只要确定函数是不是增函数即可得. 【详解】因为，所以， 即时，恒成立，因此是增函数， 时，为偶函数，在定义域内不可能是增函数，A不满足新定义； ，则恒成立，所以是上的增函数，满足新定义； ，恒成立，是上的增函数，满足新定义； 时，，不是定义域内的增函数，不满足新定义. 故选：BC. 11.（24·25高二上·河南安阳·期末）已知曲线，则（ ） A.不经过第二象限 B.当，时，上任一点到坐标原点的距离均相等 C.上点的横坐标的取值范围是 D.上任一点到直线的距离的取值范围是 【答案】ABD 【分析】对于A，由化简方程即可判断；对于B，由化简的方程即可判断；对于C，结合，与时曲线的方程可求出的取值范围，即可判断C项的正误；对于D，结合3个象限内曲线的性质即可判断曲线上任一点到直线的距离的取值范围. 【详解】对于A，当时，的方程为，方程无解， 所以曲线不经过第二象限，故A正确； 对于B，当时，的方程为，即， 此时方程表示圆心在坐标原点，半径为2的四分之一圆， 所以当时，上任一点到坐标原点的距离均为2，故B正确； 对于C，当时，为双曲线在第一象限的部分， 当时，为双曲线在第三象限的部分， 所以曲线的图象，如图所示，则上点的横坐标的取值范围是，故C错误； 对于D，因为直线是双曲线与双曲线的公共渐近线， 所以上任一点到直线的距离都大于0， 又上任一点到直线的距离的最大值即四分之一圆上的点到直线的距离的最大值为2，故D正确. 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：本题考查了曲线与方程、直线与圆及直线与圆的位置关系，解答本题的关键是根据曲线方程得到相应的曲线，利用直线与圆、直线与双曲线的位置关系求解距离范围. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知函数（且），若，则________. 【答案】 【分析】由给定条件并结合对数运算法则求出，再由对数的性质即可得解. 【详解】因，且， 则，即，于是得，则有，即， 所以. 故答案为：4 13.从甲、乙、丙等6人中选择3人去成都出差，则甲被选中，而乙没有被选中的概率为________. 【答案】/ 【分析】根据题意得到共有种情况，甲被选中，而乙没有被选中共有种情况，再利用古典概型公式计算即可. 【详解】甲、乙、丙等6人中选择3人去成都出差，共有种情况， 甲被选中，而乙没有被选中共有种情况， 所以甲被选中，而乙没有被选中的概率为. 故答案为： 14.（24·25高一上·江苏无锡·期中）我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，若的对称中心为，则________. 【答案】 【分析】利用给定性质求出的对称中心，再利用中心对称函数的性质求解即可. 【详解】令，因为， 所以，因为的对称中心为， 所以是奇函数， 故，化简得， 当时，有定义，故， 即得到，而， ， 故， 解得，，可得关于中心对称， 故，即， ，， 故， . 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15.（本小题满分13分）2023年5月30日，搭载神舟十六号载人飞船的长征二号遥十六运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射.实验中学某班为弘扬“载人航天精神——特别能吃苦、特别能战斗、特别能攻关、特别能奉献”，举行航天知识问答活动，活动分为A、两类项目，且该班级所有同学均参加活动，每位同学选择一项活动参加. A类 类 男同学 25 15 女同学 10 若采用分层抽样从该班级中抽取6名同学，则有男同学4名，女同学2名. （1）求以及该班同学选择A类项目的概率； （2）依据小概率值的独立性检验，能否认为同学选择项目的类别与其性别有关？ 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 附：. 【答案】（1） （2）认为同学选择项目的类别与其性别无关 【分析】（1）根据男女同学的比例求a的值，用频率估计概率求选择A类项目的概率； （2）由（1）完善列联表，求，并与临界值对比分析. 【详解】（1）依题意男女同学的比例为，则，解得； 该班同学选择A类项目的概率为. （2）由（1）完善列联表可得： A类 类 总计 男同学 25 15 40 女同学 10 10 20 总计 35 25 60 零假设为：同学选择项目的类别与其性别无关， 可得， 依据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立， 所以能认为同学选择项目的类别与其性别无关 16.（本小题满分15分）已知数列、满足，，，，且，. （1）求证：是等比数列； （2）若是递增数列，求实数的取值范围. 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【分析】（1）根据已知条件，求得与的关系，即可证明； （2）由的单调性可判断，结合已知条件，将问题转化为对任意恒成立，由（1）中所求，即可求得参数范围围. 【详解】（1）由题可知：，， 故可得，又，所以， 所以，所以是首项为1，公比为的等比数列. （2）因为是递增数列， 所以对任意恒成立， 因为，所以 则对任意恒成立， 即对任意恒成立， 由（1）知， 所以对任意恒成立， 因为当时取得最大值，且最大值为1， 所以，即实数的取值范围为. 17.（本小题满分15分）已知函数. （1）求曲线在点处的切线的方程； （2）若函数在处取得极大值，求a的取值范围. 【答案】（1） （2） 【分析】（1）先求导后求出切线的斜率，然后求出直线上该点的坐标即可写出直线方程； （2），通过对进行分类讨论，利用取得极大值的条件即可得到结论； 【详解】（1）由可得， 所以，， 故曲线在点处的切线的方程； （2）由（1）可得 当时，， 当时，，单调递增；当时，，单调递减； 所以此时在处取得极大值，满足题意； 当时，令，解得 下面对进行分类讨论 ①当时，，在上单调递增，无极值点，舍去； ②当时， 当或时，，单调递增；当时，，单调递减， 此时在处取得极小值，故舍去； ③当时， 当或时，，单调递减；当时，，单调递增， 此时在处取得极大值，满足题意； ④当时， 当或时，，单调递增；当时，，单调递减， 此时在处取得极大值，满足题意； 综上：的取值范围为 18.（本小题满分17分）在圆上任取一点，过作轴的垂线段，垂足为，点在线段的延长线上，且，当在圆上运动时，点形成的轨迹为.（当经过圆与轴的交点时，规定点与点重合.） （1）求的方程； （2）设的上顶点为，过点作斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，，直线，分别与轴交于点，，证明：线段的中点为定点. 【答案】（1） （2）证明见解析 【分析】（1）设，，点的坐标代入圆可得答案； （2）设，，过点的直线为，与椭圆方程联立，利用韦达定理求出、，再由直线、直线的方程求出、相加可得答案. 【详解】（1）设，，则， 所以，， 因为点在圆上， 所以， 即的方程为； （2）设过点的直线为，，， 由，得， 所以，解得， 所以，， 直线的方程为，令，解得， 直线的方程为，令，解得， 所以 ， 因为，都在轴上，所以，中点的纵坐标为0， 所以线段的中点为定点. 19.（本小题满分17分）如图1，已知在等边三角形中，点，分别为，的中点，点为的中点，点为边上一点，且，连接，，，将沿折起到的位置，使平面平面，如图2. （1）求证：平面平面； （2）求二面角的平面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【分析】（1）根据题意，结合面面垂直的性质可得平面，再根据已知条件证明平面，最后结合面面垂直的判定即可求证； （2）根据题意，建立适当的空间直角坐标系，转化为向量求法即可求解. 【详解】（1）因为点，分别为等边三角形的，边的中点， 所以是等边三角形，且. 因为点是的中点，所以. 又平面平面，平面平面， 所以平面. 又平面，所以. 因为，所以与平行且相等， 所以四边形为平行四边形，所以. 易知，所以. 又，所以平面. 又平面，所以平面平面. （2）设等边三角形的边长为4，取的中点，连接，由题设知， 由（1）知平面，又平面，所以， 以点为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，. 设平面的一个法向量为，则由，得， 令，则，，此时. 易知平面的一个法向量为， 所以， 由图易知二面角的平面角是锐角， 所以二面角的平面角的余弦值为. 1/15 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1套 2025年八省联考仿真卷（巩固卷2） ||| 试卷概述 1.2025年八省联考简述：近几年的联考，堪称高考极为重要的方向标，本次联考呈现出一个突出特点，即降低了教材外知识的占比，这无疑是回归高考命题正确轨道的积极信号，由此可以合理预期，2025年高考难度相较于以往或有所降低，此外，就本次联考试题而言，个人认为其中第11题不具备深入研究的价值. 2.本卷特点： （1）本卷在难度设定上紧密对标八省联考，从命题思路、知识点覆盖广度与深度，到题型的复杂程度，均力求与八省联考保持高度一致. （2）本次试卷严格对标八省联考的出题模式，在题目筛选与设计上精益求精，从多角度考量知识点的覆盖与考查深度，力求为考生打造极具价值的仿真试卷，帮助考生提前适应高考节奏与题型风格.||| 仿真好题 一、本题共8小题，每小题5分，共40分.（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1.已知集合，那么（ ） A. B. C. D. 2.函数的最小正周期是（ ） A. B. C. D.2π 3.为虚数单位，若，则（ ） A.5 B.7 C.9 D.25 4.已知向量，，则（ ） A.1 B. C.3 D. 5.已知双曲线的焦距为12，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 6.（24·25高三上·山东潍坊·期中）已知一个圆锥的底面圆半径为，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 7.设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，D为边BC上一点，，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 8.已知关于x的不等式组仅有一个整数解，则k的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.（在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9.设为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与交于两点，为的准线，则（ ） A. B. C.以为直径的圆与相切 D. 10.如果定义在R上的函数，对任意两个不相等的实数，，都有，则称函数为“H函数”，下列函数是“H函数”的有（ ） A. B. C. D. 11.（24·25高二上·河南安阳·期末）已知曲线，则（ ） A.不经过第二象限 B.当，时，上任一点到坐标原点的距离均相等 C.上点的横坐标的取值范围是 D.上任一点到直线的距离的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知函数（且），若，则________. 13.从甲、乙、丙等6人中选择3人去成都出差，则甲被选中，而乙没有被选中的概率为________. 14.（24·25高一上·江苏无锡·期中）我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，若的对称中心为，则________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15.（本小题满分13分）2023年5月30日，搭载神舟十六号载人飞船的长征二号遥十六运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射.实验中学某班为弘扬“载人航天精神——特别能吃苦、特别能战斗、特别能攻关、特别能奉献”，举行航天知识问答活动，活动分为A、两类项目，且该班级所有同学均参加活动，每位同学选择一项活动参加. A类 类 男同学 25 15 女同学 10 若采用分层抽样从该班级中抽取6名同学，则有男同学4名，女同学2名. （1）求以及该班同学选择A类项目的概率； （2）依据小概率值的独立性检验，能否认为同学选择项目的类别与其性别有关？ 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 附：. 16.（本小题满分15分）已知数列、满足，，，，且，. （1）求证：是等比数列； （2）若是递增数列，求实数的取值范围. 17.（本小题满分15分）已知函数. （1）求曲线在点处的切线的方程； （2）若函数在处取得极大值，求a的取值范围. 18.（本小题满分17分）在圆上任取一点，过作轴的垂线段，垂足为，点在线段的延长线上，且，当在圆上运动时，点形成的轨迹为.（当经过圆与轴的交点时，规定点与点重合.） （1）求的方程； （2）设的上顶点为，过点作斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，，直线，分别与轴交于点，，证明：线段的中点为定点. 19.（本小题满分17分）如图1，已知在等边三角形中，点，分别为，的中点，点为的中点，点为边上一点，且，连接，，，将沿折起到的位置，使平面平面，如图2. （1）求证：平面平面； （2）求二面角的平面角的余弦值. 1/4 学科网（北京）股份有限公司 $$