第85天 搞定导数小题综合（12考点）-【决战高考】2025年高考数学百日冲刺（直击考点抢分秘籍）

第85天-搞定导数小题综合（12考点） 第85天寄语： 青春是一本太仓促的书，而高考是其中浓墨重彩的一章。 识·必备知识 1. 导函数与原函数的关系 单调递增，单调递减 2. 极值 （1） 极值的定义 在处先↗后↘，在处取得极大值 在处先↘后↗，在处取得极小值 3. 两招破解不等式的恒成立问题 (1)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max； (2)a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min. (1)分离参数法 第一步：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题； 第二步：利用导数求该函数的最值； 第三步：根据要求得所求范围． (2)函数思想法 第一步将不等式转化为含待求参数的函数的最值问题； 第二步：利用导数求该函数的极值； 第三步：构建不等式求解． 4. 构造函数的重要依据 5. 常见构造类型 6. 常见的指对放缩 ，，， 7. 常见的三角函数放缩 8. 其他放缩 ，， ，， ， ， 明·直击考点 序号 考点 考点01 具体函数的单调性 考点02 函数单调性求参数 考点03 证明单调性解不等式 考点04 比大小 考点05 函数极值最值求参数 考点06 导数与函数零点 考点07 导数与方程的根 考点08 导数与恒成立 考点09 导数与能成立 考点10 导数与整数解 考点11 导数新定义 考点12 导数多选题 考点01 具体函数的单调性 通·模考通透 1．（2024·湖南怀化·二模）已知，则的单调增区间为 ． 2．（2023·全国·模拟预测）已知函数，则的单调递增区间为（ ） A． B． C． D． 3．（2024·浙江·模拟预测）函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 考点02 函数单调性求参数 通·模考通透 4．（2024·河南·模拟预测）若函数的减区间为，则的值为 . 5．（2024·云南昆明·模拟预测）已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（    ） A． B． C．e D． 考点03 证明单调性解不等式 通·模考通透 6．（2024·四川泸州·一模）已知函数，则满足的的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．（2024·海南海口·模拟预测）已知定义在上的函数，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（2025·云南昆明·模拟预测）设函数，则使得成立的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 考点04 比大小 通·模考通透 9．（2024·四川雅安·三模）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 10．（2024·吉林长春·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C． D． 11．（2024·湖北·模拟预测）已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 12．（2024·全国·模拟预测）已知：，，，那么三者的关系是（    ） A． B． C． D． 考点05 函数极值最值求参数 通·模考通透 13．（2024·上海·三模）若函数在上存在最小值，则实数a的取值范围是 ． 14．（2024·陕西铜川·三模）若函数有两个极值点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 15．（2024·陕西宝鸡·三模）若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 16．（23-24高三下·四川雅安·阶段练习）已知0为函数的极小值点，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 考点06 导数与函数零点 通·模考通透 17．（2024·陕西西安·模拟预测）若函数在区间内有两个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 18．（2024·广东佛山·二模）若函数（）有2个不同的零点，则实数的取值范围是 ． 19．（2024·河南驻马店·二模）已知函数的定义域为，若存在零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 20．（2024·辽宁·模拟预测）已知函数，若函数恰有5个不同的零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 21．（2024·四川·模拟预测）已知函数若函数有5个不同的零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 22．（2024·河南·模拟预测）已知，若函数没有零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 考点07 导数与方程的根 通·模考通透 23．（2024·四川攀枝花·二模）若关于的方程存在三个不等的实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 24．（2024·山西太原·二模）已知函数，若方程恰有三个不同实数根，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 25．（2024·贵州贵阳·一模）已知函数，若方程存在三个不相等的实根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 26．（2024·江西·模拟预测）已知不等式对任意恒成立，则实数a的最小值为（   ） A．－ B．1 C．0 D．－1 考点08 导数与恒成立 通·模考通透 27．（2024·广东珠海·一模）若不等式对一切恒成立，其中，e为自然对数的底数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 28．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）函数.若对任意，都有，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 29．（2024·陕西安康·模拟预测）若存在，使得不等式成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 考点09 导数与能成立 通·模考通透 30．（2024·全国·模拟预测）已知函数在上存在单调递减区间，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 31．（2024·全国·模拟预测）若关于的不等式在内有解，则正实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 考点10 导数与整数解 通·模考通透 32．（2024·安徽·一模）已知函数，若不等式的解集中恰有两个不同的正整数解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 33．（2023·四川达州·一模）已知，，若不等式的解集中只含有个正整数，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 34．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知函数，若存在唯一的整数，使，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 考点11 导数新定义 通·模考通透 35．（2024·安徽·模拟预测）给出定义：若函数在D上可导，即存在，且导函数在D上也可导，则称在D上存在二阶导数，记.若在D上恒成立，则称在D上为凸函数.以下四个函数在上不是是凸函数的是（    ） A． B． C． D． 36．（2024·四川成都·模拟预测）人们很早以前就开始探索高次方程的数值求解问题，牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法——牛顿法，如图，在横坐标为的点处作的切线，该切线与x轴的交点为；在横坐标为的点处的切线与x轴的交点为；一直继续下去，得到，，，…，，它们越来越逼近的零点r．在一定精确度下，用四舍五入法取值，当，近似值相等时，该值可作为函数的一个零点r．用“牛顿法”求方程的近似解r，可以构造函数，若，得到该方程的近似解r约为 （精确到0.1）． 37．（2024·湖北·三模）若当时，无限趋近于一个确定的值，则称这个确定的值为二元函数在点处对x的偏导数，记为，即若当时，无限趋近于一个确定的值，则称这个确定的值为二元函数在点处对y的偏导数，记为，即已知二元函数，则的最小值为 . 考点12 导数多选题 通·模考通透 38．（2024·甘肃张掖·一模）函数，其中是常数，则（   ） A．当时，是增函数 B．若是的极大值点，则 C．若，且有2个零点，则 D．当时，有3个零点 39．（2025·四川德阳·二模）已知函数的导函数为（   ） A．若有三个零点，则 B． C．是的极小值点 D．当时，则 40．（2024·湖北黄冈·一模）已知，则下列结论正确的是（    ） A．当时，若有三个零点，则的取值范围是 B．当且时， C．若满足，则 D．若存在极值点，且，其中，则 练·抢分演练 一、单选题 1．（2025·新疆·模拟预测）已知函数在处有极小值，则极大值为（    ） A．32 B．1 C． D．0 2．（2025·陕西咸阳·一模）已知在区间内存在2个极值点，则实数a的取值范围为（   ）． A． B． C． D． 3．（2025·云南昭通·一模）已知函数（，）在处取得极值，则（    ） A． B．是的极大值点 C． D．的最大值为2 4．（2025·浙江·一模）已知函数，，有恒成立，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（2025·新疆·模拟预测）已知分别为上的奇函数和偶函数，且满足，当时，，若，则大小关系为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 6．（2025·四川·二模）函数，向右平移3个单位得到，下列说法正确的是（    ） A．的极小值点为 B．当有两解时， C．若，，则 D．若，那么，且有且仅有一解 7．（2025·山西·一模）已知，其中，且，，若恒成立，则（   ） A． B．是的极小值点 C．在上单调递减 D．在上单调递增 三、填空题 8．（2025·安徽·模拟预测）设函数（），若在上的最大值恒大于4，则实数的取值范围为 . 9．（2025·山西·一模）设，若函数在区间上单调，则的取值范围是 ． 10．（2025·江苏苏州·模拟预测）已知函数，若在有唯一的极值点且为极大值点，则a的取值范围为 . 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第85天-搞定导数小题综合（12考点） 第85天寄语： 青春是一本太仓促的书，而高考是其中浓墨重彩的一章。 识·必备知识 1. 导函数与原函数的关系 单调递增，单调递减 2. 极值 （1） 极值的定义 在处先↗后↘，在处取得极大值 在处先↘后↗，在处取得极小值 3. 两招破解不等式的恒成立问题 (1)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max； (2)a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min. (1)分离参数法 第一步：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题； 第二步：利用导数求该函数的最值； 第三步：根据要求得所求范围． (2)函数思想法 第一步将不等式转化为含待求参数的函数的最值问题； 第二步：利用导数求该函数的极值； 第三步：构建不等式求解． 4. 构造函数的重要依据 5. 常见构造类型 6. 常见的指对放缩 ，，， 7. 常见的三角函数放缩 8. 其他放缩 ，， ，， ， ， 明·直击考点 序号 考点 考点01 具体函数的单调性 考点02 函数单调性求参数 考点03 证明单调性解不等式 考点04 比大小 考点05 函数极值最值求参数 考点06 导数与函数零点 考点07 导数与方程的根 考点08 导数与恒成立 考点09 导数与能成立 考点10 导数与整数解 考点11 导数新定义 考点12 导数多选题 考点01 具体函数的单调性 通·模考通透 1．（2024·湖南怀化·二模）已知，则的单调增区间为 ． 【答案】/ 【分析】求出函数的导数，再解导函数大于0的不等式即可. 【详解】函数的定义域为，求导得， 由，得，所以的单调增区间为. 故答案为： 2．（2023·全国·模拟预测）已知函数，则的单调递增区间为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对数真数大于零可构造不等式组求得函数定义域；利用导数可求得函数单调递增区间． 【详解】由得：，即的定义域为； 因为， 所以当时，；当时，； 所以的单调递增区间为． 故选：A. 3．（2024·浙江·模拟预测）函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出函数的定义域与导函数，再令，解得即可. 【详解】函数的定义域为， 且， 令，解得， 所以的单调递增区间为. 故选：D 考点02 函数单调性求参数 通·模考通透 4．（2024·河南·模拟预测）若函数的减区间为，则的值为 . 【答案】3 【分析】由的解集，求出的值. 【详解】的解集为， 即的解集为，所以， 解得. 故答案为：. 5．（2024·云南昆明·模拟预测）已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（    ） A． B． C．e D． 【答案】A 【分析】在上恒成立，即，构造函数，，求导得到其单调性，得到，得到，求出答案. 【详解】由题意得在上恒成立， ，故， 即， 令，， 则在上恒成立， 故在上单调递减， 故， 故，故a的最小值为. 故选：A 考点03 证明单调性解不等式 通·模考通透 6．（2024·四川泸州·一模）已知函数，则满足的的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求导分析函数单调性，利用函数单调性解不等式可得结果. 【详解】∵， ∴， ∴在上为增函数， 由得，，解得，故的取值范围是. 故选：B. 7．（2024·海南海口·模拟预测）已知定义在上的函数，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据的奇偶性以及单调性，即可将问题转化为，即可求解. 【详解】记，则， 故为的奇函数， 又， 因此为上的单调递增函数， 因为， 由可得，进而， 故，解得， 故选：D 8．（2025·云南昆明·模拟预测）设函数，则使得成立的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据奇函数的定义证明为奇函数，利用导数判断函数的单调性，结合函数的单调性及奇偶性化简不等式，解对数不等式可得结论. 【详解】函数的定义域为，定义域关于原点对称， 因为， 所以函数为奇函数， 因为， 所以函数为增函数， 所以不等式可化为， 则，， 所以，所以， 所以的取值范围是. 故选：C. 考点04 比大小 通·模考通透 9．（2024·四川雅安·三模）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用导数判断函数的单调性，作差比较得，令，利用导数判断的单调性得，进而利用函数单调性可得函数值的大小. 【详解】因为，所以， 当时，，故函数在上单调递减， 当时，，故函数在上单调递增， 因为，所以， 令，则， 即函数在上单调递减，故，即， 所以，因为函数在上单调递减， 所以，即. 故选：D 【点睛】方法点睛：利用导数比较大小的基本步骤： （1）作差或变形； （2）构造新的函数； （3）利用导数研究的单调性或最值； （4）根据单调性及最值，得到所证不等式. 10．（2024·吉林长春·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先构造函数，再应用函数单调性得出，再根据，取对数判断得出，最后比较可得选项； 【详解】设，则，所以在上单调递增， 所以，即，所以； 因为，所以，即； 又，所以． 故选：C． 11．（2024·湖北·模拟预测）已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】转化和，设，根据导数求出的单调性，比较和的大小，转化和，设，求出，令，利用导数求出的单调性，利用导数求出的单调性，比较和的大小. 【详解】， 设，则， 当时，在上单调递增， ，即， ，又， 设， 则， 令， 则， 在上单调递减， 当时，， 在上单调递减， ，， 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于通过所比较值的变形，构造函数和进行大小比较. 12．（2024·全国·模拟预测）已知：，，，那么三者的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先比较和，注意到，，从而通过比较的大小可，再比较和，注意到，而又有,从而只需要证明即可. 【详解】因为， ，而， 所以，得， 令，则， 所以在上递减， 因为当时，，所以， 所以，所以， 所以， 因为，所以， 所以，所以， 所以， 故选：C 【点睛】关键点点睛：此题考查对数式和指数式比较大小，考查对数的运算，考查导数的应用，解题的关键是构造函数，利用导数可求其单调性，从而可得其取值范围，考查计算能力和转化思想，属于较难题. 考点05 函数极值最值求参数 通·模考通透 13．（2024·上海·三模）若函数在上存在最小值，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据题意，函数的极小值点在内，再结合即可求出实数的取值范围. 【详解】因为，所以， 令得，， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以当时，有极小值， 因为函数在上存在最小值， 又， 所以，解得， 所以实数a的取值范围是. 故答案为：. 14．（2024·陕西铜川·三模）若函数有两个极值点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两个极值点，看将问题转化为由两个不同的正实数根，构造函数，利用导数求解函数的单调性，即可求解. 【详解】， 令，得. 令，则. 令，则，即，即. 当时，在单调递增；当时，在单调递减. ， 又当时，；当时，， 当时，方程有两个正根，从而函数有两个极值点. 故选：B 15．（2024·陕西宝鸡·三模）若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将原问题等价转换为关于的方程在上有两个不同的实数根，结合二次函数性质即可求解. 【详解】， 故原命题等价于关于的方程在上有两个不同的实数根， 即关于的方程在上有两个不同的实数根， 令，则， 所以关于的方程在上有两个不同的实数根， 令， 因为在上单调递增，故在上的值域为， 因为在上单调递减，故在上的值域为， 而，从而实数的取值范围是. 故选：A. 16．（23-24高三下·四川雅安·阶段练习）已知0为函数的极小值点，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出函数导数，利用导函数的导数，结合分类讨论，判断其正负，得出的增减性，再结合，判断的符号，得出增减性，验证函数的极小值点为0即可. 【详解】，令的导函数为. 若，，在上单调递增，且， 所以当时，，单调递增，当时，，单调递减，符合题意. 若，当时，，在上单调递增， 因为，，所以当时，， 时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，符合题意. 若，当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 因为，所以，不符合题意. 若，当时，，， 可得时，，时，， 所以在递增，在上单调递减，不符合题意. 综上，的取值范围是. 故选：A 【点睛】关键点点睛：本题求解过程中，需要对再次求导，利用的导函数，分类讨论判断正负，得出的增减性，再结合，得出的正负，据此得出函数的单调性，验证0是否为函数极小值点,解题的关键要具备清晰的逻辑关系，把握，，三者关系. 考点06 导数与函数零点 通·模考通透 17．（2024·陕西西安·模拟预测）若函数在区间内有两个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用导数说明函数的单调性，依题意可得，解得即可. 【详解】因为，所以当或时， 即在，上单调递增， 当时，即在上单调递减， 根据题意可得，即，解得. 故选：A 18．（2024·广东佛山·二模）若函数（）有2个不同的零点，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】化简函数，得到和在上单增，结合存在唯一的，使，即，且存在唯一的，使，结合，进而得到实数的取值范围． 【详解】由函数， 设，可得，单调递增， 且，， 所以存在唯一的，使，即， 令，即， 设，可得，则在上单增， 又由且时，， 所以当时，存在唯一的，使，即， 若时，可得，则，可得，所以， 所以， 综上所述，实数的取值范围为． 故答案为：． 【点睛】方法技巧：已知函数零点（方程根）的个数，求参数的取值范围问题的三种常用方法： 1、直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式（组），再通过解不等式（组）确定参数的取值范围2、分离参数法，先分离参数，将问题转化成求函数值域问题加以解决； 3、数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中作出函数的图象，然后数形结合求解. 结论拓展：与和相关的常见同构模型 ①，构造函数或； ②，构造函数或； ③，构造函数或. 19．（2024·河南驻马店·二模）已知函数的定义域为，若存在零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用指数与对数的运算性质将变形为，构造函数得，由的单调性即可求解. 【详解】由题意得，令，则. 令，因为函数在上单调递增， 单调递增， 所以，可化为，即. 令，则， 当时，，在单调递增，当时，在单调递减， 又，当时，，所以，解得. 故选：C 【点睛】方法点睛：利用导数证明或判定不等式问题： 1．通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系； 2．利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系； 3．适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系； 4．构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 20．（2024·辽宁·模拟预测）已知函数，若函数恰有5个不同的零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数定义域，将函数分类讨论，借助于求导判断函数单调性，判断极值点和图象趋势，作出函数的简图，将函数分解因式，根据零点定义，结合图象，确定有两个根，转化为有3个零点，由图即得参数范围. 【详解】函数的定义域为， 若时，由求导得，， 故当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，且， 当时，，当时，； 若时，由求导得，， 因，故恒有，即在上单调递增， 且当时，，当时，，即时，恒有. 作出函数的大致图象如图所示. 又由可得或， 由图知有两个根，此时有2个零点； 要使函数恰有5个不同的零点， 需使有3个零点，由图知，需使，即，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查利用导数由函数的零点个数求参问题，属于难题.解题的关键在于将函数按照定义域分类讨论，通过求导作出函数的图象；第二个关键是，将函数的零点个数转化为两个函数的图象交点个数问题解决. 21．（2024·四川·模拟预测）已知函数若函数有5个不同的零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求得，得到函数的单调性和极值，作出函数的图象，根据题意，转化为和共有5个不相等实数根，结合图象，即可求解. 【详解】当时，，此时， 则时，单调递减；时，单调递增， 所以，当是的极小值点，作出如图所示的函数的图象， 函数有5个不同的零点，则方程， 即有5个不相等实数根， 也即是和共有5个不相等实数根， 其中有唯一实数根， 只需有4个且均不为-2的不相等实数根，由图可知， 即实数的取值范围为. 故选：C. 22．（2024·河南·模拟预测）已知，若函数没有零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用导数明确在上的单调性后根据最值的符号可得，在这个条件下可证在上无零点，故可得正确的选项. 【详解】由题设可得当时无零点， 此时， 当时，；当时，， 故在上为增函数，在上为减函数， 因为，故当时，， 故， 而为上的增函数，且， 故即. 当时，， 设，， 设，则， 当时，，当时，， 故在上为减函数，在上为增函数， 故， ，，故， 故在上恒成立，故在上为减函数， 故即在上恒成立， 故在上无零点， 综上，， 故选：D. 【点睛】思路点睛：函数的零点问题，往往需要根据导数讨论函数的单调性，结合最值的符号来判断，如果还涉及到分段函数，可以先求出一段上满足零点个数时参数的取值范围，再根据这个范围讨论余下一段即可. 考点07 导数与方程的根 通·模考通透 23．（2024·四川攀枝花·二模）若关于的方程存在三个不等的实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】方程转化为，令，利用导数求函数单调性和极值，确定关于的方程存在三个不等实数根的条件，求出实数的取值范围. 【详解】关于的方程存在三个不等的实数根， 等价于方程存在三个不等的实数根， 令，，解得，解得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 且时，时，当时，有极大值， 方程，，方程有两个不等的实数根，且两根之积为， 则方程有一正根一负根，且正根位于区间上， 此时关于的方程存在三个不等的实数根， 所以，解得， 所以的取值范围为. 故选：B. 24．（2024·山西太原·二模）已知函数，若方程恰有三个不同实数根，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作出函数的图象，转化为两个函数有三个交点，利用数形结合计算特殊位置即可. 【详解】 如图所示，作出函数的图象， 方程恰有三个不同实数根，等价于上述两个函数图象有三个交点， 易知， 显然与必有一个交点， 所以要满足题意需与有两个交点， ①先求与相切时的值， 设切点为，则， 令， 即单调递增， 又，所以， 当过点时，， 此时满足条件的 ②再求与相切时的值， 联立，， 易知切点横坐标为，显然时，，符合要求， 当过点时，， 此时满足条件的， 综上：. 故选：C 【点睛】思路点睛：关于分段函数的零点个数问题，可以转化为两个函数的交点问题，利用数形结合的思想及直线斜率的变化计算特殊位置即可. 25．（2024·贵州贵阳·一模）已知函数，若方程存在三个不相等的实根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】考查利用导数研究函数零点问题，先根据导数情况得出函数单调性和最值情况，再数形结合分析，分段函数分段讨论即可. 【详解】因为方程存在三个不相等的实根，所以函数有三个零点， 当时，，所以， 所以当时，；当时，， 所以在上单调递减，在单调递增，， 又当时，；当时，，所以图象如图； 当时，， 所以，所以当时，；当时，， 所以在上单调递减，在单调递增，， 又当时，；当时，，所以图象如图， 所以当即时函数有三个零点， 即方程存在三个不相等的实根， 故选：C. 26．（2024·江西·模拟预测）已知不等式对任意恒成立，则实数a的最小值为（   ） A．－ B．1 C．0 D．－1 【答案】B 【分析】由条件转化为求函数，的最小值，利用导数判断函数的单调性，再求函数的最小值. 【详解】由条件不等式可知，， 设，， 则，令，得或， 当，，单调递增，当，，单调递减， 所以或，， 所以函数的最小值为，则，即， 所以的最小值为1. 故选：B 考点08 导数与恒成立 通·模考通透 27．（2024·广东珠海·一模）若不等式对一切恒成立，其中，e为自然对数的底数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将原不等式转化为对一切恒成立，设，则后者可转化为恒成立即为函数的极大值，故可求参数的范围或取值，故可得正确的选项，或者将原不等式转化为，根据左右两侧对应的函数的图象位置关系可求参数的范围. 【详解】法一：不等式对一切恒成立即为 不等式对一切恒成立， 今，则有； 故不等式对一切恒成立等价于恒成立， 所以为的最大值点. 显然，，否则时，，与题设矛盾. 又，此时 若，存在区间，是否且，总有， 这与为的最大值点矛盾，故不成立， 同理也不成立，故，则， 当时，当时，，当时，， 故在上递增，上递减，符合题意； 当时，当时，， 当时，， 故在上递减，上递增，上递减， 而当时，， 故即，故恒成立，故符合题意. 综上，，因此. 法二：不等式可化为， 令， 当时，，此时，直线恒过点， 故只需直线为在点处的切线即可， ，此时. 当时，亦恒过点， 为使对一切恒成立， 需开口向下，且在点处与有公切线即可， 故，此时. 综上，的取值范围是. 故选：A. 【点睛】思路点睛：多变量不等式恒成立问题，可将原不等式作适当变形，从而将恒成立问题转化为图象的位置关系，或者根据不等式的特征将不等式恒成立问题转化为函数的极值问题. 28．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）函数.若对任意，都有，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件得到恒成立，构造函数，利用的单调性，得到在区间上恒成立，构造函数，利用导数与函数单调性间的关系，求出的最大值，即可求解. 【详解】因为， 因为对任意，都有，即恒成立， 令，易知在定义域上单调递增， 所以在区间上恒成立，也即在区间上恒成立， 令，则，由，得到，由，得到， 即在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以，得到， 故选：A. 【点睛】关键点点晴：，构造函数，从而将问题转化成在区间上恒成立，再构造函数，求出的最大值，即可求解. 29．（2024·陕西安康·模拟预测）若存在，使得不等式成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将原不等式变形为，令，则，然后利用导数判断出在上递减，所以将问题转化为在上有解，即在上有解，再构造函数，利用导数求出其小大值即可. 【详解】由，得， 所以， 令，则可化为， ，令，则 ，令，得， 当时，，当时，， 所以在上递增，在上递减， 所以， 所以在上递减， 所以在上有解， 所以在上有解， 令，则， 由，得，得， 由，得，得， 所以在上递增，在上递减， 所以， 所以， 即实数的取值范围为， 故选：D 【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查利用导数解决不等式问题，解题的关键是将原不等式变形为，然后构造函数，则将原不等式转化为，利用导数判断的单调性即可，考查数学转化思想和计算能力，属于难题. 考点09 导数与能成立 通·模考通透 30．（2024·全国·模拟预测）已知函数在上存在单调递减区间，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，转化为在上有解，得到在上有解，令，利用导数求得函数的单调性与最大值，即可求解. 【详解】因为函数，可得， 因为函数在上存在单调递减区间， 可得在上有解， 即在上有解， 令，则，且， 当时，，所以； 当时，，所以， 所以在上单调递增，在上单调递减，故，所以. 故选：D． 【点睛】结论点睛：“恒成立问题”与“有解问题”在等价转化上的区别： 恒成立问题： ①恒成立；恒成立． ②恒成立；恒成立． ③恒成立； 恒成立． ④． 有解问题： ①有解； 有解． ②有解； 有解． ③有解； 有解． ④，使得． 31．（2024·全国·模拟预测）若关于的不等式在内有解，则正实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将由不等式转化为，令，得到，令函数，问题转化为存在，使得，利用导数求得函数的单调性，结合，得到且，即可求解. 【详解】由不等式，即， 令，即有， 又由，所以函数在上单调递增， 因为，所以， 令，问题转化为存在，使得， 因为，令，可得；令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 又因为，所以当时，， 若存在，使得成立，只需且， 解得，因为，所以. 故选：A. 【点睛】方法技巧：已知函数零点（方程根）的个数，求参数的取值范围问题的三种常用方法： 1、直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式（组），再通过解不等式（组）确定参数的取值范围； 2、分离参数法，先分离参数，将问题转化成求函数值域问题加以解决； 3、数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中作出函数的图象，然后数形结合求解. 结论拓展：与和相关的常见同构模型 ①，构造函数或； ②，构造函数或； ③，构造函数或. 考点10 导数与整数解 通·模考通透 32．（2024·安徽·一模）已知函数，若不等式的解集中恰有两个不同的正整数解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】不等式可化为，利用导数分析函数的单调性，作函数，的图象，由条件结合图象列不等式求的取值范围. 【详解】函数的定义域为， 不等式化为：． 令，，， 故函数在上单调递增，在上单调递减． 当时，，当时，， 当时，， 当时，，当，且时，， 画出及的大致图象如下， 因为不等式的解集中恰有两个不同的正整数解， 故正整数解为． 故， 即． 故. 故选：C. 33．（2023·四川达州·一模）已知，，若不等式的解集中只含有个正整数，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知，二次求导，可得当时，，由有且只有个正整数解，即有且只有个正整数解，求导可知至多有一个解，则需满足，，，再根据导数可得在上单调递减，即可证当时，，即可得参数范围. 【详解】由， 可得， 设，则， 所以在上单调递增， 又，所以当时，， 即当时，，单调递增， 所以当时，， 所以若不等式的解集中只含有个正整数， 即不等式的解集中只含有个正整数， 又的定义域为，且， 则， 设，则， 当时，， 所以在上单调递减，且至多有一个解， 所以若有且只有个正整数解 则需满足，解得， 现证当时，在上恒成立， 由时，， 即当时，，单调递减， 所以当时，， 综上所述， 故选：C. 【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 34．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知函数，若存在唯一的整数，使，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，则问题化为存在唯一的整数解.作出h(x)图象，再作出的图象，数形结合即可解答. 【详解】令得，所以， 令， 则问题化为存在唯一的整数解， ∵，所以当时，单调递增，当单调递减； 又时，，，， 故可作出的图象： 过定点， 则当时，显然存在无数个整数解，不符题意； 当时，的唯一整数解可以为－1或1， 当时，如图： 则，解得； 当时，如图： 则，解得. 综上，. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题关键是分离，构造函数，转化为存在唯一的整数解的问题，然后利用数形结合来得到答案. 考点11 导数新定义 通·模考通透 35．（2024·安徽·模拟预测）给出定义：若函数在D上可导，即存在，且导函数在D上也可导，则称在D上存在二阶导数，记.若在D上恒成立，则称在D上为凸函数.以下四个函数在上不是是凸函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给出的导数新定义逐项判断即可. 【详解】对于A：，，， 则在上恒有，故A错误； 对于B：，，， 则在上恒有，故B错误； 对于C：，，， 则在上恒有，故C错误； 对于D：，，， 则在上恒有，故D正确. 故选：D. 36．（2024·四川成都·模拟预测）人们很早以前就开始探索高次方程的数值求解问题，牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法——牛顿法，如图，在横坐标为的点处作的切线，该切线与x轴的交点为；在横坐标为的点处的切线与x轴的交点为；一直继续下去，得到，，，…，，它们越来越逼近的零点r．在一定精确度下，用四舍五入法取值，当，近似值相等时，该值可作为函数的一个零点r．用“牛顿法”求方程的近似解r，可以构造函数，若，得到该方程的近似解r约为 （精确到0.1）． 【答案】3.3 【分析】分别求出曲线的切线方程，由切线方程求与x轴的交点横坐标，循环求解即可. 【详解】由，得． 当时，，， 则过点的切线方程为， 令，得． 又，， 则过点的切线方程为， 令，得，此时与近似值相等，故近似解r约为3.3． 故答案为：3.3 37．（2024·湖北·三模）若当时，无限趋近于一个确定的值，则称这个确定的值为二元函数在点处对x的偏导数，记为，即若当时，无限趋近于一个确定的值，则称这个确定的值为二元函数在点处对y的偏导数，记为，即已知二元函数，则的最小值为 . 【答案】 【分析】根据偏导数的定义，分别求出对x偏导数和对y偏导数，再求出两个偏导数和的最小值. 【详解】依题意， 所以，， 则， 所以的最小值是. 故答案为： 考点12 导数多选题 通·模考通透 38．（2024·甘肃张掖·一模）函数，其中是常数，则（   ） A．当时，是增函数 B．若是的极大值点，则 C．若，且有2个零点，则 D．当时，有3个零点 【答案】ABC 【分析】利用导数讨论函数的单调性和极值即可判断AB；结合导数的应用和零点的概念计算即可判断CD. 【详解】因为， 所以. 当时，恒成立，所以在上单调递增，故A正确． 因为是的极大值点，所以，解得． 当时，， 则当时，，当时，， 所以是的极大值点，符合题意，故B正确． 令得或，因为，所以， 所以当或时，单调递增， 当时单调递减， 所以当时，取得极大值，当时，取得极小值， 且. 又当时，，所以若有2个零点， 则，解得，故C正确． 当时，， 同理当或时，单调递增，当时，单调递减， 所以当时，取得极大值，当时，取得极小值， 且，又当时，， 所以有1个零点，故D错误． 故选：ABC. 【点睛】方法点睛：已知函数零点的个数(方程根的个数)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 39．（2025·四川德阳·二模）已知函数的导函数为（   ） A．若有三个零点，则 B． C．是的极小值点 D．当时，则 【答案】ABD 【分析】利用导数判断出单调性并求出、，结合零点定义逐项判断可得答案. 【详解】因为函数，所以， 令，解得，或， 当，或，，当，， 所以在，上单调递增，在上单调递减， ，， 对于A，由得， 即，， 因为在上单调递减，所以在上只有一个零点， 因为，在上单调递增， 可得在上只有一个零点， 因为，在上单调递增， 可得在上只有一个零点， 综上，有三个零点，故A正确； 对于B，， ， 所以，故B正确； 对于C，是的极大值点，故C错误；     对于D，当时，则， 解得，故D正确. 故选：ABD. 40．（2024·湖北黄冈·一模）已知，则下列结论正确的是（    ） A．当时，若有三个零点，则的取值范围是 B．当且时， C．若满足，则 D．若存在极值点，且，其中，则 【答案】AD 【分析】对于A ，将代入求导求极值，有三个零点，则令极大值大于零，极小值小于零即可；对于B，利用的性质，得到且，再利用在区间上的单调性，即可求解；对于C ，根据，推断函数的对称性，进而可以求得，即可判断结果；对于D ，利用导数在函数单调性中的应用，得到，进而可得，令，结合，再化简即可得到答案. 【详解】对于选项A，当时，，， 由，得到或，由，得到， 所以单调递增区间为，；减区间为， 故在处取到极大值，在处取到极小值， 若有三个零点，则，得到，故选项A正确， 对于选项B，当时，， 又，即，由选项A知，在区间上单调递减， 所以，当时，等号成立，故选项B错误， 对于选项C，因为，即，所以关于点中心对称， 又的定义域为， 所以，整理得到，所以选项C错误， 对于选项D，因为，所以， 由题有，即， 由，得到， 令，则，又，所以， 得到， 整理得到，又， 代入化简得到，又，，所以， 得到，即，所以选项D正确， 故选：AD. 【点睛】关键点点晴：本题的关键在于选项D，利用导数在函数单调性中的应用，得到，进而可得，再通过令，结合条件得到，再代入，化简得到，从而解决问题. 练·抢分演练 一、单选题 1．（2025·新疆·模拟预测）已知函数在处有极小值，则极大值为（    ） A．32 B．1 C． D．0 【答案】C 【分析】求导，根据极值点可得或，即可代入导数中，确定函数单调性，得函数的极值点求解. 【详解】由题意可得， 由于是极小值点，故，或    , 当时，，当和时，，当时，， 故在单调递减，在和单调递增， 此时是函数的极大值点，不符合题意，舍去， 当时，，当和时，，当时，， 故在单调递减，在和单调递增， 此时是函数的极小值点，符合题意，且是极大值点，故极大值为， 故选：C 2．（2025·陕西咸阳·一模）已知在区间内存在2个极值点，则实数a的取值范围为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，根据极值点可得与在内有2个交点，利用导数判断的单调性和最值，结合图象分析求解. 【详解】因为，可知在内有2个变号零点， 由可得，可知：与在内有2个交点， 又因为， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递增，在内单调递减，则， 且，， 结合图象可得，所以实数a的取值范围为. 故选：B. 3．（2025·云南昭通·一模）已知函数（，）在处取得极值，则（    ） A． B．是的极大值点 C． D．的最大值为2 【答案】D 【分析】利用极值点时导数为零可得A错误；求导后结合二次函数的对称轴可得B错误；由A结合已知可得C错误；由A结合基本不等式可得D正确； 【详解】A：， 因为函数在处取得极值，所以，即，故A错误； B：的对称轴为，所以是的极小值点，故B错误； C：因为，由可得，所以，故C错误； D：因为（当且仅当，即时，取等号），即，故D正确. 故选：D. 4．（2025·浙江·一模）已知函数，，有恒成立，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由转换成，或，在上恒成立，进而转化成求最值即可求解； 【详解】等价于，即，故有，或，在上恒成立， 即或在上恒成立， 令，得， 可得：在单调递增，在单调递减， 由，当，，， 令，由基本不等式可得，当且仅当时取等号， 当，， 对于在上恒成立， 可得解得： 对于在上恒成立， 可得：，解得 故a的取值范围为. 故选：A. 5．（2025·新疆·模拟预测）已知分别为上的奇函数和偶函数，且满足，当时，，若，则大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用分别为上的奇函数和偶函数，得的周期为2，且求出，利用导数判断出时，为单调递增函数，再利用对数的性质判断出的大小可得答案. 【详解】因为分别为上的奇函数和偶函数， 所以， 由， 得， 所以，可得的周期为2， 又， 可得， 两式相加可得， 当时，因为都是增函数， 所以为增函数， 且，所以为单调递增函数， ， ，， 所以. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是求出，利用导数判断出时，为单调递增函数. 二、多选题 6．（2025·四川·二模）函数，向右平移3个单位得到，下列说法正确的是（    ） A．的极小值点为 B．当有两解时， C．若，，则 D．若，那么，且有且仅有一解 【答案】BCD 【分析】由求得，解不等式可得单调区间得极值点，即可判断A；有两解相当于的图象与有两个不同交点，由A作出的图象，即可判断B；根据由向右平移3个单位得到，结合的单调情况得在上的单调性，由此比较大小即可判断C；将函数解析式代入，解方程即可判断D. 【详解】对于A，，由得，由得； ∴在上单调递减；在上单调递增.故在处取极小值，则的极小值点为.故A不正确； 对于B，由A知可知单调性，极小值为，又， 故时，，当时，，； 时，.时，，据此可作图象如图， 则方程有两解相当于图象与有两个不同交点，则由图可得.故B正确； 对于C，因为由向右平移3个单位得到，所以， 由A知在上单调递减；在上单调递增.故，即.故C正确； 对于D，由，得，而，故，解得.故D正确. 故选：BCD. 7．（2025·山西·一模）已知，其中，且，，若恒成立，则（   ） A． B．是的极小值点 C．在上单调递减 D．在上单调递增 【答案】ABD 【分析】由可得出，变形得出，令，其中，利用导数分析函数的单调性与极值，可判断A选项；利用导数分析函数的单调性，可判断CD选项；利用函数极值点与导数的关系可判断B选项. 【详解】对于A选项，由题，，， 记，其中，， 当时，；当时，， 故在区间上单调递增，在区间上单调递减， 又，故，故A正确； 对于BCD选项，，则， 记，， 当时，，即函数在上单调递减， 当时，，即函数在上单调递增， 又，， 当或时，，； 当时，，， 故在、上单调递增，在上单调递减， 所以，为函数的极小值点，且函数在上不单调，故BD正确C错误. 故选：ABD. 【点睛】思路点睛：利用导数求函数极值的步骤如下： （1）求函数的定义域； （2）求导； （3）解方程，当； （4）列表，分析函数的单调性，求极值： ①如果在附近的左侧，右侧，那么是极小值； ②如果在附近的左侧，右侧，那么是极大值. 三、填空题 8．（2025·安徽·模拟预测）设函数（），若在上的最大值恒大于4，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】利用导数研究在上的单调性求出最大值即可. 【详解】（）的定义域为， ∴， ∵，，∴， ∴在上单调递增， 故在上的最大值为， 即. 故答案为： 9．（2025·山西·一模）设，若函数在区间上单调，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由题意，设，利用导数可得在上单调递减，由，进而可得在区间上单调递增，在区间上单调递减，进而可得. 【详解】， 设，则， 故在上单调递减，又，可知在区间上单调递增， 在区间上单调递减，故，的取值范围是. 故答案为： 10．（2025·江苏苏州·模拟预测）已知函数，若在有唯一的极值点且为极大值点，则a的取值范围为 . 【答案】 【分析】先对函数进行求导，根据题意由零点的存在性定理得，再由对称轴 在区间右侧可推出，解不等式组即可求解. 【详解】解：函数，则， 因为在有唯一的极值点且为极大值点， 所以根据零点的存在性定理得， 的图象是开口向上的抛物线，对称轴为 ， 由于对称轴在区间 右侧， 要使在内有唯一的变号零点，则需满足 ， 而， ， 则不等式组可化为 ，解得， 综上,的取值范围为. 故答案为：. 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$