2.1 认识无理数（第2课时）教学设计 2024-2025学年北师大版数学八年级上册

2.1认识无理数

第 2 课时 认识无理数（2）

教学目标

【知识与能力】

掌握无理数的概念;能用所学定义正确判断所给数的属性.

【过程与方法】

借助计算器探索无理数是无限不循环小数,从中体会无限逼近的思想.

【情感态度价值观】

在掌握估算方法的过程中,发展学生的数感和估算能力.

教学重难点

【教学重点】

能用所学定义正确判断所给数的属性.

【教学难点】

无理数概念的建立.

教学准备

计算器、立方体、多媒体课件.

教学过程

一、导入新知

1.有理数如何分类？

2.上节课了解到一些数,如a2=2，b2=5中的a，b既不是整数，也不是分数，那么它们究竟是什么数呢？
二、课堂新授

无理数的概念

讨论一

面积为2的正方形的边长a究竟是多少呢?

（1）如图,三个正方形的边长之间有怎样的大小关系?说说你的理由.

（2）边长a的整数部分是几?十分位是几?百分位呢?千分位呢?……借助计算器进行探索.

（3）小明将他的探索过程整理如下,你的结果呢?

边长a	面积S
1＜a＜2	1＜S＜4
1.4＜a＜1.5	1.96＜S＜2.25
1.41＜a＜1.42	1.9881＜S＜2.0164
1.414＜a＜1.415	1.999396＜S＜2.002225
1.4142＜a＜1.4143	1.99996164＜S＜2.00024449

思考

a的范围在哪两个数之间?左面的边长中,前面的数值和后面的数值相比,哪个更接近正方形的实际边长?

总结

a 是介于1和2之间的一个数,既不是整数,也不是分数,则a一定不是有理数.如果写成小数形式,它是有限小数吗?

事实上,a=1.414 213 56…,它是一个无限不循环小数.

想一想   

用上面的方法估计面积为5的正方形的边长b的值.边长b会不会算到某一位时，它的平方恰好等于5？

如果b算到某一位时，它的平方恰好等于5，即b是一个有限小数，那么它的平方一定是一个有限小数，而不可能是5，所以b不可能是有限小数.

事实上，b=2.236 067 978…它是一个无限不循环小数.

同样,对于体积为2的正方体,借用计算器,可以得到它的棱长c=1.259 921 05…,它也是一个无限不循环小数.

讨论二

把下列个数表示成小数，你发现了什么？

3，，，-，

解：3=3.0，=0.8，=,-=，=，

分数化成小数,最终此小数的形式有哪几种情况?

分数只能化成有限小数或无限循环小数，即任何有限小数或无限循环小数都是有理数.

像0.585885888588885…，1.41421356…，-2.2360679…等这些数的小数位数都是无限的，并且不是循环的，它们都是无限不循环小数.

我们把无限不循环小数称为无理数.

(圆周率π=3.14159265…也是一个无限不循环小数，故π是无理数).

你能找到其他的无理数吗?

无理数

概念	无限不循环小数
分类	正无理数和负无理数
常见类型	根号型：含有根号，开方开不尽，例如：，（以后学习）
	含有圆周率型：含有圆周率型：例如：π，0.7π
	构造型：例如：0.303 003 000 3…（相邻两个3之间依次多一个3）

提示：有理数与无理数的区别

①有理数是有限小数或无限循环小数，无理数是无限不循环小数.

②所有的有理数都能化成分数（整数可以看成是分母为1的分数），无理数不能化成分数.（形似分数，但它不是分数，是无理数）

例 下列各数中，那些是有理数，哪些是无理数？

3.14，-，，0.101 000 100 0001……（相邻两个1之间0的个数逐次加2）.

解：有理数有3.14（有限小数），-（分数），（无限循环小数）

无理数有0.101 000 100 000 1……（无限不循环小数）

练习

1.在，0，3.14，，6.751 755 175 551 7……（7和1之间5的个数逐次加1）

，-中，无理数有   2   个.