精品解析：河南省南阳市第一中学校2025届高三上学期开学考试数学试题

南阳一中2024年秋期高三年级开学考试 数学试题 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 已知集合，，若中恰有两个元素，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，确定集合A中的两个元素即可求出a的范围. 【详解】集合，，因为中恰有两个元素， 因此，则， 所以实数a的取值范围为. 故选：A 2. 已知命题关于的不等式与的解集相同，命题：，则是成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】假设为真，验证能否得到，再假设为真，验证能否得到即可得. 【详解】若，则可化为， 则与的解集不同， 故不是的必要条件； 若、的解集都为空集， 如、，此时两不等式解集都为空集， 不满足，故不是的充分条件； 综上所述，是成立的既不充分又不必要条件. 故选：D. 3. 已知函数若，则的单调递增区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据题目条件求出 的值，再根据二次函数的性质求出 的单调递增区间 【详解】解：依题意，解得a＝－1，故，可知在上单调递增 故选：D 4. 已知函数的图象如图所示，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由函数的图象可得其导函数在不同区间内的符号，再由得到关于的不等式组，求解不等式组后取并集即可得到原不等式的解集． 【详解】由函数的图象可得： 当时，函数单调递增，则， 当时，函数单调递减，则． 当时，函数单调递增，则， 由①或② 解①得，，解②得，， 综上，不等式的解集为. 故选：A． 5. 已知函数的图象向左平移1个单位后关于y轴对称，当时，恒成立，设，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先结合条件判断函数的对称性质和单调性，再分别界定三个自变量的值或者范围，利用函数对称性和单调性即得. 【详解】依题可知函数图象关于直线对称，且在区间上单调递增,则在区间上单调递减. 因，则，，故，即. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：解题的关键在于，得知了函数在上的单调性之后，如何判断三个自变量的大小范围，考虑到三个都是大于1的，且有一个是，故对于和，就必然先考虑它们与的大小，而这需要利用对数函数的单调性得到. 6. 1614年纳皮尔在研究天文学的过程中为了简化计算而发明对数；1637年笛卡尔开始使用指数运算；1770年，欧拉发现了指数与对数的互逆关系，指出：对数源于指数，对数的发明先于指数，称为数学史上的珍闻，对数函数与指数函数互为反函数，即对数函数（，且）的反函数为（，且）．已知函数，，若对任意，有恒成立，则实数k的取值范围为（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用反函数的定义，求出函数，变形给定不等式并构造函数，利用导数及函数的单调性求出的范围. 【详解】依题意，，则， 当时，不等式 ，令， 于是对任意，恒成立，即函数在上单调递增， 则，， 而当，当且仅当时取等号，则， 所以实数k的取值范围为. 故选：D 7. 若关于x的不等式有且只有一个整数解，则正实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】原不等式可化简为，设，，作出函数的图象，由图象可知函数的图象应介于直线与直线之间（可以为直线，进而求得答案． 【详解】原不等式可化简为，设，， 由得，，令可得， 时，，时，， 易知函数在单调递减，在单调递增，且， 作出的图象如下图所示， 而函数恒过点，要使关于的不等式有且只有一个整数解，则函数的图象应介于直线与直线之间（可以为直线）， 又，， ∴，， ∴， ∴． 故选：A． 8. 设，记在区间上的最大值为，则的最小值为（ ） A. 0 B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】设，利用单调性求出的最值，再根据绝对值的意义确定，利用一次函数求解的最小值即可. 【详解】设，则在上单调递减，在上单调递增， 且， 所以是三者中的较大者，如图： 表示的函数图象为图中粗线部分，且， 所以当时，的最小值为. 故选：B. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 若a， b均为正数，且满足，则（ ） A. ab的最大值为2 B. 的最小值为4 C. 的最小值是4 D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用基本不等式对A，B，C选项分析判断，利用二次函数的性质对D选项分析判断即可得答案． 【详解】对于 A：，b均为正数，且满足， ，解得，当且仅当时取等号， 所以ab的最大值为2，故A正确； 对于B，，，则，当且仅当时取等号， ，当时等式不成立，则等号取不到， 则的最小值不是4，故B不正确； 对于C：，b均正数，且满足， ，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值是4，故C正确； 对于D：，b均为正数，且满足，则， 又，解得， 则， 当且仅当时取等号，所以的最小值为，故D正确． 故选：ACD. 10. 已知定义在上的偶函数f(x)满足：，且当时，单调递减，下列结论正确的是（ ） A. B. 为函数图象的一条对称轴 C. 在单调递增 D. 若方程在上的两根为、，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性、周期性、单调性、对称性、方程的根等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A.依题意，，令， 则，∴ ，A选项正确； B.，∴函数周期为，偶函数的对称轴是， ∴是的对称轴，B选项正确； C.在上递减，又函数周期为，∴函数在上递减，C选项错误； D.在上递增，且为偶函数，∴ 在上递减， ∴在上递减，所以的图象关于对称， ∴ 两个根的和为，D选项正确. 故选：ABD 11. 若关于x的不等式的解集是，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据不等式的解集列方程，求得关于的表达式以及的取值范围，由此对选项进行分析，利用赋值法、不等式的性质来确定正确答案. 【详解】由不等式的解集是，即方程的两个根为和， 所以，解得，， 又由，则由， 即，所以必有， 对于A中，且，所以，所以A正确； 对于B中，当时，得到，所以B错误； 对于C中，当时，，又由，所以C正确； 对于D中，当时，可得， 又由，所以D正确. 故选：ACD 【点睛】思路点睛：不等式的解集的端点，与不等式对应的方程的根有关，由此可列出等量关系式.判断不等式是否成立，可以结合已知条件以及要判断的不等式的结构，利用赋值法来进行判断. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. “学如逆水行舟，不进则退；心似平原跑马，易放难收”（明·《增广贤文》）是勉励人们专心学习的，如果每天的“进步”率都是1%，那么一年后是；如果每天的“退步”率都是1%，那么一年后是，一年后“进步”的是“退步”的倍.若每天的“进步”率和“退步”率都是20%，则要使“进步”的是“退步”的100倍以上，最少要经过______天.（参考数据：，） 【答案】12 【解析】 【分析】由题意列出相应不等式，结合对数运算，即可求得答案. 【详解】设经过x天后，“进步”的是“退步”的100倍以上，则，即， ∴（天）． 故最少要经过12天 故答案为：12 13. 已知定义在R上的函数同时满足以下两个条件： ①对任意，都有； ②对任意且，都有. 则不等式的解集为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据，变形，可构造，根据题意，可得函数的奇偶性和单调性，由此解不等式，可得答案． 【详解】由，可得：， 令，则，即函数为偶函数， 因为对任意且，都有， 不妨设，则有，即， 所以函数在上单调递增，即函数在上单调递增， 由，得，即， 因为函数为偶函数，所以， 则，解得或， 则不等式的解集为. 故答案为：． 14. 设函数的定义域为，满足，且当时，.若对任意，都有，则的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】求得在区间上的解析式，画出的图象，结合图象列不等式，由此求得的取值范围. 【详解】时，，而时， 所以， 又， 所以当时，， 当时，， 作出示意图如下图所示： 要使，则需，结合上图， 由，解得，所以. 【点睛】关键点点睛：所给的抽象函数关系式，如本题中的，然后要关注题目所给的已知区间的函数解析式，结合这两个条件来求得其它区间的函数解析式. 四、解答题 15. 已知函数. （1）若，求不等式的解集； （2）若方程有两个不同的实数根，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）通过解对数、指数、一元二次不等式等知识求得不等式的解集. （2）利用换元法，结合一元二次方程根分布列不等式，由此求得的取值范围. 【小问1详解】 ， ， 恒成立， ， 原不等式的解集为； 【小问2详解】 方程有两个不同的实数根， 有两个不同的实数根， 令，则在有两个不同的实数根， 令， 由已知得，解得. 16. 已知函数（a≠0）的对称中心为，记函数的导函数为，函数的导函数为，则．若函数的对称中心为． （1）求函数的解析式； （2）若过点可作三条直线与函数图象相切，求实数t的取值范围． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，求出导数并列出方程组，求解即得. （2）设出切点坐标，利用导数的几何意义求出切线方程，再将给定点代入切线方程，构造函数并借助导数求出极值，结合零点个数求出范围. 【小问1详解】 函数，求导得，， 依题意，，解得， 所以函数的解析式. 【小问2详解】 设过点的直线与函数图象相切于点， 则切线斜率，切线为， 由切线过点，得，整理得， 令，由过点可作三条直线与函数图象相切，得函数有三个零点， 求导得，由，得或，由，得， 因此函数在，上单调递增，在上单调递减， 函数在处取得极大值，在处取得极小值， 由有三个零点，得，解得， 所以实数t的取值范围是. 17. 已知函数. （1）讨论函数的单调性； （2）求证：当时，关于的不等式在区间上无解.（其中） 【答案】（1）答案见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求得，对实数的取值进行分类讨论，利用函数单调性与导数的关系可得出函数的增区间和减区间； （2）分、两种情况讨论，利用导数分析函数在区间上的单调性，求出函数在区间上的最大值，比较与的大小关系，即可证得结论成立. 【小问1详解】 函数定义域为，求导得， 当时，由得，由可得， 此时，函数的增区间为，减区间为； 当时，由得或. 当时，，由可得或，由可得， 此时，函数的增区间为、，减区间为； 当时，，则函数的增区间为，无减区间； 当时，，由可得或，由可得， 此时，函数的增区间为、，减区间为. 综上所述：当时，函数的增区间为，减区间为； 当时，函数的增区间为、，减区间为； 当时，函数的增区间为，无减区间； 当时，函数的增区间为、，减区间为. 【小问2详解】 由（1）知，由时，得， 因，当时且当时，，此时，， 即函数在上单调递减，则， 因此不等式不成立，即不等式在区间上无解， 当时，即当， 当时，，当时，， 即在上递减，在上递增， 于是得在上的最大值为或， 而，， ，即， 因此不等式不成立，即不等式在区间上无解， 所以当时，关于的不等式在区间上无解. 【点睛】思路点睛：讨论含参函数的单调性，通常注意以下几个方面： （1）求导后看最高次项系数是否为，须需分类讨论； （2）若最高次项系数不为，通常是二次函数，若二次函数开口方向确定时，再根据判别式讨论无根或两根相等的情况； （3）再根据判别式讨论两根不等时，注意两根大小比较，或与定义域比较. 18. 已知函数. （1）求的最小值； （2）记为的导函数，设函数有且只有一个零点，求的取值范围. 【答案】（1）； （2）或. 【解析】 【分析】（1）求导，分析导函数正负，结合极值和单调性分析即得解； （2）求导，分，，分析单调性，结合极值点，边界情况，分析即得解. 【小问1详解】 由题得， ∴当时，，单调递增，当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以是的极小值点； 又当时，，当时，，当时，， 所以只能在内取得最小值，因为是在（0，）内的极小值点，也是最小值点， 所以． 【小问2详解】 由题可得（）， ∴ ①当时，，函数在上单调递增， 又∵， ∴函数有且仅有1个零点，∴符合题意； ②当时，令，，函数在上单调递增， 因为， ∴存在唯一的实数，使得，即， 当时，，单调递减；时，，单调递增； 又∵时，，时，，且， ∴当函数有且仅有1个零点时，， ∴符合题意 综上可知，取值范围是或. 【点睛】利用导数研究零点问题： （1）确定零点的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可用导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图象； （2）方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理.可以通过构造函数的方法，把问题转化为研究构造的函数的零点问题； （3）利用导数研究函数零点或方程根，通常有三种思路：①利用最值或极值研究；②利用数形结合思想研究；③构造辅助函数研究. 19. 已知函数，若存在实数，使得，则称与为“互补函数”，为“互补数”. （1）判断函数与是否为“互补函数”，并说明理由. （2）已知函数为“互补函数”，且为“互补数”. （i）是否存在，使得？说明理由. （ii）若，用的代数式表示的最大值. 【答案】（1）不是“互补函数”，理由见解析； （2）（i）存在，理由见解析；（ii）. 【解析】 【分析】（1）利用导数分别求出，的值域，由“互补函数”的定义判断即可； （2）（i）根据定义，可得，即可求解；（ii）根据条件可化简得，令，利用导数求出的单调性，从而可得的最大值. 【小问1详解】 因，则， 所以在单调递增，在单调递减，则，所以， 因为，则， 所以在上单调递增，在上单调递减，所以，所以. 故不存在实数，使得，则与不是“互补函数”. 【小问2详解】 （i）存在，使得. 由，得， 则，故存在. （ii）令，则， 两式相加可得， 两式相减可得 所以， 故. 令， 则. . 因为，所以， 故当时，，即在上是减函数. 因为， 所以的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 南阳一中2024年秋期高三年级开学考试 数学试题 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 已知集合，，若中恰有两个元素，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题关于的不等式与的解集相同，命题：，则是成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 3. 已知函数若，则的单调递增区间为（ ） A. B. C D. 4. 已知函数的图象如图所示，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数的图象向左平移1个单位后关于y轴对称，当时，恒成立，设，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A B. C. D. 6. 1614年纳皮尔在研究天文学的过程中为了简化计算而发明对数；1637年笛卡尔开始使用指数运算；1770年，欧拉发现了指数与对数的互逆关系，指出：对数源于指数，对数的发明先于指数，称为数学史上的珍闻，对数函数与指数函数互为反函数，即对数函数（，且）的反函数为（，且）．已知函数，，若对任意，有恒成立，则实数k的取值范围为（    ） A B. C. D. 7. 若关于x的不等式有且只有一个整数解，则正实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 设，记在区间上的最大值为，则的最小值为（ ） A. 0 B. C. D. 2 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 若a， b均为正数，且满足，则（ ） A. ab的最大值为2 B. 的最小值为4 C. 的最小值是4 D. 的最小值为 10. 已知定义在上的偶函数f(x)满足：，且当时，单调递减，下列结论正确的是（ ） A. B. 为函数图象的一条对称轴 C. 在单调递增 D. 若方程在上的两根为、，则 11. 若关于x不等式的解集是，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. “学如逆水行舟，不进则退；心似平原跑马，易放难收”（明·《增广贤文》）是勉励人们专心学习的，如果每天的“进步”率都是1%，那么一年后是；如果每天的“退步”率都是1%，那么一年后是，一年后“进步”的是“退步”的倍.若每天的“进步”率和“退步”率都是20%，则要使“进步”的是“退步”的100倍以上，最少要经过______天.（参考数据：，） 13. 已知定义在R上的函数同时满足以下两个条件： ①对任意，都有； ②对任意且，都有. 则不等式的解集为______. 14. 设函数的定义域为，满足，且当时，.若对任意，都有，则的取值范围是___________. 四、解答题 15. 已知函数. （1）若，求不等式的解集； （2）若方程有两个不同的实数根，求实数的取值范围. 16. 已知函数（a≠0）的对称中心为，记函数的导函数为，函数的导函数为，则．若函数的对称中心为． （1）求函数的解析式； （2）若过点可作三条直线与函数图象相切，求实数t的取值范围． 17. 已知函数. （1）讨论函数的单调性； （2）求证：当时，关于的不等式在区间上无解.（其中） 18. 已知函数. （1）求的最小值； （2）记为的导函数，设函数有且只有一个零点，求的取值范围. 19. 已知函数，若存在实数，使得，则称与“互补函数”，为“互补数”. （1）判断函数与是否为“互补函数”，并说明理由. （2）已知函数为“互补函数”，且为“互补数”. （i）是否存在，使得？说明理由. （ii）若，用的代数式表示的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$