大题01 三角函数与解三角形（5大经典题型）-【大题精做】冲刺2025年高考数学大题突破+限时集训（上海专用）

大题01 三角函数与解三角形 三角函数与解三角形是高考必考点。教改之前会考察解答题。最近两年的高考，主要以填空和选择形式出现，考察三角公式、解三角形及三角函数图像与性质，另外，近两年在填空题11题中考察实际应用问题的解决，主要考察把实际应用问题转化为解三角形的问题，体现数学与实际问题的结合. 但是，最近两年一模二模的解答题17与18题中，三角函数与解三角形仍然占据了很大的比重。 题型1 三角函数的图像与性质 （24-25高三上·上海·阶段练习）已知函数 (1)求的单调递增区间； (2)若的图像是由的图像向右平移单位长度得到，则当，求满足实数x的集合. 【答案】(1)，； (2) 【分析】（1）令，解出x的范围即可； （2）根据图像平移求出)解析式，结合三角函数图像即可求解不等式. 【解析】（1） 令，，则，， 所以的单调递增区间为，； （2）由题意可得， 由可得，因为，所以， 由正弦函数图像可得， 则，所以x的取值集合为 此类题型考察恒等变形和三角函数函数性质，涉及到三角恒等变形的公式比较多。 1、首先要通过降幂公式降幂，二倍角公式化角： （1）二倍角公式：sin 2α＝2sin αcos α (S2α)；cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α (C2α) （2）降幂公式：cos2α＝，sin2α＝， 2、再通过辅助角公式“化一”，化为 3、辅助角公式：asin α＋bcos α ＝sin(α＋φ)，其中tan φ＝. 4、最后利用三角函数图象和性质，求解计算： 一般将看做一个整体，利用换元法和数形结合的思想解题。 1．（24-25高三上·上海浦东新·期中）已知函数，其图象中两条相邻的对称轴之间的距离为． (1)求函数的解析式，并求出它的单调递减区间； (2)将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，当时，求方程的所有根之和． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据三角恒等变换的知识化简的解析式，根据周期性求得，再利用整体代入法求得单调区间. （2）根据三角函数图象变换求得， 【解析】（1） ， ∵图象中两条相邻的对称轴之间的距离为， ∴，，由， ∴，， 令得， ∴的单调递减区间为. （2）图象向左平移个单位长度得， 再将所得图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）， 得， 由①， ，令， 则， ∴，∴或（舍）． 由，∴，令，， 则，②， 在区间，结合正弦函数对称性可得，方程②有个根， 和分别关于、对称， 则所有根之和， 所以方程①的个根，满足. 2．（24-25高三上·上海·阶段练习）已知函数，． (1)若函数的图象关于轴对称，求的值，并求函数的单调减区间； (2)当时，若存在，使等式成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）根据函数的对称性求出，再根据余弦函数的性质求出其单调递减区间. （2）先求出，再换元，令，，等价为在上成立，求出二次函数的最值即得解. 【解析】（1）因为函数的图象关于轴对称， 所以，解得， 又，所以或； 当时，， 所以的单调减区间为，； 当时，， 所以的单调减区间为，； 综上可得：当时的单调减区间为，； 当时的单调减区间为，. （2）当时， 因为，所以， ， 所以，令，， 则等式成立等价为在上成立， ， 当时，取得最小值；当时，取得最大值， 故的取值范围是 3．（2025·上海·模拟预测）已知，. (1)若函数的最小正周期为，求的值； (2)当时，设.若函数和在上有相同的最大值，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，结合正弦型函数的周期公式可求得正数的值； （2）当时，求出函数在区间上的最大值，可知，当时，函数在内取得最大值，可得出，然后对整数的取值进行分类讨论，可得出关于实数的不等式组，求解后结合，即得实数的取值范围. 【解析】（1） ， 因为且函数的最小正周期为，故. （2）当时，. 若时，， 当时，函数取得最大值，即.     而函数与存在相同的最大值， 故当时，函数在内取得最大值， 因此可得，    ①当时，可得，则有，解得；     ②当时，可得，则有，解得. 当时，，此时，， 当时，，此时，. 综上所述，的取值范围为. 4．（23-24高三上·阶段练习）函数的部分图象如图所示． (1)求函数的解析式； (2)将函数的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求函数在上的值域． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据图象易得和周期，结合可得结果； （2）根据平移和伸缩变换可得，进而由整体法即可求解函数的值域. 【解析】（1）观察图象可得，函数的周期，解得， 即，由，得， 即，，而，则， 所以函数的解析式是. （2）将的图象向左平移个单位长度， 可得到函数的图象， 再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变， 得到函数的图象，则， 当时，， 则，即， 因此在上的值域为. 5．（2024·上海静安·一模）已知向量，且. (1)求及； (2)记，求函数的最小值. 【答案】(1)，； (2) 【分析】（1）根据向量数量积的坐标表示和向量模的坐标运算即可； （2）根据（1）中结果代入计算得，再根据二次函数性质即可得到答案. 【解析】（1）由题意得， 由于 则 ， 因为，所以. （2）， 因为，则，则当，即时，该函数取得最小值. 题型二：解三角形的边与角 （24-25高三上·上海·期中）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知． (1)求角B； (2)若△ABC的面积为，求a． 【答案】(1)； (2)6． 【分析】（1）由已知结合余弦定理即可求解； （2）由（1）得，由三角形面积求得，再由余弦定理即可求得a． 【解析】（1）因为， 所以由余弦定理得，故， 所以，又， 所以； （2）由（1）知，又，所以， 所以，所以，， 因为，所以，所以， 所以由余弦定理得,所以. 利用正、余弦定理求解三角形的边角问题，实质是实现边角的转化，解题的思路是： 1、选定理. （1）已知两角及一边，求其余的边或角，利用正弦定理； （2）已知两边及其一边的对角，求另一边所对的角，利用正弦定理； （3）已知两边及其夹角，求第三边，利用余弦定理； （4）已知三边求角或角的余弦值，利用余弦定理的推论； （5）已知两边及其一边的对角，求另一边，利用余弦定理； 2、巧转化：化边为角后一般要结合三角形的内角和定理与三角恒等变换进行转化；若将条件转化为边之间的关系，则式子一般比较复杂，要注意根据式子结构特征灵活化简. 3、得结论：利用三角函数公式，结合三角形的有关性质（如大边对大角，三角形的内角取值范围等），并注意利用数形结合求出三角形的边、角。 1．（2024·上海长宁·一模）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求角B的大小； (2)若的面积为，请判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)是等边三角形，理由见解析 【分析】（1）根据正弦定理边角互化化简得出正切，结合范围求角； （2）应用面积公式计算得出，再结合余弦定理得出边长即可判断. 【解析】（1）由正弦定理可得, 因为，所以，,所以. （2）, 所以, 由余弦定理，得, 即，解得, 所以是等边三角形. 2．（24-25高三上·上海·阶段练习）在中，角的对边分别为.已知，，. (1)求的值; (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用余弦定理化简可得结果. （2）根据两角和差公式，由二倍角公式得到和的值，利用正弦定理得到的值，同角三角函数的关系得到的值，最后代入求解. 【解析】（1）在中，由余弦定理得. 将题目条件代入得，解得. （2）由于为三角形内角，故， 进而有，， 在中，由正弦定理得. 由于，故为锐角，得. 因此有. 3．（24-25高三上·上海·阶段练习）在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c．设向量，，已知． (1)求角A的大小； (2)设D为边上一点，且，若，，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据建立等式，利用正弦定理边化角，再结合两角和的正弦公式求解； （2）在中，由余弦定理求得，再次使用余弦定理求得，利用诱导公式进行求解． 【解析】（1），即． 在中，由正弦定理得， 即． 由于B为三角形内角，故，上式即． 由于A为三角形内角，解得． （2）在中，由余弦定理得， 故． 再由余弦定理，得． 因此． 题型三：解三角形中周长面积 1.（24-25高三上·上海·期中）在中，角、、所对的边分别为、、，已知． (1)若，，求； (2)若，，求的周长． 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）可根据余弦定理，将已知条件代入求解边； （2）先由正弦定理得出角的正弦值，再求出角，进而求出角，最后求出边和，从而得到三角形的周长. 【解析】（1）根据余弦定理，已知，，. 将，，代入余弦定理公式可得： 化简得 解得（因为边长不能为负，舍去）. （2）已知，由正弦定理可得. 因为，可得. 因为，，时有两解（为锐角或钝角）. 当为锐角时，. ，，. 则. 再由正弦定理，可得. ，可得. 此时三角形周长为. 当为钝角时，. . 由正弦定理，可得. ，可得. 此时三角形周长为. 则的周长为或. 2．（2024·上海杨浦·一模）已知的内角所对边的长度分别为. (1)若，求的面积； (2)若，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合题设及余弦定理可得，进而结合三角形面积公式求解即可； （2）由正弦定理和三角恒等变换的公式，化简求得，进而结合平方关系求解即可. 【解析】（1）由，得， 由余弦定理得，即， 所以，即， 所以的面积为. （2）由，由正弦定理得， 可得， 则， 因为，所以， 则，又， 所以. 此题型实质是求三角形的边与角，解题的思路是： 1、由题型2类似，利用正余弦定理求角或求边. 2、利用面积公式求面积或求周长. 1.（2023·上海松江·一模）在三角形中，内角所对边分别为，已知. (1)求角的大小； (2)若，三角形的面积为，求三角形的周长. 【答案】(1) (2) 【分析】(1)由正弦定理进行边角互化可得，结合两角差的余弦公式及同角三角函数的基本关系可求出，即可求出. (2)由三角形的面积公式可得，结合及余弦定理即可求出，即可得出结果. 【解析】（1）由正弦定理得，所以 所以，整理得， 因为，所以，因此，所以， 所以. （2）由的面积为，得，解得， 又,则，. 由余弦定理得，解得，， 所以的周长为. 2．（2023·上海·三模）已知在中，角所对的边分别为，且满足． (1)若，求的面积； (2)求的最大值，并求其取得最大值时的值． 【答案】(1)或； (2)最大值，. 【分析】（1）首先由余弦定理求出c，再结合三角形面积公式即可求解； （2）由正弦定理边化角，结合三角恒等变换即可求解． 【解析】（1），，， 又，， ． 又在中，，，， 因为，所以， 又在中，，， 再由三角形的余弦定理得：，， 即，解得或， 当时，， 当时，， （2），，． ． 其中，，，， 在中，，， 当时，取到最大值， 此时，． 题型四：解三角形中的最值范围 （2024·上海宝山·一模）在中，已知. (1)若且，求的面积； (2)若求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合正弦定理、余弦定理和面积公式即可求解； （2）结合基本不等式求最值和三角形边的关系即可求解. 【解析】（1）由正弦定理得，又，从而，         由得，            从而，                               所以的面积. （2）由，            又，当且仅当时取等号，       从而，所以，                        又因为中，，从而，                       所以的范围是. 三角形中的最值范围问题的解题策略: ①基本不等式法 利用基本不等式求最值范围，主要结合余弦定理，可求周长及面积的题目，若要求解周长的范围时，还需利用三角形“两边之和大于第三边(任意三角形)” ②三角函数法 先利用正弦定理将边转化成角，然后利用A+B+C=π或者题干中角的关系，可将所求式子中的角统一成一个角，需要注意题干中对角有没有限制要求，利用角的范围求出范围 1.（2025·上海·模拟预测）在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且． (1)若，求a； (2)若，求的面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理角化边结合勾股定理求解即可； （2）由三角形的面积公式结合余弦定理求解即可； 【解析】（1）由正弦定理可得即， 又，所以，即，解得， 所以. （2）因为，且，， 所以，当且仅当时等号成立， 当取最小值时，取最大值，最大值， 所以的面积的最大值为. 2．（24-25高三上·上海·阶段练习）在中，内角，，所对的边分别为，，，已知且为钝角， (1)求； (2)求的取值范围是． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理边角互化可得，即可利用三角函数的性质求解； （2）根据三角形内角和定理结合三角恒等变换化简，再根据二次函数的性质求解即可. 【解析】（1）因为，且为钝角， 由正弦定理得，又，故， 由于在中，所以或（舍去）， 所以； （2）由于，， 所以， 故 ， 由于，所以， 故， 故的取值范围为. 3．（24-25高三上·上海·阶段练习）已知，，分别为三个内角，，的对边，且． (1)求； (2)若，且是锐角三角形，求的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式计算可得； （2）由正弦定理可得，，从而将转化为关于的三角函数，最后由辅助角公式及正弦函数的性质计算可得. 【解析】（1）因为，由正弦定理可得， 又， 所以， 即，又，所以， 又，所以； （2）由正弦定理， 所以，， 则 ， 其中， 又，所以当时取得最大值. 4．（24-25高三上·上海·期中）已知函数，其中. (1)求函数的最小正周期及函数在区间上的最大值； (2)在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c且，，，求面积的大小. 【答案】(1)最小正周期为，最大值为2； (2) 【分析】（1）利用三角恒等变换得到，利用求出最小正周期，整体法得到，从而得到时，取得最大值2； （2）在（1）基础上，由求出，由余弦定理得到，由三角形面积公式求出答案. 【解析】（1） ， 故的最小正周期为， 时，，故当，即时， 取的最大值，最大值为2； （2），故， 因为，所以，故，解得， 又，， 由余弦定理得，即，解得，负值舍去， 故. 5．（24-25高三上·上海虹口·阶段练习）已知，. (1)若函数在区间上是严格增函数，求实数的取值范围； (2)设的三边分别是，若，，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）化简函数解析式为，由可求得的取值范围，根据已知条件可得出关于的不等式组，由此可解得的取值范围. （2）先求出C，再用正弦定理边角互化，转化为三角函数求值域即可. 【解析】（1） 所以 所以即，由于， 即，故，而，故. 又由于，所以. （2），所以，即或， 由于为的内角，故. 所以由正弦定理，，. 所以，. 所以的取值范围是. 题型五：解三角形的实际应用 （24-25高三上·上海松江·期末）为了打造美丽社区，某小区准备将一块由一个半圆和长方形组成的空地进行美化，如图，长方形的边为半圆的直径，O为半圆的圆心，，现要将此空地规划出一个等腰三角形区域（底边）种植观赏树木，其余区域种植花卉．设，．    (1)当时，求的面积； (2)求三角形区域面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用三角函数表达出的长，再由面积公式即可求解. （2）用的三角函数表达出三角形区域面积，利用换元法转化为二次函数，求出三角形区域面积的最大值. 【解析】（1）设与相交于点，则， 则，， 易知等于到的距离， 所以    （2）过点作于点，则， 而，    则三角形区域面积为 ， 设，因为，所以， 故，而， 则，故当时，取得最大值， 故三角形区域面积的最大值为 求解实际应用题，关键是梳理条件和所求问题的类型,然后将数据化归到三角形中,利用正弦定理或余弦定理建立已知和所求的关系， 具体解题思路如下: (1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解; (2)寻找各个三角形之间的联系,交叉使用公共条件,求出结果. 注意：做题过程中,要用到平面几何中的一些知识点,如相似三角形的边角关系、平行四边形的一些性质,要把这些性质与正弦、余弦定理有机结合,才能顺利解决问题. 1．（2022·上海松江·二模）如图，农户在100米，米的长方形地块上种植向日葵，并在处安装监控摄像头及时了解向日葵的生长情况.监控摄像头可捕捉到图象的角度范围为，其中点，分别在长方形的边，上，监控的区域为四边形.记 (1)当时，求，两点间的距离；（结果保留整数） (2)问当取何值时，监控区域四边形的面积最大？最大值为多少？（结果保留整数） 【答案】(1)82米 (2)，4886平方米 【分析】（1）根据，求解，再用勾股定理求解即可； （2）分别求得的面积，进而表达出四边形的面积，再令，化简再用基本不等式求解最小值即可． 【解析】（1）， . ， ， （米）. （2）， ， ， ， . 令，则， ，， ， ， 此时，即. 故当时，监控区域四边形的面积最大，约为4886平方米. 2．（24-25高三上·上海·阶段练习）如图，在同一平面上，，点为线段的中点，曲线段上所有点到点的距离都相等，点在曲线段上，且.已知为曲线段上的一个动点，点与点关于直线对称. (1)若点与点重合，求的大小; (2)求点在何处时，五边形的面积取得最大值，并求出该最大值. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）在中，利用正弦定理和余弦定理解三角形得到结果. （2）由对称性，将五边形的面积表示为和的面积和的2倍，利用三角函数的图象性质得到最值. 【解析】（1）由题意知， 由余弦定理有，得. 由正弦定理得， 因此. （2）设，则. 记五边形的面积为，则 ，其中. 因此当且仅当时，取最大值. 3．（23-24高三下·上海·阶段练习）如图，某公园有一三角形的花坛，已知围栏长5米，长7米，，拟在该花坛中修建一条直围栏（即线段，点分别在三角形的两边上），以种植两种不同颜色的菊花供游客观赏，花坛设计者希望通过围栏实现两种菊花的种植面积相等且同一时刻花坛边游客近距离赏花的人数的最大值相等.试问：在的边上是否存在两点，使得线段既平分的面积又平分其周长？若存在，求出所有满足要求的点的位置（结果精确到0.1米）；若不存在，请说明理由. 【答案】存在，长约米，长约米 【分析】 由余弦定理可计算的长，进而求出的面积以及周长，分情况讨论点在上，在上，在上，列方程组计算可求出结果. 【解析】由余弦定理，，可得：，解得：. 所以，周长为20. 由余弦定理可知：，， 则，， 若点分别在上，设，于是有，则，该方程组无解. 若点分别在上，设，于是有，则，解得. 若点分别在上，设，，于是有，则，该方程组无解. 综上，存在上点和上点，其中长约7.2米，长约2.8米满足题意. 4．（23-24高三上·上海浦东新·阶段练习）某中学为美化校园将一个半圆形边角地改造为花园．如图所示，为圆心，半径为千米，点、、都在半圆弧上，设，，其中． (1)若在花园内铺设一条参观的线路，由线段、、三部分组成，求当取何值时，参观的线路最长； (2)若在花园内的扇形和四边形内种满杜鹃花，求当取何值时，杜鹃花的种植总面积最大． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用直径所对的圆周角为直角，利用三角函数把线段、、表示为的函数，利用换元和二次函数的性质求取最大值时的值. （2）利用扇形面积公式和三角形面积公式，把种植总面积表示为的函数，利用导数研究单调性，求取最大值时的值. 【解析】（1）解：如下图，连接，则， 半圆的半径，在中，，即， 同理可得，且， 所以参观路线的长度， 令，即. 由二次函数性质可知，当时取得最大值，此时，即时，参观路线最长. （2）解：由题知：扇形的面积， 的面积， 的面积， 所以杜鹃花的种植总面积， ， 令得或（舍），因为，所以，， 当时，单调递增，当时，单调递减， 所以时，杜鹃花的种植总面积最大. 5．（23-24高三上·上海静安·期末）如下图，某公园东北角处有一座小山，山顶有一根垂直于水平地平面的钢制笔直旗杆，公园内的小山下是一个水平广场（虚线部分）．某高三班级数学老师留给同学们的周末作业是：进入该公园，提出与测量有关的问题，在广场上实施测量，并运用数学知识解决问题．老师提供给同学们的条件是：已知米，规定使用的测量工具只有一只小小的手持激光测距仪 （如下图，该测距仪能准确测量它到它发出的激光投射在物体表面上的光点之间的距离）．      (1)甲同学来到通往山脚下的笔直小路上，他提出的问题是：如何测量小山的高度？于是，他站在点处，独立的实施了测量，并运用数学知识解决了问题．请写出甲同学的解决问题方案，并用假设的测量数据（字母表示）表示出小山的高度； (2)乙同学是在一阵大风过后进入公园的，广场上的人纷纷议论：旗杆似乎是由于在根部处松动产生了倾斜．她提出的问题是：如何检验旗杆是否还垂直于地面？并且设计了一个不用计算就能解决问题的独立测量方案．请你写出她的方案，并说明理由； (3)已知（1）中的小路是东西方向，且与点所确定的平面垂直于地平面．又已知在（2）中的乙同学已经断定旗杆大致向广场方向倾斜．如果你是该班级的同学，你会提出怎样的有实际意义的问题？请写出实施测量与解决问题的方案，并说明理由 （如果需要，可通过假设的测量数据或运算结果列式说明，不必计算）． 【答案】(1)答案见解析 (2)方案见解析，理由见解析 (3)问题见解析，方案见解析，理由见解析 【分析】（1）根据测量数据利用余弦定理即可求得结果； （2）利用测量数据综合利用三角形性质，由线面垂直判定定理即可证明并得出结论； （3）可提问“旗杆向哪个方向倾斜多少角度”等问题，再根据解三角形的实际应用即可得出结论. 【解析】（1）解一：(1) 如图1，设点在水平面的投影点为． 用测距仪测得，． 在中，， 在中，， 所以．    解二：如图2，在平面上，以点为原点，向量为轴，建立平面直角坐标系， 设点，则， 用测距仪测得，，则， 解得    （2）如图，用电子尺测得，，    在广场上从点移动至点，使得， 再移至点，使得，此时再测量， 若，则可知旗杆垂直于地面，否则就是倾斜了． 理由如下： 已知，，设点是的中点， 则在等腰中，． 同理，又平面，所以平面； 又因为平面，故． 同理可证． 综上所述，旗杆垂直于地面． （3）提问：旗杆向哪个方向倾斜多少角度？ 说明：用在地平面上的投影来刻画的倾斜方向是合理的， 也可以采用在广场上确定一个位于在地平面上投影上的点来刻画， 用与小路的夹角刻画扣1分．关于如何刻画倾斜多少角 度的问题，既可以用与垂直于地面的直线所成角的大小，也 可以用与地平面所成角的大小来刻画． 解答方案1： 如图，    在地面画出离点距离相等的点的轨迹圆， 再在圆上找到离点距离最近的点， 作垂直于地面，垂足为， 则的大小就是旗杆倾斜角度． 理由如下： 先证明与圆的交点既是点． 只需证明：对于圆上任意一点，． 因为在中，， 所以， 故． 如图5，从图4中的点向点的方向走到点，    放置一个物体，测得、、的长， 利用余弦定理可得的大小．     同理可得的大小．     因此，可以求得图4中的、、、的长． 在中，三边已知，利用余弦定理可求得， 即旗杆向西偏南的方向倾斜． 又由于、已求得， 故倾斜角度为． 测量倾斜角的大小方案2： 如图5，从点向点的方向走到点，测得、、的长， 利用余弦定理可得的大小，从而求得点的高度． 同理可求得点的高度． 如图，即是由于旗杆倾斜旗杆顶点所下降的高度．    所以，                                    在中，即为所求， 测量倾斜角的大小方案3： 在图5中，以点为原点，以为y轴建立平面直角坐标系， 则容易求出点与点的坐标与， 故的倾斜角为． 6．（23-24高三上·上海浦东新·期末）某街道规划建一座口袋公园．如图所示，公园由扇形区域和三角形区域组成．其中三点共线，扇形半径为30米．规划口袋公园建成后，扇形区域将作为花草展示区，三角形区域作为亲水平台区，两个区域的所有边界修建休闲步道． (1)若，，求休闲步道总长（精确到米）； (2)若，在前期民意调查时发现，绝大部分街道居民对亲水平台区更感兴趣．请你根据民意调查情况，从该区域面积最大或周长最长的视角出发，选择其中一个方案，设计三角形的形状． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）根据题意，在中，由余弦定理得求得，再由弧长公式，求得的长，进而求得总周长，得到答案. （2）若选择面积最小：设，得到，在中，由正弦定理，求得，，根据三角形的面积公式，结合三角恒等变换的公式，得到，结合三角函数的性质，即可求解； 若选择周长最长：由正弦定理，求得，，利用三角恒等变换的公式，化简得到周长为，结合三角函数的饿性质，即可求解. 【解析】（1）解：由题意知，，所以，， 因为，所以， 在中，由余弦定理得 ， 所以，又由弧长公式，可得的长， 所以总周长为：. （2）解：若选择面积最小： 设，因为，可得， 由正弦定理知， 所以， ， 所以 ， 因为，所以， 所以，当时，即时，面积取得最大值，最大值为， 又因为， ， 所以，. 若选择周长最长： 设，因为，可得， 由正弦定理知， 所以， ， 则的周长为 ， 其中， 因为的最大值为，所以的周长的最大值为， 即时，即时， 所以时， 的周长的最大值为. 1．（2024·上海·三模）已知的内角，，的对边分别为，，，且． (1)求的值； (2)若，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理即可得； （2）由余弦定理结合重要不等式可得取值范围，再由三角形的面积公式可求出面积的最大值. 【解析】（1）由题意可知，， 由正弦定理得， 因为，所以， 即. （2）由（1）可知， 所以或. 在中，由余弦定理得 ， 当时，， ， 当且仅当时取等号，即， 故的面积. 当时，， ， 当且仅当时取等号，即， 故的面积. 综上所述，的面积最大值为. 2．（2024·上海闵行·二模）在锐角中，角所对边的边长分别为，且. (1)求角； (2)求的取值范围. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）由已知结合正弦定理可得结果； （2）根据为锐角三角形求出，利用两角差的正弦公式及辅助角公式化简，根据正弦函数性质可得结果. 【解析】（1）， ， 又 ， ， . （2）由（1）可知，，且为锐角三角形， 所以， ， 则 ， 因为， . 3.（2024·上海虹口·一模）设． (1)当函数的最小正周期为时，求在上的最大值； (2)若，且在中，角、、所对的边长为、、，锐角满足，，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据函数的最小正周期求出，即可得到的解析式，再根据正弦函数的性质计算可得； （2）依题意可得，即可求出，由数量积的定义求出，再由余弦定理及基本不等式求出的最小值. 【解析】（1）因为且函数的最小正周期为， 所以，解得，所以， 则， 由，则， 所以当，即时取得最大值. （2）当时，，则， 因为，所以，则，解得； 因为，所以， 由余弦定理， 所以，所以，当且仅当时取等号， 故的最小值为. 4．（2024·上海松江·二模）设，函数图象的两条相邻对称轴之间的距离为． (1)求函数的解析式； (2)在中，设角、及所对边的边长分别为、及，若，，，求角． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据降幂公式，二倍角公式及辅助角公式化简，再根据图象的两条相邻对称轴之间的距离为求出即可； （2）由得出，过点作于点，得出，分别求出的长，结合即可得出，进而得出，根据即可求得答案． 【解析】（1）， 因为函数图象的两条相邻对称轴之间的距离为， 所以, 则，解得， 所以． （2）由得，， 因为，所以，即， ，解得(舍负)， 过点作于点，如图所示， 由得，，则， 所以，则， 所以，则． 5．（2024·上海杨浦·二模）已知. (1)若的最小正周期为，判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)已知，中，，，分别是角，，所对的边，若，，，求的值. 【答案】(1)非奇非偶函数，理由见解析； (2). 【分析】（1）利用给定周期求出，再利用奇偶函数的定义判断得解. （2）利用已知求出角，再利用余弦定理求解即得. 【解析】（1）由的最小正周期为，得，则， 于是， ； ， 所以函数非奇非偶函数. （2）当时，则，， 在中，，，则，有， 于是，解得，由余弦定理得， 即，整理得，解得， 所以. 6.（2024·上海嘉定·二模）在中，角、、的对边分别为、、，． (1)求角，并计算的值； (2)若，且是锐角三角形，求的最大值． 【答案】(1)或；当时，；当时， (2) 【分析】（1）由题意，根据同角的平方关系可得，求出B，进而求出即可； （2）由题意可得，求出C的范围，根据正弦定理可得，利用三角恒等变换化简计算得（），结合的范围和正弦函数的性质即可求解. 【解析】（1）由，得，则， 又，所以或. 当时，； 当时，. （2）若为锐角三角形，则， 有，解得. 由正弦定理，得，则， 所以 ， 其中，又，所以， 则，故当时，取到最大值1， 所以的最大值为. 7.（2024·上海青浦·二模）对于函数，其中，． (1)求函数的单调增区间； (2)在锐角三角形中，若，，求的面积． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）由二倍角正弦、余弦公式及辅助角公式化简，根据复合函数的单调性求出结果； （2）由（1）及条件求出角A，根据数量积的定义及三角形面积公式可得结果. 【解析】（1） 令，则，函数为增函数， 当时函数为增函数， 即，得， 所以函数的单调增区间是． （2）（2）由已知，所以， 因为，所以，即，所以， 又，所以， 所以的面积． 8.（2023·上海徐汇·一模）2023年杭州亚运会首次启用机器狗搬运赛场上的运动装备． 如图所示，在某项运动赛事扇形场地中，，米，点是弧的中点，为线段上一点（不与点，重合）．为方便机器狗运输装备，现需在场地中铺设三条轨道，，．记，三条轨道的总长度为米． (1)将表示成的函数，并写出的取值范围； (2)当三条轨道的总长度最小时，求轨道的长． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）在中，利用正弦定理表示出，然后可得解析式，注意到即可得的范围； （2）变形，然后利用基本不等式即可求解. 【解析】（1）因为点是弧的中点， 由对称性，知，， 又，， 由正弦定理，得， ． 因为，所以，， 所以． （2）由（1）得：，． 因为， 且，， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以， 即当时，三条轨道的总长度最小，此时. 9.（2023·上海金山·一模）网络购物行业日益发达，各销售平台通常会配备送货上门服务．小金正在配送客户购买的电冰箱，并获得了客户所在小区门户以及建筑转角处的平面设计示意图． (1)为避免冰箱内部制冷液逆流，要求运送过程中发生倾斜时，外包装的底面与地面的倾斜角不能超过，且底面至少有两个顶点与地面接触．外包装看作长方体，如图1所示，记长方体的纵截面为矩形，，，而客户家门高度为米，其他过道高度足够．若以倾斜角的方式进客户家门，小金能否将冰箱运送入客户家中？计算并说明理由． (2)由于客户选择以旧换新服务，小金需要将客户长方体形状的旧冰箱进行回收．为了省力，小金选择将冰箱水平推运(冰箱背面水平放置于带滚轮的平板车上，平板车长宽均小于冰箱背面）．推运过程中遇到一处直角过道，如图2所示，过道宽为米．记此冰箱水平截面为矩形，．设，当冰箱被卡住时(即点、分别在射线、上，点在线段上），尝试用表示冰箱高度的长，并求出的最小值，最后请帮助小金得出结论：按此种方式推运的旧冰箱，其高度的最大值是多少？（结果精确到） 【答案】(1)冰箱能够按要求运送入客户家中，理由见解析； (2)最小值为米，此情况下能推运冰箱高度的最大值为米. 【分析】（1）过A，D作水平线，作，由可得； （2）延长与直角走廊的边相交于、，由表示出，设进行换元，利用单调性即可求解. 【解析】（1）过A，D作水平线，作如图， 当倾斜角时，冰箱倾斜后实际高度（即冰箱最高点到地面的距离） ，                      故冰箱能够按要求运送入客户家中． （2）延长与直角走廊的边相交于、， 则，，， 又， 则，． 设， 因为，所以，所以， 则 ， 再令，则， 易知，在上单调递增， 所以单调递减， 故当，即，时，取得最小值. 由实际意义需向下取，此情况下能顺利通过过道的冰箱高度的最大值为米． 1.（2017·上海·高考真题）设，. (1)求函数的单调增区间； (2)设为锐角三角形，角所对的边，角所对的边.若，求的面积. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由，，令求解； （2）由可得，再利用余弦定理求得c，再利用求解. 【解析】（1）解：，， 令，解得， 所以其单调增区间为. （2）由即， 因为是锐角，所以，得，即. 由余弦定理，，整理得，解得或. 当时，，最大角是钝角，为钝角三角形，舍去； 当时，，最大角是锐角，为锐角三角形，符合题意. . 2.（2006·上海·高考真题）如图，当甲船位于处时获悉，在其正东方向相距20海里的处有一艘渔船遇险．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西，相距10海里处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往处救援？（角度精确到） 【答案】乙船应朝北偏东约的方向沿直线前往处救援． 【分析】先由余弦定理得，再由正弦定理求解，即可求得乙船的方位. 【解析】根据题意，, 由余弦定理得 ， 由正弦定理得， 所以乙船应朝北偏东约的方向沿直线前往处救援． 7 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $$ 大题01 三角函数与解三角形 三角函数与解三角形是高考必考点。教改之前会考察解答题。最近两年的高考，主要以填空和选择形式出现，考察三角公式、解三角形及三角函数图像与性质，另外，近两年在填空题11题中考察实际应用问题的解决，主要考察把实际应用问题转化为解三角形的问题，体现数学与实际问题的结合. 但是，最近两年一模二模的解答题17与18题中，三角函数与解三角形仍然占据了很大的比重。 题型1 三角函数的图像与性质 （24-25高三上·上海·阶段练习）已知函数 (1)求的单调递增区间； (2)若的图像是由的图像向右平移单位长度得到，则当，求满足实数x的集合. 此类题型考察恒等变形和三角函数函数性质，涉及到三角恒等变形的公式比较多。 1、首先要通过降幂公式降幂，二倍角公式化角： （1）二倍角公式：sin 2α＝2sin αcos α (S2α)；cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α (C2α) （2）降幂公式：cos2α＝，sin2α＝， 2、再通过辅助角公式“化一”，化为 3、辅助角公式：asin α＋bcos α ＝sin(α＋φ)，其中tan φ＝. 4、最后利用三角函数图象和性质，求解计算： 一般将看做一个整体，利用换元法和数形结合的思想解题。 1．（24-25高三上·上海浦东新·期中）已知函数，其图象中两条相邻的对称轴之间的距离为． (1)求函数的解析式，并求出它的单调递减区间； (2)将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，当时，求方程的所有根之和． 2．（24-25高三上·上海·阶段练习）已知函数，． (1)若函数的图象关于轴对称，求的值，并求函数的单调减区间； (2)当时，若存在，使等式成立，求实数的取值范围． 3．（2025·上海·模拟预测）已知，. (1)若函数的最小正周期为，求的值； (2)当时，设.若函数和在上有相同的最大值，求的取值范围. 4．（23-24高三上·阶段练习）函数的部分图象如图所示． (1)求函数的解析式； (2)将函数的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求函数在上的值域． 5．（2024·上海静安·一模）已知向量，且. (1)求及； (2)记，求函数的最小值. 题型二：解三角形的边与角 （24-25高三上·上海·期中）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知． (1)求角B； (2)若△ABC的面积为，求a． 利用正、余弦定理求解三角形的边角问题，实质是实现边角的转化，解题的思路是： 1、选定理. （1）已知两角及一边，求其余的边或角，利用正弦定理； （2）已知两边及其一边的对角，求另一边所对的角，利用正弦定理； （3）已知两边及其夹角，求第三边，利用余弦定理； （4）已知三边求角或角的余弦值，利用余弦定理的推论； （5）已知两边及其一边的对角，求另一边，利用余弦定理； 2、巧转化：化边为角后一般要结合三角形的内角和定理与三角恒等变换进行转化；若将条件转化为边之间的关系，则式子一般比较复杂，要注意根据式子结构特征灵活化简. 3、得结论：利用三角函数公式，结合三角形的有关性质（如大边对大角，三角形的内角取值范围等），并注意利用数形结合求出三角形的边、角。 1．（2024·上海长宁·一模）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求角B的大小； (2)若的面积为，请判断的形状，并说明理由． 2．（24-25高三上·上海·阶段练习）在中，角的对边分别为.已知，，. (1)求的值; (2)求的值. 3．（24-25高三上·上海·阶段练习）在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c．设向量，，已知． (1)求角A的大小； (2)设D为边上一点，且，若，，求． 题型三：解三角形中周长面积 1.（24-25高三上·上海·期中）在中，角、、所对的边分别为、、，已知． (1)若，，求； (2)若，，求的周长． 2．（2024·上海杨浦·一模）已知的内角所对边的长度分别为. (1)若，求的面积； (2)若，求的值. 此题型实质是求三角形的边与角，解题的思路是： 1、由题型2类似，利用正余弦定理求角或求边. 2、利用面积公式求面积或求周长. 1.（2023·上海松江·一模）在三角形中，内角所对边分别为，已知. (1)求角的大小； (2)若，三角形的面积为，求三角形的周长. 2．（2023·上海·三模）已知在中，角所对的边分别为，且满足． (1)若，求的面积； (2)求的最大值，并求其取得最大值时的值． 题型四：解三角形中的最值范围 （2024·上海宝山·一模）在中，已知. (1)若且，求的面积； (2)若求的取值范围. 三角形中的最值范围问题的解题策略: ①基本不等式法 利用基本不等式求最值范围，主要结合余弦定理，可求周长及面积的题目，若要求解周长的范围时，还需利用三角形“两边之和大于第三边(任意三角形)” ②三角函数法 先利用正弦定理将边转化成角，然后利用A+B+C=π或者题干中角的关系，可将所求式子中的角统一成一个角，需要注意题干中对角有没有限制要求，利用角的范围求出范围 1.（2025·上海·模拟预测）在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且． (1)若，求a； (2)若，求的面积的最大值． 2．（24-25高三上·上海·阶段练习）在中，内角，，所对的边分别为，，，已知且为钝角， (1)求； (2)求的取值范围是． 3．（24-25高三上·上海·阶段练习）已知，，分别为三个内角，，的对边，且． (1)求； (2)若，且是锐角三角形，求的最大值． 4．（24-25高三上·上海·期中）已知函数，其中. (1)求函数的最小正周期及函数在区间上的最大值； (2)在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c且，，，求面积的大小. 5．（24-25高三上·上海虹口·阶段练习）已知，. (1)若函数在区间上是严格增函数，求实数的取值范围； (2)设的三边分别是，若，，求的取值范围. 题型五：解三角形的实际应用 （24-25高三上·上海松江·期末）为了打造美丽社区，某小区准备将一块由一个半圆和长方形组成的空地进行美化，如图，长方形的边为半圆的直径，O为半圆的圆心，，现要将此空地规划出一个等腰三角形区域（底边）种植观赏树木，其余区域种植花卉．设，．    (1)当时，求的面积； (2)求三角形区域面积的最大值． 求解实际应用题，关键是梳理条件和所求问题的类型,然后将数据化归到三角形中,利用正弦定理或余弦定理建立已知和所求的关系， 具体解题思路如下: (1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解; (2)寻找各个三角形之间的联系,交叉使用公共条件,求出结果. 注意：做题过程中,要用到平面几何中的一些知识点,如相似三角形的边角关系、平行四边形的一些性质,要把这些性质与正弦、余弦定理有机结合,才能顺利解决问题. 1．（2022·上海松江·二模）如图，农户在100米，米的长方形地块上种植向日葵，并在处安装监控摄像头及时了解向日葵的生长情况.监控摄像头可捕捉到图象的角度范围为，其中点，分别在长方形的边，上，监控的区域为四边形.记 (1)当时，求，两点间的距离；（结果保留整数） (2)问当取何值时，监控区域四边形的面积最大？最大值为多少？（结果保留整数） 2．（24-25高三上·上海·阶段练习）如图，在同一平面上，，点为线段的中点，曲线段上所有点到点的距离都相等，点在曲线段上，且.已知为曲线段上的一个动点，点与点关于直线对称. (1)若点与点重合，求的大小; (2)求点在何处时，五边形的面积取得最大值，并求出该最大值. 3．（23-24高三下·上海·阶段练习）如图，某公园有一三角形的花坛，已知围栏长5米，长7米，，拟在该花坛中修建一条直围栏（即线段，点分别在三角形的两边上），以种植两种不同颜色的菊花供游客观赏，花坛设计者希望通过围栏实现两种菊花的种植面积相等且同一时刻花坛边游客近距离赏花的人数的最大值相等.试问：在的边上是否存在两点，使得线段既平分的面积又平分其周长？若存在，求出所有满足要求的点的位置（结果精确到0.1米）；若不存在，请说明理由. 4．（23-24高三上·上海浦东新·阶段练习）某中学为美化校园将一个半圆形边角地改造为花园．如图所示，为圆心，半径为千米，点、、都在半圆弧上，设，，其中． (1)若在花园内铺设一条参观的线路，由线段、、三部分组成，求当取何值时，参观的线路最长； (2)若在花园内的扇形和四边形内种满杜鹃花，求当取何值时，杜鹃花的种植总面积最大． 5．（23-24高三上·上海静安·期末）如下图，某公园东北角处有一座小山，山顶有一根垂直于水平地平面的钢制笔直旗杆，公园内的小山下是一个水平广场（虚线部分）．某高三班级数学老师留给同学们的周末作业是：进入该公园，提出与测量有关的问题，在广场上实施测量，并运用数学知识解决问题．老师提供给同学们的条件是：已知米，规定使用的测量工具只有一只小小的手持激光测距仪 （如下图，该测距仪能准确测量它到它发出的激光投射在物体表面上的光点之间的距离）．      (1)甲同学来到通往山脚下的笔直小路上，他提出的问题是：如何测量小山的高度？于是，他站在点处，独立的实施了测量，并运用数学知识解决了问题．请写出甲同学的解决问题方案，并用假设的测量数据（字母表示）表示出小山的高度； (2)乙同学是在一阵大风过后进入公园的，广场上的人纷纷议论：旗杆似乎是由于在根部处松动产生了倾斜．她提出的问题是：如何检验旗杆是否还垂直于地面？并且设计了一个不用计算就能解决问题的独立测量方案．请你写出她的方案，并说明理由； (3)已知（1）中的小路是东西方向，且与点所确定的平面垂直于地平面．又已知在（2）中的乙同学已经断定旗杆大致向广场方向倾斜．如果你是该班级的同学，你会提出怎样的有实际意义的问题？请写出实施测量与解决问题的方案，并说明理由 （如果需要，可通过假设的测量数据或运算结果列式说明，不必计算）． 6．（23-24高三上·上海浦东新·期末）某街道规划建一座口袋公园．如图所示，公园由扇形区域和三角形区域组成．其中三点共线，扇形半径为30米．规划口袋公园建成后，扇形区域将作为花草展示区，三角形区域作为亲水平台区，两个区域的所有边界修建休闲步道． (1)若，，求休闲步道总长（精确到米）； (2)若，在前期民意调查时发现，绝大部分街道居民对亲水平台区更感兴趣．请你根据民意调查情况，从该区域面积最大或周长最长的视角出发，选择其中一个方案，设计三角形的形状． 1．（2024·上海·三模）已知的内角，，的对边分别为，，，且． (1)求的值； (2)若，求面积的最大值． 2．（2024·上海闵行·二模）在锐角中，角所对边的边长分别为，且. (1)求角； (2)求的取值范围. 3.（2024·上海虹口·一模）设． (1)当函数的最小正周期为时，求在上的最大值； (2)若，且在中，角、、所对的边长为、、，锐角满足，，求的最小值． 4．（2024·上海松江·二模）设，函数图象的两条相邻对称轴之间的距离为． (1)求函数的解析式； (2)在中，设角、及所对边的边长分别为、及，若，，，求角． 5．（2024·上海杨浦·二模）已知. (1)若的最小正周期为，判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)已知，中，，，分别是角，，所对的边，若，，，求的值. 6.（2024·上海嘉定·二模）在中，角、、的对边分别为、、，． (1)求角，并计算的值； (2)若，且是锐角三角形，求的最大值． 7.（2024·上海青浦·二模）对于函数，其中，． (1)求函数的单调增区间； (2)在锐角三角形中，若，，求的面积． 8.（2023·上海徐汇·一模）2023年杭州亚运会首次启用机器狗搬运赛场上的运动装备． 如图所示，在某项运动赛事扇形场地中，，米，点是弧的中点，为线段上一点（不与点，重合）．为方便机器狗运输装备，现需在场地中铺设三条轨道，，．记，三条轨道的总长度为米． (1)将表示成的函数，并写出的取值范围； (2)当三条轨道的总长度最小时，求轨道的长． 9.（2023·上海金山·一模）网络购物行业日益发达，各销售平台通常会配备送货上门服务．小金正在配送客户购买的电冰箱，并获得了客户所在小区门户以及建筑转角处的平面设计示意图． (1)为避免冰箱内部制冷液逆流，要求运送过程中发生倾斜时，外包装的底面与地面的倾斜角不能超过，且底面至少有两个顶点与地面接触．外包装看作长方体，如图1所示，记长方体的纵截面为矩形，，，而客户家门高度为米，其他过道高度足够．若以倾斜角的方式进客户家门，小金能否将冰箱运送入客户家中？计算并说明理由． (2)由于客户选择以旧换新服务，小金需要将客户长方体形状的旧冰箱进行回收．为了省力，小金选择将冰箱水平推运(冰箱背面水平放置于带滚轮的平板车上，平板车长宽均小于冰箱背面）．推运过程中遇到一处直角过道，如图2所示，过道宽为米．记此冰箱水平截面为矩形，．设，当冰箱被卡住时(即点、分别在射线、上，点在线段上），尝试用表示冰箱高度的长，并求出的最小值，最后请帮助小金得出结论：按此种方式推运的旧冰箱，其高度的最大值是多少？（结果精确到） 1.（2017·上海·高考真题）设，. (1)求函数的单调增区间； (2)设为锐角三角形，角所对的边，角所对的边.若，求的面积. 2.（2006·上海·高考真题）如图，当甲船位于处时获悉，在其正东方向相距20海里的处有一艘渔船遇险．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西，相距10海里处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往处救援？（角度精确到） 7 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $$