第1套 2025年高考数学八省联考仿真卷（巩固卷1）

第1套 2025年八省联考仿真卷（巩固卷1） ||| 试卷概述 1.2025年八省联考简述：近几年的联考，堪称高考极为重要的方向标，本次联考呈现出一个突出特点，即降低了教材外知识的占比，这无疑是回归高考命题正确轨道的积极信号，由此可以合理预期，2025年高考难度相较于以往或有所降低，此外，就本次联考试题而言，个人认为其中第11题不具备深入研究的价值. 2.本卷特点： （1）本卷在难度设定上紧密对标八省联考，从命题思路、知识点覆盖广度与深度，到题型的复杂程度，均力求与八省联考保持高度一致. （2）本次试卷严格对标八省联考的出题模式，在题目筛选与设计上精益求精，从多角度考量知识点的覆盖与考查深度，力求为考生打造极具价值的仿真试卷，帮助考生提前适应高考节奏与题型风格.||| 仿真好题 一、本题共8小题，每小题5分，共40分.（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1.已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2.函数的最小正周期是（ ） A. B. C. D. 3.已知复数（i是虚数单位），则（ ）. A.1 B. C.2 D. 4.已知向量，，（），则（ ） A.5 B. C. D. 5.双曲线的渐近线方程为，则（ ） A. B.2 C. D. 6.已知圆锥的母线为，侧面展开所成扇形的圆心角为，则此圆锥体积为（ ） A. B. C. D. 7.在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且三边满足，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 8.在关于x的不等式的解集中恰有两个整数，则实数a的取值范围是（ ） A. B.或 C.或 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.（在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9.已知点为坐标原点，直线与抛物线相交于两点，则（ ） A. B. C.的面积为 D.线段的中点到抛物线准线的距离为 10.定义；在区间上，若数是减函数且是增函数，则称在区间上是“弱减函数”，根据定义可得（ ） A.在上是“弱减函数” B.在上是“弱减函数” C.在上是“弱减函数” D.若在上是“弱减函数”，则 11.（24·25高二上·山西吕梁·期末）沿着下面左图纸带宽的三等分线（虚线）剪开，不能得到的剪开图是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.若实数，则________. 13.饺子是我国的传统美食，不仅味道鲜美而且寓意美好.现锅中煮有白菜馅饺子4个，韭菜馅饺子5个，这两种饺子的外形完全相同.从中任意舀取4个饺子，则每种口味的饺子都至少舀取到1个的概率为________. 14.（24·25高一上·福建福州·期中）已知函数为奇函数.，与的图象有8个交点，分别为，则________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15.（本小题满分13分）为了解甲、乙两校学生的数学学习情况，随机调查了甲、乙两校的500个学生在某次统测中的数学成绩，得到下面列联表： 学校 人数 合计 及格人数 不及格人数 甲 240 20 乙 210 30 合计 （1）根据上表，分别估计这两所学校学生在该次统测中的数学及格率； （2）补全上述列联表，并分析根据小概率值的独立性检验，能否认为甲、乙两校的学生数学是否及格与学生所属学校有关？ 附：. 0.100 0.050 0.010 2.706 3.841 5.635 16.（本小题满分15分）（2024·黑龙江哈尔滨·三模）已知数列的前项和为，且. （1）求证：数列是等比数列； （2）设，若是递增数列，求实数的范围. 17.（本小题满分15分）已知函数，. （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）若为的极小值点，求的取值范围. 18.（本小题满分17分）在平面直角坐标系中，已知点，动点满足直线与直线的斜率之积为，设点的轨迹为曲线. （1）求的方程； （2）已知点，直线与轴交于点，直线与交于点，证明：. 19.（本小题满分17分）如图，在四面体中，平面，，，为的中点. （1）求证：； （2）求二面角的余弦值. （3）求四面体的外接球的表面积. （注：如果一个多面体的顶点都在球面上，那么常把该球称为多面体的外接球.球的表面积） 1/5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1套 2025年八省联考仿真卷（巩固卷1） ||| 试卷概述 1.2025年八省联考简述：近几年的联考，堪称高考极为重要的方向标，本次联考呈现出一个突出特点，即降低了教材外知识的占比，这无疑是回归高考命题正确轨道的积极信号，由此可以合理预期，2025年高考难度相较于以往或有所降低，此外，就本次联考试题而言，个人认为其中第11题不具备深入研究的价值. 2.本卷特点： （1）本卷在难度设定上紧密对标八省联考，从命题思路、知识点覆盖广度与深度，到题型的复杂程度，均力求与八省联考保持高度一致. （2）本次试卷严格对标八省联考的出题模式，在题目筛选与设计上精益求精，从多角度考量知识点的覆盖与考查深度，力求为考生打造极具价值的仿真试卷，帮助考生提前适应高考节奏与题型风格.||| 仿真好题 一、本题共8小题，每小题5分，共40分.（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1.已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】根据题意，先确定出集合A的元素，再根据交集的运算法则算出答案. 【详解】根据题意，可得， 因为，所以. 故选：D. 2.函数的最小正周期是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】根据余弦型函数的周期公式，可得答案. 【详解】由函数，则其最小正周期. 故选：B. 3.已知复数（i是虚数单位），则（ ）. A.1 B. C.2 D. 【答案】C 【分析】利用复数的减法运算及复数的模的计算公式计算即可. 【详解】因为，所以. 故选：C. 4.已知向量，，（），则（ ） A.5 B. C. D. 【答案】B 【分析】求出向量的坐标，根据数量积坐标表示，即可求得答案. 【详解】由题意向量，，可得， 故， 故选：B 5.双曲线的渐近线方程为，则（ ） A. B.2 C. D. 【答案】D 【分析】根据双曲线方程得出双曲线的渐近线再计算求参. 【详解】因为双曲线方程为，所以，所以渐近线方程为， 即得，所以. 故选：D. 6.已知圆锥的母线为，侧面展开所成扇形的圆心角为，则此圆锥体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】先依次求出圆锥的半径、高，然后结合圆锥的体积公式求解即可. 【详解】设圆锥底面圆的半径为， 则，解得，圆锥的高为， 则此圆锥体积为. 故选：B. 7.在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且三边满足，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】由已知条件及余弦定理解得，再通过三角形的面积公式即可求解. 【详解】因为， 所以. 又，由余弦定理得： ， 所以， 故的面积， 故选：A. 8.在关于x的不等式的解集中恰有两个整数，则实数a的取值范围是（ ） A. B.或 C.或 D. 【答案】C 【分析】分，和三种情况解不等式，结合解集中恰有两个整数，得到不等式，解不等式可得结论. 【详解】， 若，即时，解集为， 要想解集中恰有两个整数，则，解得， 与取交集后得， 若，即时，解集为，此时不满足要求，舍去； 若，即时，解集为， 要想解集中恰有两个整数，则，解得， 与取交集后得. 综上，实数a的取值范围为或. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.（在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9.已知点为坐标原点，直线与抛物线相交于两点，则（ ） A. B. C.的面积为 D.线段的中点到抛物线准线的距离为 【答案】ACD 【分析】联立直线的方程和抛物线的方程，化简写出根与系数关系，结合弦长、垂直、三角形的面积，准线等知识确定正确答案. 【详解】联立得，，设， 则，， 所以，. ，A选项正确. ，所以不成立，B选项错误； 到直线的距离为， 的面积，C选项正确； 因为，准线方程为所以， 线段AB的中点到抛物线准线的距离为4，D选项正确. 故选：ACD 10.定义；在区间上，若数是减函数且是增函数，则称在区间上是“弱减函数”，根据定义可得（ ） A.在上是“弱减函数” B.在上是“弱减函数” C.在上是“弱减函数” D.若在上是“弱减函数”，则 【答案】BCD 【分析】利用基本初等函数的单调性可判断A选项；利用函数的单调性与导数的关系、并结合题中定义可判断BCD选项. 【详解】对于A选项，因为函数在上不是增函数，A不满足条件； 对于B选项，当时，，函数在上为减函数， 令，则，函数在上为增函数，B满足条件； 对于C选项，当时，， 令，其中，则， 所以，函数在上为减函数， 故当时，，则， 则函数在上为减函数， 又因为函数在上为增函数，C满足条件； 对于D选项，因为在上是“弱减函数”且该函数的定义域为， 由，解得，所以，， 又因为函数在上为增函数，D满足条件. 故选：BCD. 11.（24·25高二上·山西吕梁·期末）沿着下面左图纸带宽的三等分线（虚线）剪开，不能得到的剪开图是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【分析】可以实际操作一下即可得到正确选项 【详解】解：因为纸带是由一个长方形纸条一端扭曲180°后粘贴而成封闭环，沿着三等分线剪开时，会一次性剪完纸带的所有三等分线. 所以剪开图是两个套在一起的环，并且两个环的宽度是原纸带环宽度的.正确剪开图是B. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.若实数，则________. 【答案】 【分析】先求出，再求出的值. 【详解】由题得， 所以. 故答案为： 13.饺子是我国的传统美食，不仅味道鲜美而且寓意美好.现锅中煮有白菜馅饺子4个，韭菜馅饺子5个，这两种饺子的外形完全相同.从中任意舀取4个饺子，则每种口味的饺子都至少舀取到1个的概率为________. 【答案】 【分析】利用组合数求每种口味的饺子都至少舀取到1个的情况、任意舀取4个饺子的情况，再根据古典概型的概率求法求结果. 【详解】由题意，每种口味的饺子都至少舀取到1个的情况有种， 9个饺子任意舀取4个饺子的情况有种， 所以每种口味的饺子都至少舀取到1个的概率为. 故答案为： 14.（24·25高一上·福建福州·期中）已知函数为奇函数.，与的图象有8个交点，分别为，则________. 【答案】16 【分析】根据奇函数的定义以及图象平移可知与的图象的交点关于点对称，结合对称性即可得结果. 【详解】因为函数为奇函数， 则，可得， 可知的图象关于点对称， 又因为， 将向右平移1个单位，再向上平移3个单位，即可得， 可知的图象关于点对称， 由题意可知：与的图象的交点关于点对称， 可得， 所以. 故答案为：16. 四、解答题：本题共5小题，共77分.（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15.（本小题满分13分）为了解甲、乙两校学生的数学学习情况，随机调查了甲、乙两校的500个学生在某次统测中的数学成绩，得到下面列联表： 学校 人数 合计 及格人数 不及格人数 甲 240 20 乙 210 30 合计 （1）根据上表，分别估计这两所学校学生在该次统测中的数学及格率； （2）补全上述列联表，并分析根据小概率值的独立性检验，能否认为甲、乙两校的学生数学是否及格与学生所属学校有关？ 附：. 0.100 0.050 0.010 2.706 3.841 5.635 【答案】（1）甲：；乙： （2）表格见解析，不能认为数学成绩与所属学校有关. 【分析】（1）根据题中数据直接运算即可； （2）完善列联表，求，并与临界值对比分析即可. 【详解】（1）由题意知：估计甲校数学及格率为：；估计乙校数学及格率为：. （2）填表如下： 学校 人数 合计 及格人数 不及格人数 甲 240 20 260 乙 210 30 240 合计 450 50 500 零假设：甲、乙两校学生数学是否及格与学生所属学校无关， 可得， 根据小概率值的独立性检验，零假设成立， 所以不能认为甲、乙两校的学生数学是否及格与学生所属学校有关. 16.（本小题满分15分）（2024·黑龙江哈尔滨·三模）已知数列的前项和为，且. （1）求证：数列是等比数列； （2）设，若是递增数列，求实数的范围. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【分析】（1）利用及已知条件得到递推式，然后证明并验证首项非零即可； （2）求出，并将命题转化为恒成立，然后取即得到，再证明时不等式恒成立. 【详解】（1）由知，得. 由已知有， 故，得. 而，故数列是首项为，公比为的等比数列. （2）根据（1）的结论有，即. 那么就有. 命题等价于恒成立，即. 此即，化简得到. 从而要求的取值范围使得恒成立. 一方面，对该不等式取可得到，即； 另一方面，若，则，， 故我们恒有，即. 所以的取值范围是. 17.（本小题满分15分）已知函数，. （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）若为的极小值点，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【分析】（1）求导，得到切线斜率，进而利用点斜式求出切线方程； （2）求定义域，求导，由导函数等于0得到或，分，和三种情况，得到答案. 【详解】（1）当时，，， ，， 所以切线方程为，即. （2）的定义域为， ，， 令，则或. ①当时，， 令，解得或，令，解得， 可知在单调递增，在单调递减，在单调递增， 故为的极大值点，不符合条件； ②当时，，在单调递增，故无极值点； ③当时，， 令，解得或，令，解得， 可知在单调递增，在单调递减，在单调递增， 故为的极小值点，符合条件. 综上，的取值范围为. 18.（本小题满分17分）在平面直角坐标系中，已知点，动点满足直线与直线的斜率之积为，设点的轨迹为曲线. （1）求的方程； （2）已知点，直线与轴交于点，直线与交于点，证明：. 【答案】（1） （2）证明见解析 【分析】（1）利用斜率两点式，结合直线斜率之积为定值列方程，即可求曲线的方程，注意. （2）设、直线为，联立曲线，应用韦达定理求的坐标，进而用表示、，即可证结论. 【详解】（1）由题意可设，且， 则， 所以曲线的方程为. （2）当，不妨取，满足曲线的方程， 则的方程为，可得， 此时可得，又，故； 当不垂直于时，设，则直线的方程为， 联立，得， 所以，则， 故， 又， 故， 即，所以， 综上所述：. 19.（本小题满分17分）如图，在四面体中，平面，，，为的中点. （1）求证：； （2）求二面角的余弦值. （3）求四面体的外接球的表面积. （注：如果一个多面体的顶点都在球面上，那么常把该球称为多面体的外接球.球的表面积） 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【分析】（1）由线线垂直得平面，进而得； （2）建立空间直角坐标系，分别求出平面的一个法向量为和平面的一个法向量为，利用法向量求二面角即可； （3）取的中点为，由线段长相等即可证得为四面体的外接球的球心，进而可求球的表面积. 【详解】（1）因为平面，平面， 所以. 又因为，，平面， 所以平面. 又因为平面， 所以. （2）如图，设的中点为，的中点为，连接，， 因为平面， 所以平面，由，且，可得，，两两垂直，所以分别以，，所在直线为轴，轴，轴，如图建立空间直角坐标系， 则，，，，. 所以，，. 设平面的一个法向量为， 由，，得 令，得. 设平面的一个法向量为， 由，，得 令，得. 所以. 由图可知，二面角的平面角为锐角，故余弦值为. （3）根据（2），记的中点为， 由题意，为直角三角形，斜边， 所以. 由（1），得平面， 所以. 在直角中，为斜边的中点， 所以. 所以为四面体的外接球的球心， 故四面体的外接球的表面积. 14/14 学科网（北京）股份有限公司 $$