专题01 直角三角形（考题猜想，13大题型）-2024-2025学年八年级数学下学期期末考点大串讲（湘教版）

专题01 直角三角形（13大题型） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 利用直角三角形的性质证明 · 题型二 构造含30°角的直角三角形并进行计算（易错） · 题型三 用勾股定理解三角形 · 题型四 勾股定理与网格问题 · 题型五 以弦图为背景的计算题（高频） · 题型六 判断三边能否构成直角三角形 · 题型七 勾股定理在折叠中的应用（难点） · 题型八 勾股定理的应用（重点） · 题型九 利用勾股定理的逆定理求解 · 题型十 勾股定理逆定理的实际应用 · 题型十一 直角三角形全等的综合运用（难点） · 题型十二 利用角平分线的性质求解 · 题型十三 角平分线的性质定理及其逆定理的综合运用（重点） 题型一 利用直角三角形的性质证明 1．（23-24七年级上·湖南衡阳·期末）如图所示，在中，，是高，是三角形的角平分线． (1)当，时，求的度数； (2)判断、与之间有怎样的等量关系，并说明理由． 2．（24-25八年级上·湖南长沙·期末）如图，在中，，是边上的中点，连接，平分交于点，过点作交于点． (1)若，求 的度数； (2)求证：． 3．（24-25八年级上·湖南永州·期末）“一线三等角”，是我们学习三角形知识经常用到的经典模型． (1)如图1，为等腰直角三角形，，，D、A、E三点都在直线l上，且，若，则 ． (2)如图2，，，，连接，且于点G，与直线交于点，求证：点是的中点． (3)如图3，过的边向外作正方形、正方形，是边上的高，延长交于点I，，求的面积． 4．（23-24八年级下·湖南岳阳·期末）在中，，，点是的中点，，垂足为E，连接． (1)如图1，与的数量关系是__________． (2)如图2，若P是线段上一动点（点P不与点B、C重合），连接，将线段绕点D逆时针旋转得到线段，连接，请猜想三者之间的数量关系，并证明你的结论； 题型二 构造含 30°角的直角三角形并进行计算 5．（24-25八年级上·湖南长沙·期末）若等腰三角形的顶角为，腰长为8，则这个等腰三角形的面积为（　　） A．8 B．16 C．24 D．32 6．（23-24八年级下·湖南邵阳·期中）已知：如图，中，，是高，，．求的长． 7．（23-24七年级上·湖南长沙·期末）如图，直线与交于点O，平分交直线l于点A，平分交直线l于点B，且． (1)求的度数： (2)求证：； (3)若，求的度数． 8．（24-25八年级上·湖南长沙·期末）如图， 在中， 于D， ， (1)若， 求的长度； (2)若，求的长度． 9．（24-25八年级上·湖南衡阳·期末）（1）【初步探究】如图1，小李将两个含的全等的三角尺摆放在一起，可以得到为等边三角形，从而发现：，即：．小李由此发现如下规律：角所对的直角边等于斜边的一半．你认为是否正确：_____（填“是”或“否”）； （2）【小试牛刀】如图2，在中，，，平分，若，求的长； （3）【拓展应用】如图3，在四边形中，，，，点从点出发，沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点运动，过点作于点，作交延长线于点，交射线于点，点运动时间为．求为何值时，与全等，并说明理由． 题型三 用勾股定理解三角形 10．（24-25八年级上·湖南衡阳·期末）如图，若，且，，，则 ． 11．（24-25八年级上·湖南衡阳·期末）如图，等腰直角三角形的斜边中点与等腰直角三角形的斜边中点重合，、两点分别在、上，若，，则的面积为 ． 12．（24-25八年级上·湖南长沙·期末）如图，在中，是斜边上的高，如果，，那么 ． 题型四 勾股定理与网格问题 13．（24-25八年级上·湖南长沙·期末）如图是一个正方形网格，每个小正方形的边长相等，我们把该网格中正方形的顶点称之为“好点”，的三个顶点都在这个正方形网格的“好点”上，在这个正方形网格图中找一个“好点”（点与点不重合），使得以点为顶点的三角形与全等，则这样的“好点”的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 14．（23-24八年级上·湖南长沙·期末）如图．三个顶点的坐标分别为，，．    (1)若与关于轴成轴对称，则三个顶点的坐标分别为______，______，______； (2)若为轴上一点，则的最小值为______； (3)求点到边的距离． 15．（22-23九年级上·湖南长沙·期末）如图，中，，，．    (1)将绕点顺时针旋转，画出旋转后的三角形； (2)点A、旋转后的对应点分别为、，求的周长（结果保留根号）． 题型五 以弦图为背景的计算题 16．（23-24八年级下·湖南株洲·期末）第24届国际数学家大会会徽的设计基础是1700多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”．如图，在由四个全等的直角三角形（，，，）和中间一个小正方形拼成的大正方形中，，连接．若正方形与正方形的面积之比为，且有，则n的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 17．（23-24八年级上·湖南长沙·期末）如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．连接四条线段得到如图2的新的图案．如果图1中的直角三角形的长直角边为10，短直角边为6，图2中的阴影部分的面积为S，那么S的值为（　　） A．48 B．64 C．96 D．112 18．（22-23八年级上·湖南衡阳·期末）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若，大正方形的面积为129．则小正方形的边长为（   ）    A．9 B．10 C．11 D．12 19．（22-23八年级下·湖南湘潭·期末）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了弦图，后人称为“赵爽弦图”，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形构成的大正方形，如图，若，，则的长是（    ）．    A．5 B．7 C． D．12 题型六 判断三边能否构成直角三角形 20．（24-25八年级上·湖南衡阳·期末）下列各组数是三角形的三边，能组成直角三角形的一组数是（   ） A．2，3，5 B．3，4，5 C．4，12，13 D．1，2，3 21．（23-24八年级下·湖南娄底·期末）若三角形的三边长分别等于下列各组数，则能构成直角三角形的是（   ） A．1，2，3 B．3，4，5 C．2，3，5 D．6，8，12 22．（23-24八年级下·湖南长沙·期末）下列各组数中，不能作为直角三角形的三边长的是（   ） A．2，3，4 B．1，1， C．1，，2 D．8，15，17 23．（23-24八年级下·湖南娄底·期末）勾股定理，中国周朝的商高在毕达哥拉斯提出前1000年就已使用，但毕达哥拉斯证明了它的普遍性．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（    ） A．1、2、3 B．4、5、6 C．1、、 D．9、12、15 24．（24-25八年级上·湖南衡阳·期末）“我们把多项式及叫做完全平方式．”如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等． 例如：分解因式：． 解：原式． 例如：求代数式的最小值． 解：， 因为：，所以：当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)分解因式：______； (2)当，为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值； (3)已知，，是的三条边，且满足，试判断的形状． 题型七 勾股定理在折叠中的应用 25．（24-25八年级上·湖南衡阳·期末）如图，在，，，，以为折痕将翻折，使点与点重合，则的长为（   ） A． B．1 C． D． 26．（23-24八年级上·湖南衡阳·期末）如图，中，，，，将折叠，使点与的中点重合，折痕交于点，交于点，则线段的长为（    ） A．4 B．5 C． D． 27．（23-24八年级下·湖南岳阳·期末）如图，在中，．点D是边上的一动点（不与点B、C重合），过点D作交于点E，将沿直线翻折，点B落在射线上的点F处．当为直角三角形时，的长为 ． 28．（23-24七年级下·湖南衡阳·期末）如图，在长方形中，将长方形沿折叠，使点C的对应点与点A重合，点D的对应点为点G．若，，求的面积． 29．（23-24八年级上·湖南长沙·期末）如图，在中，，把沿直线折叠，使与重合． (1)若，则的度数为________； (2)若，，求的长； (3)当的面积为时，求的周长．（用含的代数式表示） 30．（23-24八年级上·湖南长沙·期末）如图，把一张长方形纸片沿对角线折叠，点落在点处，交于点，重合部分是，，点是对角线上一点，于点，于点．    (1)求证：是等腰三角形； (2)求的值； (3)若．求的面积． 题型八 勾股定理的应用 31．（23-24九年级上·湖南张家界·期末）如图，一段与水平面成30°角的斜坡上有两棵树，两棵树水平距离为，树的高度都是．一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞 ．(    ) A． B．8 C．11 D．12 32．（24-25八年级上·湖南衡阳·期末）如图，一架米长的梯子靠在一座建筑物上，梯子的底部离建筑物米，如果梯子的顶部滑下米，那么梯子的底部向外滑出 米（其中梯子从位置滑到位置） 33．（24-25八年级上·湖南衡阳·期末）学过《勾股定理》后，八（1）班数学兴趣小组来到操场上测量旗杆的高度．小华测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长2米（如图1），小明拉着绳子的下端往后退，当他将绳子拉直时，小凡测得此时小明拉绳子的手到地面的距离为1米，到旗杆的距离为9米（如图2）． (1)设长为米，绳子为_____米，为_____米（用的代数式表示）； (2)请你求出旗杆的高度． 34．（23-24八年级下·湖南株洲·期末）某校“综合与实践”小组开展了测量本校旗杆高度的实践活动．他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量，测量结果如下表（不完整）． 课题 测量学校旗杆的高度 成员 组长： 组员： ， ， 工具 皮尺等 测量示意图 说明：线段AB表示学校旗杆，垂直地面于点B，如图1，第一次将系在旗杆顶端的绳子垂直到地面，并多出了一段BC，用皮尺测出的长度；如图2，第二次将绳子拉直，绳子末端落在地面的点D处，用皮尺测出的距离． 测量数据 测量项目 数值 图1中的长度 1米 图2中的长度 5米 根据以上测量结果，请你帮助该“综合与实践”小组求出学校旗杆的高度． 35．（23-24八年级下·湖南·期末）在海平面上有A，B，C三个标记点，C为灯塔，港口A在灯塔C的北偏西方向上，港口A与灯塔C的距离是40海里；港口B在灯塔C的南偏西方向上，港口B与灯塔C的距离是30海里，一艘货船将从A港口沿直线向港口B运输货物，货船的航行速度为20海里/小时． (1)货船从A港口航行到B港口需要多少时间； (2)为了保障航行的安全，C处灯塔将向航船发送安全信号，信号有效覆盖半径为25海里，这艘货船在由A港口向B港口运输货物过程中，为保证安全航行，货船接收灯塔的安全信号时间不低于小时才符合航行安全标准．问：这艘货船在本次运输中是否符合航行安全标准，并说明理由？ 题型九 利用勾股定理的逆定理求解 36．（24-25八年级上·湖南衡阳·期末）一个三角形的三边长的比为，且其周长为，则其面积为 . 37．（23-24八年级下·湖南湘西·期末）如图所示，四边形中，，，，，． (1)求证：是直角三角形； (2)求四边形的面积． 题型十 勾股定理逆定理的实际应用 38．（23-24八年级上·湖南长沙·期末）如图所示，A城与C城的直线距离为60公里，B城与C城的直线距离为80公里，A城与B城的直线距离为100公里． (1)现需要在A，B，C三座城市所图成的三角形区域内建造一个加油站．使得这个加油站到三座城市A，B，C的距离相等，则加油站点一定是三条______的交点；（请在以下选项中选出正确答案并将对应选项序号填写在横线上：①中线②高线③角平分线④垂直平分线） (2)判断形状，并说明理由． 39．（24-25八年级上·湖南长沙·期末）如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点A、B，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村庄为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点H（A、B、H在同一直线上），并新建一条路，测得千米，千米，千米． (1)是不是从村庄到河边的最近路？请通过计算加以说明； (2)求新路比原路短多少千米？ 40．（23-24八年级上·湖南衡阳·期末）已知某校有一块四边形空地如图，现计划在该空地上种草皮，经测量，，，，．若种每平方米草皮需120元，需投入多少元？ 41．（23-24八年级上·湖南衡阳·期末）为了绿化环境，我县某中学有一块空地，如图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量．求出该空地的面积． 题型十一 直角三角形全等的综合运用 42．（24-25八年级上·湖南衡阳·期末）如图，在和中，，，，下列结论：①；②；③；④.其中结论正确的是 .（填序号） 43．（24-25八年级上·湖南长沙·期末）如图，是的高，E是上一点，连接． (1)求证：； (2)若，求线段和的长． 44．（23-24八年级下·湖南永州·期末）如图，点，，，在同一直线上，，，． 求证：． 45．（23-24八年级下·湖南永州·期末）已知：如图，，且，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 46．（23-24八年级上·湖南岳阳·期末）如图，，相交于点O，，．    (1)求证：； (2)若，求的度数． 题型十二 利用角平分线的性质求解 47．（24-25八年级上·湖南长沙·期末）如图，平分是上一点，于点H，若，则点P到射线的距离是（   ） A．5 B．2.5 C．10 D．7.5 48．（24-25八年级上·湖南衡阳·期末）如图，，，若，，，则的面积为 ． 49．（24-25八年级上·湖南长沙·期末）如图，平分，，，于点，，则的长为 ． 50．（23-24七年级下·湖南邵阳·期末）如图，已知，． (1)求证：； (2)连接，恰好满足平分，若，，求的度数． 题型十三 角平分线的性质定理及其逆定理的综合运用 51．（24-25八年级上·湖南衡阳·期末）如图，已知，分别以、为边向外作等边和等边，和交于点，则下列结论：①；②；③平分；④．其中正确的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 52．（24-25八年级上·湖南长沙·期末）秋天，枫叶红了，我们不禁想起杜牧的诗“远上寒山石径斜，白云深处有人家．停车坐爱枫林晚，霜叶红于二月花．”这也让我们想起了岳麓山上的“爱晚亭”．如图，“爱晚亭”的顶端可看作等腰是边上的一点．下列条件不能说明是的角平分线的是（   ） A． B．与的面积相等 C． D． 53．（24-25八年级上·湖南长沙·期末）我们约定：若一个三角形中，有一个内角是另一个内角的2倍，我们就称这个三角形为“2倍角三角形”．根据约定，解答下列问题． (1)如图1，在Rt中，，若这个三角形是“2倍角三角形”，请求出另两个锐角的度数． (2)如图2，在中，点是边上一点，且，求证：是“2倍角三角形”． (3)如图3，是“2倍角三角形”，，是的角平分线，求证：． 54．（24-25八年级上·湖南衡阳·期末）如图，在四边形中，∥BC，为的中点，连接、，，延长交的延长线于点． (1)求证：； (2)求证：平分； (3)猜想线段、、的数量关系，并说明理由． 55．（24-25八年级上·湖南长沙·期末）的顶点C是平面内一动点，始终保持，分别以，为边，向外作等边三角形和等边三角形，连接交于点F，连接交于点G，与交于点O，连接． (1)求证：； (2)求的度数； (3)在点C运动过程中，下列结论①是定值；②是定值．请选择你认为正确的结论，并证明它，如果你认为都不正确，也请说明理由． 56．（23-24八年级上·湖南衡阳·期末）规定：顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为“友好三角形”． (1)如图①，在与中，，，当、、满足什么条件时，与互为“友好三角形”： (2)如图②，在四边形中，，，，求的度数． (3)如图③，在与互为“友好三角形”，，，，相交于点，连，求证：平分． $$专题01 直角三角形（13大题型） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 利用直角三角形的性质证明 · 题型二 构造含30°角的直角三角形并进行计算（易错） · 题型三 用勾股定理解三角形 · 题型四 勾股定理与网格问题 · 题型五 以弦图为背景的计算题（高频） · 题型六 判断三边能否构成直角三角形 · 题型七 勾股定理在折叠中的应用（难点） · 题型八 勾股定理的应用（重点） · 题型九 利用勾股定理的逆定理求解 · 题型十 勾股定理逆定理的实际应用 · 题型十一 直角三角形全等的综合运用（难点） · 题型十二 利用角平分线的性质求解 · 题型十三 角平分线的性质定理及其逆定理的综合运用（重点） 题型一 利用直角三角形的性质证明 1．（23-24七年级上·湖南衡阳·期末）如图所示，在中，，是高，是三角形的角平分线． (1)当，时，求的度数； (2)判断、与之间有怎样的等量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形的内角和定理： （1）由三角形内角和定理求得，，根据角平分线的定义求得，进而根据角的和差关系即可得到答案； （2）由三角形内角和定理求得，，根据角平分线的定义求得，进而根据角的和差关系即可得到结论． 【详解】（1）解：在中，，， ， 是的高，是的角平分线， ，， ； （2）解：，理由如下： 在中，， 是的高， ， 是的角平分线， ， ． 2．（24-25八年级上·湖南长沙·期末）如图，在中，，是边上的中点，连接，平分交于点，过点作交于点． (1)若，求 的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)详见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是掌握等腰三角形等边对等角，三线合一． （1）先得出，再根据等腰三角形的性质得出，即可解答； （2）根据角平分线的定义得出，根据平行线的性质得出，进而得出，即可求证． 【详解】（1）解：， ， ， ∴， ∵，是边上的中点， ， ， ． （2）证明：平分， ， ∵， ， ， ． 3．（24-25八年级上·湖南永州·期末）“一线三等角”，是我们学习三角形知识经常用到的经典模型． (1)如图1，为等腰直角三角形，，，D、A、E三点都在直线l上，且，若，则 ． (2)如图2，，，，连接，且于点G，与直线交于点，求证：点是的中点． (3)如图3，过的边向外作正方形、正方形，是边上的高，延长交于点I，，求的面积． 【答案】(1)10 (2)证明见解析 (3)20 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形两锐角互余，熟练掌握相关性质定理为解题关键． （1）根据直角三角形两锐角互余，求得，，结合题意即可证明，从而得到，即可得出结果； （2）过点A作交于点M，过点B作交于点N，证明，，进一步推出，即可证明结论； （3）过E作于N，过G作的延长线于点M，通过证明，，进一步证明，得到，求出结果即可 【详解】（1）解：，， ， ，， ， ， ， ， 故答案为：10； （2）证明：如图2，过点A作交于点M，过点B作交于点N， ， ， ， 在 和中， ， ， ， 同理可得：， ， ， 在和中， ， ， ， ∴点F是的中点； （3）解：如图 3，过E作于N，过G作的延长线于点M， 由题意可知，， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， 同理可证：， ， ， ， ， ， ． 4．（23-24八年级下·湖南岳阳·期末）在中，，，点是的中点，，垂足为E，连接． (1)如图1，与的数量关系是__________． (2)如图2，若P是线段上一动点（点P不与点B、C重合），连接，将线段绕点D逆时针旋转得到线段，连接，请猜想三者之间的数量关系，并证明你的结论； 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】（1）由，得到，根据直角三角形斜边上中线性质得到，则可判断为等边三角形，由于，可得； （2）根据旋转的性质得到，易得，则可根据“”判断，则，利用，，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵点D是的中点， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：． （2）．理由如下： ∵线段绕点D逆时针旋转，得到线段， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等．也考查了等边三角形的判定与性质以及勾股定理，以及斜边上的中线． 题型二 构造含 30°角的直角三角形并进行计算 5．（24-25八年级上·湖南长沙·期末）若等腰三角形的顶角为，腰长为8，则这个等腰三角形的面积为（　　） A．8 B．16 C．24 D．32 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形的性质及三角形的面积，解决本题的关键是熟练掌握直角三角形的性质，过B作于D，由直角三角形的性质可得，再由三角形面积公式计算即可． 【详解】解：如图，中，， 过B作于D， ∵， ∴， ∴ ， 故选：B． 6．（23-24八年级下·湖南邵阳·期中）已知：如图，中，，是高，，．求的长． 【答案】8 【分析】由，得到，结合，求得，根据直角三角形的性质有一个角等于30度，那么它所对的直角边等于斜边的一半得到，由中，，于是得到，根据直角三角形的性质有一个角等于30度，那么它所对的直角边等于斜边的一半即可得到．本题考查了含30度角的直角三角形性质的应用，注意：在直角三角形中，如果有一个角等于30度，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， 在中，，， ， ． 7．（23-24七年级上·湖南长沙·期末）如图，直线与交于点O，平分交直线l于点A，平分交直线l于点B，且． (1)求的度数： (2)求证：； (3)若，求的度数． 【答案】(1) (2)见解析 (3)的度数为 【分析】本题主要考查了角平分线的定义、角的和差、直角三角形的性质、平行线的判定等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）由角平分线的定义可得，再根据角的和差即可解答； （2）由（1）可得，再结合可得，然后根据平行线的判定定理即可证明结论； （3）由可知，再按比例分配可求得，进而可得，再根据角平分线的定义可得，最后根据角的和差即可解答． 【详解】（1）解：分别平分和， ∴， ∴． （2）解：由（1）知， ， ． （3）解：， ， ， ， ， 平分， ， 的度数为130°． 8．（24-25八年级上·湖南长沙·期末）如图， 在中， 于D， ， (1)若， 求的长度； (2)若，求的长度． 【答案】(1)12 (2)14 【分析】（1）根据， ，得到，利用直角三角形的性质解答即可； （2）在上截取一点，使得，连接，利用线段的垂直平分线判定和性质，等腰三角形的判定和性质，结合线段的和差解答即可． 【详解】（1）解：∵    ∴， ∴ ， 在中，， ∴ ， 在中，， ∴ ， ∴ ． （2）解：如图：在上截取一点，使得，连接 ∵， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴为等腰三角形， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，三角形内角和定理的应用，等腰三角形的判定和性质，三角形外角性质的应用，线段的和差，熟练掌握直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，外角性质是解题的关键． 9．（24-25八年级上·湖南衡阳·期末）（1）【初步探究】如图1，小李将两个含的全等的三角尺摆放在一起，可以得到为等边三角形，从而发现：，即：．小李由此发现如下规律：角所对的直角边等于斜边的一半．你认为是否正确：_____（填“是”或“否”）； （2）【小试牛刀】如图2，在中，，，平分，若，求的长； （3）【拓展应用】如图3，在四边形中，，，，点从点出发，沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点运动，过点作于点，作交延长线于点，交射线于点，点运动时间为．求为何值时，与全等，并说明理由． 【答案】（1）是；（2）6；（3） 【分析】（1）根据题意可得，角所对的直角边等于斜边的一半； （2）在中，，推出，再证明，即可得答案； （3）根据点F在的延长线上，结合图形可得，从而解决问题． 【详解】解：（1）根据题意可得，角所对的直角边等于斜边的一半； 故答案为：是； （2）在中，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴，， ∴， ∴； （3）秒或3秒时，与全等；理由如下： 根据题意得，， 当点F在线段上时，如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 当点F在的延长线上时，如图，作交线段于点，不合题意， 综上：时，与全等． 【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了全等三角形的性质，等边三角形的性质，平行线的性质，含角所对的直角边等于斜边的一半． 题型三 用勾股定理解三角形 10．（24-25八年级上·湖南衡阳·期末）如图，若，且，，，则 ． 【答案】5 【分析】本题考查了全等三角形的性质，勾股定理，根据，得出，因为，则，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故答案为：5． 11．（24-25八年级上·湖南衡阳·期末）如图，等腰直角三角形的斜边中点与等腰直角三角形的斜边中点重合，、两点分别在、上，若，，则的面积为 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质以及勾股定理，连接，由和，可证，则有，，得到，进一步证得，有，在中可求得，即可求得面积． 【详解】解：连接，如图， ∵均是等腰直角三角形， ∴，，， ∵点O为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 则． 故答案为：5． 12．（24-25八年级上·湖南长沙·期末）如图，在中，是斜边上的高，如果，，那么 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了勾股定理，三角形面积的计算，根据勾股定理求出，根据等积法求出的值，最后根据勾股定理求出结果即可． 【详解】解：在中，根据勾股定理得 ， ， ， ∵是斜边上的高， ∴， ∴． 故答案为：1． 题型四 勾股定理与网格问题 13．（24-25八年级上·湖南长沙·期末）如图是一个正方形网格，每个小正方形的边长相等，我们把该网格中正方形的顶点称之为“好点”，的三个顶点都在这个正方形网格的“好点”上，在这个正方形网格图中找一个“好点”（点与点不重合），使得以点为顶点的三角形与全等，则这样的“好点”的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理及全等三角形的判定，熟练掌握勾股定理是解题的关键，根据全等三角形的判定判定即可． 【详解】解：如图， ，，， ∴ ， 同理可得， ， ， ∴这样的“好点”的个数为， 故选∶． 14．（23-24八年级上·湖南长沙·期末）如图．三个顶点的坐标分别为，，．    (1)若与关于轴成轴对称，则三个顶点的坐标分别为______，______，______； (2)若为轴上一点，则的最小值为______； (3)求点到边的距离． 【答案】(1)，，； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查作图轴对称变换，解题的关键是熟练掌握轴对称变换的定义和性质及利用轴对称性质求最短路径． （1）分别作出点，，关于轴的对称点，再首尾顺次连接即可得； （2）作出点的对称点，连接，则与轴的交点即是点的位置，则的最小值，根据勾股定理即可得到结论； （3）根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求， 由图知，的坐标为、的坐标为、的坐标为；    （2）解：作出点的对称点，连接，则与轴的交点即是点的位置，如图所示：    则的最小值， ， 的最小值为； （3）解：∵的面积， 由勾股定理得， ∴， ∴ ． 15．（22-23九年级上·湖南长沙·期末）如图，中，，，．    (1)将绕点顺时针旋转，画出旋转后的三角形； (2)点A、旋转后的对应点分别为、，求的周长（结果保留根号）． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据旋转的特点，去哦草点A和B的对应点D和E，然后顺次连接即可； （2）连接，根据勾股定理求出，，得出，即可得出答案． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：连接， ∵，， ∴，， 又∵， ∴的周长为， 【点睛】本题考查了画旋转图形，勾股定理，熟练掌握勾股定理，是解题的关键． 题型五 以弦图为背景的计算题 16．（23-24八年级下·湖南株洲·期末）第24届国际数学家大会会徽的设计基础是1700多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”．如图，在由四个全等的直角三角形（，，，）和中间一个小正方形拼成的大正方形中，，连接．若正方形与正方形的面积之比为，且有，则n的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】此题考查了勾股定理，赵爽“弦图”等知识，设，，首先根据题意得到，然后表示出正方形的面积为，正方形的面积为，最后利用正方形与正方形的面积之比为求解即可． 【详解】解：设，， ∵， ∴，整理得， ∴， ∵， ∴， ∴正方形的面积为， ∵正方形的面积为， ∵正方形与正方形的面积之比为， ∴， ∴解得． 故选：B． 17．（23-24八年级上·湖南长沙·期末）如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．连接四条线段得到如图2的新的图案．如果图1中的直角三角形的长直角边为10，短直角边为6，图2中的阴影部分的面积为S，那么S的值为（　　） A．48 B．64 C．96 D．112 【答案】B 【分析】本题主要考查勾股定理中的赵爽弦图模型、三角形和正方形面积公式．阴影部分由四个全等的三角形和一个小正方形组成，分别求三角形和小正方形面积即可． 【详解】解：由题意得，阴影部分四个直角三角形是全等的，且小正方形边长为， ∴， 故选：B． 18．（22-23八年级上·湖南衡阳·期末）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若，大正方形的面积为129．则小正方形的边长为（   ）    A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】A 【分析】设小正方形的边长为 ，根据图形面积关系可得，再根据，可列方程求解． 【详解】设小正方形的边长为， ∵ ∴， ∴(负值舍去)， 故选 A． 【点睛】本题考查勾股定理，解题的关键是熟练运用勾股定理以及完全平方公式，本题属于基础题型． 19．（22-23八年级下·湖南湘潭·期末）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了弦图，后人称为“赵爽弦图”，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形构成的大正方形，如图，若，，则的长是（    ）．    A．5 B．7 C． D．12 【答案】C 【分析】12和5为两条直角边长时，求出小正方形的边长7，即可利用勾股定理得出的值． 【详解】解：∵，，即12和5为两条直角边长， ∴小正方形的边长， ，故C正确； 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理、正方形的性质，熟练掌握勾股定理是解决问题的关键． 题型六 判断三边能否构成直角三角形 20．（24-25八年级上·湖南衡阳·期末）下列各组数是三角形的三边，能组成直角三角形的一组数是（   ） A．2，3，5 B．3，4，5 C．4，12，13 D．1，2，3 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，构成三角形的条件，掌握勾股定理逆定理是解答本题的关键．分别利用构成三角形的条件和勾股定理逆定理判断即可． 【详解】解：A、，构成不了三角形，故不符合题意； B、，能组成直角三角形，符合题意； C、，不能组成直角三角形，不符合题意； D、，构成不了三角形，故不符合题意； 故选：B． 21．（23-24八年级下·湖南娄底·期末）若三角形的三边长分别等于下列各组数，则能构成直角三角形的是（   ） A．1，2，3 B．3，4，5 C．2，3，5 D．6，8，12 【答案】B 【分析】本题考查直角三角形的判定，解题的关键是掌握勾股定理的逆定理．根据勾股定理的逆定理，逐个验证两短边长的平方和是否等于最长边的平方即可． 【详解】解：A、，不能构成直角三角形，不符合题意； B、，能构成直角三角形，符合题意； C、，不能构成直角三角形，不符合题意； D、，不能构成直角三角形，不符合题意； 故选：B． 22．（23-24八年级下·湖南长沙·期末）下列各组数中，不能作为直角三角形的三边长的是（   ） A．2，3，4 B．1，1， C．1，，2 D．8，15，17 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理逆定理，根据勾股定理逆定理进行判断即可． 【详解】解：A、，不能作为直角三角形的三边长，符合题意； B、，能作为直角三角形的三边长，不符合题意； C、，能作为直角三角形的三边长，不符合题意； D、，能作为直角三角形的三边长，不符合题意； 故选A． 23．（23-24八年级下·湖南娄底·期末）勾股定理，中国周朝的商高在毕达哥拉斯提出前1000年就已使用，但毕达哥拉斯证明了它的普遍性．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（    ） A．1、2、3 B．4、5、6 C．1、、 D．9、12、15 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，掌握“如果三角形三边满足：两条较短边的平方之和等于最长边的平方，则这个三角形是直角三角形”是解题的关键． 【详解】解：A、，不可以构成三角形，故不符合题意； B、，不可以构成直角三角形，故不符合题意； C、，不可以构成直角三角形，故不符合题意； D、，可以构成直角三角形，故符合题意． 故选：D． 24．（24-25八年级上·湖南衡阳·期末）“我们把多项式及叫做完全平方式．”如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等． 例如：分解因式：． 解：原式． 例如：求代数式的最小值． 解：， 因为：，所以：当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)分解因式：______； (2)当，为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值； (3)已知，，是的三条边，且满足，试判断的形状． 【答案】(1) (2)当，时有最小值3 (3)直角三角形 【分析】（1）阅读材料，根据材料中的方法，先配方，再由平方差公式分解因式即可得到答案； （2）阅读材料，根据材料中的方法，先配方，再由平方的非负性即可求出多项式有最小值； （3）阅读材料，根据材料中的方法，先配方，再由平方的非负性及非负数和为零的条件求出，结合勾股定理的逆定理即可判定的形状． 【详解】（1）解：由材料中的解法可知， ， 故答案为： （2）解：由材料中的解法可知， ， ， 当时，有最小值，最小值是； （3）解：由材料中的解法可知， ， ， 即， ， ， ， ，即是直角三角形． 【点睛】本题考查阅读理解，涉及完全平方公式、配方法、平方差公式、因式分解、平方非负性、求多项式最值、非负数和为零的条件、勾股定理的逆定理等知识，读懂题意，理解配方法是解决问题的关键． 题型七 勾股定理在折叠中的应用 25．（24-25八年级上·湖南衡阳·期末）如图，在，，，，以为折痕将翻折，使点与点重合，则的长为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，轴对称的性质，根据勾股定理可以求得，再由勾股定理列出方程即可得出答案． 【详解】解：∵在，，，， ∴， 设，则， 由折叠可知， 在中，， ∴， ∴， ∴． ∴． 故选：A 26．（23-24八年级上·湖南衡阳·期末）如图，中，，，，将折叠，使点与的中点重合，折痕交于点，交于点，则线段的长为（    ） A．4 B．5 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理．熟练掌握折叠的性质，勾股定理是解题的关键． 由题意知，，由折叠的性质设，则，由勾股定理得，，即，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， 由折叠的性质可知，， 设，则， 由勾股定理得，，即， 解得，， 故选：B． 27．（23-24八年级下·湖南岳阳·期末）如图，在中，．点D是边上的一动点（不与点B、C重合），过点D作交于点E，将沿直线翻折，点B落在射线上的点F处．当为直角三角形时，的长为 ． 【答案】1或2 【分析】此题主要考查了直角三角形折叠，熟练掌握折叠性质，含的直角三角形性质，勾股定理解直角三角形，分类讨论，是解决问题的关键． 由折叠性质得到，，，由三角形外角性质得到，分和，两种情况，进行求解即可． 【详解】解：由折叠知，，，， ∴， ∵在中，，，， ∴，， ∴， ∴， 如图1，若， 则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵； 如图2，若， 则， ∴， ∴ ∴为直角三角形时，的长为：1或2． 故答案为：1或2． 28．（23-24七年级下·湖南衡阳·期末）如图，在长方形中，将长方形沿折叠，使点C的对应点与点A重合，点D的对应点为点G．若，，求的面积． 【答案】6 【分析】由折叠的性质得，设，在中，建立方程，求出，再由三角形面积公式即可求解． 本题考查了勾股定理，折叠的性质，根据折叠的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案． 【详解】解：由折叠的性质得，设， ∵， ∴， 在中，，即， 解得， ∴， ∴的面积为． 29．（23-24八年级上·湖南长沙·期末）如图，在中，，把沿直线折叠，使与重合． (1)若，则的度数为________； (2)若，，求的长； (3)当的面积为时，求的周长．（用含的代数式表示） 【答案】(1) (2)； (3)的周长为． 【分析】此题主要考查了图形的翻折变换，以及勾股定理，完全平方公式，关键是掌握勾股定理，以及折叠后哪些是对应角和对应线段． （1）根据折叠可得，根据三角形内角和定理可以计算出，进而得到； （2）根据折叠可得，设，则，再在中利用勾股定理可得，再解方程可得的值，进而得到的长； （3）根据三角形的面积可得，进而得到，再在中，，再把左边配成完全平方可得的长，进而得到的周长． 【详解】（1）解：把沿直线折叠，使与重合， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：把沿直线折叠，使与重合， ， 设，则， 在中，， ， 解得：， 则； （3）解：的面积为， ， ， 在中，， ， ， ， ， ． 即的周长为． 30．（23-24八年级上·湖南长沙·期末）如图，把一张长方形纸片沿对角线折叠，点落在点处，交于点，重合部分是，，点是对角线上一点，于点，于点．    (1)求证：是等腰三角形； (2)求的值； (3)若．求的面积． 【答案】(1)证明详见解析； (2)； (3)． 【分析】（1）根据平行线的性质和折叠的性质得到，即可证明出是等腰三角形； （2）连接，根据代数求解即可； （3）设，则，，在中根据勾股定理求出，然后利用三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：把一张长方形纸片沿对角线折叠，点落在点处， 又长方形， ， ， 是等腰三角形 （2）如图所示，连接，    ， （3）设，则， 在中，由勾股定理可知： ， ， ． 【点睛】此题考查了折叠的性质，勾股定理，等腰三角形的判定，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握折叠的性质，勾股定理，等腰三角形的判定定理． 题型八 勾股定理的应用 31．（23-24九年级上·湖南张家界·期末）如图，一段与水平面成30°角的斜坡上有两棵树，两棵树水平距离为，树的高度都是．一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞 ．(    ) A． B．8 C．11 D．12 【答案】D 【分析】本题主要考查含角的直角三角形的性质，理解题意，掌握含角的直角三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：根据题意，，，， ∴，， ∴m， ∴m， ∴小鸟至少要飞， 故选：． 32．（24-25八年级上·湖南衡阳·期末）如图，一架米长的梯子靠在一座建筑物上，梯子的底部离建筑物米，如果梯子的顶部滑下米，那么梯子的底部向外滑出 米（其中梯子从位置滑到位置） 【答案】0.8 【分析】本题考查的了勾股定理的实际应用，找出题目中隐含的直角三角形是解题的关键．先求梯子原先顶部的高度，然后求出梯子下滑后顶部的高度，最后利用勾股定理求出下滑后梯子底部到建筑物的距离即可解答本题． 【详解】解：在中， 根据勾股定理，可求得： ， 现在梯子的顶部滑下0.4米，即（米）， 在中，（米）， （米）， 梯子的底部向外滑出的距离为（米）， 故答案为：． 33．（24-25八年级上·湖南衡阳·期末）学过《勾股定理》后，八（1）班数学兴趣小组来到操场上测量旗杆的高度．小华测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长2米（如图1），小明拉着绳子的下端往后退，当他将绳子拉直时，小凡测得此时小明拉绳子的手到地面的距离为1米，到旗杆的距离为9米（如图2）． (1)设长为米，绳子为_____米，为_____米（用的代数式表示）； (2)请你求出旗杆的高度． 【答案】(1)； (2)米 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用． （1）根据题意可得，，将代入即可得解； （2）结合（1）再根据，，从而构造直角三角形，根据勾股定理就可求出旗杆的高度． 【详解】（1）解：根据题意得：，， 设长为x米，则绳子长为米，的长度为米， 故答案为：；； （2）解：在中，米， 米，米， 由勾股定理可得，， 解得：． 答：旗杆的高度为米． 34．（23-24八年级下·湖南株洲·期末）某校“综合与实践”小组开展了测量本校旗杆高度的实践活动．他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量，测量结果如下表（不完整）． 课题 测量学校旗杆的高度 成员 组长： 组员： ， ， 工具 皮尺等 测量示意图 说明：线段AB表示学校旗杆，垂直地面于点B，如图1，第一次将系在旗杆顶端的绳子垂直到地面，并多出了一段BC，用皮尺测出的长度；如图2，第二次将绳子拉直，绳子末端落在地面的点D处，用皮尺测出的距离． 测量数据 测量项目 数值 图1中的长度 1米 图2中的长度 5米 根据以上测量结果，请你帮助该“综合与实践”小组求出学校旗杆的高度． 【答案】12米 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，先设旗杆的高度，并表示绳子的长度，再根据勾股定理列方程，求出解即可. 【详解】解：由图1可得绳子的长度比旗杆的高度多1米，设旗杆的高度为米，则绳子的长度为米由图2可得，在中， ， 即， 解得，. 答：旗杆的高度为12米． 35．（23-24八年级下·湖南·期末）在海平面上有A，B，C三个标记点，C为灯塔，港口A在灯塔C的北偏西方向上，港口A与灯塔C的距离是40海里；港口B在灯塔C的南偏西方向上，港口B与灯塔C的距离是30海里，一艘货船将从A港口沿直线向港口B运输货物，货船的航行速度为20海里/小时． (1)货船从A港口航行到B港口需要多少时间； (2)为了保障航行的安全，C处灯塔将向航船发送安全信号，信号有效覆盖半径为25海里，这艘货船在由A港口向B港口运输货物过程中，为保证安全航行，货船接收灯塔的安全信号时间不低于小时才符合航行安全标准．问：这艘货船在本次运输中是否符合航行安全标准，并说明理由？ 【答案】(1)2.5小时 (2)符合航行安全标准，理由见解析 【分析】本题考查了勾股定理的应用以及方位角的应用，等腰三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先得出，结合勾股定理列式（海里），因为货船的航行速度为20海里/小时，则（小时），即可作答． （2）先在上取两点M，N使得海里，结合，分别算出的长度，然后结合等腰三角形的三线合一，得出海里，因为货船的航行速度为20海里/小时，则（小时），即可作答． 【详解】（1）解：∵港口A在灯塔C的北偏西方向上，港口A与灯塔C的距离是40海里；港口B在灯塔C的南偏西方向上 ∴， ∵港口A与灯塔C的距离是40海里，港口B与灯塔C的距离是30海里 （海里）， ∵货船的航行速度为20海里/小时 （小时）， 答：货船从A港口到B港口需要2.5小时； （2）答：这艘船在本次运输中符合航行安全标准，理由如下： 如图：过C作交于D， 在上取两点M，N使得海里 ∵， ∴（海里）， ∴（海里）， ∵， ∴是等腰三角形 ∵ ∴海里， ∴（小时） ∵， ∴这艘货船在本次运输中符合航行安全标准． 题型九 利用勾股定理的逆定理求解 36．（24-25八年级上·湖南衡阳·期末）一个三角形的三边长的比为，且其周长为，则其面积为 . 【答案】 【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理；先设三角形的三边长分别为，，，再由其周长为求出的值，根据勾股定理的逆定理判断出三角形的形状，由其面积公式即可求解． 【详解】解：三角形的三边长的比为， ∴设三角形的三边长分别为，，， 其周长为， ，解得， ∴三角形的三边长分别是，，， ∵， 此三角形是直角三角形， ， 故答案为：． 37．（23-24八年级下·湖南湘西·期末）如图所示，四边形中，，，，，． (1)求证：是直角三角形； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，掌握这两个定理是关键； （1）由勾股定理求得的长，由勾股定理逆定理可判断即可； （2）由即可求解． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴． ∵，， ∴， ∴是直角三角形． （2）解：∵， ∴． 题型十 勾股定理逆定理的实际应用 38．（23-24八年级上·湖南长沙·期末）如图所示，A城与C城的直线距离为60公里，B城与C城的直线距离为80公里，A城与B城的直线距离为100公里． (1)现需要在A，B，C三座城市所图成的三角形区域内建造一个加油站．使得这个加油站到三座城市A，B，C的距离相等，则加油站点一定是三条______的交点；（请在以下选项中选出正确答案并将对应选项序号填写在横线上：①中线②高线③角平分线④垂直平分线） (2)判断形状，并说明理由． 【答案】(1)④ (2)是直角三角形．理由详见解析 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，勾股定理的逆定理．掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线的性质解答即可． （2）根据勾股定理的逆定理解答即可． 【详解】（1）解：∵加油站P到三个城A、B、C的距离相等， ∴， ∴点P在线段的垂直平分线上， 同理，点P在线段的垂直平分线上， ∴P点应设计在三条边的垂直平分线的交点， 故答案为：④． （2）解：是直角三角形． 理由：∵，， ∴ ∴ ∴是直角三角形． 39．（24-25八年级上·湖南长沙·期末）如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点A、B，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村庄为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点H（A、B、H在同一直线上），并新建一条路，测得千米，千米，千米． (1)是不是从村庄到河边的最近路？请通过计算加以说明； (2)求新路比原路短多少千米？ 【答案】(1)是村庄到河边的最近路，见解析 (2)千米 【分析】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，点到直线的距离垂线段最短，熟知勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）先利用勾股定理的逆定理得到是以为直角的直角三角形，再根据点到直线的距离垂线段最短求解即可； （2）设，则，然后在中利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：∵在中，， ， ∴是以为直角的直角三角形， ∴， ∵点到直线垂线段的长度最短， ∴是村庄到河边的最近路； （2）解：设， 千米， ， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：， 千米， ∴比短千米． 40．（23-24八年级上·湖南衡阳·期末）已知某校有一块四边形空地如图，现计划在该空地上种草皮，经测量，，，，．若种每平方米草皮需120元，需投入多少元？ 【答案】元 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理的应用，先根据勾股定理求出，再根据勾股定理逆定理说明是直角三角形，然后根据面积公式求出答案即可． 【详解】在中，，， ∴． ∵， ∴是直角三角形， ∴， ∴需要投入． 41．（23-24八年级上·湖南衡阳·期末）为了绿化环境，我县某中学有一块空地，如图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量．求出该空地的面积． 【答案】这块四边形空地的面积是96平方米 【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据勾股定理，可以得到的长，然后根据勾股定理的逆定理，可以得到的形状，然后即可得到四边形的面积． 【详解】解：连接， ∵， ∴（米）， ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形，， ∴四边形ABCD的面积是：（平方米）， 即这块四边形空地的面积是96平方米． 题型十一 直角三角形全等的综合运用 42．（24-25八年级上·湖南衡阳·期末）如图，在和中，，，，下列结论：①；②；③；④.其中结论正确的是 .（填序号） 【答案】①②③ 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定；证明，即可判断①②③，证明可得，即可判断④，即可求解． 【详解】解：∵在和中，，，， ∴ ∴，，故①正确 ∴，即故②③正确 ∵ ∴ 又∵， ∴ ∴，而 ∴，故④不正确， 故答案为：①②③． 43．（24-25八年级上·湖南长沙·期末）如图，是的高，E是上一点，连接． (1)求证：； (2)若，求线段和的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、根据面积等式求线段的长度等知识， （1）由是的高，得，进而即可根据“”证明； （2）由全等三角形的性质得，再由，即可得，的长； 熟练掌握其性质并能灵活选择全等三角形的判定定理证明是解决此题的关键． 【详解】（1）证明：是的高， ， 在和中， ， ； （2）， ，                ， ， ∵， ， ，． 44．（23-24八年级下·湖南永州·期末）如图，点，，，在同一直线上，，，． 求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考考查了利用“”证明两直角三角形全等的知识，熟练掌握直角三角形全等的判定方法是解决问题的关键．利用“”证明，即可作答． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴、是直角三角形， 在和中，， ∴， ∴． 45．（23-24八年级下·湖南永州·期末）已知：如图，，且，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键． （1）利用“”证明，即可得出结论； （2）由三角形内角和定理，得到，再根据全等三角形的性质，即可求出的度数． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 即， 又， 在与中： ， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴． 46．（23-24八年级上·湖南岳阳·期末）如图，，相交于点O，，．    (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质． （1）证明即可； （2）根据全等三角形的性质，得到，三角形的内角和定理求出的度数，再用计算即可． 掌握全等三角形的判定方法，证明是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵，， 又∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴． 题型十二 利用角平分线的性质求解 47．（24-25八年级上·湖南长沙·期末）如图，平分是上一点，于点H，若，则点P到射线的距离是（   ） A．5 B．2.5 C．10 D．7.5 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的性质，点到直线的距离．角平分上线上的点到这个角两边的距离相等，掌握角平分线的性质是解题的关键．过点P作于点G，根据角平分线的性质即可解答． 【详解】解：如图，过点P作于点G， 平分，点P在上，于点H， ， ， ， 故选：A． 48．（24-25八年级上·湖南衡阳·期末）如图，，，若，，，则的面积为 ． 【答案】15 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． 过点D作交于点E，根据角平分线的性质得出，即可求解． 【详解】解：过点D作交于点E，如图所示， ∵，，， ∴， ∴， 故答案为：15． 49．（24-25八年级上·湖南长沙·期末）如图，平分，，，于点，，则的长为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了角平分线的性质，直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半的性质，平行线的性质，过作于点，则，由角平分线的性质得，，又得，最后由角所对的直角边等于斜边的一半即可求解，熟记性质并作辅助线构造出直角三角形是解题的关键． 【详解】解：如图，过作于点，则， ∴平分，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2． 50．（23-24七年级下·湖南邵阳·期末）如图，已知，． (1)求证：； (2)连接，恰好满足平分，若，，求的度数． 【答案】(1)证明过程见解析 (2) 【分析】本题考查平行线的性质与判定、角平分线的定义，（1）根据平行线的性质可得，利用等量代换可得，再根据平行线的判定即可得证； （2）根据平行线的性质和角平分线的定义可得，再根据平行线的性质可得，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， 由（1）可得，， ∴， 又∵，即， ∴， ∴． 题型十三 角平分线的性质定理及其逆定理的综合运用 51．（24-25八年级上·湖南衡阳·期末）如图，已知，分别以、为边向外作等边和等边，和交于点，则下列结论：①；②；③平分；④．其中正确的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的判定，正确作出辅助线是解题的关键．根据等边和的性质，利用可证，由全等三角形的性质可知①正确；由三角形内角和为易求的度数，可知②正确；过分别作于，于，由可得，进而可得平分，所以③正确；在上截取，利用可证，由全等三角形对应边相等可得，故可得④正确，据此即可求解． 【详解】解：∵和是等边三角形， ∴，，， ∴， 即， 在与中， ， ∴， ∴，，故①正确； ∵，，， ∴，故②正确； 过分别作于，于，如图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点在的角平分线上， ∴平分，故③正确； 如图，在上截取， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴，故④正确； 综上，正确的结论有①②③④，共4个， 故选：A． 52．（24-25八年级上·湖南长沙·期末）秋天，枫叶红了，我们不禁想起杜牧的诗“远上寒山石径斜，白云深处有人家．停车坐爱枫林晚，霜叶红于二月花．”这也让我们想起了岳麓山上的“爱晚亭”．如图，“爱晚亭”的顶端可看作等腰是边上的一点．下列条件不能说明是的角平分线的是（   ） A． B．与的面积相等 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义、性质，根据角平分线的定义判断选项A；过点D作于点E，作于点F，由与的面积相等，得出，再根据角平分线定理的逆定理即可判断选项B；根据等腰三角形三线合一的性质即可判断选项C；根据D选项的条件无法判断是的角平分线． 【详解】解：A、∵， ∴是的角平分线， 故此选项不符合题意； B、如图，过点D作于点E，作于点F， ∵与的面积相等， ∴， ∵， ∴， ∴点D在的角平分线上， 即是的角平分线， 故此选项不符合题意； C、∵，， ∴， ∴是的角平分线， 故此选项不符合题意； D、当时，不能确定是的角平分线， 故此选项符合题意； 故选：D． 53．（24-25八年级上·湖南长沙·期末）我们约定：若一个三角形中，有一个内角是另一个内角的2倍，我们就称这个三角形为“2倍角三角形”．根据约定，解答下列问题． (1)如图1，在Rt中，，若这个三角形是“2倍角三角形”，请求出另两个锐角的度数． (2)如图2，在中，点是边上一点，且，求证：是“2倍角三角形”． (3)如图3，是“2倍角三角形”，，是的角平分线，求证：． 【答案】(1)或； (2)见解析； (3)见解析． 【分析】本题是三角形的综合题，考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质，正确地理解新定义“2倍角三角形”是解题的关键． （1）根据是“2倍角”，或者一个锐角是另一个锐角的2倍，且两个锐角的和为得到结论； （2）根据等腰三角形的性质得到，，根据三角形外角的性质得到，得到是“2倍角三角形”； （3）延长至点，使得，连接．则， 已知，故．可得．故， 将两边平方得：．于是得到结论， 【详解】（1）解：情形一：若是“2倍角”，则另一个锐角的度数为，故另两个锐角的度数是； 情形二：若中一个锐角是另一个锐角的2倍，且两个锐角的和为，故另两个锐角的度数是． 综上所述，另两个锐角的度数为或． （2）证明：， ，． ， ． 是“2倍角三角形”． （3）证明：如图，延长至点，使得，连接． 则． ， ． 是的角平分线， ． 在和中， ． ． ， 将两边平方得：． 整理得． 54．（24-25八年级上·湖南衡阳·期末）如图，在四边形中，∥BC，为的中点，连接、，，延长交的延长线于点． (1)求证：； (2)求证：平分； (3)猜想线段、、的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3) 【分析】本题考查了平行线的性质、三角形全等的判定定理与性质等知识点，熟练掌握三角形全等的判定定理与性质是解题关键． （1）先根据平行线的性质可得，再根据线段中点的定义可得，然后根据三角形全等的判定定理与性质即可得证； （2）由（1）得，得，那么． （3）由（2）可知，得出，由（1）可知，根据即可证明． 【详解】（1）证明：， ， 又∵E为的中点， ， 在和中 ∵， ∴， ∴． （2）证明：∵， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ， ， 又， ， 平分． （3）结论： 证明：由（2）可知， ， 由（1）可知， ， 即． 55．（24-25八年级上·湖南长沙·期末）的顶点C是平面内一动点，始终保持，分别以，为边，向外作等边三角形和等边三角形，连接交于点F，连接交于点G，与交于点O，连接． (1)求证：； (2)求的度数； (3)在点C运动过程中，下列结论①是定值；②是定值．请选择你认为正确的结论，并证明它，如果你认为都不正确，也请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)①和②均正确，证明见解析 【分析】（1）由等边三角形的性质可得，，，利用可证得，由全等三角形的性质即可得出结论； （2）由（1）可知，于是可证得，过点分别作，垂直于，，且垂足分别为点，点，再利用角平分线的判定即可得出答案； （3）选①证明：在上取一点，使，连接，利用可证得，于是可得，即可得出结论；选②证明：在上取一点，使，连接，利用可证得，于是可得，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵等边三角形和等边三角形， ，，， ， ， ； （2）解：由（1）可知：， ， ， ， ， 如图1，过点分别作，垂直于，，且垂足分别为点，点， ， ， 平分， ， ； （3）解：①和②均正确，理由如下： 选①证明： 如图2，在上取一点，使，连接， ， ∴为等边三角形， ∴，且， ∴，又， ∴， ∴， ∴； 选②证明： 如图3，在上取一点，使，连接， ， 为等边三角形， ，， ， ， ， ， ． 【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的判定，等边三角形的判定与性质，三角形的内角和定理等知识点，利用证明是解题的关键． 56．（23-24八年级上·湖南衡阳·期末）规定：顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为“友好三角形”． (1)如图①，在与中，，，当、、满足什么条件时，与互为“友好三角形”： (2)如图②，在四边形中，，，，求的度数． (3)如图③，在与互为“友好三角形”，，，，相交于点，连，求证：平分． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，角平分线的判定．熟练掌握全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，角平分线的判定是解题的关键． （1）由题意知，，则，由，可得； （2）如图②，延长到，使，连接，证明，则 ，，，证明是等边三角形，则； （3）证明，如图③，作于，作于，则，进而可证平分． 【详解】（1）解：∵与互为“友好三角形”， ∴， ∴，即， ∵， ∴； （2）解：如图②，延长到，使，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴的度数为． （3）证明：∵与互为“友好三角形”， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 如图③，作于，作于， ∵， ∴， 又∵，， ∴平分． $$