精品解析：重庆市万州区城区学校2024-2025学年九年级下学期入学定时作业数学试题

九下数学定时作业1 一、单选题，每小题4分，共40分． 1. 下列四个数中，最大的数是（ ） A. B. 3.14 C. D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】该题考查了实数的大小比较，注意：0大于一切负数；正数大于0． 根据0大于一切负数；正数大于0解答即可． 【详解】解：∵， ∴最大的数是， 故选：C． 2. 如图是一个三棱柱，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了简单几何体的主视图．从正面看到的是主视图，看到的轮廓线用实线，看不到的轮廓线用虚线．根据主视图的定义进行判断即可． 【详解】解：由题意知，主视图如下， 故选：C． 3. 如果一个多边形的每一个外角都等于，那么这个多边形的边数为（ ） A. 七 B. 八 C. 九 D. 十 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形的外角和，解题的关键是熟练掌握多边形外角和为．由题意可知，该多边形的每个外角相等，结合多边形外角和求解即可． 【详解】解：∵该多边形的每一个外角都等于 ， ∴该多边形的边数为， 故选：C． 4. 若反比例函数的图像经过第二、四象限，则点在第（ ）象限． A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查反比例函数性质，根据反比例函数的图像经过第二、四象限得到，即可判断所在象限． 【详解】解：∵反比例函数的图像经过第二、四象限， ∴， ∴在第四象限， 故选：D． 5. 下列命题正确的是（ ）． A. 两直线被第三条直线所截，同位角相等 B. 等腰三角形的高线，中线，角平分线“三线合一” C. 到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 D. 四边相等的四边形是正方形 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线的性质，等腰三角形的性质，垂直平分线的判定，菱形的判定方法进行分析即可求解． 【详解】解：A、两条相互平行的直线被第三条直线所截，同位角相等，故原选项错误，不符合题意； B、等腰三角形的底边上的高线，中线，顶角的平分线“三线合一”，故原选项错误，不符合题意； C、到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，正确，符合题意； D、四边相等的四边形是菱形，故原选项错误，不符合题意； 故选：C ． 【点睛】本题考查了“三线八角”，等腰三角形的性质，垂直平分线的判定，菱形的判定，掌握以上知识是解题的关键． 6. 估计的值应在（ ） A. 1和2之间 B. 3和4之间 C. 5和6之间 D. 7和8之间 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查根式的运算及根式的估算，先根据根式的运算法则求出值，再估算即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， ， ∵， ∴， 故选：B． 7. 干支纪年法是中国自古以来就一直使用的纪年方法，干支是天干和地支的总称．干支纪年法的组合方式是天干在前，地支在后，以十天干和十二地支循环配合，每个组合代表一年，60年为一个循环．我们把天干、地支按顺序排列，且给它们编上序号．天干的计算方法是：年份减3，除以10所得的余数；地支的计算方法是：年份减3，除以12所得的余数．以2000年为例：天干为；地支为；对照天干地支表得出，2000年为农历庚辰年． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 依据上述规律推断2025年为农历（ ）年． A. 乙巳 B. 戊申 C. 乙申 D. 戊巳 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了有理数的混合运算的实际应用，先列式计算，再根据表格中的信息即可得解． 【详解】解：天干为：， 地支为：， ∴2025年为农历乙巳年， 故选：A． 8. 若等腰一条边的长度为1，另外两条边的长度分别是关于x的一元二次方程的两个实数根，那么的周长是（ ） A. 4 B. 5 C. 4或5 D. 不确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，三角形的三边关系，等腰三角形的定义，熟练掌握知识点是解题的关键． 解得或，分两种情况讨论，需要检验是否符合三角形的三边关系． 【详解】解：， ， 解得：或， ①当时，三边为，则周长为； 当时，三边为，不满足三角形三边关系，舍， ∴的周长是5， 故选：B． 9. 如图，在边长为2的正方形中，点是对角线延长线上一点，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，且 经过线段的中点 ，延长 交的延长线于点．则 的长度为（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】如图所示，连接交于点，与交于点 ，根据正方形的性质可得，由此可证，可求出，在中运用勾股定理可得的值，再证，得到，则，最后证明，得到，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，连接交于点，与交于点 ， ∵四边形是边长为的正方形， ∴ ，，，， 在中，， ∴， ∵，， ∵将AE绕点逆时针旋转得到AG， ∴ ， ∴， ∴， ∴， ∴， 设， 在中，， ∵， ∴，且， ∴， ∴，， ∴， ∵点 是中点， ∴， ∴，则（负值舍去）， ∴， 在中，，、 ∵， ∴，且， ∴， ∴，， ∴，则， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识的综合，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 10. 将有序数对进行操作后得到一个新的有序数对，将得到的新的有序数对按上述操作继续进行下去，每得到一个新的有序数对称为一次操作．例如： 经过第一次操作后得到，经过第二次操作后得到．下列说法①若经过三次操作得到 ，且，则．②将经过2n（为正整数）次操作后，得到的有序数对为．③在平面直角坐标系中，将所对应的点记为，经过第一次操作后的点记为，第二次操作后的点记为，当时，若直线与直线互相垂直（为正整数），则．正确的个数为（ ）． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查数字类规律探究、一次函数的应用、勾股定理、解一元二次方程，理解题意是解答的关键．根据题中操作可判断①；根据题中操作，发现规律可判断②；根据题中操作可得，，，，利用待定系数法分别求得直线的表达式为，直线的表达式为 ，可得两直线相交于坐标原点，则有，然后利用勾股定理列方程求解a值即可判断③，进而可得答案． 【详解】解：①经过第一次操作后得到，经过第二次操作后得到，经过第三次操作后得到， 则由题意，得，解得，故①错误； ②经过第一次操作后得到， 经过第二次操作后得到，即， 经过第三次操作后得到， 经过第四次操作后得到，即 经过第五次操作后得到， 经过第六次操作后得到，即， ……， 依次类推， 经过2n（为正整数）次操作后，得到的有序数对为，故②正确； ③经过第一次操作后得到， 经过第二次操作后得到，即， 经过第三次操作后得到， 经过第四次操作后得到，即， 经过第五次操作后得到， 经过第六次操作后得到，即， ……， 依次类推，，，，， 设直线的表达式为， 则，解得， ∴直线的表达式为， 同理直线的表达式为 ， 可得两直线相交于坐标原点， 若直线与直线互相垂直时，则有， ∵， ∴，， 由得：， 整理，得， 解得，故③错误， 综上，正确的有1个， 故选：B． 二、填空题，每小题4分，共24分． 11. 在函数中，自变量的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式以及分式有意义的条件，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据二次根式以及分式有意义的条件列出不等式，解之即可． 【详解】解：根据题意得：， 解得： ， 故答案为： ． 12. 高考“”选科模式是指除语文、数学、外语3门科目以外，学生应在历史和物理2门首选科目中选择1科，在政治、地理、化学、生物4门再选科目中再选择两科．某同学从4门再选科目中随机选择两科，恰好选择生物和政治的概率为________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查列表法或树状图法求解析式，根据题意画出树状图，找到所有组合及需要组合即可得到答案； 【详解】解：由题意可得，树状图如图所示， ， 总共有：种组合，需要的有2种， ∴， 故答案为：． 13. 如图，平行四边形的对角线相交于点O，点E、F分别是线段 ， 的中点，若， 的周长是，则______cm． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了平行四边形的性质，三角形中位线是判定及性质，根据平行四边形的性质得到 ， ，求出的值，由 的周长求出，根据三角形中位线的性质求出EF的长．熟记平行四边形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴ ， ， ∵， ∴， ∵ 的周长是， ∴， ∴ ， ∵点E、F分别是线段 ， 的中点， ∴， 故答案为：． 14. 若关于的不等式组有且只有两个奇数解，且关于 的分式方程有整数解，则所有满足条件的整数的值之和为________________． 【答案】21 【解析】 【分析】本题考查不等式组整数解问题及分式方程整数解，根据不等式组有且只有两个奇数解求出一个的取值范围，再根据分式方程有整数解求出一个的取值范围，最后求和即可得到答案； 【详解】解：解不等式组得， ， ∵不等式组有且只有两个奇数解， ∴，即， 解分式方程得，， ∵关于 的分式方程有整数解， ∴为整数， 而，则 ∴或或9， ∴， 故答案为：． 15. 如图，在中，，，点分别为边上的点，连接，将沿着翻折，使A点落在边上的处，，则的长度为______：的长度为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题主要考查了折叠的性质、等腰直角三角形的性质，勾股定理；掌握相关知识和作出适当的辅助线是解题的关键．根据题意设，再由勾股定理列方程，可求出，作，垂足为，可得为等腰直角三角形，再根据翻折设，，，可得，求出，根据勾股定理求出的长，即可得到的长． 【详解】解：，， ， 将沿着翻折，使A点落在边上的处， ，设，， ， ， 即， 解得， ， 如图，作，垂足为， ，，， ，， ， ， 即， ，， 设，，， ， 解得， ， ，，， ， ， 根据折叠可得， ． 故答案为：，． 16. 一个各位数字均不为0的四位数，且满足各数位数字之和能被十位数字整除，则称这个四位数为“希福数”．若为“希福数”，则 ________________；将的个位数字放在千位数字前记为，将的个位数字放在千位数字前记为，将的个位数字放在千位数字前记为，规定．已知一个四位数（，，）是“希福数”，若能被6整除，则满足条件的 的最大值与最小值的和为________________． 【答案】 ①. 2 ②. 【解析】 【分析】本题主要考查了整除问题以及新定义“希福数”，根据“希福数”定义直接求解，即可得到答空1答案，先根据“希福数”得到与、的关系，再结合能被6整除求解即可得到答案； 【详解】解：∵为“希福数”， ∴能被9整除，即为整数，且， ∴ ， 故答空1答案为：2； ∵是“希福数”， ∴能被整除， ∴能被整除， ∵，，， ∴， ， ∴， ∵，，， ∴ ∵能被6整除， ∴或或或或或或或， ∵能被整除， ∴最小值为，，，即， ∴最大值为， ，，即， ∴， 故答空2答案为：． 三、解答题，第17题16分，其余每小题10分，共86分． 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查整式的混合运算，分式的混合运算，掌握其运算法则是解题的关键． （1）运用乘法公式，整式的除法运算法则，整式的加减运算法则计算即可求解； （2）根据分式的性质，先计算括号里的，再计算分式的除法，最后根据分式的加减运算计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 为促进中学生对传统年俗文化知识的了解，重庆某中学在八年级和九年级开展了“传统年俗文化知识竞赛”，并从八年级和九年级的学生中分别随机抽取了名学生的竞赛成绩（百分制），通过收集、整理、描述和分析（得分用表示，共分为四组：． ，．，．，．），得到如下不完全的信息： 八、九年级所抽学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 八年级 九年级 八年级抽取的竞赛成绩在组中的数据为： 九年级抽取的所有学生竞赛成绩数据为： ， ， ， ，， ， ， ， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ， 请根据以上信息完成下列问题： （1）填空： ______，______，并补全八年级的成绩条形统计图； （2）根据以上数据，你认为该中学八年级和九年级中哪个年级学生的竞赛成绩更优秀？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）规定在 分及其以上的为优秀等级，该校八年级和九年级参加知识竞赛的学生共有 名，请你估计八年级和九年级参加此次知识竞赛的学生中获得优秀等级的共有多少人？ 【答案】（1） ，， 补全八年级的成绩条形统计图如下： （2） 九年级学生的竞赛成绩更优秀，理由如下： 两个年级学生竞赛成绩的平均数相同，但九年级学生竞赛成绩的中位数和众数都高于八年级学生的，所以九年级学生的竞赛成绩更优秀； （3）人 【解析】 【分析】（）根据中位数和众数的定义可求出，根据条形统计图求出成绩在组的学生人数，即可补全八年级的成绩条形统计图； （）根据平均数、中位数和众数判断即可； （）用 乘以八、九年级参加知识竞赛的优秀人数占比即可求解； 本题考查了条形统计图，平均数、中位数和众数，样本估计总体，掌握相关的统计知识是解题的关键 【小问1详解】 解：由题意可得， ， ∵九年级抽取的学生竞赛成绩中 分的人数最多， ∴ ， 故答案为： ，， 由八年级的成绩条形统计图可得，成绩在组的学生人数为 人， 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解： ， 答：估计八年级和九年级参加此次知识竞赛的学生中获得优秀等级的共有人． 19. 平行四边形的一组对边的中点连线的垂直平分线与平行四边形的另外一组对边所在直线交于两点，这两个点与原来的两个中点组成的四边形是菱形．为了验证这个结论，小希进行了以下操作，请按要求完成下列问题： 如图，在平行四边形中，E、F分别为边 的中点，连接． （1）尺规作图：作出的垂直平分线，交直线于点G、H， 交于点O，连接 ；（只保留作图痕迹，不要求写作法） （2）结合（1）中图形，请你帮小希完成以下证明过程并将答案填在答题卡上对应的横线上： 证明：在平行四边形中，， ， ∵E、F分别为 的中点， ∴ ， ， ∴①______， ， ∴四边形为平行四边形， ∴ ， ②______ ， ∴ ， ∵ 为的垂直平分线， ∴③______， ∴四边形 为平行四边形， ∵ ∴四边形 为菱形． 小希进一步研究发现，当平行四边形为正方形时，四边形 的形状为④______． 【答案】（1） 如图，直线 为的垂直平分线， （2）① ，②，③ ，④正方形 【解析】 【分析】本题主要考查线段垂直平分线的作法，平行四边形的性质和菱形的判定，熟练掌握性质和判定是解答本题的关键． （1）分别以点E，F为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧将于点M，N，过点M，N作直线，则直线 为的垂直平分线； （2）根据菱形的判定定理进行判断即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 证明：在平行四边形中，， ， ∵E、F分别为 的中点， ∴ ， ， ∴① ， ， ∴四边形为平行四边形， ∴ ， ② ， ∴ ， ∵ 为的垂直平分线， ∴③ ， ∴四边形 为平行四边形 ∵ ， ∴四边形 为菱形． 小希进一步研究发现，当平行四边形为正方形时，四边形 的形状为④正方形． 理由：当平行四边形为正方形时，如图， ∵四边形是正方形， ∴ ∵E、F分别为 的中点， ∴ ， ， ∴ ， ∵ ， ∴四边形为平行四边形， 又 ∴ ∴四边形为矩形， ∴ ∴ ∵ 为的垂直平分线， ∴ ， 又 ∴ 同理可得， , ∴ ，且互相垂直平分， ∴四边形 是正方形 故答案为：① ，②，③ ，④正方形． 20. 甲、乙两人计划周末到诗橙奉节徒步三峡之巅，甲选择乘坐高铁，已知主城到奉节的高铁线路长 ，乙选择乘坐顺风车，主城到奉节的驾车线路长，已知高铁的平均速度为顺风车的1.5倍，甲乘坐高铁到奉节的时间比乙乘坐顺风车到奉节的时间少3小时． （1）求出甲乘坐高铁和乙乘坐顺风车的平均速度； （2）甲、乙商议在各自去奉节的途中拍摄精美照片．由于高铁速度快，乙每小时可拍到的精美照片比甲每小时可拍到的2倍还多4张，最后要使甲、乙拍到的精美照片总和不少于115张，请问甲每小时至少要拍多少张精美照片？ 【答案】（1）甲乘坐高铁的平均速度为千米/时，乙乘坐顺风车的平均速度为 千米/时 （2）甲每小时至少要拍8张精美照片 【解析】 【分析】本题主要考查分式方程的应用和一元一次不等式的应用，根据题意找出相等关系和不等关系是解答本题的关键． （1）设乙乘坐顺风车的平均速度为千米/时，则甲乘坐高铁的平均速度为 千米/时，根据甲乘坐高铁到奉节的时间比乙乘坐顺风车到奉节的时间少3小时列分式方程求解即可； （2）设甲每小时至少要拍 张精美照片，根据甲、乙拍到的精美照片总和不少于115张列不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设乙乘坐顺风车的平均速度为千米/时，则甲乘坐高铁的平均速度为 千米/时，根据题意得， ， 解得， ， 经检验， 则原方程的根， ∴（千米/时）， 答：甲乘坐高铁的平均速度为千米/时，乙乘坐顺风车的平均速度为 千米/时； 【小问2详解】 解：（时），（时）， 设甲每小时至少要拍 张精美照片，则乙每小时拍张精美照片，根据题意得， ， 解得，， 答：甲每小时至少要拍8张精美照片． 21. 【操作实验】小珂在物理综合实践课上，用一固定电压为的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流的大小，从而控制小灯泡 的亮度，实验电路图如图所示，已知小灯泡的电阻为（不计温度对灯泡电阻影响），滑动变阻器的电阻为（）（串联电路中总电阻 灯泡电阻滑动变阻器的电阻），通过多次试验，得到以下数据表： 电阻 电流 （1）根据实验结果，填空： ______， ______，根据实验数据直接写出y与x的函数关系式：______（）； （2）【初步探究】请在以下平面直角坐标系中，画出函数 的图象，并写出函数 的一条性质：______； （3）【深入探究】 已知一次函数，结合（）中函数图象分析，请直接写出当时的取值范围：______． 【答案】（1）， ， （2） 画函数图象如下： 性质：当时， 随着的增大而减小 （3） 【解析】 【分析】（）根据即可求解； （）根据（）中表格数据及所得函数解析式可画出函数图象，再根据图象写出函数 的性质即可； （）画出一次函数的图象，根据图象解答即可； 本题考查了反比例函数的应用，反比例函数与一次函数的交点问题，由题意得到反比例函数的解析式是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 故答案为：， ，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：当时，；当时， ， 画一次函数图象如下 由函数图象可得，当时的取值范围为， 故答案为：． 22. 如图，是某公园平面图，景点在入口的正东方向1400米处，景点在入口的东北方向1200米处，景点在景点正北方向，景点在景点北偏东方向，在景点的正东方向，且景点在景点的北偏东方向．（参考数据： ， ） （1）求景点到的距离（结果保留根号）； （2）小希与小福同时从出发，小希选择路线游玩，小福选择路线游玩，但当小福到时接到通知处有施工无法通行（接通知的时间忽略不计），于是小福选择的小路继续到，若在整个过程中，小希与小福的速度均相同且保持不变，请通过计算说明小希与小福谁先到达处？ 【答案】（1）米 （2）小希先到达处 【解析】 【分析】（1）过E作于F，延长交于H，根据题意得到是等腰直角三角形，，，进而利用等腰直角三角形的判定与性质求得， ，利用含30度角的直角三角形的性质得到，由求解即可； （2）先由题意求得，再利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求得，，然后分别求得两人的路程，比较大小即可得出结论． 【小问1详解】 解：过E作于F，延长交于H，如图，则， 由题意，得， ， ，，，，， ∴是等腰直角三角形，， ∴ ∴ ，， 由得， 解得， 即景点到的距离为米； 【小问2详解】 解：由题意，， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，，则， 由得， ∴， ∴小希走的路程为（米）， 小福走的路程为（米）， ∵在整个过程中，小希与小福的速度均相同且保持不变，， ∴小希先到达处． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质、三角形的外角性质、勾股定理、矩形的判定与性质，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 23. 如图，拋物线 与轴交于两点，与 轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）连接，点是线段上方抛物线上一动点，过点作轴交线段于点，点为 轴上一动点，点 为拋物线对称轴上一动点，连接，当取得最大值时，求的最小值； （3）将拋物线沿方向平移，平移后的抛物线经过 ，点为平移后抛物线上一动点，原拋物线的对称轴交轴于点，当时，求所有符合条件的点的坐标，并写出其中一种情况的解答过程． 【答案】（1） （2） （3），，解答过程见解析 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求得和直线的解析式为，由题意，设，，则，利用坐标与图形性质得到，利用二次函数的性质求得当时，取得最大值，此时，作点P关于y轴的对称点，连接，， ，可得，当A、N、M、共线时取等号，此时最小，最小值为的长，利用两点坐标距离公式求解即可； （3）先根据已知条件求得新抛物线的解析式为，然后分当 在上方时和当 在下方时两种情况，利用待定系数法、联立方程组、全等三角形的判定与性质求解即可． 【小问1详解】 解：∵拋物线 与轴交于两点， ∴，解得， ∴该抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：当 时，，则， 设直线的解析式为， 将代入，得，解得， ∴直线的解析式为， 由题意，设，，则， ∴，， ∴， ∵ ，， ∴当时，取得最大值，此时， 如图，作点P关于y轴的对称点，连接，， ， 则，， ∵拋物线 与轴交于两点， ∴点A、B关于直线对称， ∴， ∴，当A、N、M、共线时取等号，此时最小，最小值为的长， ∵， 故的最小值为； 【小问3详解】 解：由 得抛物线的对称轴为直线， ∴， ∵，， ∴，又， ∴ ， ∵将拋物线沿方向平移， ∴设抛物线向左平移个单位，再向下平移m个单位，得到新抛物线， 则平移后的抛物线解析式为， ∵平移后的抛物线经过 ， ∴，解得，（舍去）， ∴新抛物线的解析式为， 当 在上方时，如下图， ∵，， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将代入，得，解得， ∴直线的解析式为 ， 设直线 的解析式为， 将代入，得，解得， ∴直线 的解析式为， 联立方程组，解得，（舍去）， 则T坐标为； 当 在下方时，如上图，设 即与y轴相交于S， ∵，， ∴，又，， ∴， ∴，则， 设直线 的解析式为， 将代入，得，解得， ∴直线 的解析式为， 联立方程组，解得，（舍去）， 故即T的坐标为， 综上，满足条件的所有点T坐标为和． 【点睛】本题考查二次函数的综合，涉及待定系数法求函数解析式、二次函数的图象与性质、二次函数的图象平移、坐标与图形、两点坐标距离公式、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、解方程（组）等知识，涉及知识点较多，综合性强，熟练掌握相关知识的联系与运用，灵活运用数形结合和分类讨论思想是解答的关键． 24. 如图，在等边三角形中，点在线段上移动，连接 ，将线段 绕点顺时旋转得到线段，连接交线段于点． （1）如图1，若，求 的长度； （2）如图2，当三点共线时，连接，点为 中点，过点作于点 ，请猜想与 的数量关系，并证明你的猜想； （3）如图3，若点在直线上移动，等边三角形的边长为，作点关于直线的对称点，连接，取的中点 ，连接 ，将 绕点 逆时针旋转，使得点的对应点为点，连接 ，请直接写出 的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）过点作于点，根据旋转可得 ，，进而得出 ，，，解直角三角形，即可求解； （2）延长至，使得，连接，证明，进而证明，得出，进而可得，根据含度角的直角三角形的性质，即可求解； （3）以为边在左侧作等边，连接 ， ，证明得出，则点在以为圆心，为半径的圆上运动，当运动到线段上时，取得最小值，最小值为，即可求解． 【小问1详解】 解：如图所示，过点作于点， ∵将线段 绕点顺时旋转得到线段， ∴ ，， ∴ ， ∵ ，， ∴，，， 又∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图所示，延长至，使得，连接 ∵点为 中点， ∴ ， 在中， ∴， ∴， ∵将线段 绕点顺时旋转得到线段， ∴ ，， ∴， ∵是等边三角形， ∴ ， ， ∴ ， 在中，， ∴， ∴ ， ∴， 又， ∴ ， ∵ ，即垂直平分， ∴，， ∴ ， ∵， ∴， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∵， ， ∴，即 又∵， ∴，则， ∴， ∵ ， ∴； 【小问3详解】 解：如图所示，以为边在左侧作等边，连接 ， ， ∵点在直线上移动，等边三角形的边长为，作点关于直线的对称点， ∴， ∵ 是的中点， ∴，即点 在为圆心为半径的圆上运动， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∵将 绕点 逆时针旋转，使得点的对应点为点， ∴，， ∴， ∴ ∵ ∴， ∴ ∴ ∴，即点在以为圆心，为半径的圆上运动， ∴ 当运动到线段上时，取得最小值，最小值为． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，解直角三角形，求一点到圆上的距离的最值问题，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九下数学定时作业1 一、单选题，每小题4分，共40分． 1. 下列四个数中，最大的数是（ ） A. B. 3.14 C. D. 0 2. 如图是一个三棱柱，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 3. 如果一个多边形的每一个外角都等于，那么这个多边形的边数为（ ） A. 七 B. 八 C. 九 D. 十 4. 若反比例函数的图像经过第二、四象限，则点在第（ ）象限． A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 5. 下列命题正确的是（ ）． A. 两直线被第三条直线所截，同位角相等 B. 等腰三角形的高线，中线，角平分线“三线合一” C. 到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 D. 四边相等的四边形是正方形 6. 估计的值应在（ ） A. 1和2之间 B. 3和4之间 C. 5和6之间 D. 7和8之间 7. 干支纪年法是中国自古以来就一直使用的纪年方法，干支是天干和地支的总称．干支纪年法的组合方式是天干在前，地支在后，以十天干和十二地支循环配合，每个组合代表一年，60年为一个循环．我们把天干、地支按顺序排列，且给它们编上序号．天干的计算方法是：年份减3，除以10所得的余数；地支的计算方法是：年份减3，除以12所得的余数．以2000年为例：天干为；地支为；对照天干地支表得出，2000年为农历庚辰年． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 依据上述规律推断2025年为农历（ ）年． A. 乙巳 B. 戊申 C. 乙申 D. 戊巳 8. 若等腰一条边的长度为1，另外两条边的长度分别是关于x的一元二次方程的两个实数根，那么的周长是（ ） A. 4 B. 5 C. 4或5 D. 不确定 9. 如图，在边长为2的正方形中，点是对角线延长线上一点，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，且 经过线段的中点 ，延长 交的延长线于点．则 的长度为（ ） A. 3 B. C. D. 10. 将有序数对进行操作后得到一个新的有序数对，将得到的新的有序数对按上述操作继续进行下去，每得到一个新的有序数对称为一次操作．例如： 经过第一次操作后得到，经过第二次操作后得到．下列说法①若经过三次操作得到 ，且，则．②将经过2n（为正整数）次操作后，得到的有序数对为．③在平面直角坐标系中，将所对应的点记为，经过第一次操作后的点记为，第二次操作后的点记为，当时，若直线与直线互相垂直（为正整数），则．正确的个数为（ ）． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题，每小题4分，共24分． 11. 在函数中，自变量的取值范围是______． 12. 高考“”选科模式是指除语文、数学、外语3门科目以外，学生应在历史和物理2门首选科目中选择1科，在政治、地理、化学、生物4门再选科目中再选择两科．某同学从4门再选科目中随机选择两科，恰好选择生物和政治的概率为________________． 13. 如图，平行四边形的对角线相交于点O，点E、F分别是线段 ， 的中点，若， 的周长是，则______cm． 14. 若关于的不等式组有且只有两个奇数解，且关于 的分式方程有整数解，则所有满足条件的整数 的值之和为________________． 15. 如图，在中，，，点分别为边上的点，连接，将沿着翻折，使A点落在边上的处，，则的长度为______：的长度为______． 16. 一个各位数字均不为0的四位数，且满足各数位数字之和能被十位数字整除，则称这个四位数为“希福数”．若为“希福数”，则 ________________；将的个位数字放在千位数字前记为，将的个位数字放在千位数字前记为，将的个位数字放在千位数字前记为，规定．已知一个四位数（，，）是“希福数”，若能被6整除，则满足条件的的最大值与最小值的和为________________． 三、解答题，第17题16分，其余每小题10分，共86分． 17. 计算： （1）； （2）． 18. 为促进中学生对传统年俗文化知识的了解，重庆某中学在八年级和九年级开展了“传统年俗文化知识竞赛”，并从八年级和九年级的学生中分别随机抽取了名学生的竞赛成绩（百分制），通过收集、整理、描述和分析（得分用表示，共分为四组：． ，．， ．，．），得到如下不完全的信息： 八、九年级所抽学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 八年级 九年级 八年级抽取的竞赛成绩在组中的数据为： 九年级抽取的所有学生竞赛成绩数据为： ， ， ， ，， ， ， ， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ， 请根据以上信息完成下列问题： （1）填空： ______，______，并补全八年级的成绩条形统计图； （2）根据以上数据，你认为该中学八年级和九年级中哪个年级学生的竞赛成绩更优秀？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）规定在 分及其以上的为优秀等级，该校八年级和九年级参加知识竞赛的学生共有 名，请你估计八年级和九年级参加此次知识竞赛的学生中获得优秀等级的共有多少人？ 19. 平行四边形的一组对边的中点连线的垂直平分线与平行四边形的另外一组对边所在直线交于两点，这两个点与原来的两个中点组成的四边形是菱形．为了验证这个结论，小希进行了以下操作，请按要求完成下列问题： 如图，在平行四边形中，E、F分别为边 的中点，连接． （1）尺规作图：作出的垂直平分线，交直线于点G、H， 交于点O，连接 ；（只保留作图痕迹，不要求写作法） （2）结合（1）中图形，请你帮小希完成以下证明过程并将答案填在答题卡上对应的横线上： 证明：在平行四边形中，， ， ∵E、F分别为 的中点， ∴ ， ， ∴①______， ， ∴四边形为平行四边形， ∴ ， ②______ ， ∴ ， ∵ 为的垂直平分线， ∴③______， ∴四边形 为平行四边形， ∵ ∴四边形 为菱形． 小希进一步研究发现，当平行四边形为正方形时，四边形 的形状为④______． 20. 甲、乙两人计划周末到诗橙奉节徒步三峡之巅，甲选择乘坐高铁，已知主城到奉节的高铁线路长 ，乙选择乘坐顺风车，主城到奉节的驾车线路长，已知高铁的平均速度为顺风车的1.5倍，甲乘坐高铁到奉节的时间比乙乘坐顺风车到奉节的时间少3小时． （1）求出甲乘坐高铁和乙乘坐顺风车的平均速度； （2）甲、乙商议在各自去奉节的途中拍摄精美照片．由于高铁速度快，乙每小时可拍到的精美照片比甲每小时可拍到的2倍还多4张，最后要使甲、乙拍到的精美照片总和不少于115张，请问甲每小时至少要拍多少张精美照片？ 21. 【操作实验】小珂在物理综合实践课上，用一固定电压为的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流的大小，从而控制小灯泡 的亮度，实验电路图如图所示，已知小灯泡的电阻为（不计温度对灯泡电阻影响），滑动变阻器的电阻为（）（串联电路中总电阻 灯泡电阻滑动变阻器的电阻），通过多次试验，得到以下数据表： 电阻 电流 （1）根据实验结果，填空： ______， ______，根据实验数据直接写出y与x的函数关系式：______（）； （2）【初步探究】请在以下平面直角坐标系中，画出函数 的图象，并写出函数 的一条性质：______； （3）【深入探究】 已知一次函数，结合（）中函数图象分析，请直接写出当时的取值范围：______． 22. 如图，是某公园平面图，景点在入口的正东方向1400米处，景点在入口的东北方向1200米处，景点 在景点正北方向，景点在景点北偏东方向，在景点的正东方向，且景点在景点 的北偏东 方向．（参考数据： ， ） （1）求景点 到的距离（结果保留根号）； （2）小希与小福同时从出发，小希选择路线游玩，小福选择路线游玩，但当小福到时接到通知 处有施工无法通行（接通知的时间忽略不计），于是小福选择的小路继续到，若在整个过程中，小希与小福的速度均相同且保持不变，请通过计算说明小希与小福谁先到达处？ 23. 如图，拋物线 与轴交于两点，与 轴交于点 ． （1）求抛物线的解析式； （2）连接，点是线段上方抛物线上一动点，过点作轴交线段于点，点为 轴上一动点，点为拋物线对称轴上一动点，连接，当取得最大值时，求的最小值； （3）将拋物线沿 方向平移，平移后的抛物线经过 ，点为平移后抛物线上一动点，原拋物线的对称轴交轴于点 ，当时，求所有符合条件的点的坐标，并写出其中一种情况的解答过程． 24. 如图，在等边三角形中，点在线段上移动，连接 ，将线段 绕点顺时旋转 得到线段，连接交线段于点． （1）如图1，若，求 的长度； （2）如图2，当三点共线时，连接 ，点为 中点，过点作于点 ，请猜想与 的数量关系，并证明你的猜想； （3）如图3，若点在直线上移动，等边三角形的边长为，作点 关于直线的对称点，连接，取的中点，连接 ，将 绕点逆时针旋转 ，使得 点的对应点为点，连接 ，请直接写出 的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $