第83天（解答题）搞定导数综合计算（11考点）-【决战高考】2025年高考数学百日冲刺（直击考点抢分秘籍）

第83天-（解答题）搞定导数综合计算（11考点） 第83天寄语： 青春是一本太仓促的书，而高考是其中浓墨重彩的一章。 识·必备知识 1. 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 2. 导函数与原函数的关系 单调递增， 单调递减 3. 极值 （1） 极值的定义 在处先↗后↘，在处取得极大值 在处先↘后↗，在处取得极小值 4. 两招破解不等式的恒成立问题 (1)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max； (2)a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min. (1)分离参数法 第一步：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题； 第二步：利用导数求该函数的最值； 第三步：根据要求得所求范围． (2)函数思想法 第一步将不等式转化为含待求参数的函数的最值问题； 第二步：利用导数求该函数的极值； 第三步：构建不等式求解． 5. 恒成立问题常见类型 假设为自变量，其范围设为，为函数；为参数，为其表达式， （1）的值域为 ①，则只需要 ，则只需要 ②，则只需要 ，则只需要 （2）若的值域为 ① ，则只需要 ，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比） ② ，则只需要 ，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比） 6. 能成立（有解）问题常见类型 假设为自变量，其范围设为，为函数；为参数，为其表达式， （1）若的值域为 ①，则只需要 ，则只需要 ②，则只需要 ，则只需要 （2）若的值域为 ① ，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比） ，则只需要 ② ，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比） ，则只需要 7. 利用导数研究函数零点的方法 (1)通过最值(极值)判断零点个数的方法 借助导数研究函数的单调性、极值后，通过极值的正负，函数单调性判断函数图象走势，从而判断零点个数或者通过零点个数求参数范围. (2)数形结合法求解零点 对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性，画出草图数形结合确定其中参数的范围. (3)构造函数法研究函数零点 ①根据条件构造某个函数，利用导数确定函数的单调区间及极值点，根据函数零点的个数寻找函数在给定区间的极值以及区间端点的函数值与0的关系，从而求解. ②解决此类问题的关键是将函数零点、方程的根、曲线交点相互转化，突出导数的工具作用，体现转化与化归的思想方法． 8. 利用导数研究函数方程的根的方法 (1)通过最值(极值)判断零点个数（方程的根）的方法 借助导数研究函数的单调性、极值后，通过极值的正负，函数单调性判断函数图象走势，从而判断零点个数（方程的根）或者通过零点个数（方程的根）求参数范围. (2)数形结合法求解零点（方程的根） 对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性，画出草图数形结合确定其中参数的范围. (3)构造函数法研究函数零点（方程的根） ①根据条件构造某个函数，利用导数确定函数的单调区间及极值点，根据函数零点的个数（方程的根）寻找函数在给定区间的极值以及区间端点的函数值与0的关系，从而求解. ②解决此类问题的关键是将函数零点、方程的根、曲线交点相互转化，突出导数的工具作用，体现转化与化归的思想方法． 明·直击考点 序号 考点 考点01 具体函数单调性 考点02 含参函数导函数可分解 考点03 含参函数导函数不可分解 考点04 求极值最值 考点05 证明不等式 考点06 恒成立 考点07 能成立有解 考点08 零点与方程的根 考点09 双变量 考点10 隐零点 考点11 极值点偏移 考点01 具体函数单调性 通·模考通透 1．（2025·吉林·二模）已知函数（为自然对数的底数）. (1)求函数的单调递减区间； (2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围. 2．（2025·贵州黔东南·模拟预测）已知函数. (1)当时，求的单调区间； (2)若是的两个极值点，证明：. 3．（2025·安徽·模拟预测）已知函数. (1)当时，求函数的单调区间； (2)若对任意，恒成立，求实数的取值范围. 考点02 含参函数导函数可分解 通·模考通透 4．（2025·辽宁·模拟预测）已知函数． (1)求的单调区间； (2)若在区间内有最小值，求的取值范围； (3)若关于的方程有两个不同的解，，求证：． 5．（2025·黑龙江·模拟预测）函数， (1)讨论函数的单调性； (2)若不等式对任意的，恒成立，求的取值范围. 6．（2025·云南昆明·一模）已知函数（）． (1)若，求的极值； (2)讨论的单调性． 7．（2024·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知函数. (1)求曲线在处的切线方程； (2)若，，讨论函数的单调性. 考点03 含参函数导函数不可分解 通·模考通透 8．（2025·安徽合肥·一模）已知函数，其中 (1)讨论的单调性； (2)若函数有两个极值点，，证明： 9．（2024·山东枣庄·一模）已知. (1)讨论的单调性； (2)若，求的取值范围. 10．（2024·山东威海·一模）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)令.若曲线与存在公切线，求实数的取值范围. 考点04 求极值最值 通·模考通透 11．（2025·浙江温州·模拟预测）已知函数在处的切线垂直于轴． (1)求实数的值； (2)求函数的极小值． 12．（2025·江西·一模）已知函数． (1)当时，求的图象在点处的切线方程； (2)讨论的单调性，并求当的极大值等于时，实数的值． 13．（2025·山东·模拟预测）已知函数． (1)当时，求在区间上的最值； (2)讨论的零点个数． 考点05 证明不等式 通·模考通透 14．（2024·广东·二模）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)证明：. 15．（2024·安徽淮南·一模）已知函数． (1)求证：当时，； (2)若时，恒成立，求实数的取值范围； (3)求证：对任意． 16．（2024·吉林长春·模拟预测）已知函数. (1)证明：； (2)证明：，. 考点06 恒成立 通·模考通透 17．（2025·云南大理·模拟预测）已知函数. (1)若，求函数在点处的切线方程； (2)若恒成立，求实数的取值范围； (3)求证：，. 18．（2025·云南昭通·一模）已知函数． (1)若，求函数的单调区间； (2)若对于任意，都有成立，求的取值范围． 19．（2025·江西九江·一模）已知函数，曲线在处的切线经过点 (1)求； (2)若，判断的单调性： (3)当时，，求的取值范围． 考点07 能成立有解 通·模考通透 20．（2025·辽宁·模拟预测）已知函数的图象的一条切线方程是. (1)求； (2)若关于的不等式有解，求的取值范围. 21．（2024·四川乐山·三模）已知函数 (1)当时，讨论的单调性； (2)若存在，使得，求的取值范围. 22．（2025·陕西·一模）已知，函数在处取得极值． (1)求a； (2)证明：对任意的m，，都有； (3)若存在实数，使得成立，求k的最小整数值． 考点08 零点与方程的根 通·模考通透 23．（2025·山东·模拟预测）已知函数． (1)若曲线在点处的切线的斜率为（是自然对数的底数），求的值； (2)若有且只有两个零点，求的取值范围． 24．（2025·湖南邵阳·一模）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若函数有2个零点，求实数的取值范围. 25．（2025·河南郑州·模拟预测）已知函数. (1)当时，讨论的单调性； (2)证明：在上恒成立； (3)讨论方程在上的根的个数. 考点09 双变量 通·模考通透 26．（2024·山西·模拟预测）已知函数. (1)若函数在定义域上单调递增，求的取值范围； (2)若；求证：； (3)设，是函数的两个极值点，求证：. 27．（2024·广东佛山·二模）已知. (1)当时，求的单调区间； (2)若有两个极值点，，证明：. 考点10 隐零点 通·模考通透 28．（2024·江苏宿迁·模拟预测）已知函数 (1)求曲线在处的切线方程; (2)证明： 29．（2023·贵州·一模）已知． (1)讨论的单调性； (2)若对恒成立，求整数a的最小值． 30．（2024·广东·模拟预测）设函数，e为自然对数的底数. （1）若在上单调递增，求的取值范围； （2）证明：若，则． 考点11 极值点偏移 通·模考通透 31．（2024·江苏扬州·模拟预测）已知函数． (1)若恒成立，求的取值范围； (2)若有两个不同的零点，证明． 32．（2024·四川眉山·三模）已知函数. (1)若过点可作曲线两条切线，求的取值范围； (2)若有两个不同极值点. ①求的取值范围； ②当时，证明：. 33．（2024·广东湛江·一模）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若方程有两个根，，求实数a的取值范围，并证明：． 34．（2025·江西新余·模拟预测）已知函数，. (1)当时，证明：； (2)若在单调递增，求的取值范围； (3)若且，证明：. 练·抢分演练 1．（2025·山东潍坊·模拟预测）已知函数，． (1)若恒成立，求a的最小值； (2)若是的极小值点，求n的取值范围． 2．（2025·福建·模拟预测）已知函数． (1)若曲线在点处的切线为l，l不过原点，且l在坐标轴上的截距相等，求a的值； (2)当时，若恒成立，求实数a的取值范围． 3．（2025·陕西榆林·二模）已知函数. (1)求的单调区间； (2)已知直线是曲线的切线，且对恒成立，求的最大值. 4．（2025·陕西咸阳·一模）已知函数． (1)若，求a的值； (2)设，求证：． 5．（2025·江苏苏州·模拟预测）已知函数，其中，e为自然对数的底数. (1)若，讨论的单调性； (2)若，对任意，都有，同时在上存在两个极值点m，n，求的取值范围. 6．（2025·浙江·一模）已知函数，其中. (1)若函数是偶函数，求； (2)当时，讨论函数在上的零点个数； (3)若，，求的取值范围. 7．（2025·浙江温州·模拟预测）已知函数． (1)当时，判断的奇偶性； (2)当为偶数时，方程有解，求的最小值； (3)若存在，使得关于的不等式恒成立，求实数的取值范围． 8．（2025·山东日照·一模）已知函数． (1)当时，讨论函数的单调性； (2)当时，若曲线上的动点到直线距离的最小值为（为自然对数的底数）． ①求实数的值； ②求证：． 9．（2025·新疆乌鲁木齐·一模）已知. (1)求证：当时，； (2)设. （ⅰ）求证：数列为递减数列； （ⅱ）求证：. 10．（2025·福建厦门·一模）设函数． (1)当时，求的单调区间； (2)若是增函数，求a的取值范围； (3)当时，设为的极小值点，证明：． $$第83天-（解答题）搞定导数综合计算（11考点） 第83天寄语： 青春是一本太仓促的书，而高考是其中浓墨重彩的一章。 识·必备知识 1. 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 2. 导函数与原函数的关系 单调递增， 单调递减 3. 极值 （1） 极值的定义 在处先↗后↘，在处取得极大值 在处先↘后↗，在处取得极小值 4. 两招破解不等式的恒成立问题 (1)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max； (2)a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min. (1)分离参数法 第一步：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题； 第二步：利用导数求该函数的最值； 第三步：根据要求得所求范围． (2)函数思想法 第一步将不等式转化为含待求参数的函数的最值问题； 第二步：利用导数求该函数的极值； 第三步：构建不等式求解． 5. 恒成立问题常见类型 假设为自变量，其范围设为，为函数；为参数，为其表达式， （1）的值域为 ①，则只需要 ，则只需要 ②，则只需要 ，则只需要 （2）若的值域为 ① ，则只需要 ，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比） ② ，则只需要 ，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比） 6. 能成立（有解）问题常见类型 假设为自变量，其范围设为，为函数；为参数，为其表达式， （1）若的值域为 ①，则只需要 ，则只需要 ②，则只需要 ，则只需要 （2）若的值域为 ① ，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比） ，则只需要 ② ，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比） ，则只需要 7. 利用导数研究函数零点的方法 (1)通过最值(极值)判断零点个数的方法 借助导数研究函数的单调性、极值后，通过极值的正负，函数单调性判断函数图象走势，从而判断零点个数或者通过零点个数求参数范围. (2)数形结合法求解零点 对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性，画出草图数形结合确定其中参数的范围. (3)构造函数法研究函数零点 ①根据条件构造某个函数，利用导数确定函数的单调区间及极值点，根据函数零点的个数寻找函数在给定区间的极值以及区间端点的函数值与0的关系，从而求解. ②解决此类问题的关键是将函数零点、方程的根、曲线交点相互转化，突出导数的工具作用，体现转化与化归的思想方法． 8. 利用导数研究函数方程的根的方法 (1)通过最值(极值)判断零点个数（方程的根）的方法 借助导数研究函数的单调性、极值后，通过极值的正负，函数单调性判断函数图象走势，从而判断零点个数（方程的根）或者通过零点个数（方程的根）求参数范围. (2)数形结合法求解零点（方程的根） 对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性，画出草图数形结合确定其中参数的范围. (3)构造函数法研究函数零点（方程的根） ①根据条件构造某个函数，利用导数确定函数的单调区间及极值点，根据函数零点的个数（方程的根）寻找函数在给定区间的极值以及区间端点的函数值与0的关系，从而求解. ②解决此类问题的关键是将函数零点、方程的根、曲线交点相互转化，突出导数的工具作用，体现转化与化归的思想方法． 明·直击考点 序号 考点 考点01 具体函数单调性 考点02 含参函数导函数可分解 考点03 含参函数导函数不可分解 考点04 求极值最值 考点05 证明不等式 考点06 恒成立 考点07 能成立有解 考点08 零点与方程的根 考点09 双变量 考点10 隐零点 考点11 极值点偏移 考点01 具体函数单调性 通·模考通透 1．（2025·吉林·二模）已知函数（为自然对数的底数）. (1)求函数的单调递减区间； (2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)、 (2) 【分析】（1）求出函数的定义域，利用函数的单调性与导数的关系可求得函数的单调递减区间； （2）由参变量分离法可得出对任意的恒成立，利用导数求出函数在时的最小值，即可得出实数的取值范围. 【详解】（1）函数的定义域与，且， 令，得或， 所以，函数的单调递减区间为、. （2）对任意的，. 由于，则， 令，其中，则， 令，则. 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增. 所以，，则，因此，实数的取值范围是. 2．（2025·贵州黔东南·模拟预测）已知函数. (1)当时，求的单调区间； (2)若是的两个极值点，证明：. 【答案】(1)答案见解析； (2)答案见解析. 【分析】（1）结合定义域，再利用导数的正负来判断函数的单调性即可； （2）利用极值点就是导数的零点，从而转化为一元二次方程的两个正根，结合韦达定理，把不等式转化为以参数为变量的不等式，再利用构造函数求导来进行证明即可. 【详解】（1）当时，， 则， 当时，，所以在区间上递增； 当时，，所以在区间上递减. （2）由求导得： ， 因为是的两个极值点， 所以是方程的两个根， 也是一元二次方程的两个根， 则有，解得：， 则 ， 构造函数， ， 所以在区间上单调递减， 即， 所以可得原不等式成立. 【点睛】方法点睛：把证明双变量不等式，通过韦达定理转化为单变量不等式，从而可用求导法来证明. 3．（2025·安徽·模拟预测）已知函数. (1)当时，求函数的单调区间； (2)若对任意，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)的单调递减区间是，单调递增区间是 (2) 【分析】（1）利用导数求函数的单调性； （2）分离参数得，构造，利用导数求最大值即得. 【详解】（1）当时，函数的定义域是，， 令，得，解得，故的单调递减区间是， 令，得，解得，故的单调递增区间是， 综上，的单调递减区间是，单调递增区间是. （2）由任意，知恒成立. 因，故，在上恒成立. 设，则， 令，得，（舍去）， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 故当时，取得极大值，也是最大值，且， 所以若在上恒成立，则， 故实数的取值范围是. 考点02 含参函数导函数可分解 通·模考通透 4．（2025·辽宁·模拟预测）已知函数． (1)求的单调区间； (2)若在区间内有最小值，求的取值范围； (3)若关于的方程有两个不同的解，，求证：． 【答案】(1)答案见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）求出的导数，通过讨论的范围，判断的符号，得到函数的单调区间即可； （2）通过讨论的范围，判断在区间内单调性，从而得出的取值范围； （3）根据题意分析可得：若，是关于的方程的两个不同的解，通过联立方程组消去，再通过换元，整理得到，结合的单调性分析运算得到，从而得证. 【详解】（1）的定义域为，， 当时，，所以的单调递减区间为，无单调递增区间； 当时，，随的变化情况如下表所示： 0 所以的单调递减区间为，单调递增区间为． 综上，当时，的单调递减区间为，无单调递增区间； 当时，的单调递减区间为，单调递增区间为． （2）当时，，所以在区间内单调递减，无最小值，不合题意． 当时，， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以在处取得最小值． 当时，，所以在区间内单调递增，无最小值，不合题意． 综上，的取值范围为． （3）证明：不妨设， 由题意得消去得， 设，代入上式得， ， 下证， 即证． 设，则， 令，则， 所以在区间内单调递增，即， 所以在区间内单调递增，即， 所以，所以， 因为，，所以． 5．（2025·黑龙江·模拟预测）函数， (1)讨论函数的单调性； (2)若不等式对任意的，恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）求出，分四种情况讨论的范围，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间； （2）若不等式对任意的，恒成立，等价于递增，即恒成立，即，其中，分离参数后利用基本不等式求最值，即可求的取值范围. 【详解】（1）， 所以， ， 当时或；， 所以此时在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，         当时或；， 所以此时在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，         当时恒成立，所以此时在上单调递增 ，            当时；， 所以此时在上单调递减，在上单调递增. （2）由对，恒成立，不妨设，则整理得： ，             设， 有，所以单调递增，即恒成立， 即，其中，             所以，又，当且仅当时等号成立， 同时时，不是常函数，所以. 【点睛】方法点睛：利用单调性求参数的范围的常见方法：① 视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数需注意若函数在区间上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的； ② 利用导数转化为不等式或恒成立问题求参数范围 6．（2025·云南昆明·一模）已知函数（）． (1)若，求的极值； (2)讨论的单调性． 【答案】(1)无极大值，极小值为 (2)答案见解析 【分析】（1）求出的解析式和定义域，根据导数求解； （2）求出，分、、、和结合导数即可求解. 【详解】（1）时，，定义域为， ，由得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以有极小值，无极大值，极小值为； （2）， ①当时，，， 当时，，，单调递增， 当时，，，单调递减； ②当时，，，， ， 时，，，，单调递增， 时，，，，单调递减， 时，，，，单调递增； ③当时，，在上单调递增； ④当时，，，， 时，，，，单调递增， 时，，，，单调递减， 时，，，，单调递增； ⑤当时，， 时，，，单调递减， 时，，，单调递增. 【点睛】关键点点睛：本题（2）关键在于对取值范围的正确分类. 7．（2024·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知函数. (1)求曲线在处的切线方程； (2)若，，讨论函数的单调性. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）利用导数的几何意义求得切线斜率，结合切点易求得切线方程； （2）将函数求导，根据参数进行分类讨论导函数的正负，即得函数的单调性. 【详解】（1），，则， 则，即切线斜率， 故切线方程为，即； （2）函数的定义域为，， ， 当时，，由，可得， 当时，，函数在上单调递增； 当时，，函数在上单调递减； 当时，， ①当时，，当或时，， 即函数在和上单调递增， 当时，，即函数在上单调递减； ②当时，则对任意的，即函数在上单调递增； ③当时，， 当或时，，即函数在和上单调递增， 当时，，即函数在上单调递减. 综上所述，当时，函数在上单调递增，在上单调递减； 当时，函数在和上单调递增，在上单调递减； 当时，函数在上单调递增； 当时，函数在和上单调递增，在上单调递减. 考点03 含参函数导函数不可分解 通·模考通透 8．（2025·安徽合肥·一模）已知函数，其中 (1)讨论的单调性； (2)若函数有两个极值点，，证明： 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）求导，分类讨论函数的单调性. （2）由函数有两个极值点，确定a的范围，代入函数值，构造函数，利用函数单调性求解. 【详解】（1）由题意得，函数定义域为，且，， 令， 当，即时，恒成立，则，所以在上是单调递减. 当，即时，函数有两个零点：，， 当x变化时，，的变化情况如下表所示： x - 0 + 0 - 单调递减 单调递增 单调递减 综上，当时，在内单调递增， 在和上单调递减； 当时，在上单调递减. （2）由知，当时，有两个极值点，， 则，是方程的两个根，由韦达定理，得，， 所以， ， 令，，则， 当时，，则在区间上是单调递减， 从而， 故 9．（2024·山东枣庄·一模）已知. (1)讨论的单调性； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2). 【分析】（1）求导得，分，两种情况，求方程的解，分析的符号，进而可得的单调性． （2）化简不等式，证明，函数有唯一零点，由此证明，证明时，满足条件，时不满足条件即可. 【详解】（1）由题意知定义域为， 且. 令， ①当时，，所以在上单调递增. ②当时，，记的两根为， 则，且. 当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减. 综上所述：当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. （2），化简得. 设，则， 当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 又，所以，当且仅当取等号， 令，因为在上单调递增， 所以在上单调递增. 又因为， 所以存在唯一，使得①， 所以，当且仅当时取等号. ①当时，成立. ②当时，由①知. 所以与恒成立矛盾，不符合题意. 综上. 【点睛】方法点睛：对于恒成立问题，常用到以下两个结论：若有最值. （1）恒成立⇔；（2）恒成立⇔. 10．（2024·山东威海·一模）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)令.若曲线与存在公切线，求实数的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）求导，即可对讨论求解导函数的单调性，结合二次函数的性质求解， （2）设出切点，根据点斜式求解直线方程，根据公切线可得，进而可得，构造函数且求导，即可根据单调性求解函数的值域得解. 【详解】（1）， ①当时，的定义域为， 令，即得，所以， 因为，解得：； 令，解得：， ②当时，的定义域为， 令，即得，所以， 因为，解得：， 令，解得：， 综上：当时，的单调递增区间为，单调递减区间为 ； 当时，的单调递减区间为，单调递增区间为. （2）由题意知：设的切点横坐标，则在处的切线方程为.③ 设的切点横坐标，则在处的切线方程为.④ 联立③④，得， 当时，，代入方程组，不成立， 所以消去得. 设函数且. 令，得或. 令，解得且；令，解得或， 所以在和上单调递减，在和上单调递增， 因为， 结合图象可知，当时，方程有解， 从而当时，曲线与存在公切线. 【点睛】方法点睛： 1. 导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 2.利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用. 3.证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效. 考点04 求极值最值 通·模考通透 11．（2025·浙江温州·模拟预测）已知函数在处的切线垂直于轴． (1)求实数的值； (2)求函数的极小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求导，根据斜率即可求解， （2）求导，得函数的单调性，即可根据极值的定义求解. 【详解】（1）由可得， 则， 由于，故， （2）， 当或时，，当时，， 故在单调递增，在单调递减，在单调递增， 故的极小值为 12．（2025·江西·一模）已知函数． (1)当时，求的图象在点处的切线方程； (2)讨论的单调性，并求当的极大值等于时，实数的值． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）当时，求出、的值，利用导数的几何意义可得出所求切线的方程； （2）利用函数的单调性与导数的关系可求出函数的增区间和减区间，利用函数的极值与导数的关系，结合题意可求得实数的值. 【详解】（1）因为，所以，， 所以，又， 所以所求切线的方程为，即． （2）的定义域为， ， 当时，或． 由，得或，由，得， 则在和上单调递增，在上单调递减， 所以当时，取得极大值． 由，解得． 13．（2025·山东·模拟预测）已知函数． (1)当时，求在区间上的最值； (2)讨论的零点个数． 【答案】(1)． (2)答案见解析 【分析】（1）先求导函数，再根据导函数正负得出函数单调性，最后根据单调性得出最值即可； （2）先求导函数，再分类讨论根据导函数正负得出函数单调性，再构造函数结合函数值求解零点个数. 【详解】（1）由题意得的定义域为， 当时，． 当时，单调递减； 当时，单调递增， 所以在处取得极小值，也即最小值，为． 因为， ， 所以在处取得最大值1． 综上，． （2）令，得． 令，则． 当时，在上恒成立，所以在区间上单调递增． 又，故此时有唯一零点． 当时，． 令，得，所以在区间上单调递减； 令，得，所以在区间上单调递增． 所以． 令，则． 令，则． 当时，单调递增； 当时，单调递减．又， 所以当时，． ①当，即时，，此时有唯一零点． ②当，即时，． 因为，所以在区间上有唯一零点． ， 令，则， 所以， 则， 所以在区间上单调递减， 则． 又， 所以在区间上存在唯一零点，故在区间上有两个零点． ③当，即时，， 由函数零点存在定理可得在区间上有唯一零点， 故在区间上各有一个零点． 综上，当或时，有一个零点；当且时，有两个零点． 【点睛】关键点点睛：解题的关键是换元后构造函数结合函数单调性应用零点存在定理求解. 考点05 证明不等式 通·模考通透 14．（2024·广东·二模）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）求导，即可得直线斜率，进而可求解直线方程， （2）对分和，求导，即可根据单调性求解，或者将不等式变形为，构造，，分别利用导数求解函数的单调性，求得最值求解. 【详解】（1）， ，则， 曲线在点处的切线方程为. （2）解法1：定义域为. ①当时，，，则，即； ②当时，. 设，， 由于均在上单调递增，故在上单调递增，， 所以， 所以在上单调递增，，，即， 所以在上单调递增，，则， 综上所述，. 解法2：定义域为. 要证，只需证，只需证， 令，，， 当，，单调递减； 当，，单调递增， ， ， 当，，单调递增； 当，，单调递减， ， 综上所述，，也就是，即 【点睛】方法点睛：利用导数比较大小或者证明的基本步骤 (1)作差或变形； (2)构造新的函数； (3)利用导数研究的单调性或最值； (4)根据单调性及最值，得到所证不等式． 特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题． 15．（2024·安徽淮南·一模）已知函数． (1)求证：当时，； (2)若时，恒成立，求实数的取值范围； (3)求证：对任意． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）设，利用导数证明在上恒成立即可； （2）设，利用导数分和讨论的单调性和取值； （3）原命题等价于，结合（1）和（2）进行证明. 【详解】（1）设， 则， 设，，则， 所以在上单调递减，又， 所以在上恒成立，即在上恒成立， 所以在上单调递减，且， 所以在上恒成立， 所以当时，； （2）设，则， 当时，，则单调递增， 且，所以当时，恒成立， 当时，令，得， 当时，，则单调递减， 又，所以，不满足题意， 综上所述，的取值范围为. （3）原命题等价于， 由（2）知， 所以， 从而， 另一方面，由（1）在上恒成立，即， 所以， 从而当时，有， 当时，不等式也成立，所以， 综上所述，结论成立. 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤 （1）作差或变形． （2）构造新的函数． （3）(3)利用导数研究的单调性或最值． （4）根据单调性及最值，得到所证不等式． 特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题． 16．（2024·吉林长春·模拟预测）已知函数. (1)证明：； (2)证明：，. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）先证，即证，构造函数，其中，再证明，即证，构造函数，其中，利用导数分析函数、的单调性，即可证得结论成立； （2）由（1）变形得出，然后令，得，分别、、、、，结合不等式的基本性质可证得结论成立. 【详解】（1）（i）要证，即证， 构造函数，其中，则， 所以，函数在上单调递增， 所以，，即当时，有； （ii）要证，即证， 即证， 令，其中，则， 令，其中，则， 所以，函数在上单调递增，则， 所以，函数在上单调递增，则，即. 综上所述，当时，. （2）由（1）可知，当时，，变形可得， 令，得， 分别取、、、、得： ，，，，， 由不等式的基本性质可得，. 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下： （1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数； （2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论； （3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 考点06 恒成立 通·模考通透 17．（2025·云南大理·模拟预测）已知函数. (1)若，求函数在点处的切线方程； (2)若恒成立，求实数的取值范围； (3)求证：，. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可； （2）对定义域内，都有恒成立，即，令，利用导数求的最大值即可； （3）利用（2）中结论可得恒成立，将中的替换为，再利用对数的运算性质和等比数列的前项和公式证明即可. 【详解】（1）若，则，，， 所以切线斜率， 所以切线方程为，即. （2）若对定义域内，都有恒成立， 即恒成立，只需即可， 设，，则， 令，解得， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 所以， 故的取值范围为. （3）由（2）得当时，恒成立，即， 将中的替换为，显然， 则， 故， 即. 故. 18．（2025·云南昭通·一模）已知函数． (1)若，求函数的单调区间； (2)若对于任意，都有成立，求的取值范围． 【答案】(1)单调增区间为和，单调减区间为. (2) 【分析】（1）利用导数分析单调区间即可； （2）分离参数后构造函数，利用导数分析其单调性，求出最值即可； 【详解】（1）若，则， . 令，可得或；令，可得， 所以单调增区间为和，单调减区间为. （2）因为对于任意，都有成立， 所以对于任意，都有成立， 即对于任意，. 因为，所以对于任意，. 设，其中，则， 因为，所以， 当时，. 因此在上单调递增，在上单调递减， 所以， 所以，即，故的取值范围为. 19．（2025·江西九江·一模）已知函数，曲线在处的切线经过点 (1)求； (2)若，判断的单调性： (3)当时，，求的取值范围． 【答案】(1) (2)函数在上单调递增 (3) 【分析】（1）由导数的几何意义求得斜率，再结合斜率公式列出等式求解即可； （2）通过二次求导，结合导数与单调性的关系即可判断； （3）由，得，再由时，原不等式等价于构造函数求导，确定最值即可求解； 【详解】（1） ，切线斜率． 又切线经过点 解得． （2）由（1）知，，令，则 当时，在上单调递减，当时，在上单调递增 在上单调递增 （3）由题意得对任意的成立． ①当时， ②当时，原不等式等价于 设，则 由（2）知，当时，对任意的成立，即． 当时，，单调递增，当时，，单调递减 ，故的取值范围是 考点07 能成立有解 通·模考通透 20．（2025·辽宁·模拟预测）已知函数的图象的一条切线方程是. (1)求； (2)若关于的不等式有解，求的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）设切点，根据导数的几何意义求得，结合，构造，应用导数研究其零点，即可求参数值； （2）问题化为有解，构造研究不等式能成立求参数范围. 【详解】（1）设的图象与直线切于点，则①， ，则，即，代入①式得. 令，则， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以，当且仅当时取等号， 故，即. （2）由题意得有解，即有解. 令，则， 若，则，则，符合题意； 若，即，则，不符合题意； 若， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以，解得. 综上，的取值范围为. 21．（2024·四川乐山·三模）已知函数 (1)当时，讨论的单调性； (2)若存在，使得，求的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）求导，根据导数判断函数的单调性； （2）根据导数，对分情况讨论函数的单调性，进而可得函数最值情况，即可得解. 【详解】（1）当时，，， 则， 令，解得或（舍）， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 综上所述，在上单调递增，在上单调递减； （2）由题可知，令 当时，由可知，即，所以在为增函数. 对任意都有，符合题意. 由解得或. ，下面讨论与1的大小: ②当时，，则在上单调递增. 存在，使得. ③当时，，对任意都有，即 在上为减函数，恒成立，不符合题意. 综上所述，时，存在，使得. 【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是引入的分子作为新函数，再对进行合理地分类讨论. 22．（2025·陕西·一模）已知，函数在处取得极值． (1)求a； (2)证明：对任意的m，，都有； (3)若存在实数，使得成立，求k的最小整数值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)5． 【分析】（1）先求导，由在处取得极值，得解出验证即可； （2）设，验证的单调递增，即有，即可得证； （3）存在实数，使得成立，即成立．构造函数，即求即可. 【详解】（1）， 因为在处取得极值， 所以，所以， 解得． 经验证当时，在处取得极小值，符合题意， 故． （2）对任意的m，，设，则， 由（1）知，则在上单调递增， 所以当时，，即，所以在上单调递增， 因为，所以，即， 故． （3）存在实数，使得成立，即成立． 令，，则，， 令，则在上恒成立， 故在上单调递增． 又，， 故存在唯一的，使得，即． 当时，，即，当时，，即， 所以在上单调递减，在上单调递增， 故， 故，结合，得， 故k的最小整数值为5． 考点08 零点与方程的根 通·模考通透 23．（2025·山东·模拟预测）已知函数． (1)若曲线在点处的切线的斜率为（是自然对数的底数），求的值； (2)若有且只有两个零点，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可； （2）有且只有两个零点，可转化为有且只有两个大于1的实数根，令，利用导数画出的大致图象可知，即，令，再利用导数画出的图象，根据图象求解即可. 【详解】（1）由题意得的定义域为，， 则，即， 所以，即, 令，则, 又在区间上单调递增，且当时，， 所以，即，所以． （2）因为有且只有两个零点，所以有且只有两个大于1的实数根， 又， 所以方程，即有且只有两个大于1的实数根， 令，则， 由，解得，当时，，当时，， 所以在区间上单调递减且，在区间上单调递增且当时，，作出的图象，如图①， 又，所以， 要使，则，即有且只有两个大于1的实数根， 令，则， 当时，，当时，， 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减， 又，当时，，且无限趋近于0，作出的图象，如图②， 所以，即，故的取值范围是． 【点睛】思路点睛：根据函数零点个数求参数范围，一般采取参变分离，转化为两个函数图象的交点问题，然后利用导数研究单调性，结合函数变化趋势、极值等作出函数图象，结合函数图象即可得解. 24．（2025·湖南邵阳·一模）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若函数有2个零点，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线斜率，得到切线方程即可； （2）利用给定条件求出，再转化为交点问题求解即可. 【详解】（1）由题意知，， 令，则，. 故，，即切点为， 所求切线方程为，即. （2）由题意得， 当时，，故函数没有零点； 当时，令，得. 令，则，， 因为有2个零点，所以和有2个交点， 令，. 令，得. 当时，，单调递增； 当时，，单调递减. ，当时，；当时，； 当时，；当时，且. 实数的取值范围为. 25．（2025·河南郑州·模拟预测）已知函数. (1)当时，讨论的单调性； (2)证明：在上恒成立； (3)讨论方程在上的根的个数. 【答案】(1)当时，单调递减；当时，单调递增 (2)证明见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）求导，利用导函数的符号判断函数的单调性即可； （2）令，先利用导数证明恒成立，即可证明在上恒成立； （3）由（2）可知在上的根的个数即方程的根的个数，令，利用导数求的单调性进而得到的范围即可求解. 【详解】（1）由题意当时，则， 令解得， 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增． （2）先证明对任意，， 令，， 令解得， 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增． 所以，即， 故对任意成立，且当且仅当时取等号， 所以， 当且仅当时等号成立， 所以在上恒成立． （3）由（2），在上恒成立，当且仅当时等号成立， 也即的根为的根，下讨论方程的根的个数， 化简得，令，则， 令解得， 所以当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以， 又，且当时，，时，， 故当时，方程无实根；当时，方程有一个实根；当时，方程有两个实根；当时，方程有一个实根， 综上所述当时，方程无实根；当时，方程有一个实根；当时，方程有两个实根；当时，方程有一个实根． 考点09 双变量 通·模考通透 26．（2024·山西·模拟预测）已知函数. (1)若函数在定义域上单调递增，求的取值范围； (2)若；求证：； (3)设，是函数的两个极值点，求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）由题意得恒成立，参变分类求最值即可； （2）求导，确定其单调性得到，构造函数，求导确定其单调性得到，即可求证； （3）化简，将转化成，再构造函数，通过讨论其单调性即可求证. 【详解】（1）由题意知函数的定义域为， 在上恒成立， 所以在上恒成立， 又，当且仅当时，等号成立， 所以，即的取值范围是. （2）证明：若，，所以， 令，解得，所以当时，， 当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，当且仅当时，等号成立. 令，，所以， 令，解得，所以当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，当且仅当时，等号成立， 所以，又等号不同时成立， 所以. （3）证明：由题意可知， 因为有两个极值点，， 所以，是方程的两个不同的根， 则且 所以 ， 所以要证，即证， 即证，即证，即证. 令，则证明， 令，则， 所以在上单调递增，则，即， 所以原不等式成立. 【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略： 1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； 2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 27．（2024·广东佛山·二模）已知. (1)当时，求的单调区间； (2)若有两个极值点，，证明：. 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）求导后，借助导数的正负即可得原函数的单调性； （2）借助换元法，令，，，可得、是方程的两个正根，借助韦达定理可得，，即可用、表示，进而用表示，构造相关函数后借助导数研究其最大值即可得. 【详解】（1）当时，， ， 则当，即时，， 当，即时，， 故的单调递减区间为、，单调递增区间为； （2），令，即， 令，，则、是方程的两个正根， 则，即， 有，，即， 则 ， 要证，即证， 令， 则， 令，则， 则在上单调递减， 又，， 故存在，使，即， 则当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 则， 又，则，故， 即，即. 【点睛】关键点点睛：本题关键点在于借助换元法，令，，，从而可结合韦达定理得、的关系，即可用表示，构造相关函数后借助导数研究其最大值即可得. 考点10 隐零点 通·模考通透 28．（2024·江苏宿迁·模拟预测）已知函数 (1)求曲线在处的切线方程; (2)证明： 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用导数的几何意义结合直线方程的知识进行求解； （2）令，从而求得时，当时，则，结合，以及对勾函数的性质，进行求解. 【详解】（1）由题意可得，，则， 故曲线在处的切线方程为，即 （2）， 设，则，故在区间上单调递增， 而，， 必然存在，满足， 且当时，当时， 即在区间上单调递减，在区间上单调递增， 当时，取得最小值， 则 ， 由可得，， 对勾函数在区间上单调递增， 当时，， 【点睛】关键点睛：解答导数的综合应用问题，关键是要根据题目特点，构造函数，进而结合导数与函数的单调性以及极值最值的关系进行求解. 29．（2023·贵州·一模）已知． (1)讨论的单调性； (2)若对恒成立，求整数a的最小值． 【答案】(1)分类讨论，答案见解析； (2)2 【分析】（1）求导，根据和两种情况讨论. （2）把不等式分离参量得，求函数的最大值，但是求导后求不出具体的根，所以设隐零点，整体代入求解. 【详解】（1）的定义域为， （ⅰ）当时，，∴在上单调递增； （ⅱ）当时，令， 令， ∴当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减． （2）由，可得：， ∵，∴原命题等价于对恒成立． 令，∴， 令，∴，∴在上单调递增． 又， 故存在唯一的，使得． 当时，，∴， ∴在上单调递增， 当时，，∴， ∴在上单调递减． ∴， ∴时，恒成立． ∴，又，∴a的最小整数值为2． 【点睛】求某个函数的单调性时，发现极值点不容易求出，则用隐零点解决. 第一步设出隐零点，然后代入得到等式， 第二步根据设出的隐零点得到函数的单调区间，求出函数的极值 第三步极值分离出代入，化简成新的表达式 第四步求的最值. 30．（2024·广东·模拟预测）设函数，e为自然对数的底数. （1）若在上单调递增，求的取值范围； （2）证明：若，则． 【答案】（1）（2）见解析 【解析】(1)利用导函数恒成立,求解即可. (2)利用(1)中的结论与零点存在定理可得存在,使得,再利用隐零点的方法,求得在上的最小值,再代入极值点的关系化简证明即可. 【详解】解：（1）因为在上单调递增, 所以恒成立.                       令,当,                      在上单调递增, 依题意有,得                              （2）由（1）可知,在上单调递增,当时, ,,                              存在,使得,                         且当时,,即,在上单调递减 当时,,即,在上单调递增 所以在上的最小值为          ,,,                    ,即成立                                             或者                 ,                                                  ,即成立 【点睛】本题主要考查了函数恒成立的问题,同时也考查了隐零点问题的应用,需要根据题意列出对应的不等式,再根据导数求解单调性与极值的方法证明即可.属于难题. 考点11 极值点偏移 通·模考通透 31．（2024·江苏扬州·模拟预测）已知函数． (1)若恒成立，求的取值范围； (2)若有两个不同的零点，证明． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）直接用导数求出的最大值即可； （2）构造并证明时，并对该不等式代入特殊值即可得证. 【详解】（1）首先由可知的定义域是，从而. 故，从而当时，当时. 故在上递增，在上递减，所以具有最大值. 所以命题等价于，即. 所以的取值范围是. （2）不妨设，由于在上递增，在上递减，故一定有. 在的范围内定义函数. 则，所以单调递增. 这表明时，即. 又因为，且和都大于， 故由在上的单调性知，即. 32．（2024·四川眉山·三模）已知函数. (1)若过点可作曲线两条切线，求的取值范围； (2)若有两个不同极值点. ①求的取值范围； ②当时，证明：. 【答案】(1)； (2)①；②证明见解析. 【分析】（1）求出函数的导数，设出切点坐标，求出切线方程，结合切线过的点构造函数，探讨函数有两个零点的的值范围. （2）①由有两个零点，结合零点的意义分离参数，求出直线与函数图象有两个公共点的的值范围；②由方程根的意义可得，分析所证不等式，换元并证明即可. 【详解】（1）依题意，， 设过点的直线与曲线相切时的切点为，斜率， 切线方程为，而点在切线上， 则，即有， 由过点可作曲线两条切线，得方程有两个不相等的实数根， 令，则函数有2个零点， 求导得， ①若，由，得或，由，得， 即函数在，上单调递增，在上单调递减， 则当时，取得极大值；当时，取得极小值， 又， 当时，恒成立，因此函数最多1个零点，不合题意； ②若，恒成立，函数在上单调递增， 因此函数最多1个零点，不合题意； ③若，由，得或，由，得， 即函数在，上单调递增，在上单调递减， 则当时，取得极大值；当时，取得极小值，又， 显然当时，恒成立，因此函数最多1个零点，不合题意； ④若，显然，当时，，当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，当时，取得最大值， 要函数有2个零点，必有，得， 当时，， 而函数在上的值域为，因此在上的值域为， 当时，令，求导得，函数在上单调递减， 则，， 而函数在上单调递减，值域为， 因此函数在上的值域为， 于是当时，函数有两个零点， 所以过点可作曲线两条切线时，的取值范围是. （2）①由（1）知，， 由函数有两个极值点，得，即有两个实数根， 令，求导得，当时，，当时，， 函数在上单调递增，上单调递减，， 且，当时，函数恒成立，因此当时，有两个实数根 所以函数有两个极点时，的取值范围是. ②由，即，得， 要证明，只需证明， 而， 令，则，欲证明， 即证明，只需证明即可， 令， 求导得， 则在时单调递增，故， 则，令在时单调递增，则， 因此，即， 所以. 【点睛】思路点睛：涉及函数的双零点问题，不管待证的是两个变量的不等式，还是导函数的值的不等式，都是把双变量的等式或不等式转化为一元变量问题求解，途径都是构造一元函数. 33．（2024·广东湛江·一模）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若方程有两个根，，求实数a的取值范围，并证明：． 【答案】(1)在上单调递增，上单调递减， (2)见解析 【分析】（1）求出，根据导数的符号判断函数的单调性； （2）由，得，设，画出的图象可得；由，设，对求导可得，又，再由在上单调递减，可得，即可证明. 【详解】（1）由题意可得，所以， 的定义域为， 又，由，得， 当时，，则在上单调递增， 当时，，则在上单调递减， （2）由，得，设， ，由，得， 当时，，则在上单调递增， 当时，，则在上单调递减， 又，，且当趋近于正无穷，趋近于， 的图象如下图， 所以当时，方程有两个根， 证明：不妨设，则，， 设， ，所以在上单调递增， 又，所以，即， 又，所以， 又，，在上单调递减，所以， 故. 【点睛】关键点点睛：（1）解此问的关键在于求出的导数，并能根据导数的符号结合相关知识判断出单调性；（2）解此问的关键在于把转化为来证，又，构造，对求导，得到的单调性和最值可证得，即可证明. 34．（2025·江西新余·模拟预测）已知函数，. (1)当时，证明：； (2)若在单调递增，求的取值范围； (3)若且，证明：. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）通过构造函数，利用导数研究函数单调性来证明不等式； （2）先求出的导数，根据函数单调递增的条件转化为不等式恒成立问题，进而求解的取值范围； （3）结合（1）（2）运用增强函数法，或者构造函数，运用极值点偏移法，结合函数的单调性和所给条件，通过巧妙构造函数来证明不等式. 【详解】（1）令， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增，所以，即 令，， 令，， 当时，，单调递减，， 故：，单调递减，，故： 所以： （2）， 当时，令，则：，为使单调递增，则，即恒成立，. ①时，，，单调递增，，，此时不恒成立，舍去 ②时，令，则在单调递减，在单调递增， 所以有最小值，即：，而由（1）得：，所以当且仅当 所以. （3）法一：增强函数法： 在（2）中取，， 由于单调递增，不妨设，故， 又，则，即：，即： 又由（1）得：，令，则：， 所以：，即： 法二：极值点偏移： 令，，所以在单调递增，记，要证，即证：，，，故单调递增， 记==0，即：， 所以，要证：，即证： 即证：，即证：，即证： ， ，下面证明：当时， ：即证：， 又因为：，，所以： ， 当且仅当时等号成立，由于易知单调递增， 所以当且仅当时等号成立；即证：， 即证：，而当且仅当时等号成立，取等条件相同 所以，故单调递增，又， 所以成立，所以成立. 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤 （1）作差或变形； （2）构造新的函数； （3）利用导数研究的单调性或最值； （4）根据单调性及最值，得到所证不等式． 特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题． 练·抢分演练 1．（2025·山东潍坊·模拟预测）已知函数，． (1)若恒成立，求a的最小值； (2)若是的极小值点，求n的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）等价变形不等式，分离参数构造函数，求出函数的最大值即可. （2）利用极小值点可得，再分类讨论导数值正负确定极小值即可求出范围. 【详解】（1）函数的定义域为，不等式， 则，令，求导得， 当时，，当时，，函数在上递增，在上递减， 于是，则， 所以a的最小值为. （2）依题意，， 求导得，由是的极小值点，得， 则，， 当时，由，得；由，得，是的极大值点，不符合题意； 当时，由，得；由，是或，是的极大值点，不符合题意； 当时，恒有成立，当且仅当时取等号，单调递减，无极值点，不符合题意； 对于时，由，得；由，是或，是的极小值点，符合题意， 所以n的取值范围是. 2．（2025·福建·模拟预测）已知函数． (1)若曲线在点处的切线为l，l不过原点，且l在坐标轴上的截距相等，求a的值； (2)当时，若恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）求导，根据题意得到切线l的斜率为，从而得到方程，求出； （2）令，求导，得到的单调区间，得到，当时，得到，当，参变分离得到，令，求导得到单调性，从而有，故，综上，的取值范围为. 【详解】（1）由， 又由切线l在坐标轴上的截距相等，l不过原点，故切线l的斜率为， 可得， 故； （2）令，则， 有，令，有，令得， 可得函数的减区间为，增区间为， 可得， 当时，，有，可得； 当时，，可化为， 令，有， 又由函数单调递增，且， 可得函数的减区间为，增区间为， 有，故， 由上知实数的取值范围为. 【点睛】对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件. 3．（2025·陕西榆林·二模）已知函数. (1)求的单调区间； (2)已知直线是曲线的切线，且对恒成立，求的最大值. 【答案】(1)在上单调递增，在上单调递减. (2) 【分析】（1）求出导函数，令，根据导函数的符号即可确定函数的单调区间； （2）由（1）求出函数最大值，将分成和两种情形，分别讨论对恒成立是否满足，即得的最大值. 【详解】（1），             令得，当时，；当时，.             因此在上单调递增，在上单调递减.          （2）由（1）知，.          当时，直线是曲线的切线，且对恒成立，满足题意；    当时，设直线与曲线相切于点，， 因为，所以，又，因此，             又因为，所以，，          取，则，， 因此存在，使得，不满足题意. 综上，的最大值为. 4．（2025·陕西咸阳·一模）已知函数． (1)若，求a的值； (2)设，求证：． 【答案】(1)1 (2)证明见详解 【分析】（1）根据题意注意到，可得，解得，并代入检验即可； （2）由（1）可得，令，可得，累加即可得结果. 【详解】（1）因为，且的定义域为， 则， 若，注意到， 可得，解得， 当时，则，， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 可得，符合题意； 综上所述：a的值为1. （2）由（1）可得：，即，当且仅当时，等号成立， 令，可得， 即， 累加可得：， 又因为， 即， 所以. 5．（2025·江苏苏州·模拟预测）已知函数，其中，e为自然对数的底数. (1)若，讨论的单调性； (2)若，对任意，都有，同时在上存在两个极值点m，n，求的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）当a = 0时，根据导函数正负分类讨论求出单调区间； （2）构造函数，结合函数的单调性，再应用极值点个数列不等式计算求参. 【详解】（1）当a = 0时，， 时，,在R上单调递增， 时，，在单调递减， ，在单调递增. （2）设，因为， 所以化简得，设，则， 则在单调递减， 所以在，，所以恒成立， 设，，则在单调递增，则， 因为在上存在两个极值点m，n，所以有两个根，则在上有两个根， 所以，， 设，， 则，在单调递增，则，在单调递减，所以， 所以，所以，则， 综上. 6．（2025·浙江·一模）已知函数，其中. (1)若函数是偶函数，求； (2)当时，讨论函数在上的零点个数； (3)若，，求的取值范围. 【答案】(1) (2)两个零点 (3) 【分析】（1）由偶函数的定理建立等式，求出； （2）代入，得到，写出，令后在求导.由解析式可知当时，恒成立.当时，，得到单调递增，由二分法知道在存在唯一零点.由此知道函数的单调区间，再由二分法得到函数零点. （3）当时，恒成立，所以当时，由，求出的范围.再将的范围分为，，三个范围，由三角函数的性质以及导函数判断函数单调性建立不等式，最后求出的范围. 【详解】（1）因为函数是偶函数，所以. 即， 解得：. （2）当时，. ，， 令，则. 当时，， 当时，，单调递增， 又，， 所以存在，使得. ，，单调递减，，，单调递增， 而，，，所以在上存在一个零点. 综上，函数在有两个零点. （3）当时，；当时，， 则. （ⅰ）当时，，，成立； （ⅱ）当时， 若，则，单调递增， 所以； 若，则，，成立； （ⅲ）当时，若，则成立； 只要考虑，此时令， 则，递增，，， 所以存在，使得， 若，则，递减；若，则，递增. 所以，解得. 此时，所以，从而. 综上，. 【点睛】方法点睛，本题是函数综合问题，考查了利用导函数得到函数单调性，由函数单调性解决不等式恒成立问题.本题需要先通过三角函数的值域先得到不等式在某个区间恒成立，再通过某个特殊值得到的范围，然后通过函数解析式的特殊性，分别讨论的范围内不等式恒成立.本题用到了隐零点的方法求得函数的最小值，要想不等式大于等于零恒成立，转变为最小值大于等于零，然后解得的范围. 7．（2025·浙江温州·模拟预测）已知函数． (1)当时，判断的奇偶性； (2)当为偶数时，方程有解，求的最小值； (3)若存在，使得关于的不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)偶函数 (2)24 (3) 【分析】（1）根据偶函数的定义即可求解， （2）根据函数的周期性以及对称性，将问题转化为的值域，求导，根据函数的单调性即可求解， （3）对分奇偶，结合是偶数时， 恒有，将问题转化为恒成立，分离参数即可求解，当是奇数时，根据，即可求解. 【详解】（1）当时，， 则， 故为偶函数， （2）当n为偶数时， 由于， 则的周期为，且关于对称， 所以只需要讨论在上的值域， 由于，， 故恒成立，所以在单调递减， ， 所以， 其中时，， 时，， 故的最小值为24， （3）当是偶数时，由（2）知， 故恒有，当时恒为1， 要使存在，使得关于的不等式恒成立， 所以只需要恒成立， 由于， 当时，恒成立，只需要， 当时，恒成立，只需要， 因此是偶数时，， 当是奇数时，设，则恒成立， 而，从而， 令，， 取 反之当时， 令，等式左边， 所以等式左边的最小值为 ，综上可得 【点睛】方法点睛： 1. 导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 2.利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用. 3.证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效. 8．（2025·山东日照·一模）已知函数． (1)当时，讨论函数的单调性； (2)当时，若曲线上的动点到直线距离的最小值为（为自然对数的底数）． ①求实数的值； ②求证：． 【答案】(1)函数的单调递增区间为，单调递减区间为 (2)① ；②证明见解析 【分析】（1）对函数求导，结合a的取值范围分析可得函数的单调区间； （2）①利用导数的几何意义，结合动点到直线的最小值列等式即可求出a的值；②分和两种情况讨论，利用导数研究函数的单调性及最值，则不等式可得证. 【详解】（1）函数的定义域为， 因为，令，得：，令，得：， 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为． （2）①由（1）知：．由， 又，所以切点， 由（1）可知，切点在直线的上方， 所以，整理得， 设，则， （也可构造） 设，则在上恒成立． 所以在单调递增． 又，又，方程只有1解：． ②依题意：要证， 当时，，令， 在上单调递增 ，所以不等式成立； 当时，要证，即． 设，则． 设．则． 当时，，所以． 所以在上单调递减． 所以，即． 所以在上单调递减，， 即当时，成立． 综上：当时，在上恒成立． 9．（2025·新疆乌鲁木齐·一模）已知. (1)求证：当时，； (2)设. （ⅰ）求证：数列为递减数列； （ⅱ）求证：. 【答案】(1)证明见解析 (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）证明见解析 【分析】（1）对函数求导，并构造，利用导数判断出函数的单调性和最值，即可证明出不等式； （2）（ⅰ），令，，构造函数并求导，即可求解函数的单调性，从而得到数列的单调性，即可得证. （ⅱ）由题意结合，得，利用（1）可得，从而有，结合放缩法可得，又由（ⅰ）知，，即可证得结果. 【详解】（1）由得， 令，则 当时，，所以函数在上单调递增， 又∵，∴， ∴在上单调递增， ∵，∴. （2）（i）由题意可得：， 令，，即. 令，， ∵， ∴在上单调递减， ∵，∴， ∴，， ∴为递减数列； （ⅱ）由（i）可知，， ∵， ∴， 由（1）可知，当时，，即， 当时，， ∴, ∴. 又， ∴. 【点睛】关键点点睛：利用导数证不等式的基本步骤 (1)作差或变形； (2)构造新的函数； (3)利用导数研究的单调性或最值； (4)根据单调性及最值，得到所证不等式． 10．（2025·福建厦门·一模）设函数． (1)当时，求的单调区间； (2)若是增函数，求a的取值范围； (3)当时，设为的极小值点，证明：． 【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为． (2) (3)证明见解析 【分析】（1）在时，根据导函数的符号即可求得原函数的单调区间； （2）求出，设，求导推得，根据参数分，和三种情形，讨论函数的单调性和零点情况，即得其取值范围； （3）设为的零点，推得，，分段讨论函数的单调性，推出，即得，即，则，设，求导得出在上的单调性，即可求出其范围，即得证. 【详解】（1）当时，，， 因当时，，当时，， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为． （2）因， 设，， 当时，，当时，， 则在上单调递减，在上单调递增， 故时，取得极小值， （ⅰ）所以当时，，，所以，单调递增，符合题意； （ⅱ）当时，， 因为趋近于时，趋近于，趋近于时，趋近于， 所以存在两个零点， 即存在区间使得，所以不恒成立，不合题意； （ⅲ）当时，若，因为的零点为，且， 则与有唯一相同零点且零点两侧函数值符号相同， 所以，解得， 此时，当时； 当时，则 所以综上a的取值范围为. （3）当时，，，设为的零点，则， 因为，所以， 当时，，，故，在单调递增， 当时，，，所以，在单调递减， 当时，，，所以，在单调递增， 所以，且，即， 所以， 设，则，在上单调递增， 所以，且，故得． 【点睛】思路点睛：本题主要考查根据函数的单调性、极值点求参数范围的问题，属于较难题. 对于已知函数的单调性求参问题，一般考虑对函数求导，根据参数分类讨论函数的图象性质进行分析取舍；对于已知极值点问题，一般利用导函数方程的根的情况进行简化所求式，结合函数的值域即可. $$