精品解析：广东实验中学2024-2025学年下学期适应性练习 九年级数学试题

广东实验中学2024-2025学年第二学期适应性练习 九年级数学 一．选择题（共16小题，每题3分，共48分） 1. “数学”的英文缩写为“”，下列四个字母中，属于中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 用配方法解方程时，原方程应变形为（ ） A. B. C. D. 4. 已知是方程的两个根，则的值为（ ） A. 5 B. 4 C. 7 D. 6 5. 抛物线 与x轴交点的情况是（ ） A. 有交点 B. 没有交点 C. 有一个交点 D. 有两个交点 6. 将抛物线先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到抛物线的函数关系表达式是（　　） A. B. C. D. 7. 下列事件是必然事件的是（　　） A. 任意两个正方形都相似 B. 三点确定一个圆 C. 抛掷一枚骰子，朝上面的点数小于6 D. 相等的圆心角所对的弧相等 8. 如果两个相似三角形的面积比为，那么它们的对应角平分线的比为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，中，弦的长为，点在上，，．所在的平面内有一点，若，则点与的位置关系是（ ） A. 点在上 B. 点在内 C. 点在外 D. 无法确定 10. 如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转50°后得到△COD，若∠AOB＝15°，则∠BOC的度数是（　　） A. 35° B. 45° C. 55° D. 65° 11. 如图，是的外接圆，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 12. 如图，用圆心角为，半径为6的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径是（ ） A. 4 B. 2 C. D. 13. 如图，正六边形内接于，若的周长是，则正六边形的边长是（ ） A. B. 3 C. 6 D. 14. 如图，在中，，，，，垂足为D，那么的长为（ ）． A. 5 B. C. D. 15. 已知反比例函数的图象在第一、三象限，则下列关于该反比例函数的说法中，错误的是（ ） A. B. 当时， C. 在每一象限内，y的值随x值的增大而减小 D. 若点在其图象上，则点也在其图象上 16. 二次函数的图象如图所示，则一次函数和反比例函数在同一直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 二．解答题（共6小题，共72分） 17. 解方程：． 18. 在如图所示的平面直角坐标系中，已知，，． （1）将绕点逆时针旋转得到，请画出； （2）以坐标原点为位似中心，在轴下方，画出的位似图形，使它与的位似比为． 19. 直线与反比例函数的图象分别交于点和点，与坐标轴分别交于点C和点D． （1）求直线的解析式； （2）观察图象，当时，直接写出的解集． 20. 如图，二次函数y＝ax2+bx+4与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，其中A点坐标为(﹣2，0)，B点坐标为(8，0)． （1）求经过A，B，C三点的抛物线的解析式； （2）如果M为抛物线的顶点，连接CM、BM，求四边形COBM的面积． 21. 甲、乙、丙、丁四位同学进行一次乒乓球单打比赛，要从中选出两位同学打第一场比赛． （1）若已确定甲打第一场，再从其余三位同学中随机选取一位，求选中乙同学的概率； （2）请用树状图法或列表法，求恰好选中甲、乙两位同学的概率． 22. 某校同学参与“项目式学习”综合实践活动，小明所在的数学活动小组利用所学知识测量旗杆EF的高度，他在距离旗杆40米的D处立下一根3米高的竖直标杆CD，然后调整自己的位置，当他与标杆的距离BD为4米时，他的眼睛、标杆顶端和旗杆顶位于同一直线上，若小明的眼睛离地面高度AB为1.6米，求旗杆EF的高度． 23. （1）尺规作图：确定点D，E的位置，使得点D是的中点，交直线于点E；（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，求证：是的切线； （3）连接，交于点F，若，求的长． 24. 如图，是的切线，切点为B，点A在⊙O上，且，连接并延长交于点C，交直线于点D，连接． （1）证明：是的切线； （2）证明：； （3）若，，求线段的长． 25. 在平面直角坐标系中为，抛物线（、为常数）的对称轴为直线，与轴交点坐标为． （1）求此抛物线对应的函数表达式； （2）点 、点 均在这个抛物线上（点 在点 的左侧），点 的横坐标为 ，点 的横坐标为 ． 将此抛物线上 两点之间的部分（含 两点）记为图象 ． ①当点 在 轴上方，图象 的最高与最低点的纵坐标差为6时，求 的值； ②设点 ，点 ，将线段 绕点 逆时针旋转 后得到线段 ，连接 ，当 （不含内部）和二次函数在 范围上的图像有且仅有一个公共点时，求 的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东实验中学2024-2025学年第二学期适应性练习 九年级数学 一．选择题（共16小题，每题3分，共48分） 1. “数学”的英文缩写为“”，下列四个字母中，属于中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了中心对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．根据中心对称图形的定义进行判断，即可得出答案．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心． 【详解】解：选项A、B、C均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形， 选项D能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形， 故选：D． 2. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了求关于原点对称的点的坐标．关于原点对称的两点，则其横、纵坐标互为相反数，由点关于原点对称的坐标特征即可求得对称点的坐标． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标为； 故选：B． 3. 用配方法解方程时，原方程应变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查配方法，使用配方法将方程转化为完全平方形式，通过添加一次项系数一半的平方完成配方即可． 【详解】解：， ， ； 故选B． 4. 已知是方程的两个根，则的值为（ ） A. 5 B. 4 C. 7 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】本题题考查了一元二次方程根与系数的关系．由、是方程的两个实数根，则，，然后整体代入计算即可． 【详解】解：∵、是方程的两个实数根， ∴，， ∴ ， 故选：A． 5. 抛物线 与x轴交点的情况是（ ） A. 有交点 B. 没有交点 C. 有一个交点 D. 有两个交点 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查抛物线与x轴交点问题，熟练掌握“当时，抛物线与x轴有两个交点，当时，抛物线与x轴有一个交点，当时，抛物线与x轴没有有交点”是解题的关键． 根据，得出抛物线与x轴有两个交点． 【详解】解：∵， ∴抛物线与x轴有两个交点． 故选：D． 6. 将抛物线先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到抛物线的函数关系表达式是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可． 【详解】解：将抛物线先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到抛物线的函数关系表达式是：， 即． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，掌握平移规律是解题的关键． 7. 下列事件是必然事件的是（　　） A. 任意两个正方形都相似 B. 三点确定一个圆 C. 抛掷一枚骰子，朝上面的点数小于6 D. 相等的圆心角所对的弧相等 【答案】A 【解析】 【分析】根据相似多边形的判定、概率的意义、确定圆的条件以及随机事件的定义分别对每一项进行分析，即可得出答案． 【详解】解：A.∵正方形的四条边都相等，四个角都是直角，∴任意两个正方形都相似是必然事件，故选项符合题意； B.∵不在同一直线上的三点确定一个圆，∴三点确定一个圆是随机事件，故选项不符合题意； C.∵抛掷一枚骰子，朝上面的点数小于或等于6，∴抛掷一枚骰子，朝上面的点数小于6是随机事件，故选项不符合题意； D.∵在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，∴相等的圆心角所对的弧相等是随机事件，故选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】此题考查了相似多边形的判定、概率的意义、确定圆的条件以及随机事件，正确理解含义是解决本题的关键． 8. 如果两个相似三角形的面积比为，那么它们的对应角平分线的比为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查的是相似三角形的性质，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，即可得到两个三角形的相似比，而相似三角形的对应角平分线的比等于相似比，由此得解． 【详解】解：∵两个相似三角形的面积比为， ∴两个相似三角形的相似比为， ∴它们的对应角平分线的比为． 故选：D． 9. 如图，中，弦的长为，点在上，，．所在的平面内有一点，若，则点与的位置关系是（ ） A. 点在上 B. 点在内 C. 点在外 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理，点与圆的位置关系，锐角三角函数，掌握圆的相关性质是解题关键．由垂径定理可得，由圆周角定理可得，再结合特殊角的正弦值，求出的半径，即可得到答案． 【详解】解：如图，令与的交点为， 为半径，为弦，且， ， ， 在中，，，， ， ，即的半径为4， ， 点在外， 故选：C． 10. 如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转50°后得到△COD，若∠AOB＝15°，则∠BOC的度数是（　　） A. 35° B. 45° C. 55° D. 65° 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据旋转变换的性质求出∠AOC的度数，结合∠AOB＝15°，即可解决问题． 【详解】解：由题意及旋转变换的性质得：∠AOC＝∠BOD＝50°， ∵∠AOB＝15°， ∴∠BOC＝∠AOC﹣∠BOC＝50°﹣15°＝35°， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了旋转变换的性质及其应用问题，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 11. 如图，是的外接圆，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理，先根据等腰三角形的性质求得，再根据圆周角定理求解即可，熟练掌握圆周角定理是关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 12. 如图，用圆心角为，半径为6的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径是（ ） A. 4 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出扇形的弧长，除以即为圆锥的底面半径． 【详解】解：扇形的弧长， 圆锥的底面半径为． 故选：B． 【点睛】本题考查了扇形的弧长公式；圆的周长公式；用到的知识点为：圆锥的弧长等于底面周长． 13. 如图，正六边形内接于，若的周长是，则正六边形的边长是（ ） A. B. 3 C. 6 D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接、，由正六边形内接于，可知是等边三角形，由的周长是，可得，即可得出结果．本题主要考查了圆内接正六边形的性质，等边三角形的判定及性质，正确运用圆与正六边形的性质是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接、， ∵正六边形内接于， ∵， 是等边三角形， ∵的周长是， ， 即正六边形的边长是， 故选：B 14. 如图，在中，，，，，垂足为D，那么的长为（ ）． A. 5 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出长，再证明，根据相似三角形性质求解即可． 【详解】解：在中，，，， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查的是相似三角形判定与性质，熟练应用相似三角形判定与性质是解题关键． 15. 已知反比例函数的图象在第一、三象限，则下列关于该反比例函数的说法中，错误的是（ ） A. B. 当时， C. 在每一象限内，y的值随x值的增大而减小 D. 若点在其图象上，则点也在其图象上 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查的是反比例函数的图象与性质，掌握反比例函数的图象与系数的关系是解题的关键． 根据反比例函数的图象与性质逐项分析判断即可解答． 【详解】解：∵反比例函数的图象在第一、三象限， ∴，故A正确，不符合题意； ∴函数图象的两个分支分别位于第一三象限，在每一象限内y随x的增大而减小，故B错误，C正确； ∵反比例函数的图象关于原点对称， ∴点在其图象上，则点也在其图象上，故D正确，不符合题意． 故选：B． 16. 二次函数的图象如图所示，则一次函数和反比例函数在同一直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数图象推出，再根据一次函数，反比例函数图象与系数的关系即可得到答案． 【详解】解：由二次函数图象可知，二次函数开口向上，对称轴在y轴右侧，且与y轴交于负半轴， ∴， ∴， ∴一次函数经过第一、三、四象限，反比例函数经过第二、四象限， ∴四个选项中只有B选项符合题意， 故选B． 【点睛】本题主要考查了一次函数，二次函数和反比例函数图象的综合判断，熟知三个函数图象与其对应的系数关系是解题的关键． 二．解答题（共6小题，共72分） 17. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】先将方程整理成一般式，再用因式分解法求解即可． 【详解】解：， 整理得：， ， 或， ∴，． 【点睛】本题考查解一元二次方程，熟练掌握用因式分解法解一元二次方程是解题的关键． 18. 在如图所示的平面直角坐标系中，已知，，． （1）将绕点逆时针旋转得到，请画出； （2）以坐标原点为位似中心，在轴下方，画出的位似图形，使它与的位似比为． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了位似变换与旋转变换， （1）直接利用旋转的性质得出对应点的位置，画出图形即可； （2）直接利用位似图形的性质得出对应点的位置，画出图形即可． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求 【小问2详解】 解：如图所示，即为所求 19. 直线与反比例函数的图象分别交于点和点，与坐标轴分别交于点C和点D． （1）求直线的解析式； （2）观察图象，当时，直接写出的解集． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先根据反比例函数解析式求出点A、B的坐标，然后利用待定系数法求直线的解析式即可； （2）根据交点坐标和函数图象可直接得出答案． 【小问1详解】 解：∵点和点在的图象上， ∴， ∴，， 把，代入得， 解得：， ∴直线的解析式为：； 【小问2详解】 解：∵直线与反比例函数的图象分别交于点和点， ∴由图象可得，当时，的解集为． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法的应用以及利用函数图象求不等式解集，熟练掌握待定系数法及数形结合思想的应用是解题的关键． 20. 如图，二次函数y＝ax2+bx+4与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，其中A点坐标为(﹣2，0)，B点坐标为(8，0)． （1）求经过A，B，C三点的抛物线的解析式； （2）如果M为抛物线的顶点，连接CM、BM，求四边形COBM的面积． 【答案】（1）；（2）31 【解析】 【分析】（1）根据二次函数与x轴交于A、B两点，其中A点坐标为（﹣2，0），B点坐标为（8，0），从而可以求得经过A，B，C三点的抛物线的解析式； （2）根据（1）中的函数解析式，从而可以得到点C和点M的坐标，然后即可得到四边形COBM的面积． 【详解】（1）∵二次函数与x轴交于A、B两点，其中A点坐标为（﹣2，0），B点坐标为（8，0）， ∴，得， 即经过A，B，C三点的抛物线的解析式是； （2）∵， ∴点C的坐标为（0，4），点M的坐标为（3，）， ∴四边形COBM的面积是：， 即四边形COBM的面积是31． 【点睛】本题考查了抛物线与轴的交点、二次函数的性质、待定系数法求二次函数解析式，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答． 21. 甲、乙、丙、丁四位同学进行一次乒乓球单打比赛，要从中选出两位同学打第一场比赛． （1）若已确定甲打第一场，再从其余三位同学中随机选取一位，求选中乙同学的概率； （2）请用树状图法或列表法，求恰好选中甲、乙两位同学的概率． 【答案】（1）恰好选到乙的概率是； （2）恰好选中甲、乙两位同学的概率是． 【解析】 【分析】（1）由甲、乙、丙、丁四位同学进行一次乒乓球单打比赛，确定甲打第一场，再从其余的三位同学中随机选取一位，直接利用概率公式求解即可求得答案； （2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好选中甲、乙两人的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【小问1详解】 解：∵甲、乙、丙、丁四位同学进行一次乒乓球单打比赛，确定甲打第一场，再从其余的三位同学中随机选取一位， ∴恰好选到乙的概率是； 【小问2详解】 解：画树状图得： ∵共有12种等可能的结果，恰好选中甲、乙两人的有2种情况， ∴恰好选中甲、乙两人的概率为． 【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 22. 某校同学参与“项目式学习”综合实践活动，小明所在的数学活动小组利用所学知识测量旗杆EF的高度，他在距离旗杆40米的D处立下一根3米高的竖直标杆CD，然后调整自己的位置，当他与标杆的距离BD为4米时，他的眼睛、标杆顶端和旗杆顶位于同一直线上，若小明的眼睛离地面高度AB为1.6米，求旗杆EF的高度． 【答案】17米 【解析】 【分析】过点A作，交CD于点G，交EF于点H，根据题意图像可知，根据相似比可解决本题． 【详解】解：过点A作，交CD于点G，交EF于点H． 由题意得：，，， ∵， ∴ ， ∴， ∴， ∴， 答：旗杆的高度为17米． 【点睛】本题考查相似三角形的性质，能够熟练掌握相似三角形的性质是解决本题的关键． 23. （1）尺规作图：确定点D，E的位置，使得点D是的中点，交直线于点E；（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，求证：是的切线； （3）连接，交于点F，若，求的长． 【答案】 （1）如图所示： （2）证明：设交于M， ∵D是的中点， ∴， ∵经过圆心， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵是半径， ∴是的切线； （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，作线段的垂直平分线，交于点D，根据垂径定理，得到点D是的中点；过点D作，交直线于点E即可． （2）根据切线的判定定理，证明是的切线即可． （3）根据题意，得，过点F作于点G，利用角的平分线性质，三角函数解答即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴，， 过点F作于点G， ∵D是的中点， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， 解得， ∴． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的基本作图，圆的性质，垂线的基本作图，切线的判断，勾股定理，解直角三角形的相关计算，熟练掌握基本作图，圆的性质，解直角三角形是解题的关键． 24. 如图，是的切线，切点为B，点A在⊙O上，且，连接并延长交于点C，交直线于点D，连接． （1）证明：是的切线； （2）证明：； （3）若，，求线段的长． 【答案】（1） 证明：如图1，连接， ∵是的切线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 又∵点A在上， ∴是的切线； （2） 证明：如图2，连接，, ∴ ∴ ∵是的切线， ∴即 ∵是的直径， ∴ ∴ ∴ ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）连接，判定，从而得到，即可得证； （2）连接，根据弦切角等于所夹弧所对的圆周角推出判定的条件，判定相似后根据相似三角形的性质即可推出结论； （3）先解直角三角形，求出，再根据锐角三角函数的定义和已知条件求出的长，再根据勾股定理即可求出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：在中，， 设，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， 在中，． 【点睛】本题主要考查圆的切线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形等知识点，深入理解题意解决问题的关键． 25. 在平面直角坐标系中为，抛物线（、为常数）的对称轴为直线，与轴交点坐标为． （1）求此抛物线对应的函数表达式； （2）点 、点 均在这个抛物线上（点 在点 的左侧），点 的横坐标为 ，点 的横坐标为 ． 将此抛物线上 两点之间的部分（含 两点）记为图象 ． ①当点 在 轴上方，图象 的最高与最低点的纵坐标差为6时，求 的值； ②设点 ，点 ，将线段 绕点 逆时针旋转 后得到线段 ，连接 ，当 （不含内部）和二次函数在 范围上的图像有且仅有一个公共点时，求 的取值范围． 【答案】（1）； （2）①；②或； 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求解析式及二次函数最值、与线段交点问题： （1）将对称轴及点代入求解即可得到答案； （2）①先求出二次函数与轴交点，分点在对称轴左边，对称轴右边两类讨论，根据最高与最低点的距离列式即可得到答案；②当点在点上方，用含的代数式表示出点，当点在抛物线上时，（不含内部）和二次函数在范围上的图像有且仅有一个公共点，当点在点下方，根据，得出解析式，与抛物线解析式联立，求出时对应的的值，当时，（不含内部）和二次函数在范围上的图像有且仅有一个公共点． 【小问1详解】 解：∵抛物线的对称轴为直线，与轴交点坐标为， ∴，， 解得：，， ∴； 【小问2详解】 解：①当时， ，解得：，， 当点在对称轴左边时，即时， ∵， ∴此时最高点为对称轴所在点，最低点为点， ∵最高与最低点的纵坐标差为6， ∴， 解得：（不符合题意舍去），； 当点在对称轴右边时，即， ∵， ∴此时最高点为A点，最低点为点， ∵最高与最低点的纵坐标差为6， ∴， 解得：（不符合题意舍去）； 综上所述：； ②当点在点上方，，即：时， ，点，即， 当点在抛物线上时，（不含内部）和二次函数在范围上的图像有且仅有一个公共点， ∴，解得：，（舍）， 当点在点下方，，即：时， ，点，即， 设解析式为：，则：，解得：， ∴解析式为：，与抛物线解析式联立： ，整理得：， 当直线与抛物线只有一个交点时，，解得：， 当时，（不含内部）和二次函数在范围上的图像有且仅有一个公共点， ∴的取值范围是或， 故答案为：或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $