精品解析：江苏省扬州市宝应区曹甸高级中学2024-2025学年高三上学期期末数学试题

2025届高三年级上学期期末数学检测试卷 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求） 1. 若集合，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意化简集合，进而求交集. 【详解】由题意可知：， 所以. 故选：C. 2. 已知复数 满足，则（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的运算,求解即可. 【详解】解：由，得，∴． 故选：B． 【点睛】本题考查复数的运算，属于基础题. 3. 抛物线的焦点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意结合抛物线方程确定焦点坐标即可. 【详解】抛物线中，故，且焦点在轴，焦点坐标为. 故选：A 4. 已知向量.若向量与平行，则（ ） A. －3 B. 1 C. 1或2 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量平行的坐标表示的公式，即可求解. 【详解】依题意，，因为向量与平行， 所以，得 . 故选：A 5. 若原点O到直线的距离为1，则有（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据点到直线的距离公式列式求解即可. 【详解】原点O到直线的距离， 所以，即. 故选：C. 6. 已知，则的值为（ ） A. B. C. 4 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】先由倍角公式以及商数关系化简解析式，再求值. 【详解】∵ ∴ 故选：D 7. 在的展开式中，只有第五项的二项式系数最大，则展开式中的系数是（ ） A. B. C. D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】由题意利用二项式系数的性质，求得 的值，再利用二项式展开式的通项公式，求得的系数． 【详解】在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大， 它的展开式共计有9项，， 故二项展开式的通项公式为， 令，求得 ，可得在的展开式中的系数为， 故选：C． 8. 已知数列满足，且成等比数列.若的前n项和为，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 利用等比中项性质可得等差数列的首项，进而求得，再利用二次函数的性质，可得当或 时，取到最小值. 【详解】根据题意，可知为等差数列，公差， 由成等比数列，可得， ∴，解得. ∴. 根据单调性，可知当或 时，取到最小值，最小值为. 故选：D. 【点睛】本题考查等差数列通项公式、等比中项性质、等差数列前 项和的最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意当或 时同时取到最值. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，全对得6分，部分选对得部分分，多选、错选不得分．） 9. 已知某产品的销售额Y与广告费用X之间的关系如表： X（单位：万元） 0 1 2 3 4 Y（单位：万元） 10 15 m 30 35 若根据表中的数据用最小二乘法求得Y关于X的回归直线方程为，则下列说法中正确的是（ ） A. 产品的销售额与广告费用成正相关 B. 该回归直线过点 C. 当广告费用为10万元时，销售额一定为74万元 D. m的值是20 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，根据得到A正确；D选项，计算出，代入中，求出；B选项，计算出，故B正确；C选项，代入 得到，销售额预计为74万元，C错误. 【详解】A选项，回归直线方程中，可知产品的销售额与广告费用成正相关，故A正确； D选项，，， 代入，得，解得，故D正确； B选项，则，则该回归直线过点，故B正确； C选项，取 ，得，说明当广告费用为10万元时，销售额预计为74万元，故C错误． 故选：ABD 10. 已知函数，则（    ） A. 是的极小值点 B. 有两个极值点 C. 的极小值为 D. 在上的最大值为 【答案】BD 【解析】 【分析】对应 求导，根据其符号确定单调区间并判断极值点、求极值判断ABC；进而求函数在上的最大值判断D. 【详解】由题设， 令 ，则或，令 ，则 ， 所以、上 递增，上 递减， 故为极大值，为极小值，A、C错误，B正确； 在上， 在上递减，在上递增，而， 所以在上的最大值为，D正确. 故选：BD 11. 将函数的图象向左平移个单位得到函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的周期为 B. 的一条对称轴为 C. 是奇函数 D. 在区间上单调递增 【答案】AD 【解析】 【分析】求出，A. 的最小正周期为 ，所以该选项正确；B. 函数图象的对称轴是，所以该选项错误；C.函数不是奇函数，所以该选项错误； D. 求出在区间上单调递增，所以该选项正确. 【详解】解：将函数的图象向左平移个单位得到函数. A. 的最小正周期为，所以该选项正确； B. 令，函数图象的对称轴不可能是，所以该选项错误； C. 由于，所以函数不是奇函数，所以该选项错误； D. 令，当时，，所以在区间上单调递增，所以该选项正确. 故选：AD 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若抛物线的准线方程为，则 _________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据题意可得，即可得结果. 【详解】因为抛物线的准线方程为，所以. 故答案为：2. 13. 的二项展开式中项的系数为________. 【答案】60 【解析】 【分析】先写出二项展开式的通项，，令，进而可求出结果. 【详解】因为的二项展开式的通项为：， 令，则， 所以项的系数为. 故答案为 【点睛】本题主要考查求指定项的系数，熟记二项式定理即可，属于常考题型. 14. 曲线在点处的切线方程为____________________． 【答案】 【解析】 【分析】求导，根据导数的几何意义可得切线斜率，即可得切线方程. 【详解】因为，则， 可得，即切线斜率为5， 所以切线方程为，即. 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知， （1）求的值； （2）若 ，求的值. 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】（1）利用同角三角函数基本关系式可求cosα，根据两角和的正弦公式即可得解.（2）由（1）可得tanα，利用二倍角的正切公式可得tan2α，进而根据两角差的正切公式可得解． 【详解】（1）因为， 所以， 所以， ； （2）由（1）得， 所以. 【点睛】本题考查同角三角函数基本关系式，两角和的正弦公式，二倍角的正切公式，两角差的正切公式在三角函数化简求值中的应用，考查计算能力，属于基础题． 16. 已知公差不为零的等差数列的前四项和为10，且，，成等比数列. （1）求数列通项公式； （2）设，求数列的前 项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1) 由题意知，求出变量的值，进而得到通项；（2）由题意得到，分组求和即可得到结果. 【小问1详解】 解：由题意知， 解得，，或， （舍去）， 所以. 【小问2详解】 解：，将这个数列分为两部分，一部分是等差数列，一部分是等比数列，根据等差数列和等比数列求和公式得到： . 17. 随着AI技术的不断发展，人工智能科技在越来越多的领域发挥着重要的作用．某校在寒假里给学生推荐了一套智能辅导系统，学生可自愿选择是否使用该系统完成假期的作业．开学时进行了入学测试，随机抽取了100名学生统计得到如下列联表： 使用智能辅导系统 未使用智能辅导系统 合计 入学测试成绩优秀 20 20 40 入学测试成绩不优秀 40 20 60 合计 60 40 100 （1）判断是否有95%的把握认为入学测试成绩优秀与使用智能辅导系统相关； （2）若把这100名学生按照入学测试成绩是否优秀进行分层随机抽样，从中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，记抽取的2人中入学测试成绩优秀的人数为 ，求 的分布列及数学期望 ． 附：，其中． 0.10 0.05 0.025 0.010 2.706 3.841 5.024 6.635 【答案】（1）没有 （2）分布列为： 0 1 2 ，【解析】 【分析】（1）计算卡方后与3.841比较大小即可得； （2）借分层抽样的性质可得5人中成绩优秀的人数，再得出 的可能取值后计算相应的概率即可得其分布列，即可得其期望. 【小问1详解】 ， 没有 的把握认为入学测试成绩优秀与使用智能辅导系统相关； 【小问2详解】 ， ， 人中2人成绩优秀，3人成绩不优秀， 的取值可能为、 、， ，，， 分布列为： 0 1 2 ． 18. 如图，在正方体中，E，F，G分别是，，的中点． （1）证明：． （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法证明垂直关系和求解角度. 【小问1详解】 如图，以为原点，所在直线为 轴建立空间直角坐标系， 不妨设正方体的棱长为， 则， 则，故， 所以； 【小问2详解】 设平面的一个法向量为 ，， 则，则， 令，则，，则，又， 设直线与平面所成角为， 则， 则直线与平面所成角的正弦值为. 19. 如图所示，已知椭圆的两焦点为，，为椭圆上一点，且 （1）求椭圆的标准方程； （2）若点在第二象限，，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据，求出，结合焦点坐标求出，从而可求，即可得出椭圆方程； （2）直线方程与椭圆方程联立，可得的坐标，利用三角形的面积公式，可求△的面积． 【小问1详解】 解：依题意得， 又， ，， ，． 所求椭圆的方程为． 【小问2详解】 解：设点坐标为， ， 所在直线的方程为，即． 解方程组，并注意到，，可得 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025届高三年级上学期期末数学检测试卷 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求） 1. 若集合，则 （ ） A. B. C. D. 2. 已知复数 满足，则（） A. B. C. D. 3. 抛物线的焦点坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量.若向量与平行，则（ ） A. －3 B. 1 C. 1或2 D. 2 5. 若原点O到直线的距离为1，则有（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则的值为（ ） A. B. C. 4 D. 8 7. 在的展开式中，只有第五项的二项式系数最大，则展开式中的系数是（ ） A. B. C. D. 7 8. 已知数列满足，且成等比数列.若的前n项和为，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，全对得6分，部分选对得部分分，多选、错选不得分．） 9. 已知某产品的销售额Y与广告费用X之间的关系如表： X（单位：万元） 0 1 2 3 4 Y（单位：万元） 10 15 m 30 35 若根据表中的数据用最小二乘法求得Y关于X的回归直线方程为，则下列说法中正确的是（ ） A. 产品的销售额与广告费用成正相关 B. 该回归直线过点 C. 当广告费用为10万元时，销售额一定为74万元 D. m的值是20 10. 已知函数，则（    ） A. 是的极小值点 B. 有两个极值点 C. 的极小值为 D. 在上的最大值为 11. 将函数的图象向左平移个单位得到函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的周期为 B. 的一条对称轴为 C. 是奇函数 D. 在区间上单调递增 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若抛物线的准线方程为，则 _________． 13. 的二项展开式中项的系数为________. 14. 曲线在点处的切线方程为____________________． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知， （1）求的值； （2）若 ，求的值. 16. 已知公差不为零的等差数列的前四项和为10，且，，成等比数列. （1）求数列通项公式； （2）设，求数列的前 项和. 17. 随着AI技术的不断发展，人工智能科技在越来越多的领域发挥着重要的作用．某校在寒假里给学生推荐了一套智能辅导系统，学生可自愿选择是否使用该系统完成假期的作业．开学时进行了入学测试，随机抽取了100名学生统计得到如下列联表： 使用智能辅导系统 未使用智能辅导系统 合计 入学测试成绩优秀 20 20 40 入学测试成绩不优秀 40 20 60 合计 60 40 100 （1）判断是否有95%的把握认为入学测试成绩优秀与使用智能辅导系统相关； （2）若把这100名学生按照入学测试成绩是否优秀进行分层随机抽样，从中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，记抽取的2人中入学测试成绩优秀的人数为 ，求 的分布列及数学期望 ． 附：，其中． 0.10 0.05 0.025 0.010 2.706 3.841 5.024 6.635 18. 如图，在正方体中，E，F，G分别是，，的中点． （1）证明：． （2）求直线与平面所成角的正弦值． 19. 如图所示，已知椭圆的两焦点为，，为椭圆上一点，且 （1）求椭圆的标准方程； （2）若点在第二象限，，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $