精品解析：浙江省丽水市2024-2025学年高一上学期1月期末数学试题

丽水市2024学年第一学期普通高中教学质量监控 高一数学试题卷 （2025.1） 本试题卷分选择题和非选择题两部分.全卷共4页，满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填在试题卷和答题卷规定的位置上. 2．答题时，请按照答题卷上“注意事项”的要求，在答题卷相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件，利用集合的运算，即可求解. 【详解】因为，，所以， 故选：A. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定的知识确定正确答案. 【详解】原命题是全称量词命题，其否定是存在量词命题，注意到要否定结论而不是否定条件， 所以命题“，”的否定是“，”. 故选：A 3. 若，，则是（ ） A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角 【答案】B 【解析】 【分析】 根据，可判断可能在的象限，根据，可判断可能在的象限，综合分析，即可得答案. 【详解】由，可得的终边在第一象限或第二象限或与y轴正半轴重合， 由，可得的终边在第二象限或第四象限， 因为，同时成立，所以是第二象限角. 故选：B 4. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件，利用充分条件与必要条件的判断方法，即可求解. 【详解】因为，若，由不等式的性质知，，即可以推出， 若，则有，所以，得到，即可以推出， 所以“”是“”的充要条件， 故选：C. 5. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用指数函数的单调性可得，利用的单调性得，利用在区间上的单调性得，即可求解. 【详解】因为是增函数，则， 又在上单调递增，所以， 因在区间上单调递减，所以，且，所以， 故选：D. 6. 一个扇形的弧长与面积的数值都是，则这个扇形的中心角大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件，利用扇形的弧长和面积公式，即可求解. 【详解】设扇形的弧长、面积和中心角分别为，扇形的半径为， 因为，所以，由题有，解得， 故选：B. 7. 一种药在病人血液中的量保持及以上才有疗效，而低于病人就有危险.现给某病人静脉注射了这种药，如果药在血液中以每小时的比例衰减，为了保持疗效，那么从现在起到再次向病人注射这种药的最长间隔时间(精确到)为（ ） （参考数据：，） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设最长间隔时间为，根据条件得到，利用对数函数的单调性及对数的运算，得到，再利用换底公式，即可求解. 【详解】设从现在起到再次向病人注射这种药的最长间隔时间为， 由题有，即， 所以， 故选：A. 8. 函数在区间上的最大值与最小值之差的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】令， ，可将问题转化为在区间上的最大值与最小值之差的范围，然后分别讨论在，，，四种范围下的最值情况，可得答案. 【详解】因，则， 令，则，又令， 则问题等价于求在区间上的最大值与最小值之差的范围. 下列提及的，均满足. 当， 则此时在上单调递增， 则， 因， 则在上单调递增，在上单调递减， 则此时， ； 即此时； 当， 则在上单调递增，在上单调递减. 则， 其中. 注意到， 则，则， 则此时； 当， 则此时在上单调递减， 则， 因， 在上单调递增，在上单调递减， 则此时， ； 即此时； 当， 则在上单调递减，在上单调递增. 则， 其中. 注意到， 则，则， 则此时； 注意到， 则当时，在区间上的最大值与最小值之差的范围为： ， 即在区间上的最大值与最小值之差的取值范围是：. 故选：D 【点睛】关键点睛：本题的关键在于分类讨论，分类讨论时为防止出错，应按照一定的顺序，此外因三角函数具有周期性，可先分析函数在一个周期内的最值情况，再推广到全体定义域内. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分） 9. 下列函数中，为幂函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】利用幂函数的定义，对各个选项逐一分析判断，即可求解. 【详解】由幂函数的定义知，和是幂函数， 和不是幂函数，分别是二次函数和指数函数， 故选：AC. 10. 已知正数满足，则（ ） A. 的最小值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，根据条件，利用基本不等式，得到，即可求解；对于B，根据条件，利用基本不等式，得到，即可求解；对于C，根据条件得到，再结合选项A中结果及反比例函数的性质，即可求解；对于D，利用基本不等式及指数的运算性质，得到，再结合条件，利用基本不等式的性质得到，即可求解. 【详解】对于选项A，因为，且，所以，当且仅当时取等号， 令，得到，解得或（舍），所以，故选项A错误， 对于选项B，，且，所以，当且仅当时取等号， 所以，解得或（舍），所以选项B正确， 对于选项C，因为，由选项A知， 所以，得到，故选项C正确， 对于选项D，因为，当且仅当取等号， 由，且，得到， 所以，又， 则，当且仅当,时，取等号， 又，所以，又，所以选项D错误， 故选：BC. 【点晴】方法点晴：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误． 11. 已知函数是以为最小正周期的周期函数，且当时，，设，则下列结论正确的是（ ） A 当时，可以有两个解 B. 当时，可以有一个解 C. 当时，可以有四个解 D. 当时，可以有三个解 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据函数是以为最小正周期的周期函数，且当时，，即可作出的部分草图，分析方程的解的个数，即分析函数图像交点个数，然后数形结合，逐个选项判断即可. 【详解】因为当时，， 所以此区间的图像是开口向上，对称轴为的抛物线的一部分， 且，又是以为最小正周期的周期函数， 所以当时，，， 以此类推，则作的部分草图如下， 对于A，当时，， 显然当时，即可得到有两个解， ，A正确； 对于B，当时，， 显然时，有一个解， ，B正确； 对于C，当时，， 若，如图，有三个解， ， 所以随着直线平移，即， 则不可能有四个解，C错； 对于D，当时，， 如图当时，此时在内有两个解， 所以随着直线下移，可以有三个解， 且第三个解在内，所以D正确. 故选：ABD 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 求值：____. 【答案】 【解析】 【分析】利用指数幂的运算法则求解即可. 【详解】, 故答案为：. 13. 在中，若，是的方程的两个实根，则____. 【答案】 【解析】 【分析】列出韦达定理，再由诱导公式及两角和的正切公式计算可得. 【详解】因为，是的方程的两个实根， 所以， 所以. 故答案为： 14. 已知函数，若对任意，都有，则实数的取值范围是____. 【答案】 【解析】 【分析】从函数性质分析在区间上单调递增，且，故不等式可转化为，进而可得，当或时，显然成立，只需考虑在区间恒成立，两边同时平方，转化变元可得且恒成立或且恒成立，进而可得. 【详解】函数，在区间上单调递增， 函数，由， 得在上单调递增， 当时，在区间上单调递增， 故函数在区间上单调递增， 由题意可知， 故由得， 故可得在区间恒成立， 当，即或时，显然成立， 故只需在区间恒成立，其中 即，整理得， 故且恒成立或且恒成立， 因，故，， 故只需或， 故实数的取值范围是， 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题解不等式，考虑到利用函数的单调性和对称性，通过分析，函数在区间上单调递增，且，进而只需考虑在区间恒成立即可. 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知函数. （1）求函数的定义域； （2）若，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件得到，再利用分数不等式的解法，即可求解； （2）根据条件，利用指对数的互化，即可求解. 【小问1详解】 由题知，又等价于，解得， 所以函数的定义域是. 【小问2详解】 由，得到，所以，解得. 16. 如图，设矩形的周长为，把沿向折叠，折过去后交于点，设，. （1）当时，求的值； （2）设的面积为，求的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）依题意可证，即可得到，再由勾股定理计算可得； （2）首先证明，得到，在利用勾股定理得到，从而得到，再由面积公式及基本不等式计算可得. 【小问1详解】 如图，由矩形的周长为，，可知，. ，，， ， . 在中，由勾股定理得，即，解得. 【小问2详解】 如图，由矩形的周长为，可知，， ，，， ， . 在中，由勾股定理得，即， 解得， 所以. 所以的面积为 . 由基本不等式与不等式的性质，得， 当且仅当时，即当时，的面积最大， 面积的最大值为. 17. 已知函数的部分图象如图所示. （1）求的解析式； （2）将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象. 当时，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据图象，利用的图象与性质，可得，再利用，即可求解； （2）根据条件得到，再利用的图象与性质，即可求解. 【小问1详解】 由图可得， 函数最小正周期为，又，则， 所以， 又因为，得， 因为，则，所以，解得， 所以. 【小问2详解】 将函数的图象向左平移个单位长度， 可得到函数， 再将所得图象上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象， 则. 当时，则，所以，则 所以的值域为. 18. 已知函数，函数为偶函数，且当时，，. （1）若函数在上是增函数，求的最小值； （2）若方程有个不同的实数解，求的取值范围； 【答案】（1）5 （2） 【解析】 【分析】（1）根据函数在上是增函数求得，再由结合指数函数的性质求解即可； （2）方程有个不同的实数解转化为，当有两解，且当有两解，结合二次函数的性质可求的取值范围. 【小问1详解】 函数图象开口向上，对称轴方程为， 因为函数在上单调递增，∴， 又∵为偶函数， ∴. ∴的最小值是5. 【小问2详解】 ∵为偶函数，由， 所以时， ∴ ∴， ∵方程有个不同的实数解， ∴当有两解，且当有两解， 所以， 解得. 19. 已知集合，，设函数. （1）当时，证明：函数是常数函数； （2）已知，写出所有使函数是常数函数的集合； （3）当为奇数时，写出函数是常数函数的一个充分条件，并说明理由. 【答案】（1）证明见解析 （2），，， （3），理由见解析 【解析】 【分析】（1）直接利用题设定义和平方关系，即可证明结果； （2）根据题设，利用倍角公式及余弦的差角公式得到，再利用平方关系可得间的关系，再结合题设条件，即可求解； （3）根据条件，利用倍角公式及平方关系，得到，，再分奇和偶讨论，结合题设条件，即可求解. 【小问1详解】 当时，， 所以是常数函数. 【小问2详解】 设，不妨令， 则 . 若函数是常数函数，则， 则， 得，所以， 得或，，所以或，， 同理或，，或，， 则①，又， 所以集合有，，，，共4个. 【小问3详解】 不妨令， 因为 ， 若函数是常数函数，则， 两式平方相加得，所以， 得，，所以，， ①当为偶数时，可以拆分成组两项（，）的和， 每一组为定值时，也为定值， 所以函数是常数函数的一个充分条件可以是 ②当为奇数时，可以拆分成1组三项的和 与组两项（，）的和， 每一组为定值时，也为定值， 所以当为奇数时，函数是常数函数的一个充分条件可以是. 【点睛】方法点晴：“新定义问题”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算等，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 丽水市2024学年第一学期普通高中教学质量监控 高一数学试题卷 （2025.1） 本试题卷分选择题和非选择题两部分.全卷共4页，满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填在试题卷和答题卷规定的位置上. 2．答题时，请按照答题卷上“注意事项”的要求，在答题卷相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A ， B. ， C. ， D. ， 3. 若，，则是（ ） A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角 4. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 一个扇形弧长与面积的数值都是，则这个扇形的中心角大小为（ ） A. B. C. D. 7. 一种药在病人血液中的量保持及以上才有疗效，而低于病人就有危险.现给某病人静脉注射了这种药，如果药在血液中以每小时的比例衰减，为了保持疗效，那么从现在起到再次向病人注射这种药的最长间隔时间(精确到)为（ ） （参考数据：，） A. B. C. D. 8. 函数在区间上的最大值与最小值之差的取值范围是（ ） A B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分） 9. 下列函数中，为幂函数的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知正数满足，则（ ） A. 的最小值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 11. 已知函数是以为最小正周期的周期函数，且当时，，设，则下列结论正确的是（ ） A. 当时，可以有两个解 B. 当时，可以有一个解 C. 当时，可以有四个解 D 当时，可以有三个解 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12 求值：____. 13. 在中，若，是的方程的两个实根，则____. 14. 已知函数，若对任意，都有，则实数的取值范围是____. 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知函数. （1）求函数的定义域； （2）若，求的值. 16. 如图，设矩形的周长为，把沿向折叠，折过去后交于点，设，. （1）当时，求的值； （2）设的面积为，求的最大值. 17. 已知函数的部分图象如图所示. （1）求的解析式； （2）将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象. 当时，求的取值范围. 18. 已知函数，函数为偶函数，且当时，，. （1）若函数在上是增函数，求的最小值； （2）若方程有个不同的实数解，求的取值范围； 19. 已知集合，，设函数. （1）当时，证明：函数是常数函数； （2）已知，写出所有使函数是常数函数的集合； （3）当为奇数时，写出函数是常数函数的一个充分条件，并说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $