2.1 认识无理数（第2课时）教学设计 2024-2025学年北师大版数学八年级上册

2.1认识无理数 第 2 课时 认识无理数（2） 教学目标 【知识与能力】 掌握无理数的概念;能用所学定义正确判断所给数的属性. 【过程与方法】 借助计算器探索无理数是无限不循环小数,从中体会无限逼近的思想. 【情感态度价值观】 在掌握估算方法的过程中,发展学生的数感和估算能力. 教学重难点 【教学重点】 能用所学定义正确判断所给数的属性. 【教学难点】 无理数概念的建立. 教学准备 计算器、立方体、多媒体课件. 教学过程 一、导入新知 1.有理数如何分类？ 2.上节课了解到一些数,如a2=2，b2=5中的a，b既不是整数，也不是分数，那么它们究竟是什么数呢？ 二、课堂新授 无理数的概念 讨论一 面积为2的正方形的边长a究竟是多少呢? （1）如图,三个正方形的边长之间有怎样的大小关系?说说你的理由. （2）边长a的整数部分是几?十分位是几?百分位呢?千分位呢?……借助计算器进行探索. （3）小明将他的探索过程整理如下,你的结果呢? 边长a 面积S 1＜a＜2 1＜S＜4 1.4＜a＜1.5 1.96＜S＜2.25 1.41＜a＜1.42 1.9881＜S＜2.0164 1.414＜a＜1.415 1.999396＜S＜2.002225 1.4142＜a＜1.4143 1.99996164＜S＜2.00024449 思考 a的范围在哪两个数之间?左面的边长中,前面的数值和后面的数值相比,哪个更接近正方形的实际边长? 总结 a 是介于1和2之间的一个数,既不是整数,也不是分数,则a一定不是有理数.如果写成小数形式,它是有限小数吗? 事实上,a=1.414 213 56…,它是一个无限不循环小数. 想一想 用上面的方法估计面积为5的正方形的边长b的值.边长b会不会算到某一位时，它的平方恰好等于5？ 如果b算到某一位时，它的平方恰好等于5，即b是一个有限小数，那么它的平方一定是一个有限小数，而不可能是5，所以b不可能是有限小数. 事实上，b=2.236 067 978…它是一个无限不循环小数. 同样,对于体积为2的正方体,借用计算器,可以得到它的棱长c=1.259 921 05…,它也是一个无限不循环小数. 讨论二 把下列个数表示成小数，你发现了什么？ 3，，，-， 解：3=3.0，=0.8，=,-=，=， 分数化成小数,最终此小数的形式有哪几种情况? 分数只能化成有限小数或无限循环小数，即任何有限小数或无限循环小数都是有理数. 像0.585885888588885…，1.41421356…，-2.2360679…等这些数的小数位数都是无限的，并且不是循环的，它们都是无限不循环小数. 我们把无限不循环小数称为无理数. (圆周率π=3.14159265…也是一个无限不循环小数，故π是无理数). 你能找到其他的无理数吗? 无理数 概念 无限不循环小数 分类 正无理数和负无理数 常见类型 根号型：含有根号，开方开不尽，例如：，（以后学习） 含有圆周率型：含有圆周率型：例如：π，0.7π 构造型：例如：0.303 003 000 3…（相邻两个3之间依次多一个3） 提示：有理数与无理数的区别 ①有理数是有限小数或无限循环小数，无理数是无限不循环小数. ②所有的有理数都能化成分数（整数可以看成是分母为1的分数），无理数不能化成分数.（形似分数，但它不是分数，是无理数） 例 下列各数中，那些是有理数，哪些是无理数？ 3.14，-，，0.101 000 100 0001……（相邻两个1之间0的个数逐次加2）. 解：有理数有3.14（有限小数），-（分数），（无限循环小数） 无理数有0.101 000 100 000 1……（无限不循环小数） 练习 1.在，0，3.14，，6.751 755 175 551 7……（7和1之间5的个数逐次加1） ，-中，无理数有 2 个. 2.下列各数是无理数的是（ D ） A.1 B.-0.6 C.-6 D.π 无理数的估计 面积为3的正方形的边长为a. (1)a的整数部分是几？ (2)估计a的值.(结果精确到百分位) 分析：利用“夹逼法”进行估计即可. 解：(1)因为a2=3,1＜3＜4， 所以1＜a＜2， 所以a的整数部分为1. (2)当1.7＜a＜1.8时， 2.89＜a2＜3.24， 所以a的十分位是7. 当1.73＜a＜1.74时， 2.9929＜a2＜3.0276， 所以a的百分位是3.所以a≈1.73 . 练习 1.若边长为a cm的正方形的面积与长、宽分别为8 cm，4 cm的长方形的面积相等，则 a的取值在 (　　) A.2与3之间 B.3与4之间 C.4与5之间 D.5与6之间 2.一块面积为10的正方形草坪，其边长（ ） A.小于3 B.等于3 C.在3与4之间 D.大于4 三、巩固练习 1.判断： (1)有限小数是有理数； （ ） (2)无限小数都是无理数； （ ） (3)无理数都是无限小数； （ ） (4)有理数是有限小数. （ ） 2.以下各正方形的边长是无理数的是（ ） A.面积为25的正方形 B.面积为的正方形 C.面积为8的正方形 D.面积为1.44的正方形 3.下列各数是大于-4而小于-3的无理数的是（ ） A.-2.56879 B.-3.121221222… C. D.2.383883888… 4.请你写出一个大于2且小于4的无理数： . 5.如图是面积分别为1,2,3,4,5,6,7,8,9的正方形．边长是有理数的正方形有_____个，边长是无理数的正方形有_____个． 6.如图,在方格纸中,假设每个小正方形的面积为2,则图中的四条线段中长度为有理数的线段是　　　.  解析:设小正方形的边长为x,则x2=2. 因为AB2=x2+(3x)2=10x2=20,所以AB的长不是有理数. 因为CD2=(2x)2+(2x)2=8x2=16,CD=4,即CD的长是有理数. 因为EF2=x2+x2=2x2=4,EF=2,即EF的长是有理数. 因为GH2=x2+(2x)2=5x2=10,所以GH的长不是有理数. 7.小明买了一盒饮料，盒子的尺寸为5×4×3(单位：cm)， 现在小明要将这盒饮料分别倒在两个同样大小的正方体容器内，问这两个正方体容器的棱长是有理数还是无理数？请说说你的理由．若是无理数，请你利用计算器探索这个正方体的棱长至少为多少？(精确到十分位) 解：设此正方体的棱长为x cm，则2x3=5×4×3，x3=30. 因为33=27,43=64，3＜x＜4，所以x不是整数． 因为三个相同的最简分数的乘积仍然是分数，不会等于30， 所以x也不是分数，即x不是有理数，而是无理数．因为3.13＜30＜3.23， 所以3.1＜x＜3.2，所以这个正方体的棱长至少为3.1 cm． 四、课堂小结 学科网（北京）股份有限公司 $$