第86天 搞定切线问题（6考点）-【决战高考】2025年高考数学百日冲刺（直击考点抢分秘籍）

第86天-搞定切线问题（6考点） 第86天寄语： 命运从不会辜负那些把笔杆握到发烫的人。 识·必备知识 导数的几何意义 函数在处的导数就是曲线在点处的切线的斜率，即． 直线的点斜式方程 直线的点斜式方程：已知直线过点，斜率为，则直线的点斜式方程为： 【注】曲线的切线的求法：若已知曲线过点P(x0，y0)，求曲线过点P的切线，则需分点P(x0，y0)是切点和不是切点两种情况求解． （1）当点P(x0，y0)是切点时，切线方程为； （2）当点P(x0，y0)不是切点时，可分以下几步完成： 第一步：设出切点坐标； 第二步：写出过的切线方程为； 第三步：将点P的坐标(x0，y0)代入切线方程求出x1； 第四步：将x1的值代入方程，可得过点P(x0，y0)的切线方程． 公切线问题 公切线是同时与两条曲线相切的直线，需满足： 该直线是两条曲线的切线； 切点处的导数（斜率）相等； 直线方程在两个切点处一致。截距相同 明·直击考点 序号 考点 考点01 在点处的切线方程 考点02 过点处的切线方程 考点03 公切线问题 考点04 多切线问题 考点05 切线条数 考点06 切线中的恒成立问题 考点01 在点处的切线方程 通·模考通透 1．（2024·山东泰安·模拟预测）已知函数，则曲线在处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·广东深圳·模拟预测）已知函数是奇函数，则曲线在处的切线的方程为（     ） A． B． C． D． 3．（2024·陕西西安·三模）已知函数则在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 考点02 过点处的切线方程 通·模考通透 4．（2025·新疆·模拟预测）曲线过点的切线方程为 . 5．（2024·江西景德镇·一模）过点且与曲线相切的直线方程是（   ） A． B． C． D． 6．（2024·新疆·二模）过点且与曲线相切的直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 考点03 公切线问题 通·模考通透 7．（2024·四川宜宾·模拟预测）若曲线在处的切线也是曲线的切线，则（    ） A． B．1 C． D． 8．（2024·全国·模拟预测）已知函数，若直线是曲线与曲线的公切线，则的方程为（    ） A． B． C． D． 9．（2024·福建·模拟预测）已知直线既是曲线的切线，也是曲线的切线，则（　　） A．， B．， C．， D．， 10．（2024·四川成都·二模）直线与函数和的图象都相切，则（   ） A．2 B． C． D． 11．（2024·海南·模拟预测）若函数与的图象有且只有一条公切线，则实数的值为（    ） A． B．1 C．2 D．4 12．（2024·广东茂名·一模）曲线与曲线有公切线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 考点04 多切线问题 通·模考通透 13．（2024·内蒙古·三模）若过点可以作曲线的两条切线，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 14．（23-24高二下·辽宁本溪·期中）若过点可以作曲线的两条切线，则（    ） A． B． C． D． 15．（2024·湖南邵阳·三模）若过点可以作曲线的两条切线，则（    ） A． B． C． D． 16．（2024·江苏徐州·模拟预测）若曲线与，恰有2条公切线，则（   ） A． B． C． D． 17．（2024·福建泉州·模拟预测）若曲线与恰有两条公切线，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 18．（2024·四川内江·模拟预测）若过点可以作两条直线与曲线相切，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 19．（2025·江西新余·模拟预测）过轴上一点可以作函数图像的3条切线，则的取值范围是：（    ）. A． B． C． D． 20．（2024·山东·模拟预测）若过点可以作的三条切线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 21．（2024·辽宁·模拟预测）若至少存在一条直线与曲线和均相切，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 考点05 切线条数 通·模考通透 22．（2024·全国·模拟预测）过坐标原点作曲线的切线，则切线共有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 23．（24-25高三上·河北承德·开学考试）过点可作曲线的切线条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．0 考点06 切线中的恒成立问题 通·模考通透 24．（2024·四川眉山·三模）若关于的不等式恒成立，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 25．（2024·广东广州·模拟预测）已知直线恒在曲线的上方，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 练·抢分演练 一、填空题 1．（2025·广东·一模）曲线在点处的切线方程为 . 2．（2025·河南郑州·模拟预测）已知直线l与函数均相切，则l的方程为 . 3．（2025·浙江·一模）在动画和游戏开发中，相切的曲线可生成平滑的角色路径和物体表面.若两条曲线在公共点处有相同的切线，且曲线不重合，则称两条曲线相切.设两抛物线与相切，则 . 4．（2025·福建漳州·模拟预测）若曲线在处的切线也是曲线的切线，则实数 ． 5．（2025·黑龙江·模拟预测）若过点可作出曲线的三条切线，则的取值范围是 6．（2025·浙江·模拟预测）设函数，若曲线在点处的切线与抛物线有且仅有一个公共点，则的值为 . 二、单选题 7．（2025·新疆·模拟预测）已知函数图象过点且在该点处的切线的斜率为1，则（    ） A．1 B． C． D． 8．（2025·陕西渭南·一模）已知则曲线在处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为（    ） A． B． C． D．2 9．（2025·广东佛山·一模）若直线与曲线相切，则的最小值为（    ） A． B．1 C． D．2 10．（2025·广东惠州·模拟预测）已知，若点为曲线与曲线的交点，且两条曲线在点处的切线重合，则实数的最大值为（    ） A． B． C． D． 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第86天-搞定切线问题（6考点） 第86天寄语： 命运从不会辜负那些把笔杆握到发烫的人。 识·必备知识 导数的几何意义 函数在处的导数就是曲线在点处的切线的斜率，即． 直线的点斜式方程 直线的点斜式方程：已知直线过点，斜率为，则直线的点斜式方程为： 【注】曲线的切线的求法：若已知曲线过点P(x0，y0)，求曲线过点P的切线，则需分点P(x0，y0)是切点和不是切点两种情况求解． （1）当点P(x0，y0)是切点时，切线方程为； （2）当点P(x0，y0)不是切点时，可分以下几步完成： 第一步：设出切点坐标； 第二步：写出过的切线方程为； 第三步：将点P的坐标(x0，y0)代入切线方程求出x1； 第四步：将x1的值代入方程，可得过点P(x0，y0)的切线方程． 公切线问题 公切线是同时与两条曲线相切的直线，需满足： 该直线是两条曲线的切线； 切点处的导数（斜率）相等； 直线方程在两个切点处一致。截距相同 明·直击考点 序号 考点 考点01 在点处的切线方程 考点02 过点处的切线方程 考点03 公切线问题 考点04 多切线问题 考点05 切线条数 考点06 切线中的恒成立问题 考点01 在点处的切线方程 通·模考通透 1．（2024·山东泰安·模拟预测）已知函数，则曲线在处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出，求导，得到，根据导数几何意义求出切线方程. 【详解】，， 故， 故在处的切线方程为，即. 故选：B 2．（2025·广东深圳·模拟预测）已知函数是奇函数，则曲线在处的切线的方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用函数的奇偶性求出，然后求解函数的导数，得到切线的斜率，然后求解切点坐标，得到切线方程． 【详解】由函数的定义域为，且是奇函数， 则，即，解得， 于是，求导得，则，而， 所以曲线在处的切线的方程为：，即. 故选：B 3．（2024·陕西西安·三模）已知函数则在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分段函数结合导函数求出，再根据点斜式得出直线方程. 【详解】当时，， 当时，，则， 所以，． 则所求的切线方程为，即． 故选：B. 考点02 过点处的切线方程 通·模考通透 4．（2025·新疆·模拟预测）曲线过点的切线方程为 . 【答案】 【分析】求导，根据点斜式求解直线方程，代入即可求解，进而可求解. 【详解】设切点为，则， 故切线方程为， 将代入可得，解得， 故切线方程为，即， 故答案为： 5．（2024·江西景德镇·一模）过点且与曲线相切的直线方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据导数几何意义以及斜率公式，计算可得切点坐标，即可求得切线方程. 【详解】，点不在曲线上， 设切点为，则， 解得：，得切点，则 切线方程为：， 故选：． 6．（2024·新疆·二模）过点且与曲线相切的直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】先设过点的切线，再根据点在曲线上及切线斜率等于导数值解方程即可求值进而求出切线. 【详解】设过点的曲线的切线为： ， 有, 解得或, 代入可得或. 故选： 考点03 公切线问题 通·模考通透 7．（2024·四川宜宾·模拟预测）若曲线在处的切线也是曲线的切线，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】求出的导数，求得切线的斜率为1，可得切线方程，再设与曲线相切的切点为，求得函数的导数，由导数的几何意义求出切线的斜率，解方程可得的值，进而得到的值. 【详解】由曲线，得， 在处的切线斜率为，当时，， 曲线在处的，即， 曲线，导数为， 设切点为，则，解得，切点在切线上， 即有，得. 故选：A. 8．（2024·全国·模拟预测）已知函数，若直线是曲线与曲线的公切线，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设与相切于点，与相切于点，利用导数的几何意义，得到和，再由，求得，得到，令，利用导数求得函数的单调性与最值，求得，即可求解. 【详解】设与曲线相切于点，与相切于点， 由，可得的斜率，所以①， 又由，可得，所以，即②， 又因为③， 将②③代入①中，可得，由③易知，,则④， 将④代入③，可得，则， 令，则，当时，单调递减； 当时，单调递增．所以，当且仅当时取等号， 故，可得，所以， 所以的方程为，即． 故选：B． 【点睛】方法技巧：对于利用导数解决函数综合问题问题的求解策略： 1、合理转化，根据题意转化为两个函数的最值之间的比较，列出不等式关系式求解； 2、构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； 3、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 4、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 9．（2024·福建·模拟预测）已知直线既是曲线的切线，也是曲线的切线，则（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】设出切点，写出切线方程，利用对应系数相等建立方程，解出即可. 【详解】设直线与曲线的切点为且， 与曲线的切点为且， 又，， 则直线与曲线的切线方程为，即， 直线与曲线的切线方程为，即， 则，解得，故， 故选：A. 10．（2024·四川成都·二模）直线与函数和的图象都相切，则（   ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】设直线与函数的切点为，与函数的切点为，根据导数的几何意义即切点的坐标，可求的值. 【详解】设直线与函数的切点为，则. 设直线与函数的切点为，则. 由； 由，； 由. 由，所以. 故选：D 11．（2024·海南·模拟预测）若函数与的图象有且只有一条公切线，则实数的值为（    ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】B 【分析】设公切线与函数,的图象分别切于点，求出，，可得公切线方程为和，则有，可得，令，利用导数可得，则，即可解得实数的值. 【详解】设公切线与函数,的图象分别切于点， 因为，所以， 所以公切线方程为， 即， 因为，所以， 所以公切线方程为， 即， 因为函数与的图象有且只有一条公切线， 所以，由 得, 代入， 则， 整理得， 令，则， 当时，，则函数单调递增， 当时，，则函数单调递减， 所以时，， 则当时， 函数与的图象有且只有一条公切线， 即，解得. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：因为函数与的图象有且只有一条公切线，设切点分别为，分别得出与的公切线后，通过斜率，纵截距相等得到方程组，得到关于和的关系后，利用导数得到关于的函数的最大值，即可得到的值. 12．（2024·广东茂名·一模）曲线与曲线有公切线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别求出两曲线的切线方程，再构造函数，利用导数求得单调性和最值，即可求得的取值范围. 【详解】两个函数求导分别为， 设，图象上的切点分别为，， 则过这两点处的切线方程分别为，， 则，，所以， 设，，， 令，所以， 所以在上单调递增，且， 则在上单调递减，在上单调递增， 所以，. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是，利用公切线的定义得到，从而构造函数即可得解. 考点04 多切线问题 通·模考通透 13．（2024·内蒙古·三模）若过点可以作曲线的两条切线，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设出切点，求导，利用导数几何意义求出切线方程，代入，得到，构造，求导，得到函数单调性，从而得到，结合当时，，当时，，从而得到答案. 【详解】在曲线上任取一点，对函数求导，得， 所以曲线在点处的切线方程为. 由题意可知，点在直线上，可得. 令，则. 当时，单调递减， 当时，单调递增， 所以，且当时，，当时，， 又直线与曲线的图象有两个交点， 所以的取值范围为. 故选：C 14．（23-24高二下·辽宁本溪·期中）若过点可以作曲线的两条切线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设切点点，写出切线方程，将点代入切线方程得，此方程有两个不同的解，利用导数求b的范围. 【详解】在曲线上任取一点， ， 所以曲线在点处的切线方程为. 由题意可知，点在直线上，可得， 令函数， 则. 当时，，此时单调递减， 当时，，此时单调递增， 所以. 设， 所以， 所以当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 所以， 所以， 所以， 当时，，所以， 当时，，所以， 的图象如图： 由题意可知，直线与的图象有两个交点，则. 故选：B 15．（2024·湖南邵阳·三模）若过点可以作曲线的两条切线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设切点坐标为，由切点坐标求出切线方程，代入坐标，关于的方程有两个不同的实数解，变形后转化为直线与函数图象有两个交点，构造新函数由导数确定函数的图象后可得. 【详解】因为，则， 设切点坐标为，则切线斜率， 则切线方程为，整理得， 又因为切线过点，则， 设，函数定义域是， 则直线与曲线有两个不同的交点， 则， 当时，恒成立，在定义域内单调递增，不合题意； 当时，令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则，且当趋近于或时，趋近于，    结合图象可知； 综上所述：. 故选：B. 16．（2024·江苏徐州·模拟预测）若曲线与，恰有2条公切线，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设在曲线上的切点为，求出切线方程，设该切线方程与曲线相交于点，由此可得，再利用导数研究函数的性质，结合题意即可得出答案． 【详解】设在曲线上的切点为， 由，可得过点的切线斜率为， 此时切线方程为，即， 设切线与曲线相交于点，， 则， 消去，可得， 依题意，直线与函数的图象有两个不同的交点， 令， 解得或， 令，解得， 则函数在，上单调递增，在上单调递减， 故，且恒成立，当且仅当时等号成立，当时，， 要使直线与函数的图象有两个不同的交点， 则需，解得． 故选：B． 【点睛】方法点睛：利用导数的几何意义，分别写出两曲线的切线方程，让两切线方程的系数相等，得到方程组，消去一个变量后，问题转化为方程的根的个数问题，构造函数，利用导数研究其性质，即可得结论． 17．（2024·福建泉州·模拟预测）若曲线与恰有两条公切线，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设曲线切点为，的切点为，求出切线方程，根据有两条公切线转化为方程具有两个解，构造函数利用导数求解取值范围，判断选项. 【详解】设曲线切点为，的切点为， 则曲线在点处的切线方程为，即， 同理，在点处的切线方程为， 根据与有两条公切线， 则，所以，化简可得 具有两个交点， 转化为有两个解，构造函数，则， 当，，单调递增；当，，单调递减， 故在时有极大值即为最大值，故， 当时，，当时，， 故的取值范围为， 故选：A 18．（2024·四川内江·模拟预测）若过点可以作两条直线与曲线相切，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设切点，根据切线经过点，得到，令，转化为与有两个不同的交点求解. 【详解】设切点， 因为，所以， 所以点P处的切线方程为， 又因为切线经过点， 所以，即， 令， 则与有两个不同的交点， ， 当时，恒成立，所以单调递增，不合题意； 当时，当时，，当时，， 所以，则，即， 故选：B 19．（2025·江西新余·模拟预测）过轴上一点可以作函数图像的3条切线，则的取值范围是：（    ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设出切线方程，将点代入切线方程，转化为交点问题，结合导数分析函数单调性，求出参数范围即可. 【详解】因为，所以， 设切点为，则切线方程， 而过，将代入方程得到， 令，， 令，，此时单调递减， 令，，此时单调递增， 故有极小值，有极大值， 则得到，故A正确. 故选：A. 20．（2024·山东·模拟预测）若过点可以作的三条切线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设出切点坐标，求导并利用导数的几何意义求出切线方程，用表示出，再构造函数，利用导数探讨函数图象性质，进而求出的范围. 【详解】依题意，设切点坐标为，由，求导得， 则函数的图象在点处的切线方程为， 由切线过点，得， 令，依题意，直线与函数的图象有3个公共点， ，当或时，，当时，， 则函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，函数取得极小值，而当时，恒有， 又，因此当时，直线与函数的图象有3个公共点， 所以实数的取值范围是. 故选：B 【点睛】关键点点睛：涉及导数的几何意义的问题，求解时应把握导数的几何意义是函数图象在切点处的切线斜率，切点未知，设出切点是解题的关键. 21．（2024·辽宁·模拟预测）若至少存在一条直线与曲线和均相切，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别假设公切线的切点，然后根据题意列出方程并化简，进而转化为两个函数有交点即可. 【详解】，设公切线与曲线相切于点，与曲线相切于点， 则切线方程分别为，， 所以 由①得， 代入②得． 令， 则， 所以当时，，当时，， 所以在区间内单调递减，在区间内单调递增， 所以， 又当时，， 所以的值域为， 所以的取值范围是． 故选：D． 考点05 切线条数 通·模考通透 22．（2024·全国·模拟预测）过坐标原点作曲线的切线，则切线共有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】A 【分析】利用导数求出斜率，结合斜率公式列方程求出切点坐标即可得解. 【详解】设切点为， 由可得， 则过坐标原点的切线的斜率， 故，即， 解得，故过坐标原点的切线共有1条． 故选：A． 23．（24-25高三上·河北承德·开学考试）过点可作曲线的切线条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．0 【答案】B 【分析】根据导数的几何意义，结合该点是不是切点分类讨论进行求解即可. 【详解】由， 当点是切点时，此时切线的斜率为，此时有一条切线； 当点不是切点时，设切点为，则切线的斜率为， 切线方程为：，该切线过点， 于是有 或（舍去）， 综上所述：过点可作曲线的切线条数为， 故选：B 考点06 切线中的恒成立问题 通·模考通透 24．（2024·四川眉山·三模）若关于的不等式恒成立，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将不等式化为恒成立，即的图象恒在的图象的上方，利用导数研究函数，依题意得出当直线与在点处相切时取得最大值得结果. 【详解】依题意，，不等式化为， 设，则， 当时，单调递增； 当时，单调递减， 所以在处取得极大值，也即最大值，又时，， 由题知不等式恒成立，所以的图象恒在的图象 的上方，显然不符题意；当时，为直线的横截距， 其最大值为的横截距，再令，可得，且当直线与 在点处相切时，横截距取得最大值， 此时，切线方程为，所以取得最大值为. 故选：C.    【点睛】关键点点睛：本题关键点是将不等式化为恒成立，看作是的图象恒在的图象的上方，通过利用导数研究函数图像解决问题. 25．（2024·广东广州·模拟预测）已知直线恒在曲线的上方，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设直线与曲线切于点，根据题意由在直线上方，由求解. 【详解】解：设直线与曲线切于点， 则， 所以切线方程为， 所以，， 所以， 设，， 当时，，当时，， 即在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以. 故选：A. 练·抢分演练 一、填空题 1．（2025·广东·一模）曲线在点处的切线方程为 . 【答案】 【分析】先求出导函数，进而得出切线斜率，最后应用点斜式得出切线方程. 【详解】因为在点处的切线方程斜率为， 曲线在点处的切线方程为，即得. 故答案为：. 2．（2025·河南郑州·模拟预测）已知直线l与函数均相切，则l的方程为 . 【答案】 【分析】由导数的意义求出公切线的斜率，再根据斜率定义求出斜率值，然后由点斜式得到直线方程. 【详解】， 由题意可得切线的斜率存在，设为， 由导数的意义可得，即，又，所以切点， ，即，又，所以切点为， 又由斜率定义可得， 所以切点为，所以，即l的方程为. 故答案为：. 3．（2025·浙江·一模）在动画和游戏开发中，相切的曲线可生成平滑的角色路径和物体表面.若两条曲线在公共点处有相同的切线，且曲线不重合，则称两条曲线相切.设两抛物线与相切，则 . 【答案】/0.375 【分析】由题意得出两抛物线在第一象限相切，设两抛物线的公共切点为，借助导数，求出两条曲线在该点处的切线斜率，利用斜率相等建立方程求出切点坐标，代入函数即可得解. 【详解】 由题意可知，两抛物线与只可能在第一象限相切； 设两个抛物线相切于，在该点处的切线的斜率为， 抛物线在第一象限的图象为函数在第一象限的图象, 函数在该点处的切线的斜率为：， 所以有，解方程得：， 所以切点为代入，解得. 故答案为： 4．（2025·福建漳州·模拟预测）若曲线在处的切线也是曲线的切线，则实数 ． 【答案】2 【分析】利用导数的几何意义得到斜率，进而写出切线方程，再联立方程组，令判别式为，得到，求解参数即可. 【详解】令，则，故切点为， 设切线斜率为，而，则， 则曲线在处的切线方程为， 由题意得曲线在处的切线也是曲线的切线， 联立方程组，， 得到，则，解得. 故答案为：2 5．（2025·黑龙江·模拟预测）若过点可作出曲线的三条切线，则的取值范围是 【答案】 【分析】由导数法得过的切线方程为，由过点可作曲线的三条切线得有3个不等实根，令，由导数法讨论单调性与极值，由数形结合得出范围即可. 【详解】，则过的切线为，即. 由过点可作曲线的三条切线得有3个不等实根. 令，，由得或. 当或，，单调递增；当，，单调递减； 故当时，函数取得极大值为；当时，函数取得极小值为. 要使有3个不等实根，则，即得，即所求m的取值范围是. 故答案为：. 6．（2025·浙江·模拟预测）设函数，若曲线在点处的切线与抛物线有且仅有一个公共点，则的值为 . 【答案】1 【分析】应用导数几何意义求切线方程，联立抛物线得，结合交点个数有，即有，令并应用导数研究的零点，即可求. 【详解】由题设，则，且， 所以曲线在点处的切线为， 联立抛物线，得，则， 由切线与抛物线有一个公共点，则， 所以且，则， 令，则，即， 若且，则， 若，则在上恒成立， 所以在上单调递增，且， 在上，单调递减，在上，单调递增，且， 综上，. 故答案为：1 【点睛】关键点点睛：首先求出切线方程并联立抛物线，根据得到为关键. 二、单选题 7．（2025·新疆·模拟预测）已知函数图象过点且在该点处的切线的斜率为1，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据和求出即可求解. 【详解】依题意有，， 又，即， ，，. 故选：D. 8．（2025·陕西渭南·一模）已知则曲线在处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】首先对原函数求导并结合赋值法求解原函数，再利用导数求出切线方程，求出切线和坐标轴的交点，最后得到三角形面积即可. 【详解】因为，所以， 令，得到， 化简得，解得， 代入回原函数得到， 而，故切点为， 而，， 设曲线在处的切线斜率为， 由导数的几何意义得， 故切线方程为，化简得， 令，得到，所以与轴交点为， 令，得到，所以与轴交点为， 且设三角形面积为，故，故A正确. 故选：A 9．（2025·广东佛山·一模）若直线与曲线相切，则的最小值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】通过设切点，利用导数的几何意义列出等式，再利用二次函数的性质求其最小值. 【详解】设直线与曲线的切点为. 对求导，根据，可得. 因为直线的斜率为，由导数的几何意义可知， 在切点处，即. 又因为切点既在直线上又在曲线上， 所以且，即. 将代入可得：，即. 将代入可得： ， 所以当，时，取得最小值为. 故选：A 10．（2025·广东惠州·模拟预测）已知，若点为曲线与曲线的交点，且两条曲线在点处的切线重合，则实数的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设点的横坐标为，由导数几何意义得，进而求得，接着由切点为两曲线公共点得，从而构造函数求出函数的最大值即为解. 【详解】由可得，由得， 设点的横坐标为，则点处切线斜率，解得或（舍）， 由点为曲线与曲线的交点， 所以与为同一点， 所以，即， 令，则， 令可得，由知，当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，故实数的最大值为. 故选：B. 【点睛】关键点睛：解决本题的关键是利用导数几何意义和点为两曲线交点求得，进而再构造函数利用导数即可求解. 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$