精品解析：内蒙古自治区赤峰市松山区2024-2025学年九年级上学期期末数学试卷

松山区2024-2025学年度上学期期末质量监测 九年级数学 （时间：90分钟 满分：100分） 一、选择题（每小题给出的选项中只有一个符合题意，请将符合题意的选项序号，在答题卡的对应位置上按要求涂黑． 每小题3分，共30分） 1. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 2. 在数学活动课上，第一小组运用统计方法估计容器中的小球的数量． 他们先取出100个小球，给这些小球做上记号，然后放回容器中，充分摇匀之后再取出100个小球，发现其中8颗小球有刚才做的记号，利用得到的数据可以估计容器中小球的数量约为（ ） A 1000 B. 1250 C. 1200 D. 2500 3. 若关于的一元二次方程有实数解，则的取值范围是（ ） A B. 且 C. 且 D. 4. 如图，在中，，，将绕着点顺时针方向旋转得到；，相交于点． 若，则的大小是（ ） A. B. C. D. 5. 若一个正六边形的周长为24，则该正六边形的边心距为（ ） A B. C. D. 6. 如图，分别与相切于A、B，C为上一点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 已知抛物线，其中，．下列说法正确的是（ ） A. 该抛物线经过原点 B. 该抛物线的对称轴在轴左侧 C. 该抛物线的顶点可能在第一象限 D. 该抛物线与轴必有公共点 8. 中国“一带一路”战略给沿线国家和地区带来很大的经济效益，沿线某地区居民2022年年收入550美元，预计2024年年收入将达到1550美元，设2023年到2024年该地区居民年人均收入平均增长率为x，可列方程为（ ） A. B. C D. 9. 飞机着陆后滑行的距离（单位：）关于滑行时间（单位：）的函数解析式是，则飞机从着陆滑行到停止，最后滑行的路程是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在矩形中，，，，分别是边，上的动点，，设，，则关于的函数图象大致是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（请把答案填写在答题卡相应的横线上，每小题3分，共18分） 11. 已知点P（a+1，1）关于原点的对称点在第四象限，则a的取值范围是_____． 12. 底面圆的直径为，高为的圆锥的侧面积是____． 13. 实数，是一元二次方程两个根，则多项式的值为____． 14. 如图：线段上有一点C，若，则点C为的黄金分割点，黄金分割在实际生活中的应用非常广泛，舞台上的报幕员并不是站在舞台的正中央，而是偏在台上一侧，以站在舞台长度的黄金分割点的位置最美观，声音传播的最好．把舞台抽象成线段，报幕员所在位置为点C，已知的长为4米，则______米（保留根号）． 15. 如图是一个圆形餐盘的正面及其固定支架的截面图，凹槽是矩形．当餐盘正立且紧靠支架于点A，D时，恰好与边相切，则此餐盘的半径等于_________cm． 16. 如图是一个残破的圆形零部件，现在需要找到它所在圆的圆心，当老师布置好这个任务后，第一小组的同学制定了如下方案：①在圆弧上取两条不平行的弦；②分别以A、B为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于、；③分别以、为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于P、Q；④作直线和，两直线交于点，则点为所在圆的圆心．其他小组的同学都非常认可第一小组的方案，你认为第一小组这样作法的依据是：________． 三、解答题（在答题卡上解答，答在本试卷上无效，解答时要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 共7题，满分52分） 17. 用配方法解一元二次方程： 18. 如图，在一个可以自由转动的转盘中，指针位置固定，三个扇形的面积都相等，且分别标有数字1，2，3． （1）小明转动转盘一次，当转盘停止转动时，求指针所指扇形中的数字是偶数的概率； （2）小明先转动转盘一次，当转盘停止转动时，记录下指针所指扇形中的数字；接着再转动转盘一次，当转盘停止转动时，再次记录下指针所指扇形中的数字，求这两个数字之和是2的倍数的概率（用画树状图或列表等方法求解）． 19. 如图，在边长为1的正方形网格中，的顶点均在格点上，点A，B的坐标分别是，， 将绕点O逆时针旋转后得到． （1）画出旋转后的，求点的坐标； （2）在旋转过程中，点A经过的路径的长． 20. 某商店经营一种小商品，进价为每件40元，据市场分析，在一个月内，销售单价定为60元时，月销售量为300件；当销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件． 设销售单价为x（元），月销售量为y（件），月获利（月获利=月销售额-月进价）为w（元）． （1）试写出y与x之间的函数关系式（不必写出x的取值范围）； （2）试写出w与x之间的函数关系式（不必写出x的取值范围）；并求当销售单价为多少时，月获利最大，最大月获利为多少？ 21. 如图，四边形内接于，，为对角线，点在的延长线上，且． （1）判断所在直线与的位置关系，并说明理由； （2）若，的半径为3，求阴影部分的面积．（结果保留） 22. 综合与实践 问题情境：如图1，矩形是学校花园的示意图，其中一个花坛的轮廓可近似看成由抛物线的一部分与线段组成的封闭图形，点A，B在矩形的边上．现要对该花坛内种植区域进行划分，以种植不同花卉，学校面向全体同学征集设计方案． 方案设计：如图2，米，的垂直平分线与抛物线交于点P，与交于点O，点P是抛物线的顶点，且米．欣欣设计的方案如下： 第一步：在线段上确定点C，使，用篱笆沿线段分隔出区域，种植串串红； 第二步：在线段上取点F（不与C，P重合），过点F作的平行线，交抛物线于点D，E．用篱笆沿将线段与抛物线围成的区域分隔成三部分，分别种植不同花色的月季． 方案实施：学校采用了欣欣的方案，在完成第一步区域的分隔后，发现仅剩6米篱笆材料．若要在第二步分隔中恰好用完6米材料，需确定与的长．为此，欣欣在图2中以所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系．请按照她的方法解决问题： （1）在图2中画出坐标系，并求抛物线的函数表达式； （2）求6米材料恰好用完时与的长； （3）种植区域分隔完成后，欣欣又想用灯带对该花坛进行装饰，计划将灯带围成一个矩形．她尝试借助图2设计矩形四个顶点的位置，其中两个顶点在抛物线上，另外两个顶点分别在线段上．直接写出符合设计要求的矩形周长的最大值． 23. 实践与探究 探究课题：四点共圆的条件 课题背景：过任意一个三角形的三个顶点都能作一个圆 （1）发现问题：某数学小组在课堂上经过测量四边形各个内角的度数，发现：如果过某个四边形的四个顶点能作一个圆，那么其相对的两个内角之和等于，结合图1，你认为这个小组发现的结论正确吗？如果该结论正确，请你说明理由． （2）如果过某个四边形的四个顶点不能作一个圆，那么其相对的两个内角之间有上述关系吗？试结合图2和图3说明其中的道理． （3）由上面的探究，请你归纳出判定过某个四边形的四个顶点能作一个圆的条件是什么？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 松山区2024-2025学年度上学期期末质量监测 九年级数学 （时间：90分钟 满分：100分） 一、选择题（每小题给出的选项中只有一个符合题意，请将符合题意的选项序号，在答题卡的对应位置上按要求涂黑． 每小题3分，共30分） 1. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了抛物线顶点式的性质，掌握抛物线顶点式的顶点坐标为是解题的关键． 直接利用顶点式的特点确定顶点坐标即可． 【详解】解：∵是抛物线顶点式， ∴该抛物线的顶点坐标为， 故选：C． 2. 在数学活动课上，第一小组运用统计方法估计容器中的小球的数量． 他们先取出100个小球，给这些小球做上记号，然后放回容器中，充分摇匀之后再取出100个小球，发现其中8颗小球有刚才做的记号，利用得到的数据可以估计容器中小球的数量约为（ ） A. 1000 B. 1250 C. 1200 D. 2500 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了用样本的数据特征来估计总体的数据特征，分式方程的应用，掌握利用样本中的数据对整体进行估算是解题的关键．设瓶子中有豆子粒，根据取出粒刚好有记号的粒列出方程，再解方程即可． 【详解】解：设容器中小球的数量约为个， 则，解得：， 经检验，是原方程的解， 即估计容器中小球数量约为个， 故选：B． 3. 若关于的一元二次方程有实数解，则的取值范围是（ ） A. B. 且 C. 且 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义及根的判别式，解不等式的解集，理解有实数解的概念，掌握判别式的运用是解题的关键． 根据一元二次方程的定义得到，由方程有实数解得到，代入求解即可． 【详解】解：关于的一元二次方程有实数解， ∴，且， ∴且， 故选：C ． 4. 如图，在中，，，将绕着点顺时针方向旋转得到；，相交于点． 若，则的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质等知识；熟练掌握旋转的性质和平行线的性质，求出的度数是解题的关键．由旋转的性质可得，，再由平行线的性质得，然后由等腰三角形的性质和三角形内角和定理得的度数，即可求解． 【详解】解：将绕着点顺时针方向旋转得到， ，， 在中，，， ，， ， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 5. 若一个正六边形的周长为24，则该正六边形的边心距为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了正多边形和圆，勾股定理，含30度角直角三角形的性质，掌握正六边形的性质是解题关键． 先求出正六边形的边长，再构建直角三角形，然后利用直角三角形的边角关系求解即可． 【详解】解：如图：连接，作 ． ∵圆内接正六边形的周长为24， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴正六边形的边心距是． 故选B． 6. 如图，分别与相切于A、B，C为上一点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质、圆周角定理、圆内接四边形的性质．解题的关键是正确作出辅助线． 根据圆内接四边形对角互补可求，由切线的性质得出，利用四边形内角和可求． 【详解】解：如图所示，连接，在优弧上取点D，连接， ∵， ∴， ∴， ∵分别与相切于A、B， ∴， ∴， 故选：D． 7. 已知抛物线，其中，．下列说法正确是（ ） A. 该抛物线经过原点 B. 该抛物线的对称轴在轴左侧 C. 该抛物线的顶点可能在第一象限 D. 该抛物线与轴必有公共点 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的图象与系数的关系，需要对题中所给的，，进行分类讨论，也可以画出它的草图，然后根据图象解答即可． 【详解】解：A、∵， ∴该抛物线与轴的交点在轴上方，不经过原点， ∴此选项说法错误，不符合题意； B、∵， ∴与异号， ∴， ∴该抛物线的对称轴在轴右侧， ∴此选项说法错误，不符合题意； C、由已知可得抛物线顶点为， 已知，所以顶点可能在第一象限，第四象限或者轴上， ∴此选项说法正确，符合题意； D、令，则， ∴， 而无法判断其正负情况， ∴不能判断抛物线与轴必有公共点， ∴此选项说法错误，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数性质，考查了二次函数各项系数对其图象的影响，对已知条件进行分类讨论是解决问题的关键． 8. 中国“一带一路”战略给沿线国家和地区带来很大的经济效益，沿线某地区居民2022年年收入550美元，预计2024年年收入将达到1550美元，设2023年到2024年该地区居民年人均收入平均增长率为x，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用（增长率问题），读懂题意，根据题中的等量关系正确列出方程是解题的关键． 设2023年到2024年该地区居民年人均收入平均增长率为x，则根据题意即可直接列出方程． 【详解】解：设2023年到2024年该地区居民年人均收入平均增长率为x， 则根据题意可列方程为：， 故选：． 9. 飞机着陆后滑行的距离（单位：）关于滑行时间（单位：）的函数解析式是，则飞机从着陆滑行到停止，最后滑行的路程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，正确理解题意得出行驶路程是解题关键．根据题意分别得出第秒和第时行驶的总路程进而得到答案． 【详解】解：由题意可得，当时，飞机停下， 此时，． 当时，． 故飞机从着陆滑行到停止，最后滑行的路程是． 故选：D． 10. 如图，在矩形中，，，，分别是边，上的动点，，设，，则关于的函数图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了动点问题函数图形．过作的垂线，根据矩形的性质以及勾股定理，写出关于的表达式从而可以得到图象的形状． 【详解】解：过作于， 四边形为矩形， ， ， ∴， 四边形也是矩形， ，， ， ， 在上，在上， ，， ， 关于的函数图象是开口向上，对称轴为的抛物线． 故选：C． 二、填空题（请把答案填写在答题卡相应的横线上，每小题3分，共18分） 11. 已知点P（a+1，1）关于原点的对称点在第四象限，则a的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【详解】试题解析: ∵P（，1关于原点对称的点在第四象限， ∴P点在第二象限， ∴a+1<0, 解得：a<−1， 故答案为: a<−1. 12. 底面圆的直径为，高为的圆锥的侧面积是____． 【答案】 【解析】 【分析】先运用勾股定理算出母线长，再利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算．本题考查了勾股定理，圆锥侧面积的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 【详解】解：∵底面圆的直径为， ∴底面圆的半径为， ∴母线长， 圆锥的侧面积． 故答案为：． 13. 实数，是一元二次方程的两个根，则多项式的值为____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．根据一元二次方程根与系数的关系可得，，然后代入求解即可． 【详解】解：实数，是一元二次方程的两个根， ，， ， 故答案为：． 14. 如图：线段上有一点C，若，则点C为的黄金分割点，黄金分割在实际生活中的应用非常广泛，舞台上的报幕员并不是站在舞台的正中央，而是偏在台上一侧，以站在舞台长度的黄金分割点的位置最美观，声音传播的最好．把舞台抽象成线段，报幕员所在位置为点C，已知的长为4米，则______米（保留根号）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割点的定义是解题的关键． 由“，的长为4米”即可直接得出答案． 【详解】解：，的长为4米， （米）， 故答案为：． 15. 如图是一个圆形餐盘的正面及其固定支架的截面图，凹槽是矩形．当餐盘正立且紧靠支架于点A，D时，恰好与边相切，则此餐盘的半径等于_________cm． 【答案】10 【解析】 【分析】连接，过点作，交于点，交于点，则点为餐盘与边的切点，由矩形的性质得，，，则四边形是矩形，，得，，，设餐盘的半径为，则，，然后由勾股定理列出方程，解方程即可． 【详解】由题意得：，， 如图，连接，过点作，交于点，交于点， 则， 餐盘与边相切， 点为切点， 四边形是矩形， ，，， 四边形是矩形，， ，，， 设餐盘的半径为， 则， ， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 餐盘的半径为， 故答案为：10． 【点睛】本题考查了切线的性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 16. 如图是一个残破的圆形零部件，现在需要找到它所在圆的圆心，当老师布置好这个任务后，第一小组的同学制定了如下方案：①在圆弧上取两条不平行的弦；②分别以A、B为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于、；③分别以、为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于P、Q；④作直线和，两直线交于点，则点为所在圆的圆心．其他小组的同学都非常认可第一小组的方案，你认为第一小组这样作法的依据是：________． 【答案】垂直平分弦的直线经过圆心 【解析】 【分析】本题考查了三角形外接圆圆心（外心）的确定，三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点， 根据在同一个圆中，每条弦的垂直平分线都经过圆心．因此，只要找到两条不平行弦的垂直平分线，它们的交点就是圆心．即可得出答案． 【详解】解：由作法可知，直线垂直平分弦，垂直平分弦， 因为在同一个圆中，每条弦的垂直平分线都经过圆心． 所以作直线和，两直线交于点，则点为所在圆的圆心． 故答案为：垂直平分弦的直线经过圆心． 三、解答题（在答题卡上解答，答在本试卷上无效，解答时要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 共7题，满分52分） 17. 用配方法解一元二次方程： 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，根据配方法解一元二次方程，即可求解． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：，． 18. 如图，在一个可以自由转动的转盘中，指针位置固定，三个扇形的面积都相等，且分别标有数字1，2，3． （1）小明转动转盘一次，当转盘停止转动时，求指针所指扇形中的数字是偶数的概率； （2）小明先转动转盘一次，当转盘停止转动时，记录下指针所指扇形中的数字；接着再转动转盘一次，当转盘停止转动时，再次记录下指针所指扇形中的数字，求这两个数字之和是2的倍数的概率（用画树状图或列表等方法求解）． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率，以及概率公式．解题的关键在于熟练掌握相关知识． （1）根据概率公式求解，即可解题； （2）根据题意列表得到所有等可能的情况数，再找出其中这两个数字之和是2的倍数的情况数，最后根据概率公式求解，即可解题． 【小问1详解】 解： 在标有数字1、2、3的3个转盘中，偶数的有2这1个， 指针所指扇形中的数字是偶数的概率为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：根据题意列表如下： 1 2 3 1 2 3 4 2 3 4 5 3 4 5 6 由表可知，两个数字之和所有等可能的情况数为9种， 其中这两个数字之和是2的倍数的有5种， 所以这两个数字之和是2的倍数的概率为． 19. 如图，在边长为1的正方形网格中，的顶点均在格点上，点A，B的坐标分别是，， 将绕点O逆时针旋转后得到． （1）画出旋转后的，求点的坐标； （2）在旋转过程中，点A经过的路径的长． 【答案】（1）图见解析， （2） 【解析】 【分析】（1）按照画旋转图形的方法画出，并写出点的坐标即可； （2）先利用、两点坐标求出的长，再利用弧长公式计算出点经过的路径的长即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求作： 点的坐标为； 【小问2详解】 解：，， ， 点经过的路径的长． 【点睛】本题主要考查了画旋转图形，求某点的弧形运动路径长度，写出直角坐标系中点的坐标，已知两点坐标求两点距离等知识点，熟练掌握旋转的性质、画旋转图形的方法及弧长公式是解题的关键． 20. 某商店经营一种小商品，进价为每件40元，据市场分析，在一个月内，销售单价定为60元时，月销售量为300件；当销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件． 设销售单价为x（元），月销售量为y（件），月获利（月获利=月销售额-月进价）为w（元）． （1）试写出y与x之间的函数关系式（不必写出x的取值范围）； （2）试写出w与x之间的函数关系式（不必写出x的取值范围）；并求当销售单价为多少时，月获利最大，最大月获利为多少？ 【答案】（1）； （2）；销售价定为65元时，最大利润是6250元． 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用、二次函数的应用以及二次函数的性质，解题的关键是：（1）根据数量关系，找出y与x之间的函数关系式；（2）利用二次函数的性质找出最大月利润． （1）根据月销售量销售单价上涨钱数，即可得出y与x之间的函数关系式； （2）根据月利润=单件利润×销售数量，即可得出y与x之间的函数关系式，配方后再利用二次函数的性质即可解决最值问题． 【小问1详解】 解：根据题意得，销售价为x元，销售量为y时， 【小问2详解】 解：由题意得： 整理得： 当，即销售价定为65元时，获利最大，最大利润是6250元 21. 如图，四边形内接于，，为对角线，点在的延长线上，且． （1）判断所在直线与的位置关系，并说明理由； （2）若，的半径为3，求阴影部分的面积．（结果保留） 【答案】（1）所在直线与相切，理由见解析； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定，圆有关的性质，扇形的面积，熟练运用是解答本题的关键． （1）根据圆周角为直角的弦是直径得到是直径，再根据直径所对的圆周角是直角得到，从而得到，根据已知得，同弧所对的圆周角相等得，从而得到，即可证明； （2）找到圆心角，再利用扇形的面积公式即可求解． 【小问1详解】 解：所在直线与相切，理由如下：连接， ， 是直径， ， ， ， ， ， ， ， 即， 点D在上， 是的切线； 【小问2详解】 由（1）知，， ， ， ， ． 22. 综合与实践 问题情境：如图1，矩形是学校花园的示意图，其中一个花坛的轮廓可近似看成由抛物线的一部分与线段组成的封闭图形，点A，B在矩形的边上．现要对该花坛内种植区域进行划分，以种植不同花卉，学校面向全体同学征集设计方案． 方案设计：如图2，米，的垂直平分线与抛物线交于点P，与交于点O，点P是抛物线的顶点，且米．欣欣设计的方案如下： 第一步：在线段上确定点C，使，用篱笆沿线段分隔出区域，种植串串红； 第二步：在线段上取点F（不与C，P重合），过点F作的平行线，交抛物线于点D，E．用篱笆沿将线段与抛物线围成的区域分隔成三部分，分别种植不同花色的月季． 方案实施：学校采用了欣欣的方案，在完成第一步区域的分隔后，发现仅剩6米篱笆材料．若要在第二步分隔中恰好用完6米材料，需确定与的长．为此，欣欣在图2中以所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系．请按照她的方法解决问题： （1）在图2中画出坐标系，并求抛物线的函数表达式； （2）求6米材料恰好用完时与的长； （3）种植区域分隔完成后，欣欣又想用灯带对该花坛进行装饰，计划将灯带围成一个矩形．她尝试借助图2设计矩形四个顶点的位置，其中两个顶点在抛物线上，另外两个顶点分别在线段上．直接写出符合设计要求的矩形周长的最大值． 【答案】（1）图见解析， （2）的长为4米，的长为2米 （3）矩形周长的最大值为米 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，建立适当坐标系求出函数表达式是解题的关键． （1）根据题意以点O为原点建立坐标系，根据垂直平分，得出，根据设抛物线的函数表达式为，将代入求出a的值即可； （2）设点E的坐标为，可得，，，根据求出m的值即可； （3）由矩形周长，即可求解． 【小问1详解】 解：建立如图所示的平面直角坐标系， ∵所在直线是的垂直平分线，且， ∴． ∴点B的坐标为， ∵， ∴点P的坐标为， ∵点P是抛物线的顶点， ∴设抛物线的函数表达式为， ∵点在抛物线上， ∴， 解得：． ∴抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：∵点D，E在抛物线 上， ∴设点E的坐标为， ∵，交y轴于点F， ∴，， ∴． ∵在中，， ∴． ∴， 根据题息，得， ∴， 解得：（不符合题意，舍去）， ∴． ∴， 答：的长为4米，的长为2米． 【小问3详解】 解：如图矩形灯带为， ，，点C在y轴的正半轴，点A在x轴的负半轴， ∴，， 设直线解析式为， 将，代入，得：， 解得， ∴直线解析式为， 同理可得，直线的表达式， 设点、、、， 则矩形周长， 故矩形周长的最大值为米． 23. 实践与探究 探究课题：四点共圆的条件 课题背景：过任意一个三角形的三个顶点都能作一个圆 （1）发现问题：某数学小组在课堂上经过测量四边形各个内角的度数，发现：如果过某个四边形的四个顶点能作一个圆，那么其相对的两个内角之和等于，结合图1，你认为这个小组发现的结论正确吗？如果该结论正确，请你说明理由． （2）如果过某个四边形的四个顶点不能作一个圆，那么其相对的两个内角之间有上述关系吗？试结合图2和图3说明其中的道理． （3）由上面的探究，请你归纳出判定过某个四边形的四个顶点能作一个圆的条件是什么？ 【答案】（1）这个结论正确，理由见解析； （2）没有上述关系，理由见解析； （3）这个四边形相对的两个内角互补． 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理、三角形外角的性质等知识点，掌握圆周角定理是解题的关键． （1）根据圆周角定理可得的度数等于度数的一半，的度数等于度数的一半，再结合与的度数和为即可解答； （2）根据圆周角定理和三角形外角的性质即可解答； （3）根据（1）（2）归纳即可解答． 【小问1详解】 解：这个结论正确，理由如下： ∵如图1，经过四边形的四个顶点A、B、C、D， ∴的度数等于度数的一半，的度数等于度数的一半， ∵与的度数和为， ∴， ∴如果过某个四边形的四个顶点不能作一个圆，那么其相对的两个内角互补． 【小问2详解】 解：没有上述关系，理由如下： 图2：连接，∵，， ∴； ∴如果过某个四边形的四个顶点不能作一个圆，那么其相对的两个内角之间不具备上述关系． 图5：连接，∵，， ∴． ∴如果过某个四边形的四个顶点不能作一个圆，那么其相对的两个内角之间不具备上述关系． 【小问3详解】 解：根据（1）（2）可得： 如图2：判定过某个四边形的四个顶点能作一个圆的条件是这个四边形相对的两个内角互补． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$