第1章 直角三角形（单元测试·培优卷）-2024-2025学年八年级数学下册基础知识专项突破讲与练（湘教版）

第1章 直角三角形（单元测试·培优卷） 一、选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求） 1．（23-24八年级上·贵州毕节·期末）下列四个数中，可以和，构成一组勾股数的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·广西北海·阶段练习）如图，在中，，，交于点D，，则的长是（   ） A．10 B．12 C．16 D．18 3．（24-25八年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，在中，，，是的高，且，则的长为（   ） A．3 B．5 C．8 D．9 4．（23-24八年级下·山东淄博·期末）《九章算术》“勾股”章有一题：“今有二人同所立．甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲、乙行各几何．”大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲每单位时间走7步，乙每单位时间走3步．乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多远？若设甲走了x步，则由题意下面所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·浙江衢州·期末）如图，三个正方形的面积分别为，，，且K是中点．若，，，则的长为（ ） A． B． C． D．5 6．（24-25八年级上·山西晋城·阶段练习）如图，已知M为等边外的一点，，，点N，P分别在，上，连接、、，若平分，，，则的长为（   ） A．15 B．14 C．13 D．12 7．（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，已知，一个智能机器人在内，到点的距离为1米的点处，智能机器人从点出发走到边上的点，即刻转身走到边边上点，然后回到点处，则智能机器人走的最短路程是（   ） A．1米 B．米 C．米 D．2米 8．（23-24八年级上·浙江温州·阶段练习）如图，在等腰直角三角形中，是斜边的中点，是上一点，分别过，作射线的垂线，，垂足分别为，，连结并延长交于若和的面积分别记作和，且，则的面积是（　　　） A． B． C． D． 9．（24-25八年级上·广东梅州·期中）我们知道，若一组勾股数为，，，则；若一组勾股数为，，，则；若一组勾股数为，，，则；若一组勾股数为，，，则．若一组勾股数为，，（），则的值为（   ） A． B． C． D． 10．（24-25八年级上·山东济宁·期中）如图，在中，，，过点A作，垂足为，过点作，垂足为，过点作，垂足为，过点作，垂足为，按照这种方法继续操作下去．若，则的长度为（   ）    A． B． C． D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）如图，在中，，于点，，是斜边的中点，则的度数为 ． 12．（24-25八年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在中，高交于点，若的面积为，则的长为 ． 13．（24-25九年级上·广东江门·期末）如图，在中，，把绕点B逆时针旋转，得到，点E在上，若，，那么的面积是 ． 14．（23-24八年级下·四川德阳·阶段练习）如图在中，、分别是、的中点，，，，则的长为 ． 15．（23-24八年级上·陕西西安·期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，则 ．    16．（24-25八年级上·山西长治·期中）如图，在中，为边上一点，为延长线上一点，且，连接交边于点，且，于点．若，则的长为 ． 17．（24-25九年级上·广东佛山·阶段练习）如图，在中，分别以B、C两点为圆心，大于的长为半径画圆弧，两弧交于M、N，连接交的平分线于点D，过点D作，F为垂足，若，则的长为 ． 18．（23-24八年级上·广东佛山·期末）如图，在中，，，，是是的平分线，是线段上一点，是线段上一点，则的最小值为 ． 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（24-25八年级上·河南许昌·期末）如图，中，，是边上一点，过点作，垂足为，交的延长线于点． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 20．（本小题满分8分）（24-25八年级上·江苏徐州·期末）如图，在长方形中，，，为上的点，将沿折叠，使点落在长方形纳的点处．连接，已知． （1）求证：为直角三角形； （2）求线段的长． 21．（本小题满分10分）（22-23八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，在中，，是上的一点，，过点作的垂线交于点，连接、，相交于点． （1）求证：； （2）若，试判断的形状，并说明理由． 22．（本小题满分10分）（23-24八年级上·内蒙古通辽·期中）如图，已知，， （1）求证：； （2）猜想：和是否垂直？若垂直，请说明理由；若不垂直，则只写出结论，不用写理由．（延长交点，交点） 23．（本小题满分10分）（24-25八年级上·河北沧州·期中）如图1，图2，在中，为的平分线上一点． （1）如图1，当点在线段上时，平分，分别交于点，求的度数； （2）如图2，当点在的外部时，过点作，交于点，交的延长线于点，且． ①连接．求证：点在的垂直平分线上； ②若，则 ． 24．（本小题满分12分）（24-25八年级上·江苏徐州·期中）（1）观察推理：如图1，在中，，，直线l过点C，点A、B在直线l的同侧，，垂足为D，，垂足为E．求证：； （2）类比探究：如图2，中，，，将斜边绕点A逆时针旋转至，连接，求的面积； （3）拓展提升：如图3，等边中，，点O在上，且，动点P从点B出发沿射线以的速度运动，连接，将线段绕点O逆时针旋转得到线段，要使点Q恰好落在射线上，求点P的运动时间t． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D C A A C B B A C 1．B 【分析】本题主要考查了勾股数．如果三个正整数满足，则这三个数就是勾股数，设可以和，构成勾股数的另一个数为，当时，有，当时，有，分情况求出的值，再根据勾股数必须为正整数进行判断． 解：设可以和，构成勾股数的另一个数为， 当时，有， 解得：或（舍去）， 当时，有， 解得：（不是整数，舍去）， 可以和，构成勾股数的是， 故选： B． 2．D 【分析】本题考查了直角三角形，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质，直角三角形的性质．先根据等腰三角形的性质得出，再由得出，，再由直角三角形的性质即可得出结论． 解：，， ， 交于点，， ， ， ， ， 在中，， ， ． 故选：D． 3．C 【分析】本题考查了直角三角形的性质，能熟记直角三角形角所对的直角边为斜边的一半是解此题的关键． 根据直角三角形的两锐角互余可证出，根据直角三角形中角所对直角边是斜边一半的性质，即可求得的长 解：∵， ∴， ∵是的高， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 4．A 【分析】本题主要考查了列代数式、勾股定理等知识点，由题意得到甲走的路线与乙走的路线组成直角三角形成为解题的关键.由题意可得甲走的路线与乙走的路线组成直角三角形，再根据题意可得、、，然后根据勾股定理列出方程即可． 解：根据题意可得，如图：甲走的路线与乙走的路线组成直角三角形， 设甲走了x步，则斜向北偏东方向走了步，乙向东走了步， 即：，，， 根据题意可得：，即， 故选A． 5．A 【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理，直角三角形斜边上的中线的性质，熟练掌握用勾股定理的逆定理判定三角形是直角三角形是解题的关键．根据正方形的面积公式求出，，，，所以，从而得出，再根据直角三角形斜边上的中线的性质解答即可． 解：正方形的面积， ∴， 正方形的面积， ∴， ∴， 正方形的面积的， ， ∴， ∴ ， 是中点， ， 故选：A． 6．C 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关性质定理成为解题的关键． 由等边三角形的性质可得，再由等腰三角形的性质可得，易得；如图：过M作，垂足为Q，由角平分线的性质定理可得，然后分别证明、可得、，最后根据线段的和差即可解答． 解：∵等边， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 如图：过M作，垂足为Q， ∵平分，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 故选C． 7．B 【分析】本题考查了轴对称的性质，两点之间线段最短，以及勾股定理． 作点P关于的对称点，关于对称点N，连接，交于E，交于F，由轴对称的性质可得，此时智能机器人走的路程最短．求出，然后利用勾股定理即可求解． 解：如图，作点P关于的对称点，关于对称点N，连接，交于E，交于F， 则米，， ∴， ∴此时智能机器人走的路程最短． ∵，， ∴， ∴米． 故选B． 8．B 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 连接，由是等腰斜边中点，则，证明，，设，，由可得，故面积． 解：连接， ∵是等腰斜边中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 设， 由，得， 设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴面积， 故选：． 9．A 【分析】此题考查勾股数有关的规律探究．根据题意可得，求得的值，即可求解． 解：依题意，， 则， 解得，则， 所以． 故选：A． 10．C 【分析】本题考查了图形类规律探索、含30度角的直角三角形的性质、勾股定理等知识，正确归纳类推出一般规律是解题关键．利用勾股定理和含30度角的直角三角形的性质可得，同样的方法可求出，，，由此归纳类推出一般规律即可得． 解：∵在中，，，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 同理可得：，，， 归纳类推得：， 故选：C． 11． 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线，解题的关键是掌握直角三角形斜边中线的性质． 根据直角三角形两锐角互余分别求出，的度数，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半可得， 算出的度数， 根据即可求解． 解：∵是直角三角形，， ∴， ∵， ∴在中，， 同理， 在中，， ∵点是中点， 即， ∴， ∴， 故答案为： ． 12． 【分析】本题考查全等三角形证判定及性质，直角三角形的判定，三角形面积公式等，熟练掌握全等三角形证判定及性质是解题的关键．以为边，点为顶点作，延长与交于点，先通过角度等量代换证明，再依据全等三角形证明，进而利用三角形面积公式即可求解． 解：如图，以为边，点为顶点作，延长与交于点， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的高， ∴， ∴ ∵，， ∴（）， ∴． ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 13．30 【分析】本题考查了勾股定理、旋转的性质、三角形的面积公式等知识，推导出，且于点E是解题的关键． 根据勾股定理求得，由旋转得，，则于点E，所以，于是得到问题的答案． 解：∵，，， ∴， ∵把绕着B点逆时针旋转，得到， ∴，， ∴， ∴， ∴的面积为30， 故答案为：30． 14． 【分析】本题考查了勾股定理，解二元二次方程组，本题中根据和求出、的长度是解题的关键． 设，，根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方得出，，解方程组可求得、，根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方即可求解． 解：设，，， 在中，， 在中，， 即， 解得：， 在中，， 故答案为：． 15．17 【分析】根据垂直的定义和勾股定理解答即可； 解：∵， 由勾股定理得， 故答案为：17． 【点拨】本题考查的是垂直的定义，勾股定理的应用，正确理解“垂美”四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键． 16．4 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质．过点Q作交的延长线于点N，先证明，得，再证明，得，然后证明，据此即可得出结论． 解：如图，过点Q作交的延长线于点N， ∵，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：4． 17． 【分析】连接，根据基本作图，得直线是线段的垂直平分线，利用全等三角形的性质，垂直平分线的性质，角的平分线性质解答即可． 本题考查了全等三角形的性质，垂直平分线的性质，角的平分线性质，熟练掌握性质是解题的关键． 解：连接，根据基本作图，得直线是线段的垂直平分线， ∴， 过点D作于点G， ∵，是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴． ∴， 设， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， 解得， 故． 故答案为：． 18． 【分析】本题考查轴对称﹣最短路线问题，角平分线的定义质，勾股定理，能用一条线段的长表示两线段和的最小值是解题的关键；作关于的对称点，则，当时，取得最小值，过点作于点，则的长，即为的最小值，勾股定理求得斜边长，然后根据等面积法，即可求解． 解：如图所示，作关于的对称点， ∴， ∵是是的平分线， ∴在上，， ∴， 当时，取得最小值， 过点作于点，则的长，即为的最小值， ∵在中，，，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 19．（1）见分析；（2） 【分析】（1）根据等边对等角得出，结合垂直和直角三角形的两锐角互余得出，，根据等角的余角相等，得出，结合对顶角相等和等角对等边即可证明； （2）结合题意和直角三角形的两锐角互余得出，根据直角三角形中角所对的边是斜边的一半得出，即可求解． 解：（1）证明：∵， ∴， ∵， 即， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． 【点拨】本题考查了等边对等角，直角三角形的两锐角互余，直角三角形中角所对的边是斜边的一半，等角的余角相等，等角对的等边，对顶角相等等；熟练掌握等腰三角形的判定和性质以及直角三角形的性质是解题的关键． 20．（1）见分析；（2）2． 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理以及勾股逆定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先由折叠得，结合故，即可作答． （2）由折叠，可知．得证三点共线．再，则，结合勾股定理列式，再代入数值计算，即可作答． 解：（1）证明：由折叠，可知． ∵且， ∴． 根据勾股定理的逆定理，是直角三角形． （2）解：由折叠，可知． ∵， ∴， ∴三点共线． 设，则， ∵， ∴． 在中，由勾股定理，得， 即． 解得． 即线段的长为2． 21．（1）证明见分析；（2）等边三角形，理由见分析 【分析】（1）利用证明，进而可得，然后利用三线合一即可得出结论； （2）由直角三角形的两个锐角互余可得，再结合，即可得出的形状． 解：（1）证明：，且， ， 在和中， ， ， ， ， ， 即：； （2）解：是等边三角形，理由如下： ，， ， 又， 是等边三角形． 【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定，三线合一，直角三角形的两个锐角互余等知识点，熟练掌握全等三角形的判定与性质及等边三角形的判定是解题的关键． 22．（1）证明见分析；（2），理由见分析 【分析】本题考查三角形综合，涉及三角形全等的判定与性质、直角三角形两锐角互余等知识，熟记相关几何性质，灵活运用是解决问题的关键． （1）根据题意，得到，再由三角形全等的判定与性质求证即可； （2）延长交点，交点，如图所示，结合直角三角形性质，由（1）中全等的性质，在中，得出即可得证． 解：（1）证明：， ，即， 在和中， ， ， ； （2）解：． 理由如下： 延长交点，交点，如图所示： 在中，，，则， ， 由（1）中可知， ， 在中，，则， ． 23．（1）；（2）①证明见分析，②2 【分析】（1）根据直角三角形性质得，根据角平分线定义得，，根据三角形外角性质得； （2）①连接，如图所示，根据角平分线性质得，结合，得，得，即得点在线段的垂直平分线上；②求出，根据，得，得，得，即得． 解：（1）解：∵在中，， ∴， ∵平分平分， ∴，， ∴； （2）①证明：连接，如图所示： ∵平分，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点在的垂直平分线上； ②解：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2． 【点拨】本题属于三角形综合题，主要考查了直角三角形的性质、三角形外角性质、角平分线定义和性质、全等三角形的判定和性质、线段垂直平分线判定等知识，解答本题的关键是添加辅助线，构造全等三角形解决问题． 24．（1）见分析；（2）8；（3） 【分析】（1）由可证； （2）由可证，可得，由三角形的面积公式可求解； （3）当点Q在射线上时，求出，由旋转的性质结合等边三角形的性质，求出，易得，证明，推出，进而求出，然后计算点P运动的时间t． 解：（1）证明：， ， ， ， ， 在和中， ， ； （2）解：如图2，作于D， ，， ， ∵斜边绕点A逆时针旋转至， ， 即， 而， ， 在和中， ， ， ， 的面积； （3）解：如图3，当点Q在射线上时， ，， ， ∵线段绕点O逆时针旋转得到线段， ， ， 为等边三角形， ， ， ， ， 在和， ， ， ， ， ∴点P运动的时间． 【点拨】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，旋转的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$