精品解析：湖南省长沙市宁乡市名校联合2024-2025学年高二下学期入学检测数学试题

2025年春季高二年级入学检测 数学 （考试范围：必修1至选必3第6章） 时量：120分钟 满分：150分 得分：__________ 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则下列关系一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据已知判断元素和集合B的关系，再根据元素及集合的关系判断A，应用集合及集合的基本关系判断B，C，D. 【详解】因为集合， 则，所以，C选项正确； 则可以在集合B中,也可以不在集合B中，所以A,B,D选项错误. 故选：C. 2. 已知复数满足，则复数（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由已知等式化简求出，从而可求出复数. 【详解】因为， 所以． 故选：D． 3. 在中，角A，B，C所对的边分别为，，，若，，，则（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用正弦定理计算即可. 【详解】根据正弦定理，得，解得． 故选：A. 4. 已知圆锥的表面积等于，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：设圆锥的底面圆的半径为，母线长为，侧面展开图是一个半圆，，圆锥的表面积为，，故圆锥的底面半径为，故选B. 考点：圆锥的几何性质及侧面积公式. 5. 已知的展开式的二项式系数和为32，则其展开式中项的系数为（ ） A. 24 B. 120 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题得，由二项式定理的展开式求得参数，进一步即可得解. 详解】根据题意，，解得，则， 设x项为第项，故其展开式为． 所以，则，所以， 故选：D． 6. 已知，则的值是（ ） A. B. － C. －3 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】根据弦化切，由题中条件，得到，再由得到，再由弦化切，即可得出结果. 【详解】因为，所以，即， 解得：， 所以. 故选：A. 【点睛】本题主要考查同角三角函数基本关系，根据弦化切即可求解，属于常考题型. 7. 已知动点在直线上，点是坐标原点，点是圆上的动点，则的最大值为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】求出点C关于直线的对称点，把的最大值转化为点到圆心距离加半径，再求出到两个定点距离差的最大值即可作答. 【详解】点在直线上， 圆的圆心，半径，而点在圆上，则，    因此，令点关于直线对称点，， 则有，解得，即， 因此，当且仅当点共线，且点在线段上时取等号， 直线方程为，由，解得，即直线与直线交于点， 所以当点与重合时，，. 故选：C 8. 若定义域均为的函数，满足：，且，使得，则称与互为“亲近函数”.已知与互为“亲近函数”，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由函数的单调性知是的唯一零点，根据“亲近函数”的定义可知在内存在零点，利用换元法，分离参数后结合对勾函数的性质，即可求解. 【详解】因为函数，，均在上为增函数， 所以在上为增函数，且， 故是的唯一零点，要使和互为“亲近函数”， 则存在，使得，即在内存在零点， 所以方程有解，令，则， 故，易知不是此方程的解； 当时，有，由对勾函数的性质可知，， 故的取值范围是． 故选：A. 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知正数满足，则下列选项正确的是（ ） A. B. ab≥8 C a+b≥4 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由题意可得，利用化简计算和基本不等式判断各个选项； 【详解】对于A，由题可得，即故A正确； 对于B，为正数，为正数，所以，当且仅当a=b=2时，等号成立.故B不正确； 对于C，为正数，当且仅当a=b=2时，等号成立，故C 正确； 对于D，为正数，当且仅当时，等号成立.故 D正确. 故选: ACD. 10. 已知函数，则（ ） A. 在单调递增 B. 有两个零点 C. 曲线在点处切线的斜率为 D. 是偶函数 【答案】AC 【解析】 【分析】 根据函数的定义域可判断D，利用函数的导数的正负可判断A，利用导数的几何意义可判断C，根据函数值的情况及零点定义可判断B. 【详解】由知函数定义域为， ， 当时，，， 故在单调递增，A正确； 由，当时，， 当，所以只有0一个零点，B错误； 令，，故曲线在点处切线的斜率为，C正确； 由函数的定义域为，不关于原点对称知，不是偶函数，D错误. 故选：AC 【点睛】关键点点睛：解决本题时，利用函数的导数判断函数的增减性，利用导数的几何意义求切线的斜率，属于中档题. 11. 双曲线的左右焦点分别为，左右顶点分别为，若是右支上一点（与点不重合），如图，过点的直线与双曲线的左支交于点，与其两条渐近线分别交于两点，则下列结论中正确的是 A. 存在使得 B. P到两条渐近线的距离之积为定值 C. 当直线运动时，始终有 D. △内切圆的圆心的横坐标为1 【答案】BCD 【解析】 【分析】设，计算直线的斜率，比较斜率关系即可判断A；由抒情取消方程确定出渐近线，分别计算距离求解即可判断B；设直线，然后分别联立双曲线和渐近线方程计算交点，计利用弦长公式确定关系即可判断C；设内切圆与轴的切点是点，、与内切圆的切点分别为、，利用切线长定理，再利用双曲线的定义，把，转化为，从而求得点的横坐标即可判断D. 【详解】双曲线的，则双曲线渐近线方程为， 设，则，且， 对于A，，则， 则，而，所以，则不存在使得，故A不正确； 对于B，点到两个渐近线的距离分别为，， 故，则P到两条渐近线的距离之积为定值，故B正确； 对于C，设点,，,，,， 显然直线的斜率存在，设直线，且， 联立方程，所以， 直线分别与渐近线与联立得，， 得， 所以有，即， 由题可知，，，所以，故C正确； 对于D，如图所示： 设内切圆与轴的切点是点，、与内切圆的切点分别为、， 由双曲线的定义可得， 由圆的切线长定理知，，故，即， 设内切圆的圆心横坐标为，则点的横坐标为，故，，故D正确. 故选：BCD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设，且函数是偶函数，若，则______ 【答案】 【解析】 【分析】根据偶函数的性质列出方程求解即可. 【详解】因为函数是偶函数，所以，即， 又因为，所以， 故答案为：. 13. 已知向量，则的最大值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】首先表示出的坐标，再根据向量模的坐标表示、三角恒等变换公式及余弦函数的性质计算可得. 【详解】因为， 所以， 所以 ， 所以当，即时取得最大值，且. 故答案为： 14. 已知抛物线的焦点为，直线与抛物线相切于点（异于坐标原点，与轴交于点，若，则向量与的夹角为_______． 【答案】## 【解析】 【分析】由题意可得，设，利用导数求出切线方程，即可求出点坐标，再由距离公式求出、，最后由向量夹角公式计算可得. 【详解】由题意可得，设，由可得， 则，所以直线的斜率，则直线的方程为，令，解得，所以， 所以，，解得（负值舍去）， 当时，，则， 所以向量与的夹角为，同理当时向量与的夹角也为， 故向量与的夹角为. 故答案为： 【点睛】思路点睛：涉及抛物线的切线问题，通常利用导数的几何意义表示出切线方程. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知数列，中，，，是公差为1的等差数列，数列是公比为2的等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据题意及等差数列的通项公式计算出数列的通项公式，再根据等比数列的通项公式计算出数列的通项公式，即可计算出数列的通项公式； （2）根据数列的通项公式的特点运用分组求和法，以及等差数列和等比数列的求和公式即可计算出前项和． 【小问1详解】 由题意，可得， 故，， 数列是公比为2的等比数列，且， ， ，． 【小问2详解】 由题意及（1），可得， 则 ． 16. 已知椭圆：（其中）的右焦点为，直线过点与椭圆交于，两点，为坐标原点． （1）求椭圆的长轴长和离心率； （2）求的面积的最大值； 【答案】（1）长轴长为，离心率为 （2） 【解析】 【分析】（1）由椭圆的标准方程以及右焦点坐标可求的值，然后得到椭圆的标准方程，再求出长轴长和离心率. （2）设直线方程，与椭圆联立，借助韦达定理求出两根之和和两根之积，带入到面积公式，换元，求三角形面积的最大值. 【小问1详解】 由题意，，，解得． 所以，椭圆的长轴长为，离心率为． 【小问2详解】 设直线的方程为，联立， 整理得：，即． 设，，由， 得，． 所以，． 所以，的面积， 令，则，得． 当且仅当时（即时）等号成立，此时：． 所以的面积的最大值为. 17. 2024年5月22日至5月28日是第二届全国城市生活垃圾分类宣传周，本次宣传周的主题为“践行新时尚分类志愿行”.某中学高一年级举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（单位：分，得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计，将成绩进行整理后，分为五组（，，，，），其中第二组的频数是第一组频数的2倍，请根据下面尚未完成的频率分布直方图（如图所示）解决下列问题： （1）求a，b的值，并估计这次竞赛成绩的中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （2）如果用分层抽样的方法从样本成绩为和的学生中共抽取6人，再从6人中选2人，求2人分数恰好来自同一组的概率； （3）某老师在此次竞赛成绩中抽取了10名学生的分数：，已知这10个分数的平均数，标准差，若剔除其中的75和85这两个分数，求剩余8个分数的平均数与方差. 【答案】（1），，中位数约为70.5 （2） （3）平均数为80，方差为37.5 【解析】 【分析】（1）根据频率的性质以及频率之和为1即可求解，即可根据中位数的计算公式求解， （2）根据分层抽样比，结合列举法列举所有基本事件，即可根据古典概型的概率公式求解， （3）根据平均数以及方差的计算公式即可求解. 【小问1详解】 由第二组的频数是第一组的2倍，可得第二组的频率为第一组的2倍，所以， 解得 又，解得 成绩落在内的频率为：， 落在内的频率为：， 因此中位数落在区间内， 设中位数为，则，解得. 故估计这次竞赛成绩的中位数约为70.5. 【小问2详解】 第四组的抽取人数为4，设所抽取的人为， 第五组的抽取人数为2，设所抽取的人为， 则从中随机抽取两名学生有，，，，，，，，，，，，，，共15种情况， 记事件“抽取的两名学生在同一组”，所以事件A包含的基本事件为，，，，，，共7种情况. 所以 小问3详解】 由，得：. 又， 所以： 剔除其中的75和85两个分数，设剩余8个数为 平均数与标准差分别为，， 则剩余8个分数的平均数：； 所以 即：. 方差： 故剩余8个分数的平均数为80，方差为37.5. 18. 已知函数． （1）当时，求的极值； （2）若存在两个极值点． （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）证明：． 【答案】（1）极小值为，无极大值 （2）（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求导，利用导数求的单调性和极值； （2）（i）求导可得，构建，由题意可知在内有两个变号零点，结合导数分析函数零点即可得结果；（ⅱ）由（i）可知，，且，构建，利用导数求最值即可. 【小问1详解】 当时，， 可知的定义域为，且， 当时，；当时，当； 可知在上单调递减，在上单调递增， 所以的极小值为，无极大值. 【小问2详解】 （i）由题意可得：的定义域为， 且， 设，可知在内有两个变号零点， 则， 当，；当时，； 可知在上单调递减，在上单调递增， 则的最小值为， 且当趋近于时，趋近于， 当时，则，可得， 可得，即当趋近于时，趋近于， 可得，解得， 所以实数的取值范围为； （ii）由（i）可知，，且， 所以， 设，显然，又， 因为，则，可知在上单调递减， 且，可得， 所以. 【点睛】方法点睛：对于函数零点的个数的相关问题，利用导数和数形结合的数学思想来求解．这类问题求解的通法是： （1）构造函数，这是解决此类题的关键点和难点，并求其定义域； （2）求导数，得单调区间和极值点； （3）数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与x轴的交点情况进而求解． 19. 如图所示，正四棱柱的底面边长为，侧棱长为，点，，分别是棱，，的中点，点在线段上运动． （1）证明：平面； （2）求三棱锥的外接球表面积； （3）设直线与平面所成的角大小为，当角的正弦值最大时，求二面角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）直接证明线面平行无法实现，先证明面面平行，再证明线面平行即可； （2）求外接球表面积即寻找外接球球心，求外接球半径，据外接球性质，找两个截面的外心，分别作截面外接圆的垂线，两垂线交点为球心，这里，两个截面相交，且外接圆圆心相同，为球心； （3）直线与平面平行，点面距等于线面距，则当长度最短时，直线与平面所成的角最大，其正弦值也最大．当正弦值最大时，，确定动点N的位置，向量法求二面角即可. 【小问1详解】 证明：如图所示， ∵点，分别是正四棱柱的棱，的中点， 则， 则为平行四边形， ∴，又平面，平面， ∴平面， ∵， ∴， 同理得平面， 而平面，平面，， 所以平面平面， 而平面， 所以平面． 【小问2详解】 由题易知：，，，所以， 即为，又易知为， 所以三棱锥的外接球球心只能是线段的中点， 从而得外接球半径， 于是三棱锥的外接球表面积为：． 由题易知：，，，所以：， 即为，又易知为， 所以三棱锥的外接球球心只能是线段的中点，从而得外接球半径， 于是三棱锥的外接球表面积为：． 【小问3详解】 因为平面，， 所以点到平面的距离为定值． 所以当长度最短时，直线与平面所成的角最大，其正弦值也最大． 当正弦值最大时，． 此时，, 即， ，, 以点为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示， ∵，∴点到的距离为，到的距离为, 则有：，，，， ∴，，， 设平面的法向量为， 则，即， 令，得平面的一个法向量为， 设平面的法向量为， 则，即， 令，得平面的一个法向量为， 设二面角的大小是， 由题意，， ∴， 即二面角的正弦值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年春季高二年级入学检测 数学 （考试范围：必修1至选必3第6章） 时量：120分钟 满分：150分 得分：__________ 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则下列关系一定正确是（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足，则复数（ ） A. B. C. D. 3. 在中，角A，B，C所对的边分别为，，，若，，，则（ ） A. B. 1 C. D. 4. 已知圆锥的表面积等于，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为 A. B. C. D. 5. 已知的展开式的二项式系数和为32，则其展开式中项的系数为（ ） A. 24 B. 120 C. D. 6. 已知，则的值是（ ） A B. － C －3 D. 3 7. 已知动点在直线上，点是坐标原点，点是圆上的动点，则的最大值为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 4 8. 若定义域均为的函数，满足：，且，使得，则称与互为“亲近函数”.已知与互为“亲近函数”，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知正数满足，则下列选项正确的是（ ） A B. ab≥8 C. a+b≥4 D. 10. 已知函数，则（ ） A. 在单调递增 B. 有两个零点 C. 曲线在点处切线的斜率为 D. 是偶函数 11. 双曲线的左右焦点分别为，左右顶点分别为，若是右支上一点（与点不重合），如图，过点的直线与双曲线的左支交于点，与其两条渐近线分别交于两点，则下列结论中正确的是 A. 存在使得 B. P到两条渐近线的距离之积为定值 C. 当直线运动时，始终有 D. △内切圆的圆心的横坐标为1 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设，且函数是偶函数，若，则______ 13. 已知向量，则的最大值为__________. 14. 已知抛物线的焦点为，直线与抛物线相切于点（异于坐标原点，与轴交于点，若，则向量与的夹角为_______． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知数列，中，，，是公差为1的等差数列，数列是公比为2的等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和. 16. 已知椭圆：（其中）的右焦点为，直线过点与椭圆交于，两点，为坐标原点． （1）求椭圆的长轴长和离心率； （2）求的面积的最大值； 17. 2024年5月22日至5月28日是第二届全国城市生活垃圾分类宣传周，本次宣传周的主题为“践行新时尚分类志愿行”.某中学高一年级举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（单位：分，得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计，将成绩进行整理后，分为五组（，，，，），其中第二组的频数是第一组频数的2倍，请根据下面尚未完成的频率分布直方图（如图所示）解决下列问题： （1）求a，b的值，并估计这次竞赛成绩的中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （2）如果用分层抽样的方法从样本成绩为和的学生中共抽取6人，再从6人中选2人，求2人分数恰好来自同一组的概率； （3）某老师在此次竞赛成绩中抽取了10名学生的分数：，已知这10个分数的平均数，标准差，若剔除其中的75和85这两个分数，求剩余8个分数的平均数与方差. 18. 已知函数． （1）当时，求的极值； （2）若存在两个极值点． （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）证明：． 19. 如图所示，正四棱柱的底面边长为，侧棱长为，点，，分别是棱，，的中点，点在线段上运动． （1）证明：平面； （2）求三棱锥的外接球表面积； （3）设直线与平面所成角大小为，当角的正弦值最大时，求二面角的正弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $