01第一章---勾股定理课时1---勾股定理和逆定理讲义2024-2025学年北师大版数学八年级上学期

勾股定理和逆定理 _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ 1. 掌握勾股定理的内容 2. 掌握勾股定理与弦图题型 3. 掌握勾股定理逆定理（直角三角形的判定）题型 4. 掌握勾股数题型 5. 勾股定理的运用之面积求解题型 6. 掌握勾股定理的运用之高度求解题型 7. 掌握勾股定理的运用之点与线的距离题型 8. 掌握勾股定理的运用之等面积题型 右面是一个用正方形和直角三角形组成的树，认真观察一下这两个图形有什么联系。 1 学科网（北京）股份有限公司 A C B A C B 图 1 图 2 观察图 2 正方形 A 中含有 个小方格，即A 的面积是 个单位面积； 正方形 B 中含有 个小方格，即B 的面积是 个单位面积； 正方形 C 中含有 个小方格，即C 的面积是 个单位面积。 图中每个小方格代表一个单位面积 A 的面积 B 的面积 C 的面积 图 1 图 2 思考：正方形 A，B，C 的面积之间有什么关系吗？ 做一做： 分别以 3 厘米、4 厘米为直角三角形的直角边做出一个直角三角形，并测量斜边的长度. 思考：前面得到的规律对这个三角形还成立吗？ 1.勾股定理： （1）直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．就是说，对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么一定有这就是勾股定理． （2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中． （3）由于，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边． 2.勾股定理逆定理 “若三角形的两条边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形为直角三角形.”这一命题是勾股定理的逆定理.它可以帮助我们判断三角形的形状，为根据边的关系解决角的有关问题提供了新的方法.定理的证明采用了构造法. 两个命题中, 如果第一个命题的题设是第二个命题的结论, 而第一个命题的结论又是第二个命题的题设,那么这两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个叫做原命题, 那么另一个叫做它的逆命题. 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题, 那么它也是一个定理, 这两个定理叫做互逆定理, 其中一个叫做另一个的逆定理. 3.勾股定理的证明： （1）勾股定理的证明方法有很多种，教材是采用了拼图的方法证明的．先利用拼图的方法，然后再利用面积相等证明勾股定理． （2）证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理． 4.勾股数：满足的三个正整数，称为勾股数． 说明： 1 勾股数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足，但是它们不是正整数，所以它们不是勾股数． 2 勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数．常用的勾股数再做题可以提高速度．如：3、4、5；5、12、13；6、8、10；7、24、25；8、15、17；9、12、15；9、40、41；10、24、26... 5.勾股定理的应用 （1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形． （2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． （3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度． ②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和． ③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题． ④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边． 【考点1】勾股定理 解题思路：牢记在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边的平方。没图的题好好画图，注意审题，涉及高、三角形两条边时注意分类讨论的思想。看到等腰三角形除了边相等、两底角相等，还要想到等腰三角形“三线合一”。 【例1】如图，两个较大正方形的面积分别为225、289，则字母A所代表的正方形的面积为（　　） A．4 B．8 C．16 D．64 【练1】已知直角三角形有两条边的长分别是 3，4，那么第三条边长的平方是（ ） A．25 B．7 C．25或 7 D．5 【练2】等腰三角形的周长是 50， 底边长是 24，则它的面积是（）． A．120 B．100 C．60 D．30 【练3】已知△ABC 中，AB=17，AC=10，BC 边上的高 AD=8，则边 BC 的长为（ ） A．21 B．15 C．6 D．以上答案都不对． 【考点2】勾股定理与弦图问题 【例2】两个边长分别为a，b，c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成如图所示的图形，用两种不同的计算方法计算这个图形的面积，则可得等式为（　　） A.（a+b）2＝c2 B．（a﹣b）2＝c2 C．a2+b2＝c2 D．a2﹣b2＝c2 【练1】如图，“赵爽弦图”是用四个相同的直角三角形与一个小正方形无缝隙地铺成一个大正方形，已知大正方形面积为25，（x+y）2＝49，用x，y表示直角三角形的两直角边（x＞y），下列选项中正确的是（　　） A．小正方形面积为4 B．x2+y2＝5 C．x2﹣y2＝7 D．xy＝24 【练2】如图，在赵爽弦图中，已知直角三角形的短直角边长为a，长直角边长为b，大正方形的面积为20，小正方形的面积为4，则ab的值是（　　） A．10 B．8 C．7 D．5 【考点3】勾股定理的逆定理 【例3】下列三条线段不能组成直角三角形的是（　　） A．3、4、5 B．5、12、13 C．8、15、17 D．4、5、6 【练1】已知三角形三边的长分别为3、4、6，则该三角形的形状是（　　） A． 锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 【练2】如果用，a、b、c表示△ABC的三边，那么分别满足下列条件的三角形中，直角三角形有（　　） ①b2＝c2﹣a2 ②a：b：c＝3：4：5 ③∠C＝∠A﹣∠B ④∠A：∠B：∠C＝12：13：15 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【考点4】勾股数 【例4】下列各组数能构成勾股数的是（　　） A．8，15，17 B．6，7，8 B． ，， D．0.9，1.2，1.5 【练1】下列四组数，是勾股数的是（　　） A．0.3，0.4，0.5 B．3，4，5 C．6，7，8 D．32，42，52 【练2】给出下列四个说法： ①由于0.3，0.4，0.5不是勾股数，所以以0.3，0.4，0.5为边长的三角形不是直角三角形； ②由于以0.5，1.2，1.3为边长的三角形是直角三角形，所以0.5，1.2，1.3是勾股数； ③若a，b，c是勾股数，且c最大，则一定有a2+b2＝c2； ④若三个整数a，b，c是直角三角形的三边长，则2a，2b，2c一定是勾股数，其中正确的是（　　） A． ①② B．②③ C．③④ D．①④ 、 【练3】如果正整数a、b、c满足等式a2+b2＝c2，那么正整数a、b、c叫做勾股数，某同学将自己探究勾股数的过程列成下表，观察表中每列数的规律，可知x+y的值为（　　） A．47 B．62 C．79 D．98 【考点5】折叠问题： 【例5】已知，如图，点E是长方形ABCD的边CD上一点，将△ADE沿着AE对折，点D恰好折叠到边BC上的F点，若AD＝10，AB＝8，那么AE＝　 　． 【练1】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，把AB对折后，点A与点B重合，折痕为DE．若AC＝4，BC＝2，则BD的长为　 　． 【练2】如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，如果将该矩形沿对角线BD折叠，那么图中阴影部分的面积是　 　． 【练3】如图，在矩形纸片 ABCD 中，AB=12，BC=5，点 E 在 AB 上，将△DAE 沿 DE 折叠，使点 A 落在对角线 BD 上的点 A′处，则 AE 的长为 【考点5】勾股定理及逆定理的应用：面积计算问题 【例6】我市某中学有一块四边形的空地ABCD（如图所示），为了绿化环境，学校计划在空地上种植草皮，经测量∠A＝90°，AB＝3m，DA＝4m，CD＝13m，BC＝12m． （1）求出空地ABCD的面积． （2）若每种植1平方米草皮需要200元，问总共需投入多少元？ 【练1】如图，学校有一块空地ABCD，准备种草皮绿化已知∠ADC＝90°，AD＝4米，CD＝3米，AB＝13米，BC＝12米，求这块地的面积． 【练2】学校校内有一块如图所示的三角形空地ABC，其中AB＝13米，BC＝14米，AC＝15米，计划将这块空地建成一个花园，以美化校园环境，预计花园每平方米造价为60元，学校修建这个花园需要投资多少元？ 【考点6】勾股定理的应用：高度问题 【例6】我国古代的数学名著《九章算术》中记载“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问：折者高几何？”译文：一根竹子，原高一丈，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好着地，着地处离原竹子根部3尺远．问：原处还有多高的竹子？（1丈＝10尺） 【练1】如图，一架2.5m长的梯子AB斜靠在一竖直墙AO上，这时AO为2.4m． （1）求OB的长度； （2）如果梯子底端B沿地面向外移动0.8m到达点C，那么梯子顶端A下移多少m？ 【练2】我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题．原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水尺．引葭赴岸，适与岸齐问水深、葭长各几何译文大意是：如图，有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．问水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？ 【练3】如图，在一棵树10 m高的B处有两只猴子，其中一只猴子爬下树，走到离树20 m处的池塘A处，另一只猴子爬到树顶D后直接跃向池塘A处(假设它经过的路线为直线)，如果两只猴子所经过的路程相等，求这棵树的高． 【考点7】勾股定理的应用：点到线的距离问题 【例7】已知△ABC 中，AB＝AC，CD⊥AB 于 D. （1） 若∠A＝38°，求∠DCB 的度数； （2） 若 AB＝5，CD＝3，求 BC²的长. 【练1】2016年第二季度，我市遭遇大旱，为了抗旱保收，即墨某镇准备开采地下水，经探测C处地下有水，为此C处需要爆破，已知点C与公路上的停靠站A的距离为300米，与公路上另一停靠站B的距离为400米，且CA⊥CB，如图，为了安全起见，爆破点C周围半径250米范围内不得进入，问在进行爆破时，公路AB段是否有危险，是否而需要暂时封锁？请通过计算进行说明． 【练2】“交通管理条例第三十五条”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70千米/小时，如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面对车速检测仪正前方50米处，过了6秒后，测得小汽车与车速检测仪间距离为130米，这辆小汽车超速了吗？ 【考点8】等（面）积法 解题思路：把三角形面积用不同方法来表示。比如： 【例 8】直角三角形两直角边长分别为 5 和 12，则斜边上的高为 。 练 1 、如图，△ABC 中，AB=AC=10，BD⊥AC 于 D，CB=12，则 BD 等于 。 练 2、如图，△ABC的顶点 A，B，C在边长为 1 的正方形网格的格点上，则 BC 边长的高 AD 长为 。 1、如图，由两个直角三角形和三个大正方形组成的图形，其中阴影部分面积是（　　） A．16 B．25 C．144 D．169 2.如图，是由四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的个大正方形，若大正方形的面积是17，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别为a，b，则（a+b）2的值是（　　） A．13 B．25 C．33 D．144 3.已知△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（　　） A．c2＝a2﹣b2 B．a＝5，b＝12，c＝13 C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 D．∠A＝∠B﹣∠C 4.下列各组数是勾股数的一组是（　　） A．7，24，25 B．32，42，52 C．1.5，2，2.5 D．，， 5．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的个大正方形设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若ab＝6，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为　 　． 6．如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC＝6cm，BC＝8cm，现将直角边AC沿着直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD的长为　 　cm． 7．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，在CD上任取一点E，连接BE，将△BCE沿BE折叠，使点C恰好落在AD边上的点F处，则CE的长为　 　． 8.如图，在Rt△ABC中，直角边AC＝6，BC＝8，将△ABC按如图方式折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则CD的长为（　　） A． B． C． D． 9．如图，已知CD＝6m，AD＝8m，∠ADC＝90°，BC＝24m，AB＝26m；求图中阴影部分的面积． 10．如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8m处，发现此时绳子末端距离地面2m，请你求出旗杆的高度（滑轮上方的部分忽略不计） 11.如图，一个长5m的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO的距离为4m，如果梯子的顶端A沿墙下滑1m至C点． （1）求梯子底端B外移距离BD的长度； （2）猜想CE与BE的大小关系，并证明你的结论． _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ 1、下列三角形是直角三角形的是（　　） A． B． C． D． 2.如图是一个6×6的网格，在△ABC、△A'B'C'、△A″B″C″三个三角形中有（　　）直角三角形． A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 3.直角三角形的两直角边长分别为3和4，则它的最长边长度的平方为 4．有两棵树，一棵高 10m，另一棵高 4m，两树相距 8m．一只小鸟从一棵树的树尖飞到另一棵树的树尖，那么这只小鸟至少要飞行 m． 5.如图的阴影部分是两个正方形，图中还有两个直角三角形和一个大正方形，则阴影部分的面积是（　　） A．16 B．25 C．144 D．169 6．如图，小巷左右两侧是竖直的墙．一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7m，顶端距离地面2.4m．若梯子底端位置保持不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2m，则小巷的宽度为　 　m． 7.如图，AD是△ABC的中线，∠ADC＝45°，把△ADC沿着直线AD对折，点C落在点E的位置．如果BC＝6，那么线段BE的长度的平方 8．把图一的矩形纸片ABCD折叠，B、C两点恰好重合落在AD边上的点P处（如图二）．已知∠MPN＝90°，PM＝3，PN＝4，那么矩形纸片ABCD的面积为　 　． 9．如图是一个滑梯的示意图，若将滑道AC水平放置，则刚好与AB一样长．已知滑梯的高度CE＝DB＝3m，CD＝1m，求滑道AC的长　 　． 10.“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若（a+b）2＝21，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 11.如图，在长方形ABCD中，点E在边AB上，把长方形ABCD沿直线DE折叠，点A落在边BC上的点F处．若AE＝5，BF＝3． （1）求AB的长； （2）求△CDF的面积． 12.如图，已知等腰△ABC中，AB＝AC，BC＝20cm，D是边AB上一点，且CD＝16cm，BD＝12cm． （1）求AD的长； （2）求△ABC中BC边上的高． 13.在我区“五水绕城”生态环境提升项目中，有一块三角形空地将进行绿化，如图，△ABC中，AB＝AC，E是AC上的一点，CE＝50，BC＝130，BE＝120． （1）判断△ABE的形状，并说明理由． （2）求△ABC的周长． 14.如图，某地方政府决定在相距50km的两站之间的公路旁E点，修建一个土特产加工基地，且C、D两村到点E的距离相等，已知DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，DA＝30km，CB＝20km，那么基地E应建在离A站多少千米的地方？ 15．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c则a，b，c满足的关系为　 　． （1）以直角三角形的三边为边长作正方形，如图①，你能发现这三个正方形的面积之间有什么关系吗？ （2）分别以直角三角形的三边长为直径作半圆，如图②，你能发现这三个半圆的面积之间有什么关系吗？试说明你所发现的结论； （3）若a＝8，b＝6，分别以直角三角形三边为直径作半圆（如图③所示）求阴影部分的面积． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$